Pertemuan-18 & 19
Integral Lipat Dua (Double Integral) Fungsi: Menghitung isi benda padat
Ambil bidang y = yo , y = yo ⊥ pada poros y. Penampang antara benda dan y o mempunyai luas L i (bidang arsir)
Jika ada bidang disamping maka luas bidang:
∫
b
a
n
f ( x)dx = lim ∑ f(x)ΔX i Δx→0 n →∞
i =1
Sehingga dapat disimpulkan Isi benda tipis yang tebalnya Δy i dan luas L i adalah L i ( x i y i ) ⋅ Δy i (luas x lebar), n
maka isi keseluruhan: lim
Δyi →0 n→∞
∑ L ( x , y ) ⋅ Δy i =1
i
i
i
i
Isi benda =
∫
b
a
L( x , y ) = ∫
L( x, y )dy
g2 ( y )
g1 ( y )
F(x, y)dx
⎛⎜ g2 ( y ) F ( x, y )dx ⎞⎟ dy → Integral berulang (Iterated Integral] ∫a ⎝ ∫g1 ( y ) ⎠ b
Sehingga Isi =
Isi Benda padat =
b
g2 ( y )
a
g1 ( y )
∫ ∫
F(x, y)dx dy → Double Integral
Contoh:
1.
2
3
∫0 ∫1 2
= ∫0
x 2 ⋅ y dy dx
[∫
3
1
2
]
⎡1 2 x 2 y dy dx = ∫0 x 2 ⎢ y 2 ⎢⎣ 2 2
= ∫0 4 x dx = 4 ∫0 2.
π
2
1
∫0 ∫0
2
2
= 0
32 3
x sin y dx dy
π
= ∫0 sin y
[∫ x dx ]dy = 12 ∫ 1
π
0
0
1 = − cos y 2 3.
4 x dx = x 3 3
⎤ ⎥ dx 1⎥ ⎦ 3
π 0
sin y dy
=1
Benda padat di bawah bidang z = x + y + 1 dibatasi oleh bidang x = 0, x = 1, y = 1, y = 3 Jawab: 0 ≤ x ≤1; 1≤ y ≤ 3 1
Isi = ∫
x =0
∫
3
y =1
( x + y + 1) dy dx
3 ⎡⎧ 1 2 ⎫ ⎤ + + x y y y ⎢⎨ ⎬ ⎥ dx x =0 2 ⎩ ⎭1 ⎦⎥ ⎣⎢ 1
=∫ 1
=∫
x =0
⎡⎧ 1 2 2 ⎫⎤ ⎢⎨ x(3 − 1) + 2 (3 − 1 ) + (3 − 1)⎬⎥dx ⎭⎦ ⎣⎩
= ∫ (2x + 4 + 2) dx 1
0
= ∫ (2x + 6) dx 1
0
(
)
= x 2 + 6x
1 0
= 1 − 0 + 6(1 − 0) 2
2
= 1+ 6 = 7
116
Kalkulus II
4.
x2
5
∫3 ∫− x
( 4 x + 10 y ) dy dx
∫ [(4 xy + 5 y ) ]dx ∫ [4 x( x + x) + 5( x − x )]dx 5
=
2
3
5
=
3 5
∫3 ( 4 x
=
x2 −x
2
3
4
2
+ 4 x 2 + 5x 4 − 5x 2 ) dx 5
1 = ∫ (5 x + 4 x − x ) dx = x + x − x 3 3 3 3 1 = 55 − 35 + 54 − 34 − (53 − 33 ) 3 125 − 27 (125 − 27 ) = (3125 − 243) + (625 − 81) − 3 98 = 2882 + 544 − 3 98 10278 − 98 10180 = 3426 − = = 3 3 3 5
(
4
) (
= 3393
5.
