a. Integral Lipat Dua atas Daerah Persegi Panjang Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d} z 1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian. Z=f(x,y) 2. Pilih ( xk , yk )pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1] 3. Bentuk jumlah Riemann. n
c
a
b x
yk
f ( x , y )A
d y
xk
( x k , yk )
R
n
k
i 1 i 1
k
k
4. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann. n n lim f ( xk , yk )Ak n
i 1 i 1
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis n n f ( x, y)dA lim f ( xk , yk )Ak R
n
i 1 i 1
4/2/2016
2
Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. n
Jika lim f ( xk , yk )Ak ada, kita katakan f dapat P 0 k 1
diintegralkan pada R. Lebih lanjut f ( x, y )dA f ( x, y )dxdy R
R
yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh : n
f ( x, y)dA lim f ( x , y )A P 0
atau
R
k 1
k
k
k
n
f ( x, y)dx dy lim f ( x , y )x y P 0
R
k 1
k
k
k
k
4/2/2016
3
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,
maka
f ( x, y)dA
menyatakan volume benda padat yang
R
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan di atas R.
4/2/2016
4
Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ z
z
z= f(x,y)
A(y) a
A(y) c
d y
a
b
x
b
b x
A( y ) f ( x, y ) dx a
4/2/2016
5
d b b R f ( x, y) d A c A( y) dy f ( x, y) dx dy c a f ( x, y) dx dy c a
d
d
Maka d b
f ( x, y) dA f ( x, y) dx dy R
c a
4/2/2016
6
(ii) Sejajar bidang YOZ z
z
z= f(x,y)
A(x)
A(x) a
c
d y
c
d
y
d
b
x
A( x) f ( x, y ) dy c
4/2/2016
7
d R f ( x, y) d A a A( x) dx f ( x, y) dy dx a c f ( x, y) dy dx a c b
b d
b
Maka b d
f ( x, y) dA f ( x, y) dx dy R
a c
4/2/2016
8
1. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana 2
2 y 2 dA
R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y 4}
2 y 2 dA
6 4
x 2 2 y 2 dy dx 0 0 6
R
y 4 R 6
2
R
Jawab:
x
x
x
2 2 3 4 x y y dx 3 0 0 6 128 4x2 dx 3 0 4 3 128 6 x x 288 256 544 3 3 0
4/2/2016
9
Atau,
x R
2
2y
2
dA
4 6
x 2 2 y 2 dx dy 0 0 4
1 3 x 2 xy 2 3 0 4
dy 0 6
72 12 y 2 dy 0
72 x 4 x 3
4
288 256 544 0
4/2/2016
10
2. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana
R
R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y /2}
Jawab:
sin x y dA
/2 /2
y
0
/2
/2
R
0
x
sin x y dx dy
0 0 /2
R
/2
sin x y dA
cos( x y )
/2
0
dy
cos y cos y dy 2
/2
/2 sin y 0 sin y 2 0 sin sin sin 2.
2
2
4/2/2016
11
1. Hitung 1 2
1 1
a. xy e x
2
y
2
dy dx
0 0
c. 0 0
y dy dx 2 x 1
2 1
b.
2 xy dy dx
0 1
2.
f x, y dx dy
untuk fungsi
R
a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2] b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1] c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [-/2, ] x [1, 2]
4/2/2016
12
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R 1.
k f x, y dA k f x, y dA R
2.
R
f x, y g x, y dA f x, y dA g x, y dA R
R
R
3. Jika R = R1 U R2 , maka
f x, y dA f x, y dA f x, y dA R
R1
R2
4. Jika f(x,y) g(x,y), maka
f x, y dA g x, y dA R
R
4/2/2016
13
Ada dua jenis : ◦
Jenis I (x konstan) D = {(x,y) | a x b , p(x) y q(x) }
◦
Jenis II (y konstan) D = {(x,y) | r(y) x s(y) , c y d }
4/2/2016
14
y q(x)
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
D
x
p(x)
a
y
b
x
b q( x)
f ( x, y)dA f ( x, y) dy dx D
a p( x)
D={(x,y)| axb, p(x)yq(x)}
4/2/2016
15
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
d
x
D
c
d s( y)
s (y)
r (y)
x
f ( x, y)dA f ( x, y) dx dy D
c r( y)
y D={(x,y)|r(y)xs(y), cyd}
4/2/2016
16
Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi). Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya. Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi. (pandang daerah integrasi sebagai daerah jenis I atau jenis II)
4/2/2016
17
1. Hitung
2 y e dA x
R
R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}
y
x = y2
1 x
,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y
2 y e dA x
R
R
2 1 y
2 y e x dx dy 0 0 1
2y e 1
x
0 1
2 x y
0
dy
2 y e 1 dy y2
0
e y y2
2
1
e 1 1 e 2
0
4/2/2016
18
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu: R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1} y
2 y e dA x
x = y2
1
R
0
1
x
x
ex y2
R
y
2 y e dy dx
1 1
1 x
dx
0 1
1
e x xe x dy x
0
e x xe x e x
1 0
2e e (1 1) e 2
4/2/2016
19
4 2
2.
