KONSTRUKSI PERSEGI-PANJANG-AJAIB SKRIPSI

UNIVERSITAS INDONESIA

KONSTRUKSI PERSEGI-PANJANG-AJAIB

SKRIPSI

BILLY BIONDI 0606067313

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI 2011

Konstruksi persegi ..., Billy Biondi, FMIPA UI, 2011

UNIVERSITAS INDONESIA

KONSTRUKSI PERSEGI-PANJANG-AJAIB

SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains

BILLY BIONDI 0606067313

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI 2011




KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang dilimpahakn sehingga skripsi ini dapat selesai tepat waktu. Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk mencapai gelar sarjana Sains Jurusan Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia. Penulis sadar bahwa penyelesaian tugas akhir ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah berjasa dalam penulisan tugas akhir ini maupun selama penulis kuliah. Ucapan terima kasih terhatur kepada (1) Dr. Kiki Ariyanti S. selaku pembimbing I dan Dra. Nora Hariadi, M.Si selaku pembimbing II yang telah bersedia meluangkan waktu dan pikiran serta memberikan masukan-masukan untuk penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. (2)

Dra. Suarsih Utama selaku pembimbing akademis yang telah memberikan semangat dan motivasi sehingga penulis dapat melewati periode sulit selama perkuliahan.

(3) Yudi Satria, MT. selaku ketua departemen, Rahmi Rusin,S.Si, M.Sc.Tech selaku sekretaris departemen, dan Dr. Dian Lestari selaku koordinator pendidikan yang telah banyak membantu proses penyelesaian tugas akhir ini. (4) Seluruh dosen pada Departemen Matematika UI yang telah memberikan pengetahuan dalam bidang matematika. (5) Seluruh staf pada departemen Matematika UI atas bantuan yang telah diberikan pada penulis selama menjalani periode perkuliahan. (6) Rico Panggabean dan Tutty Rico sebagai orang tua yang selalu memberikan kasih sayang yang tulus kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan studi pada Departemen Matematika. (7) Wendy Adriani yang sedang menjalani kuliah di Dusseldorf, Jerman. Cepat pulang ya kak.

v


(8) Raisa Ornella yang sedang menjalani tugas akhir di departemen menejemen UI. Terima kasih atas segala semangat yang ditularkan sehingga penulis merasa tertantang untuk mengerjakan skripsi dengan lebih serius. (9) Maria Cherish Nathasya Lumban Tobing yang telah meraih gelar Sarjana Sains. Terima kasih atas segala hal yang akan selalu penulis kenang. (10) Rita Yuliana, Lidya Christie Caroline, Yuridunis Saidah, dan Shafira Ramadhan atas seluruh kenangan manis selama perkuliahan, terutama pada foto kenangan ber-

saat kegiatan Ekskursi dan Wisata Kawah Putih

tahun ajaran 2007-2008. Tanpa bantuan anda semua, penulis tidak akan mengerti arti sahabat. (11) Muhardani, Teguh Setriono, Putri Yuli, Merysa Amanda, Rendy Ahmad, Budyono Saputro, Try Sutrisno, Sutisna, Rama Sukaton, Yosep Pangky, Kristina Intan, Roni Tua, Nur Ali dan Dhanardi Riansyah yang telah berjuang bersama selama penyusunan skripsi ini. (12) Seluruh teman-teman angkatan 2006 yang telah memberikan kesan yang sangat mendalam selama penulis menjalani perkuliahan. (13) Seluruh teman-teman departemen Matematika UI yang belum lulus maupun yang sedang menjalani skripsi. Semoga teman-teman semua bisa meraih impian untuk menjadi seorang sarjana matematika seperti penulis.

Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Akhir kata, penulis mohon maaf jika terdapat kesalahan atau kekurangan dalam skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.

Penulis 2011

vi



ABSTRAK

Nama

: Billy Biondi

Program Studi : Matematika Judul

: Konstruksi Persegi-panjang-ajaib

Misalkan terdapat suatu matriks

berukuran

. Maka matriks

dikatakan

sebagai persegi-panjang-ajaib jika nilai penjumlahan dari setiap elemen yang berada pada kolom yang sama adalah

dan nilai penjumlahan dari setiap elemen

yang berada pada baris yang sama ialah , dengan entri-entri dari matriks himpunan bilangan berurut

ialah

. Dalam skripsi ini diberikan metode

untuk mengkonstruksi persegi-panjang-ajaib untuk

ganjil menggunakan

metode blok-pembangun dan metode permutasi-himpunan, dan

genap

menggunakan aturan Kronecker.

Kata Kunci

: Persegi-panjang-ajaib, konstruksi persegi-panjang-ajaib, blok-

pembangun, permutasi-himpunan, aturan Kronecker. xii+83 halaman

; 6 gambar; 15 tabel

Daftar Pustaka

: 10 (1988-2011)

viii


ABSTRACT

Name

: Billy Biondi

Study Program : Mathematics Title

Let

: Construction of Magic-rectangle

a matrix with orde

in the same column equal to to , where each entries of

.

is a magic-rectangle if the sum of every entry

and the sum of every entry in the same row equal is a distinguish consecutive number

This skripsi gives some methods to construct a magic-rectangle for as odd number using building blocks and set permutation method, and

. with as

even number using Kronecker rule.