3
2
5
4
)
1 3
Berikan tafsiran fisis dari
∫∫ ( x
2
+ y 2 ) dx dy , R dibatasi oleh bidang y = x 2 , x = 2 dan y = 1 dan
R
hitunglah integrasinya! Jawab
Penentuan daerah batas dari gambar di atas, dengan menganggap x konstan/dipegang tetap. 1≤ x ≤ 2 1 ≤ y ≤ x2 Batas di atas dapat pula ditulis dalam y yang konstan y = x2
x=2
→y = 4
x= y
Integral Lipat Dua
117
1≤ y ≤ 4 y ≤x≤2
Pengintegrasian untuk x yang dipegang konstan. Batas : 1≤ x ≤ 2 1 ≤ y ≤ x2 2
x2
x =1
y =1
∫ ∫
( x 2 + y 2 ) dy dx
1 = ∫ (x y + y3 ) x =1 3 2
=∫
2
=∫
2
x =1
x =1
x2
2
dx 1
1 6 ⎡ 2 2 ⎤ ⎢ x ( x − 1) + 3 ( x − 1)⎥ dx ⎣ ⎦ ⎛ 4 x6 1 ⎞ 1 1 1 1 ⎜⎜ x − x 2 + − ⎟⎟ dx = x 5 + x 7 − x 3 − x 3 3⎠ 5 21 3 3 ⎝
(
)
(
) (
2
1
)
1 5 5 1 7 7 1 3 3 1 2 −1 + 2 − 1 − 2 − 1 − (2 − 1) 5 21 3 3 32 − 1 128 − 1 8 − 1 1 = + − − 5 21 3 3 =
31 127 7 1 31 127 8 + − − = + − 5 21 3 3 5 21 3 651 635 280 = + − 105 105 105 =
=
1006 105
Pengintegrasian untuk y dipegang konstan: Batas: 118
Kalkulus II
1≤ y ≤ 4 y ≤x≤2 4
2
y =1
x= y
∫ ∫
( x 2 + y 2 ) dx dy
⎡⎛ 1 ⎞ = ∫ ⎢⎜ x 3 + y 2 x ⎟ y =1 ⎠ ⎢⎣⎝ 3
2
4
=∫
2
=∫
4
y =1
y =1
⎛1 ⎡ 3 ⎜ ⎢2 − ⎝3⎣
⎤ ⎥ dy y⎥ ⎦
( y ) ⎤⎥⎦ + y (2 − y )⎞⎟ dy 3
2
⎠
⎛ 8 y3/ 2 ⎞ ⎜⎜ − + 2 y 2 − y 5 / 2 ⎟⎟ dy 3 ⎝3 ⎠
8 1 1 32 +1 2 2+1 1 52 +1 = y− ⋅ 3 y + y −5 y 3 3 2 +1 2 +1 2 +1 =
8 2 2 2 y − y 2 y + y3 − y3 y 3 15 3 7
(
) (
4
1
4
1
) (
8 (4 − 1) − 2 42 4 − 12 1 + 2 43 − 13 − 2 43 4 − 13 1 3 15 3 7 8 2 2 2 = (3) − (32 − 1) + (64 − 1) − (128 − 1) 3 15 3 7 =
)
62 126 254 840 434 4410 3810 + − = − + − 15 3 7 105 105 105 105 1006 = 105 = 8−
Terlihat bahwa peninjauan x konstan atau y konstan adalah sama, sebab memang daerah yang dihitung adalah sama.
6.