e 0
x
y2
dy dx
2
Jawab: Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2 y 2} Diubah urutan pengintegralannya, yaitu: y x=2y R = {(x,y)| 0 x 2y, 0 y 2} Sehingga y = x/2 2 x
2 2y
4 2
e
R
0
y
4
x
x
2
y
2
dy dx
e dx dy y2
0 0 2
e x 0 dy 2y
y2
0 2
2 y e dy y2
0
e
y2
2 0
e4 1
4/2/2016
20
3 3y
xe
1.
y3
1 1
dx dy
e
5.
1 y
2.
0
4 2
0 0
y dy dx 2 x 1
2 2
0
y
2
4 x 2
0
0
dx dy
sin( x y) dx dy
0 0
x y dy dx
7.
4.
e
6.
x3
0
1 2
3.
dy dx
0 x
sin x y cos x dy dx
2
y2
8.
2
0
cos x y sin x dy dx 0
4/2/2016
21
Hitung
e
x2 y2
dA , D={(x,y)|x2+y24}
D
Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk diselesaikan. Sistem Koordinat Polar Hubungan Kartesius – Polar x = r cos x2+y2=r2 y = r sin 2 2 r x y = tan-1(y/x)
y
r
P(r,)
x
=0 (sumbu polar)
4/2/2016
22
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang polar D D={(r, )| a r b, }
f ( x, y) dA ? D
Ak r=a
Ak
= r=b
D
rk-1
=
Sumbu Polar/Kutub
rk
Pandang satu partisi persegi panjang polar Ak Luas juring lingkaran dengan sudut pusat adalah ½ r2
Ak = ½ rk2 - ½ rk-12 = ½ (rk2 - rk-12) = ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1) = r r
Jika |P| 0, maka dA = r dr d (|P| panjang diagonal Ak) 4/2/2016
23
Sehingga
f ( x, y) dA f (r cos , r sin ) r dr d Dk
Dp
Contoh:
1. Hitung
e
x2 y2
dA
, D={(x,y)|x2+y24}
D
2. Hitung
y dA D
, D adalah daerah di kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4 dan di luar x2+y2=1
4/2/2016
24
1.
e
x2 y 2
dA dengan D = {(x,y)| x2+y2 4}
D
Jawab. D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r,)| 0 r 2, 0 2} y Sehingga 2 x e D
2
y
2
2 2
dA
r e r dr d 2
0 0
1 r2 e d 2 0 0 2 1 4 1 e d 2 0 2 e 4 1 2
2
D
4/2/2016
r 2
x
25
2.
y dA D
dengan D adalah persegipanjang polar di kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4 di luar x2+y2=1
D = {(r,)| 1 r 2, 0 /2} Sehingga
r dA
/2 2
D
r sin r dr d
1 3 r sin d 3 1
0 1 /2
0
2
y
D r 1 2
x
/2
1 8 1 sin d 3 0 7 7 /2 cos 0 3 3
4/2/2016
26
1
1 x 2
1. Hitung
0
2. Hitung
0
1
1 y 2
0
0
4 x 2 y 2 dy dx
2 2 sin( x y ) dx dy
3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9 dengan menggunakan koordinat polar/kutub.
