CATATAN KULIAH
Pertemuan XIV: Analisis Dinamik dan Integral (2)
A. Integral Tak Wajar (Improper Integral) • Integrasi dengan Limit Tak Hingga Bentuk integral tak wajar jenis ini sbb: ∞
∫
b
f ( x) dx dan
∫ f ( x) dx
∞
a
Oleh karena ∞ bukan angka, maka integral di atas didefinisikan sebagai: b
b
∫ f ( x) dx = Lim ∫ f ( x) dx a →∞
∞
•
a
Bila limit ini ada, integral tak wajar tersebut dikatakan Konvergen. Dan bila limitnya tidak ada, disebut Divergen. Contoh: ∞ 1 Hitung ∫ 2 dx 1 x ∞
1 1 ⎡ − 1⎤ ⎡−1 ⎤ dx = Lim ⎢ ⎥ = Lim ⎢ + 1⎥ = 1 2 ∫1 x 2 dx = Lim ∫ b →∞ b →∞ ⎦ ⎣ x ⎦ 1 b →∞ ⎣ b 1 x b
b
Jadi limitnya ada dan intregral tak wajar tersebut konvergen, dan mempunyai nilai 1 • •
Integran Tak Terhingga Bila integran menjadi tak terhingga dalam interval integrasi [a,b] maka disebut integral tak wajar juga. Contoh: 1 1 Hitung ∫ dx x 0 integran tak terhingga pada limit bawah dari integrasi (bila xÆ0+ maka 1/x Æ ∞) Langkah pertama cari integral: 1
∫ x dx = [ln x ] 1
1 a
= ln 1 − ln a = − ln a
a
Kemudian dihitung :
1
1
1 1 dx = Lim+ (− ln a ) ∫0 x dx = aLim + ∫ →0 a →0 x a
Karena limit ini tidak ada (bila aÆ0+ maka ln a Æ ∞), integral tak wajar ini divergen. B. Aplikasi Integral dalam Ekonomi •
Dari Fungsi Marginal ke Fungsi Total
•
Contoh: (1)
Diketahui
MC
(Maginal
Cost)
dari
suatu
perusahaan
adalah: MC=C’= 2e0,2Q dan bila fixed cost, FC= 90 Tentukan fungsi biaya total (TC)? Jawab TC(Q) =
Q
∫ 2e
0, 2Q
=
10 ∫ e 0, 2Q (0,2 dQ)
=
10e 0, 2Q + c
=
0 ⇒ TC(0)= FC = 90 0,2.0
TC (0) =
10e
90
=
10 +C
=
80
C
dQ
+C
⇓ TC (Q) = 10e (2)
0,2Q
+ 80
Diketahui fungsi MPS (Marginal Propensity to Save) dari masyarakat adalah : MPS= S’(Y) = 0,5-0,2Y-1/2. Dan diketahui pula, ketika income (Y) masyarakat hanya sebesar 25 terjadi dissaving sebesar 3,5 tentukan fungsi tabungan masyarakat S(Y) ?
Jawab S (y)
=
∫ MPS dY
=
∫ (0,5 − 0,2Y
=
0,5 Y - 0,4 Y
−1 / 2
) dY ½
+c
Dissaving ⇒ S = 63,5 maka ⇒ Y= 25
⇒-3,5 = 0,5 (25) - 0,4
25 + C
Didapat C=-14 Û
S(Y) = 0,5 – 0,4Y
(3)
Tentukan
½
fungsi
-14
total
penerimaan
(TR),
bila
diketahui
bahwa marginal revenue MR(Q) = 60-2Q-2Q2 Jawab TR(Q)
=
∫ MR(Q) dQ
=
∫ (60 -2Q-2Q2) dQ
=
60Q – Q2 -
2 3 Q +C 3
Diketahui bahwa pada saat Q=0 → TR=0 (tidak ada barang, maka tidak ada pendapatan). Selanjutnya: TR(0)
=
60.0 – 02 -
2 3 0 +C 3
Sehingga didapat C=0 Û TR(Q) = 60Q – Q2 -
•
2 3 Q 3
Investasi dan Pembentukan Modal Proses pembentukan modal adalah proses penjumlahan persediaan atau stok modal. Dengan mengasumsikan proses kontinu, maka dapat dinyatakan sebagai fungsi waktu. Didefinisikan :
K(t)
= stok modal pada saat t
K’(t) = rate of capital formation pada saat t I (t) = net investment flow pada saat t
Persediaan modal K(t) dan Investasi Netto I(t) dihubungkan dg: K’ (t)
=
I (t)
K (t)
=
∫ [(I (t)] dt
Untuk mengetahui akumulasi kapital pada interval [a,b], dilakukan integrasi tentu: b
∫ I (t) dt =
K (t)
a
• 1.