Hitung
∫∫ x y dx dy D
Jika D adalah daerah yang dibatasi antara lain y = x , y=0 ;x=1 Cara I: Menentukan batas dengan x dipegang konstan
0 ≤ x ≤1 0≤y≤ x
Integral Lipat Dua
119
1
∫ ∫ 0
0
x
1 ⎡ 1 xy dy dx = ∫ ⎢ x ⋅ y 2 0 ⎢⎣ 2
0
⎤ ⎥ dx ⎥⎦
1 x2 dx = x 3 2 6
1
=∫
0
=
x
[
1
0
]
1 3 1 1 − 03 = 6 6
Cara II: Menentukan batas dengan y dipegang kontans
0 ≤ y ≤1 y2 ≤ x ≤ 1
120
Kalkulus II
1
1
∫
y =0
1
x ⋅ y dx dy = ∫
∫
y2
0
(
)
⎡ 1 2 ⎢y ⋅ x ⎣⎢ 2
(
⎤ ⎥ ⋅ dy ⎥ y2 ⎦
1
)
y 1 1 1 − y 4 dy = ∫ y − y 5 dy 0 2 2 0 1 ⎞ 1⎛1 1 = ⎜ y2 − y6 ⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ 2 6 0⎠ 1⎛1 1 ⎞ = ⎜ (12 − 0 2 ) − 16 − 0 6 ⎟ 2⎝2 6 ⎠ 1
=∫
(
=
)
1 ⎛1 1⎞ 1 ⎛3 1⎞ 1 ⎜ − ⎟= ⎜ − ⎟= 2⎝2 6⎠ 2⎝6 6⎠ 6
Dalam mengerjakan soal-soal di atas serta perumusan isi benda padat kita menggunakan koordinat kartesian.
Macam-macam koordinat yang ada: 1. Koordinat Kartesian
dA = dy ⋅ dx A = daerah luas Sehingga Isi = luas alas . tinggi n
Isi = lim
ΔA→0 n →∞
Isi = 2.
∫
A
∑ F(x, y) ⋅ ΔA i =1
F ( x, y )dA = ∫
x
∫
y
F ( x, y )dy dx
Koordinat Polar [silinder]
Integral Lipat Dua
121
dz = ∩ ab =
dϕ ⋅ 2 πr = r dϕ 2π
dA = dr ⋅ dz dA = dr ⋅ r ⋅ dϕ = r ⋅ dr ⋅ dϕ
∫A
Isi =
3.
F( x, y ) dA = ∫r
∫ϕ
F( x, y ) r ⋅ dϕ dr
Koordinat Umum [Curvilinier Coordinates] Pada bahasan selanjutnya akan dibuktikan:
dA =
∂ ( x, y ) ⋅ du ⋅ dv ∂ (u, v)
Atau
dA =
1 ⋅ du ⋅ dv ∂ (u , v) ∂ ( x, y )
Contoh: 1. Tentukan volume bidang Tetrahedron (segi empat) yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x + 6y + 4z = 12 !
Jawab: Untuk lebih mudah menentukan batas, kita harus gambar bentuk fisisnya:
Langkah menggambar: z=0 1 3x + 6y = 12 → y = − x + 2 2
122
Kalkulus II
Dibatasi bidang koordinat yang berarti x = 0 dan y = 0 Untuk menentukan z ; x = 0 dan y = 0 4z = 12 → z = 3
fungsi z =
12 − 3x − 6 y 4
batas x dan y untuk x dipegang konstan 0≤x≤4 1 0≤ y ≤− x+2 2
Integral Lipat Dua
123
Isi = ∫
4
x =0
1 − x+2 2 y =0
∫
⎛ 12 − 3x − 6 y ⎞ ⎜ ⎟ dy dx 4 ⎝ ⎠
1
3 4 − 2 x+2 (4 − x − 2 y ) dy dx 4 ∫0 ∫0 1 3 4 2 − 2 x+2 dx = ∫ 4 y − xy − y 0 4 0 2 3 4 ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 = ∫ ⎢4⎜ − x + 2 ⎟ − x⎜ − x + 2 ⎟ − ⎜ − x + 2 ⎟ ⎥ dx 4 0 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 =
(
)
1 2 1 2 3 4 ⎛ ⎞ ⎜ − 2 x + 8 + x − 2 x − x + 2 x − 4 ⎟ dx ∫ 0 4 2 4 ⎝ ⎠ 3 4 ⎛1 ⎞ = ∫ ⎜ x 2 − 2 x + 4 ⎟ dx 0 4 ⎠ ⎝4 4 ⎤ 3 ⎡ 64 3⎡1 3 ⎤ 2 = ⎢ ⋅ x − x + 4 x ⎥ = ⎢ − 16 + 16⎥ = 4 4 ⎣⎢12 ⎦ ⎥ 4 ⎣ 12 0⎦ =
2.
