CATATAN KULIAH
Pertemuan XIII: Analisis Dinamik dan Integral (1)
A. Dinamika dan Integrasi • Model Statis : mencari nilai variabel endogen yang memenuhi kondisi ekuilibrium tertentu. • Model Optimasi : mencari nilai variabel pilihan yang mengoptimasi fungsi tujuan tertentu. • Model Dinamik : membuat sketsa jalur waktu dari beberapa variabel berdasarkan pola perubahan yang telah diketahui. • Contoh model dinamik : Misalkan jumlah populasi H diketahui berubah sepanjang waktu dengan pola : dH = t −1 / 2 dt Permasalahannya : bagaimana jalur waktu dari populasi H=H(t) dapat menghasilkan tingkat perubahan di atas. • JADI dalam model dinamik permasalahannya adalah kebalikan dari proses diferensiasi, yaitu : mencari fungsi asal dari suatu fungsi derivatif tertentu Æ Kalkulus Integrasi • Solusi : H (t ) = 2t 1 / 2 + c , dengan c=konstan. Adanya c ini menyebabkan tidak ada jalur waktu yang unik, sehingga untuk menyelesaikannya perlu informasi tambahan, yaitu : Kondisi Awal atau Kondisi Batas • Jika Kondisi Awal : nilai H pada saat t=0, H(0)=100 maka konstanta c dapat dihitung : H (0) = 2 01 / 2 + c = 100 c = 100 Sehingga solusi uniknya adalah: H (t ) = 2t 1 / 2 + 100
( )
B. Integral Tak Tentu (Indefinit) • Sifat Integral Notasi : F(x) = fungsi asal, f (x) = F’(x) = derivatif dari fungsi asal Untuk mencari F(x) dari f(x) maka dilakukan Integrasi fungsi f(x) terhadap x, yang dinotasikan sbb: ∫ f (x) dx = f (x) + c Sehingga dapat diartikan sebagai pembalikan proses diferensiasi atau anti-derivatif: d F (x) = f ( x) ⇒ ∫ f (x) dx = f (x) + c dx
•
Aturan Dasar Integrasi a. Aturan Pangkat
∫x
n
1 x n +1 + c n +1
dx =
untuk n≠ - 1
Contoh : 1. ∫ x 5 dx =
1 6 x +c 6
2. ∫ x 3/2 dx =
2 5/2 x +c 5
b. Aturan Eksponensial
∫ f (x) . e '
f (x)
dx = e f(x) + c
Bentuk khusus :
∫e
x
. dx = e x + c
Contoh : 1. ∫ 2.e 2x dx = e 2x + c
( )
3 ⎛3⎞ 2 2. ∫ e 2 / 3 x dx = ∫ ⎜ ⎟ e 2/3 dx = e 2/3x + c 2 ⎝2⎠ 3
1 1 ⎛1 3 ⎞ 3. ∫ e1/3x dx = ∫ (3) ⎜ e1/3 x ⎟ dx = e1/3 x + c 5 5⎝3 5 ⎠ c. Aturan Logaritma
f ' ( x) ∫ f ( x) dx = Ln f (x) + c atau
untuk f(x) > 0
f ' ( x) ∫ f ( x) dx = Ln f (x) + c
untuk f(x) ≠ 0
Bentuk khusus :
1
∫ x dx = Ln x + c atau
1
untuk x > 0
∫ x dx = Ln x + c
untuk x ≠ 0
Contoh : 1. ∫
2 dx = Ln | 2x + 5 | + c untuk x≠-5/2 2x + 5
Note: f(x)=2x+5 ⇒ f’(x)=2 (x + 1) 1 2( x + 1) 1 2 2. ∫ x 2 + 2 x + 5 dx = 2 ∫ x 2 + 2 x + 5 dx = 2 ln | x + 2 x + 5 | +C Note: f(x)=x2+2x+5 ⇒ f’(x)=2x+2=2(x+1) 1 1 ⎡ 2x ⎤ 14 x 14x 2x 3 dx + x ⎥ dx = ∫ 2 e dx + ∫ x 3 dx + ∫ 2 3. ∫ ⎢2 e + 2 7x + 5 7x + 5 ⎣ ⎦
(Gunakan aturan Penjumlahan Integral) 4
= e
2x
3 + c1 + x 3 + c 2 + Ln | 7 x 2 + 5 | + c 3 4
= e 2x +
3 4/3 x + Ln | 7 x 2 + 5 | +c 4
d. Aturan Substitusi
du ⎤
⎡
∫ ⎢⎣f(u). dx ⎥⎦ dx = ∫ f(u). du = F(u) + c Contoh : 1.
∫ 2 x( x
2
+ 1)dx
Misalkan : u = x2+1
du = 2x ⇒ 2x. dx = du dx
∫ 2 x( x
2
+ 1) dx = ∫ ( x 2 + 1) (2 x dx) = ∫ u du =
2.
∫ 6x
2
1 2 1 u + c = (x 2 + 1) 2 + c 2 2
(x 3 + 2) 99 dx
Misalkan : u = x3 +2
du = 3x 2 ⇒ 3x 2 dx = du dx
∫ 6x
2
(x 3 + 2) 99 dx = ∫ 2 (x 3 + 2) 99 (3 x 2 dx) = ∫ 2u 99 du =
2 100 2 u +c= (x 3 + 2)100 + c 100 100
e. Integral Parsial
∫ v du = uv - ∫ u.du Contoh : 1.