4/2/2016
27
1. D={(r, )| 1() r 2(), } 2. D={(r, )| a r b, 1(r) 2(r)} =2(r) r=b
= r=2()
r=1()
D
D =
Sumbu Polar
r=a
=1(r)
Sumbu Polar
4/2/2016
28
1
Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1
D 1
2
Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1 x2 – 2x + 1 + y2 = 1 x2 + y2 = 2x r2 = 2r cos r2 – 2r cos =0 r (r – 2 cos )=0 r = 0 atau r = 2 cos Untuk batas (dari gambar) =– /2 = /2 Sehingga, D={(r, )| 0 r 2 cos ,– /2 /2} 4/2/2016
29
y
Batas x: x 1 x 2
=/4
Batas y: y 0 y
D 1
2
x
2x x2
y 2 2x x2 x2 2x y 2 0 2 x 1 y 2 1
ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1
Untuk batas r dihitung mulai x=1 r cos = 1 hingga r = 2 cos
r = sec
Untuk batas (dari gambar) =0 = /4 Sehingga D dalam koordinat polarnya adalah D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4} 4/2/2016
30
2
Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1
1
Jadi, x2 + (y – 1)2 = 1 x2 + y2 – 2y + 1 = 1 x2 + y2 = 2y r2 = 2r sin r2 – 2r sin =0 r (r – 2 sin )=0 r = 0 atau r = 2 sin
1
Untuk batas (dari gambar) =0 = Sehingga, D={(r, )| 0 r 2 sin ,0 } 4/2/2016
31
1
D
1
x=0 x=1 y=0 y=x Untuk batas r x=1
r cos = 1
r = sec
Untuk batas (dari gambar) =0 = /4 Sehingga koordinat polarnya adalah
D={(r, )| 0 r sec ,0 /4}
4/2/2016
32
1. Hitung
2
2 x x2
1
1 x y 2
0
2
dydx
Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y: x=1 x=2 y = 0 y = 2x x 2 x2 + y2 – 2x = 0 (x – 1)2 + y2 = 1 ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1 y D dalam koordinat polarnya adalah =/4
y2 = 2x – x2
D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}
D 1
2
x 4/2/2016
33
Sehingga, 2
2 x x2
1
0
/ 4 2 cos
1 x y 2
2
dy dx
0 /4
sec
1 . r dr d r
d r 2 cos
sec
0
/4
2 cos sec d 0
2 sin ln sec tan 2 sin ln sec tan 2 sin 0 ln sec0 tan 0 /4
0
4 4 4 1 2. 2 ln 2 1 ln 1 2 ln 2
2 1
4/2/2016
34
1. Hitung
D
1 9 x2 y2
dA
, D daerah di kuadran I dalam lingkaran x 2 y 2 4 dan di luar lingkaran x 2 y 2 1
1 1
2. Hitung
2 x dy dx (dengan koordinat polar) 0 x
3. Hitung
D
4. Hitung
r dr d S
, D daerah kuadran I dari lingkaran x2+y2=1 antara y=0 dan y=x 2 2 , S daerah dalam lingkaran ( x 2) y 4 dan di luar x 2 y 2 4
4 x 2 y 2 dA
4/2/2016
35
1. Partisi balok B menjadi n bagian;
Bk
(x k , yk , zk )
z
B
B1, B2, …, Bk, …, Bn Definisikan |||| = diagonal ruang zk terpanjang dari B k xk 2. Ambil ( xk , yk , zk ) Bk 3. Bentuk jumlah Riemann n
f ( x , y , z )V
yk
k
k 1
k
k
k
4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah Riemann n
lim
0
y x
f ( x , y , z )V k 1
k
k
k
k
Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis n
f ( x, y, z)dV lim f ( x , y , z )V B
0
k 1
k
4/2/2016
k
k
k
37
vk = xk yk zk dV = dx dy dz Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:
f ( x, y, z )dV f ( x, y, z )dx dy dz B
B
4/2/2016
38
Hitung
2 x yz dV dengan B adalah balok dengan ukuran B
B = {(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2} Jawab. 2 1 2
2 x yz dV B
x 2 yz dx dy dz 1 0 1
2
1 yz x 3 dy dz 3 1 1 0 2 1
1
7 1 z y 2 dz 3 2 0 1 2 71 7 z2 6 2 1 4 2
4/2/2016
39
Hitung
2 x yz dV , Jika S benda padat sembarang S
Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1) B z
S
y x
(gb. 1)
4/2/2016
40
z=2(x,y)
z
S
a x
b
y=1(x)
z=1(x,y)
y
Sxy
y=2(x)
Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=1(x,y) dan z=2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka: b 2 ( x ) 2 ( x , y )
f ( x, y, z) dV f ( x, y, z) dz dy dx S
(gb. 2)
a
1 ( x)
1 ( x, y )
Catatan: f ( x, y, z ) dV S Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda pejal S 4/2/2016
41
1 2 x 2 2 x 2
Hitung Jawab :
2 xyz dz dy dx 0 0
0
2 x
1 2 x 2 2
0 0
2
1 2 xy 2 0 2 xyz dz dy dx 0 0 2 x dy dx 2 x
x
1 1 x 4 2 x 2 x 4 y 2 dx 4 2 0 0 2
1 2 x 3 x 5 x 7 dx 8 0 2 1 4 1 6 1 8 x x x 2 6 64 0 32 4 8 4 3 3 2
4/2/2016
42
/2 z y
Hitung
sin( x y z )dxdydz 0 0 0
4/2/2016
43