Hitung volume bagi yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang x = 5 dan y + 2z-4=0 ! Jawab:
z=
124
4− y 2
Kalkulus II
Isi = ∫
5
∫
x =0
1 5 ⎛4− y⎞ ⎜ ⎟ dy dx = ∫0 2 ⎝ 2 ⎠
4
0
∫
4
0
(4 − y ) dy dx
4
=
1 5 1 1 5 4 y − y 2 dx = ∫ 8 dx ∫ 2 0 2 2 0 0
= 4x 3.
5 0
= 4(5 − 0) = 20
Hitung
∫ ∫A
ex
ϕ = 0 dan ϕ =
2
+y2
π 4
dA ; jika A dibatasi oleh r = 1 dan r = 3 ,
!
Jawab: dA = r dr dϕ
r2 = x2 + y2
1≤ r ≤ 3 π 0≤ϕ≤ 4 π /4
3
∫ ∫ 1
ex
0
3
2
+ y2
2
0
1
4.
π
3
1
π /4
= ∫ r e r dr ∫ =
dA = ∫
dϕ =
∫
0
π
4∫
e r ⋅ r dr dϕ
3
1
2
r ⋅ e r dr 2
er π 2 π d (r 2 ) = e r = (e 9 − e ) 2 8 8 1
3
1
Hitung
π /4
3
2
4
∫
∫∫
x 2 + y 2 dA ; jika D adalah bidang yang dibatasi:
D
r = 0dan r sin ϕ , ϕ = 0 dan ϕ = π ! Jawab: dA = r dr dϕ
0 ≤ r ≤ sin ϕ 0≤ϕ≤π
r = x2 + y2 π
sin ϕ
∫0 ∫0 =∫
π
0
=
π
sin ϕ 2
r ⋅ r dr dϕ = ∫0 dϕ∫0
1 3 r 3
sin ϕ
dϕ = 0
r dr
1 π sin 3 ϕ dϕ 3 ∫0
π
1 (1 − cos 2 ϕ ) ⋅ sin ϕ dϕ ∫ 0 3
1 π (1 − cos 2 ϕ ) d (cos ϕ ) 3 ∫0 1 π 1 π = − ∫ d (cos ϕ ) + ∫ cos 2 ϕ d (cos ϕ ) 3 0 3 0 =−
Integral Lipat Dua
125
π
=
π
1 1 1 + cos 3 ϕ − (− 1 − 1) + (− 1 − 1) 9 3 9 0 0
1 = − cos ϕ 3 2 2 4 − = 3 9 9
5. Perhatikan gambar
y = r sin ϕ Hitung
∫∫
!
y dA
s
Jawab: 2 ≤ r ≤ 2 (1 + cos ϕ)
π 2 dA = r ds dϕ 0≤ϕ≤
y dA = ∫
∫∫
π/2
ϕ =0
s
π /2
=∫
0
π /2
=∫
0
π /2
=∫
0 π/2
= ∫0
dϕ ∫
∫
2 (1+ cosϕ )
r =2
2 (1+ cos ϕ )
r =2
sin ϕ dϕ ∫
r ⋅ sin ϕ ⋅ r dr
2 (1+ cos ϕ )
r =2
⎛1 sin ϕ ⎜ r 3 ⎜3 ⎝
[
y ⋅ r dr dϕ
r 2 dr
2 (1+ cos ϕ )
2
⎞ ⎟ dϕ ⎟ ⎠
]
sin ϕ (2 + 2 cos ϕ) 3 − 8 dϕ 3
1 π /2 1 π /2 3 [ 2 + 2 cos ϕ ] d (cos ϕ ) − ∫ 8 sin ϕ dϕ ∫ 3 0 3 0 π 1 1 1 8 4 π = − ⋅ ⋅ (2 + 2 cos ϕ ) 02 + cos ϕ 02 3 2 4 3 1 (2 + 2 cos π2 )4 − (2 + 2 cos 0)4 + 8 [cos π2 − cos 0] =− 24 3 1 (2 + 2 ⋅ 0)4 − (2 + 2 ⋅1)4 + 8 [cos π2 − cos 0] =− 24 3 1 4 8 =− 2 − 4 4 + [0 − 1] 24 3
=−
[{ [{
}]
}]
[
126
]
Kalkulus II
1 [16 − 256] + 8 [− 1] 24 3 240 8 8 30 8 22 = − = 10 − = − = 24 3 3 3 3 3 =−
6.
