KAKLULUS INTEGRAL Oleh: Oleh: ABDUL RAHMAN
FUNGSI LOGARITMA DAN FUNGSI EKSPONEN
1. FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli didefinisikan x
1 ln x = ∫ dt , x > 0 t 1 Dengan TDK 1 diperoleh:
x1 1 Dx (ln x) = Dx ∫ dt = 1 t x
Teorema Jika u suatu fungsi dari
x yang diferensiabel dan
u(x) > 0, maka
1 d u D x (ln u ) = u dx atau 1 D x (ln u ) = D x (u ) u
Sifat-sifat Logaritma
1. ln 1 = 0 2. ln (ab) = ln a + ln b a 3. ln = ln a − ln b b r 4. ln a = r ln a
Ilustrasi: Ingat:
1.
d [ln (4 + 5 x )] = 1 d (4 + 5 x ) 4 + 5 x dx dx 1 = (5) 4 + 5x 5 = 4 + 5x
2.
d 1 d 2 ln x − 6 x + 8 = 2 x2 − 6x + 8 dx x − 6 x + 8 dx 1 = 2 (2 x − 6) x − 6x + 8 2x − 6 = 2 x − 6x + 8
[ (
)]
1 d D x (ln u ) = u u dx
(
)
Ilustrasi: 3.
d dx
x d x 1 ln x + 1 = x dx x + 1 x +1 x + 1 1( x + 1) − x (1) = x (x + 1)2 x +1 x +1− x = x ( x + 1)2 1 = x ( x + 1)
Ingat Sifat-sifat turunan:
Dx (u.v ) = u ' v + uv' u u ' v − uv' Dx = v2 v
Latihan hal 43: 1.Deferensialkan fungsi berikut b. g ( x) = ln (1 + 4 x )
f. f ( x) = x ln x
c. h(x) = ln 4 + 5x
g. g(y) = ln(ln y )
d. f(t) = ln (3t + 1)
h. f(y) = ln (sin 5 y ) i. g(y) = cos (ln x)
2
e. g(y) = ln (3t + 1) 2
2. Turunan fungsi logaritma dan integral menghasilkan logaritma asli Teorema 1 Jika u suatu fungsi yang diferensiabel dari x, maka
1 D x (ln | u |) = D x (u ) u Teorema 2
1 ∫ u du = ln u + c
Pd Kalkulus 1 dijelaskan
x =
x2
Ilustrasi Contoh 1: D x (ln x ) = D x (ln
x
2
Contoh 2:
)
(x)
=
1
=
D x x 2 x2
x2 1
= =
1
=
2
( )
x 1 = x2 x
(2 x)
−
1 2
( )
x2
2
1 2
( )
x. x 2 x2 1 x x2
1
−
1 2 x 2 2 x
1
=
Dx
x2 ∫ x 3 + 1 dx misalkan u = x 3 + 1 maka du = 3 x 2 dx 1 du sehingga dx = 3 x2 1 x 2 du x2 ∫ x 3 + 1 dx = 3 ∫ u x 2 1 1 = ∫ du 3 u 1 = ln u + c 3 1 = ln x 3 + 1 + c 3
Teorema-teorema Integral tak tentu untuk fungsi trigonometri 1. ∫ tan u du = ln sec u + c 2 . ∫ cot u du = ln sin u + c 3 . ∫ sec u du = ln sec u + tan u + c 4 . ∫ csc u du = ln csc u − ctg u + c
(
)
(
)
2 3 D x ln x + 1 = D x ln x + 1 1 = Dx x3 + 1 2 3 x +1 3
(
=
=
=
)
(x
+1
3
+1
3
(x (
])
)
2
+1
3x2
2 x3 + 1
1 2 −2
)
)
2
2
(x
3
+1
2
(3 x )
])
3x2 2
1
2
([
1 3
([
3x2 . x3 + 1 2
+1
3
])
)
2
1
(x
([
2
1 3 x +1 2
1
(x
)
)
2
)
(
D x x3 + 1
1
= =
(
Latihan:
)
2
1 2 −2
2
cos t ∫ 1 + 2 sin t dt Jawaban cos t ∫ 1 + 2 sin t dt misalkan u = 1 + 2 sin t maka du = 2 cos t dt 1 du sehingga dt = 2 cos t cos t 1 cos t du ∫ 1 + 2 sin t dt = 2 ∫ u cos t 1 1 = ∫ du 2 u 1 = ln u + c 2 1 = ln 1 + 2 sin t + c 2
Latihan:
FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA YANG LAIN
Teorema Jika a bilangan positif dan u suatu fungsi yang diferensiabel terhadap x, maka
du D x ( a ) = a ln a D x (u ) = a ln a dx u
u
u
dan u
a ∫ a du = ln a + c u
Apa perlu contoh soal bapak dan ibu?