∫ x (x + 1)
1/2
dx
Misalkan: o
v = x ⇒ dv = dx dan
o du = (x+1)1/2 dx ⇒ u = ∫ du = ∫ (x + 1)1/2 dx =
2 (x + 1) 3/2 3
Sehingga :
∫ ( x + 1)
1/2
= uv - ∫ u.dv
=
2 2 (x + 1) 3/2 (x) - ∫ (x + 1) 3/2 . dx 3 3
=
2 4 x (x + 1) 3/2 - (x + 1) 5/2 + c 3 15
C. Integral Tentu (Definit)
•
Arti Integral Tentu Teorema Fundamental Kalkulus Jika fungsi f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, maka b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a
dimana F(x) adalah anti-derivatif dari f(x) pada a ≤ x ≤ b.
Contoh :
∫ (x
+ 3 x )dx
1
1.
3
1
⎡ x 4 3x 2 ⎤ ⎢ + ⎥ 2 ⎦2 ⎣4
=
2
1 ⎛1 3⎞ = ⎜ + ⎟ − (4 + 6) = − 8 4 ⎝4 2⎠ 2.
∫ (3x 2
2
)
=
+ 2 x + 1 dx
[x
3
]
2
+ x2 + x 1
1
= 14-13 = 11
•
Integral Tentu sebagai Luas di bawah Kurva 3 V =
1 2 t +1 8
2
1
0
1
2
3
4
subinterval partisi Jika kita menghitung Luas dibawah kurva dengan menambahkan persegipanjang seperti gambar di atas, hasilnya adalah Jumlah Riemann (Riemann sum). Lebar dari persegipanjang disebut subinterval. Subinterval ini tidak harus mempunyai ukuran yang sama. Dan keseluruhan interval disebut sebagai partisi. Secara formal definisi subinterval, sbb: Himpunan berurut titik-titik P=(x0,x1,…,xn) dari interval tertutup I = [a,b], yang memenuhi a = x0 < x1 < …< xn-1 < xn = b merupakan sebuah partisi dari interval [a,b] ke dalam subinterval Ik=[xk-1,xk].
Selanjutnya jika partisi tersebut dinotasikan sebagai P, maka panjang dari subinterval terpanjang disebut sebagai norm dari P dan dinotasikan sebagai |P| Secara formal definisi norm dari P, sbb: Misalkan ∆xk = xk - xk-1 Untuk partisi P=( x0,x1,…,xn), misalkan |P| = max{∆xk, k=1,…,n}.
|P|
a = x0
x1
xn-1 xn =b
x2
Pilih titik sample xi* dalam subinterval [xk-1,xk]. Jumlah Riemann yang berkaitan dengan partisi P dan fungsi f didefinisikan sebagai: n
∑ f (x i =1
* i
)∆xi = f ( x1* )∆x1 + f ( x 2* )∆x 2 + ... + f ( x n* )∆x n
Jika kita mengambil |P| makin kecil, maka aproksimasi Luas di bawah kurva dengan menggunakan Jumlah Riemann semakin tepat. Sehingga bila |P|Æ 0 didapat: Luas =
n
Lim ∑ f ( x | P| → 0
i =1
* i
)∆xi
Definisi Integral Tentu sebagai Luas di bawah Kurva Jika f adalah fungsi yang didefiniskan pada interval [a, b], maka integral tentu dari f dari a sampai dengan b adalah:
∫
b
a
n
f ( x)dx = lim ∑ f ( xi* )∆xi | P| →0 i =1
Jika limit tersebut ada, maka dikatakan f terintegrasi pada [a,b].
•
Sifat Integral Tentu Sifat I: Pertukaran limit integrasi mengubah tanda integral tentu:
Sifat II: Integral tentu mempunyai nilai no; bila dua limit integrasi identik:
Sifat III: Integral tentu dapat diekspresikan sebagai penjumlahan bilangan terbatas dari subintegral tentu sbb:
b
b
a
a
∫ − f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx
Sifat IV:
b
b
a
a
∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx
Sifat V:
b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x) + g ( x) ]dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx
Sifat VI:
Sifat VII: Integrasi Parsial Jika diketahui u(x) dan v(x) maka: x =b
x =b
∫ v du = uv |
x=a
x=a
x =b
−
∫ u dv
x=a
Contoh: 1. Cari Luas di bawah kurva berikut:
∫ (x 3
1
∫ (x 3
A=
1
2
)
3
⎡ 3 ⎤ + 1 dx = ⎢ x + x ⎥ ⎣3 ⎦1
⎛1 ⎞ = (9 − 3) − ⎜ + 1⎟ ⎝3 ⎠
= 12 −
4 3
= 10.67
2
)
+ 1 dx
2 2. Cari Luas daerah R di antara kurva y = x 3 dan y = x Langkah pertama adalah mencari perpotongan ke dua kurva tersebut :
∫ (x
x 2 ( x − 1) = 0 ⇒
⇒
x3 = x 2 1
A=
3
)
− x dx 2
0
⎛ 1 1⎞ = ⎜ − ⎟ ⎝ 4 3⎠
= −
x=1 or x=0 1
⎡ x 4 x3 ⎤ = ⎢ − ⎥ 3 ⎦0 ⎣4
1 1 = 12 12
Latihan 1. Cari Luas daerah R di antara kurva y = 4 x dan
y = x 3 + 3x 2