Tentukan Isi benda pada di aktan I dibawah paraboloid z = x 2 + y 2 dan didalam tabung x 2 + y 2 = 9 ! Jawab:
Karena kita tahu x2 + y2 = r2 = 9 r =3
Isi = ∫∫ z dA D
π/2
Isi = ∫ϕ = 0
3
∫r = 0
( x 2 + y 2 ) r ⋅ drdϕ
π/2
dϕ∫0 r dr = ∫0
π/2
81 81 ϕ dϕ = 4 4
= ∫0
= ∫0
3
π/2
3
(
π/2
0
3
1 4 r dϕ 4 0
) = 814 ⋅ 2π = 818π
Soal:
1.
Hitung
∫∫
F ( x) ⋅ ds jika F ( x) = 2 pada 1 ≤ x ≤ 3 dan 0 ≤ y ≤ 2 !
s
Jawab: 8 2.
Gambarkan bagian daerah R di dalam bidang xy yang dibatasi oleh y 2 = 2 x dan y = x ! Cari batas-batas untuk x dan y sehingga tetapkan luas dari R!
Integral Lipat Dua
127
0≤x≤2 , untuk x dipegang tetap x ≤ y ≤ 2x Atau untuk y dipegang konstan
0≤y≤2 y2 ≤x≤y 2 2 3
Luas =
3.
Hitung isi benda padat dibatasi oleh bidang z = x + y + 1 dan Jawab: Isi = 7
4.
Hitung isi benda padat antara z = x 2 + y 2 + 2 dan z = 1 dan terletak antara − 1 ≤ x ≤ 1 , Jawab: Isi =
5.
Diberikan
∫
3
y =0
∫
4− y
x =1
x = 0, x = 1, y = 1 dan y = 3 .
10 3
( x + y ) dx dy
a.
Gambarkan tafsiran fisis bendanya !
b.
Ubah dalam x dipegang konstan !
Jawab: 1 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ − x 2 + 9 c.
Hitung Integrasi! Jawab:
6.
Hitung
∫∫
241 60
x 2 + y 2 dx dy , di mana R adalah bidang daerah x 2 + y 2 ≤ a 2
!
R
Jawab: Dengan koordinat tabung
∫∫
x 2 + y 2 dx dy =
R
7.
2 π a3 3
Hitung isi bidang–4 yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang z = 6 – 2x – 3y ! Jawab: Isi = 6
Koordinat Umum (Curvilinier Coordinate) Sebelum masuk ke pokok bahasan, kita singgung sedikit mengenai vektor. 128
Kalkulus II
0 ≤ y ≤1 !