Contoh : Diketahui bahwa net investment, I(t) = 3t½ dollar per tahun Berapakah capital formation dari interval tertutup [ 1,4].
[
4
K (t) = ∫ 3t1/2 dt = 2 t 3/2
]
4
1
1
3/ 2 3/ 2 = 2( 4) − 2(1)
= 16-2 = 14
•
Nilai Sekarang dari Arus Kas Misalkan
kita
serangkaian
mendapatkan
pendapatan
arus
piutang
kas pada
masa berbagai
depan waktu
(yaitu atau
pengeluaran biaya hutang pada berbagai waktu). Bagaimana kita menghitung nilai sekarang dari seluruh arus kas tersebut? Contoh dalam kasus aliran kas kontinu di sini adalah Wine Storage Problem: Definisikan : C
= Purchase cost / biaya pembelian wine
V(t)
= Future sale value
N(t) = Net Present value S(t)
= Storage cost per unit waktu
Tujuan : Maksimalkan net present value
a. Nilai penjualan (masa mendatang) bervariasi menurut waktu V(t), dan nilai sekarang nya menjadi V(t) e-rt t
b. Storage cost = S(t) =
S
∫e 0
rt
s dt = (1 − e − rt ) r
dengan r=tingkat diskonto per tahun c. Jadi nilai sekarang netto N(t) adalah:
s s⎤ ⎡ N (t ) = V (t )e − rt − (1 − e − rt ) − C = ⎢V (t ) + ⎥ e −rt − C r r⎦ ⎣ Untuk memaksimumkan N(t), nilai t harus dipilih sedemikian rupa sehingga N’(t)=0 :
[
]
s⎤ ⎡ N ' (t ) = V ' (t )e − rt − r ⎢V (t ) + ⎥ e − rt = V ' (t ) − rV (t ) − s e − rt r⎦ ⎣ dan akan menjadi nol jika dan hanya jika : V ' (t ) = rV (t ) + s Persamaan inilah yang menjadi kondisi optimasi yang diperlukan untuk pemilihan waktu penjualan t*.
•
Nilai Sekarang dari Arus Perpetual Jika arus kas berlangsung selamanya – contohnya bunga atas obligasi perpetual- nilai sekarang dari arus kas menjadi: ∞
Π=∫ 0
R(t ) dt e rt
yang merupakan integral tak wajar.
•
Contoh: Carilah nilai sekarang dari aliran pendapatan perpetual yang mengalir pada tingkat yang seragam sebesar D dollar per tahun, bila tingkat diskonto kontinu adalah r maka:
∞
b
D D D D dt = Lim ∫ rt dt = Lim (1 − r − rb ) = rt b →∞ e b →∞ r r 0 e 0
Π=∫
Perhatikan parameter b telah hilang dari jawaban akhir. Latihan: 1. Bila diketahui fungsi pendapatan marjinal berikut: a. R ' (Q) = 28Q − e 0,3Q b. R ' (Q) = 10(1 + Q) −2 cari fungsi total pendapatan R(Q). Kondisi awal apakah yang dapat diperkenalkan untuk menentukan konstanta integrasi ?