Nah…. ini contohnya bu…. pa….. Carilah turunan dan integral dari fungsi berikut y = 3
2x
Penyelesaian: D x ( 3 2 x ) = 3 2 x ln 3 D x ( 2 x ) = 3 2 x (ln 3) 2 = 2 (ln 3). 3 2 x
dan
1 2x ∫ 3 dx = 2
u 2x 1 3 3 u ∫ 3 du = 2 ln 3 + c = 2 ln 3 + c
Hore……..ada Hore…….. latihannya. Gampang ini coy
Hitung Integral taktentu berikut ini:
1.
2.
∫ a dx nx
∫ x 10 dx 2
x3
3.
4.
∫ a (ln x + 1)dx x ln x
∫
4
ln x
x
dx
Penyelesaian 1.
∫
nx nx 1 a a a nx dx = + c = + c n ln a n . ln a
u
x3
1 1 10 10 u 2 . ∫ x 10 dx = ∫ 10 du = +c= +c 3 3 ln 10 3 ln 10 2
x3
u x ln x a a 3 . ∫ a x ln x (ln x + 1)dx = ∫ a u du = +c= +c ln a ln a
4.
∫
4 ln x dx = x
∫
u ln x 4 4 + c = + c 4 u du = ln 4 ln 4
Teknik Integral 1.
2.
3. 4.
∫
dx 5− x
2
=
x = arc sin +c 2 5 5 − x2
∫
dx
∫x
dx
x −5 2
=
∫
dx x − 2
x
5
2
1 = arc sec 5
x +c 5
dx 1 2 dx 1 1 2x − 3 1 2x − 3 = = ln + c = ln +c ∫ 4 x 2 − 9 2 ∫ (2 x )2 − 32 2 2.3 2 x + 3 12 2 x + 3
∫
dx x +4 2
=∫
dx x +2 2
2
(
)
(
)
= ln x + x 2 + 2 2 + c = ln x + x 2 + 4 + c
Integral Parsial Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak
dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara penyelesaiannya dengan metode integral parsial. Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Metode integral parsial memiliki bentuk:
udv = uv − vdu ∫ ∫ Keterangan: u = f(x) v = g(x)
- du = turunan dari u - dv = turunan v
Contoh:
∫ x sin x dx pilih: u = x sehingga du = dx , dv = sin x sehingga v = − cos x maka
∫ x sin x dx = x ( − cos x ) − ∫ ( − cos x ) dx = − x cos x + ∫ cos x dx = − x cos x + sin x + c
Contoh(lanjutan):
∫x
2
ln x dx
pilih: 1 u = ln x sehingga du = dx , x maka
∫
1 3 dv = x sehingga v = x 3 2
1 3 1 3 dx x ln x dx = x ln x − ∫ x 3 3 x x 3 ln x 1 = − ∫ x 2 dx 3 3 2
x 3 ln x 1 1 3 x 3 ln x 1 3 = − x +c = − x +c 3 33 3 9
Contoh(lanjutan):
∫x e
2 −3 x
dx
pilih: u = x sehingga du = 2 x dx , dv = e maka 2
−3 x
1 −3 x sehingga v = − e 3
1 2 −3 x 1 −3 x ∫ x e dx = − 3 x e − ∫ 3 e . 2 x dx 1 2 −3 x 1 −3 x 1 2 − 3 x 2 x − 3 x 1 −3 x ⇔ − x e − ∫ e .2 x dx = − x e − ( e − ∫ e .2 dx ) 3 3 3 9 9 1 2 − 3 x 2 x −3 x 2 − 3 x ⇔− xe − e − e +c 3 9 27 2
−3 x
Identitas Fungsi Trigonometri 1) sin 2 x + cos 2 x = 1