Aturan-aturan turunan fungsi berlaku untuk turunan vektor 1. 2. 3. 4.
d (A ± B) dA dB = ± dt dt dt d (A ⋅ B ) dA dB =B +A dt dt dt ⎞ ⎛ d (AxB) ⎛ dA dB ⎞ = ⎜⎜ x B ⎟⎟ x ⎜⎜ A x ⎟ dt dt ⎟⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ d du dA (u ( t ) ⋅ A ) = ⋅A +u⋅ dt dt dt u(t ) = fungsi skalar
Kita pakai salib sumbu system kanan (aturan tangan kanan)
A = i A x + j A y + k A z = (A x , A y , A z ) B = i B x + j B y + k Bz = (B x , B y , B z )
A • B = (A x , A y , A z )• (B x , B y , Bz ) = A x ⋅ B x + A y ⋅ B y + A z ⋅ Bz
→ [menjadi sekalar]
Aturan Cross Vector (menggunakan kaidah ‘sekrup’]
i x i =0 i x j= k jx k =i k x i = j jx j=0 jx i = −k k x j=-i i x k = − j k x k=0 A x B = (i A x + j A y + k A z ) x ( i B x + j B y + k B z )
= A x B x (i × i ) + A x B y (i × j ) + A x Bz (i × k ) +
A y Bx ( j × i ) + A y B y ( j × j ) + A y Bz ( j × k ) +
A z B x (k × i ) + A z B y (k × j ) + A z Bz (k × k )
Integral Lipat Dua
129
A x B = (i A x + j A y + k A z ) x ( i B x + j B y + k B z ) r = A x B x 0 + A x B y (k ) + A x Bz (− j ) + r A y B x (− k ) + A y B y 0 + A y Bz (i ) + r A z B x ( j ) + A z B y (− i ) + A z Bz 0
()
()
()
A x B = i (A y Bz − A z B y ) − j (A x Bz − A z B x ) + k (A x B y − A y B x )
=i
Ay By
Az A −j x Bz Bx
Ax Az +k Bx Bz
Ay By
Atau dapat ditulis dalam bentuk determinan matriks,
i A x B = Ax
j Ay
k Az
Bx
By
Bz
Koordinat Umum:
130
Kalkulus II
dx dr dy =i + j du du du dx ds dy =i + j dv dv dv d s ds ⎛ dx dy ⎞ ⎛ dx dy ⎞ = ⎜i + j + j ⎟ x ⎟ x ⎜i du dv ⎝ du du ⎠ ⎝ dv dv ⎠ ⎛ dx dy ⎞ ⎛ dy dx ⎞ =k⎜ ⋅ ⎟−k⎜ ⋅ ⎟ ⎝ du dv ⎠ ⎝ du dv ⎠ ⎛ dx dy dy dx ⎞ =k⎜ − ⋅ ⎟ ⎝ du dv du dv ⎠ Harga mutlak:
dr dr dx dy dy dx x = ⋅ − ⋅ du dv du dv du dv Dapat dibuat bentuk matrik:
dx du dx dv
dy du = ∂ ( x, y ) dy ∂ (u , v) dv
∴ dA =
∂ ( x, y ) du ⋅ dv ∂ (u, v)
Pada rumus di atas terlihat bahwa x dan y harus diubah ke variabel u dan v, perubahan x dan y ke u dan v tidak selalu mudah, sehingga terkadang lebih mudah mengubah u dan v menjadi x dan y. Sehingga dalam hal ini kita perlu invers Determinan Jacoby.
∂ ( x, y ) 1 didapat dari aturan rantai determinan Jacoby = ∂ (u , v) ⎛ ∂ (u, v) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ ( x, y ) ⎠ ∴ dA =
du ∂ (u, v) dx = du ∂ ( x, y ) dy
1 ⋅ du ⋅ dv ∂ (u, v) ∂ ( x, y )
du du dv dx = dx dy dv dv dv dy dx dy
Contoh:
1.
Hitung
∫∫
( x + y ) 3 dx dy ; dengan D adalah bidang yang dibatasi oleh:
D
x+y=3 x + y =1
Integral Lipat Dua
x − y = −1 x−y=2
131
Jawab :
Dengan menggunakan koordinat kartesian sebenarnya kita bisa memecahkannya dengan terlebih dulu membagi menjadi 3 bagian, dan ini memakan waktu yang lama. Lebih cepat menggunakan koordinat umum. Misal: x + y = u ⎫ 1≤ u ≤ 3 ⎬ x − y = v ⎭ −1≤ v ≤ 2
dA =
dx dy ∂ ( x, y ) = du du dx dy ∂ (u , v) dv dv 1 1 2 = −1 = 2 1 1 4 − 2 2 dA = −
x+y=u x−y=v + 2x = u + v
∂ ( x, y ) ⋅ du ⋅ dv ∂ (u , v)
u+v 2 u−v y= 2
x=
−
1 1 =− 4 2
1 1 du ⋅ dv = du ⋅ dv 2 2
3 ∫∫ ( x + y) dxdy = ∫
3
u =1
D
∫
2
v = −1
1 u 3 ⋅ dv du 2
( )
1 3 3 3 3 3 3 43 2 = = v u du u du u −1 2 ∫1 8 1 2 ∫1 3 3 = 34 − 14 = [81 − 1] = 30 8 8 =
[
2.
∫∫ ( x
2
]
+ y 2 ) dx dy ; D daerah yang dibatasi
D
132
Kalkulus II
x2 − y2 = 2
x⋅y =1 x⋅y = 3
x2 − y2 = 4
Pada kuadran I Jawab: xy = u
x2 − y2 = v
x dan y akan dinyatakan dalam fungsi u dan v.
du ∂ ( x, y ) 1 dx = = du ∂ (u , v) ⎛ ∂ (u , v) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ dy ⎝ ∂ ( x, y ) ⎠
dv dx = y 2x dv x - 2y dy
= − 2 y 2 - 2x 2 = 2 (x 2 + y 2 ) ∂x ⋅ dy =
∫∫ ( x
2
1 ⋅ du ⋅ dv 2 (x 2 + y 2 )
+ y2 )
D
1 du ⋅ dv 2 (x + y 2 ) 2
[ ] [ ]
4 1 3 1 3 4 dv ⋅ du = ∫ du ⋅ v 2 ∫ ∫ 2 u =1 v = 2 2 u =1 3 1 3 3 = ∫ du ⋅ (4 − 2) = ∫ du = u 1 = 3 − 1 = 2 u =1 2 u =1
=
Soal:
1.
π
sin θ 2
∫0 ∫0
r dr dθ
Jawab:
4 9
Integral Lipat Dua
133
2.
Tentukan luas dari benda/bidang s, yang adalah daerah di dalam lingkaran r = 4 cos θ dan luar lingkaran r = z. [Catatan: Transformasikan A = Jawab: L= 2 3 +
∫∫ dx dy → A =∫∫ r dr dθ
4 π 3
3.
Cari luas daerah yang dibatasi oleh xy = 4, xy = 8, xy 3 = 5 , xy 3 = 15! Jawab: L= 2 ln 3
4.
Cari luas daerah di dalam kuadran I yang dibatasi oleh y = x 3 , y = 4 x 3 , x = y 3 , x = 4 y 3 Jawab: L=
5.
1 8
Misal R adalah daerah yang dibatasi x + y = 1, x = 0, y = 0. Perlihatkanlah bahwa:
⎡ (x - y) ⎤
∫∫ cos ⎢⎣ (x + y) ⎥⎦ dx dy = R
sin 1 2
(Misal x – y = u dan x + y = v} 6.
Benda padat di kuadran I yang dibatasi oleh tabung z = tg x 2 dan bidang-bidang x = y, x = 1 dan y = 0. Cari Isi ! Jawab: Isi =
7.
1 ln sec 1 2
Buktikan: 1
1− x
∫ ∫
x =0 y =0
y
e ( x+ y ) dy dx =
e −1 2
Dengan transformasi x + y = u, y = u.v Catatan: Soal ini ada baiknya jika dikerjakan sesudah membahas koordinat umum. 8.
Benda dikuadran I yang dibatasi oleh persamaan 9z = 36 − 9x 2 − 4 y 2 dan bidang-bidang koordinat. Cari Isinya ! Jawab: Isinya = 3π -oo0oo-
134
Kalkulus II