2 ) 1 + tan 2 x = sec 2 x 3) 1 + cot x = csc x 1 2 4 ) sin x = (1 − cos 2 x ) 2 1 2 5) cos x = (1 + cos 2 x ) 2 1 6 ) sin x. cos x = sin 2 x 2 2
2
Fungsi Trigonometri yang Tunggal
∫ sin
3
x dx
penyelesaian 3 sin x dx = ∫
=
∫ sin x . sin
2
x dx
2 sin x .( 1 − cos x ) dx ∫
2 sin x dx − sin x . cos x dx ∫ ∫ 1 = − cos x + cos 3 x + c u = cos x 3
=
du = − sin x dx
Fungsi Trigonometri yang Kombinasi 4 sec x tan ∫
2
x dx =
sec 2 x = 1 + tan 2 x
2 sec x . tan ∫
=
∫ (1 + tan
=
∫ (tan
=
∫ tan
2
2
2
2
x . sec 2 x dx
x ) tan
x + tan
4
2
x . sec 2 x dx
x ) sec 2 x dx
x . sec 2 x dx +
∫ tan
1 1 3 = tan x + tan 5 x + c 3 5
4
x . sec 2 x dx
Integral Fungsi Rasional
Fungsi Rasional dan Pecahan Parsial • Fungsi rasional diekspresikan sbb R( x ) =
P ( x) Q( x)
dimana P ( x ) dan Q ( x ) adalah polinomial
• Untuk menghitung integral fungsi rasional, perlu dilakukan dekomposisi pecahan-parsial dari fungsi rasional tersebut.
• Metode pecahan parsial adalah suatu tehnik aljabar dimana R(x) didekomposisi menjadi jumlahan suku-suku: P ( x) = p( x ) + F1 ( x ) + F2 ( x ) + K + Fk ( x ), Q( x) dimana p( x ) suatu polinomial dan Fi ( x ) pecahan - parsial R( x ) =
A (faktor linier) atau n (ax + b) Bx + C (faktor kuadratik) 2 n (ax + bx + c ) A, B, C , a, b, c adalah konstanta - konstanta. berbentuk
Penyebut Merupakan Faktor Linear yang Berbeda A1 A2 An F ( x) = + + ... + a1 x + b1 a 2 x + b 2 a n x + bn Contoh: carilah
∫
1 x2 − 4
Penyelesaian 1 A B = + 2 x −4 x−2 x+2
x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2)
Dengan menyamakan penyebut diperoleh 1 = A( x + 2) + B( x − 2) Utk = ݔ2 maka = ܣ
∫
ଵ ସ
dan utk = ݔ−2 maka B =
ଵ − ସ
1 1 1 1 1 = dx − dx 2 ∫ ∫ x −4 4 x−2 4 x+ 2 1 x−2 1 1 +c = ln x − 2 − ln x + 2 + c = ln 4 x+ 2 4 4
sehingga
Penyebut Merupakan Faktor Linear yang Berulang A1 A2 An F ( x) = + + ... + 2 ax + b (ax + b ) (ax + b )n Contoh: carilah
∫
( 2 x + 3 ) dx x2 − 2x + 1
Penyelesaian 2x + 3 A B = + 2 x − 2 x + 1 x − 1 ( x − 1)2
x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) 2
Dengan menyamakan penyebut diperoleh 2 x + 3 = A( x − 1) + B ⇔ 2 x + 3 = Ax − A + B A = 2 dan B = 5
∫
( 2 x + 3 ) dx 1 1 = 2∫ dx + 5 ∫ dx x2 − 2x +1 x −1 ( x − 1) 2 5 = 2 ln x − 1 − +c ( x − 1)
maka