Keywords

:Magic-rectangle, construction of magic-rectangle, building block,

set permutation, Kronecker rule. xii+83 pages ; 6 pictures; 15 tables Bibliography : 10 (1988-2011)

ix


DAFTAR ISI

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv KATA PENGANTAR ............................................................................................ v HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ............................................................. vii ABSTRAK ........................................................................................................... viii ABSTRACT ........................................................................................................... ix DAFTAR ISI ........................................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. xi DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xii BAB 1 PENDAHULUAN .................................................................................... 1 1.1. Latar Belakang .......................................................................................... 1 1.2. Perumusan Masalah dan Ruang Lingkup ................................................. 3 1.3. Tujuan Penelitian ...................................................................................... 4 1.4. Metode Penulisan yang digunakan ........................................................... 4 1.5. Sistematika Penulisan ............................................................................... 4 BAB 2 LANDASAN TEORI ................................................................................. 5 2.1. Persegi-ajaib .............................................................................................. 5 2.2. Permutasi himpunan.................................................................................. 6 2.3. Aturan Kronecker pada matriks ................................................................ 6 BAB 3 KONSTRUKSI PERSEGI-PANJANG-AJAIB ......................................... 9 3.1. Persegi-panjang-ajaib berukuran dengan dan bilangan ganjil ......................................................................................................... 9 3.1.1 Metode Blok-pembangun ................................................................ 9 3.1.2 Metode Permutasi-himpunan ......................................................... 35 3.2. Persegi-panjang-ajaib berukuran dengan dan bilangan genap ................................................................................................................. 46 BAB 4 KESIMPULAN ....................................................................................... 85 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 86

x


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Gambar 1.2.a Gambar 1.2.b

Kura-kura Loh-Shu ....................................................................... 1 Bentuk pola pada tempurung kura-kura Loh-Shu ......................... 2 Representasi bilangan pada Loh-Shu ............................................ 2

Gambar 2.1 Gambar 2.5 Gambar 2.6

Contoh dari persegi-ajaib berukuran ................................... 5 Contoh mengenai matriks ............................................................. 6 Contoh invers permutasi ............................................................... 6

xi

Universitas Indonesia


12

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1

Tabel 3.9 Tabel 3.10 Tabel 3.11

Nilai penjumlahan dari setiap kolom yang terdapat pada blokpembangun , , dan ................................................. 16 Nilai penjumlahan dari setiap baris yang terdapat pada blokpembangun , dan .................................................. 17 Nilai penjumlahan dari setiap baris yang terdapat pada blokpembangun ................................................................................ 18 Nilai penjumlahan dari setiap kolom yang terdapat pada blokpembangun dan ........................................ 26 Nilai penjumlahan dari setiap elemen yang terdapat pada baris yang sama pada blok-pembangun dan ..... 28 Nilai penjumlahan dari blok-pembangun untuk kasus dan ................................................. 29 Nilai dari dan .............................................. 30 Nilai dan setelah menukar nilai dari untuk kasus yang bersesuaian ..................................................... ..31 Aturan penukaran untuk kasus yang ada........................................36 Penukaran tambahan untuk suatu bilangan bulat ........................37 Representasi dari elemen pada matriks ......................................40

Tabel 3.12

Representasi elemen pada

Tabel 3.2 Tabel 3.3 Tabel 3.4 Tabel 3.5 Tabel 3.6 Tabel 3.7 Tabel 3.8

untuk

dan

........................................................................41 Tabel 3.13 Tabel 3.14 Tabel 3.15

Nilai penjumlahan dari kesepuluh kolom utama............................61 Representasi nilai penjumlahan dari kedelapan kolom utama..............................................................................................69 Nilai penjumlahan kedelapan kolom utama...................................76



BAB 1 PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Sejak jaman dahulu kala, konfigurasi-ajaib dari bilangan bulat telah

menarik perhatian para ahli matematika. Konfigurasi-ajaib meliputi persegi-ajaib, persegi-panjang-ajaib, kubus-ajaib, dan lain sebagainya. Namun, yang paling diketahui dan paling menarik dari konfigurasi-ajaib ialah persegi-ajaib. Sejarah mencatat bahwa persegi-ajaib pertama kali ditemukan pada tahun 2800 SM. Mitologi Cina mengatakan bahwa kaisar Yu menemukan seekor kurakura dengan pola pada tempurung kura-kura tersebut saat sedang berjalan sepanjang sungai kuning (Yellow River). Kaisar Yu menamai diagram unik ini sebagai Loh-Shu,sedangkan kura-kura tersebut diberi nama kura-kura Loh-Shu (Anderson,2001).

Gambar 1.1 Kura-kura Loh-Shu

Persegi-ajaib pertama kali tercatat pada Gulungan Surat dari Sungai Loh (Scroll of the River Loh) oleh Fuh-Hi (Farrar, 1997 & Grogono, 2004). Gulungan surat tersebut ialah suatu persegi-ajaib berukuran 3x3 yang berisikan simbol, bukan bilangan (lihat gambar 1.2). Setiap jumlah dari titik pada setiap simbol merepresentasikan suatu ketentuan (lihat gambar 1.2). Bilangan genap direpresentasikan sebagai asas-asas wanita (Yin) dan bilangan ganjil sebagai asasasas pria (Yang). Bilangan 5, yang terletak ditengah, merupakan Bumi, yang 1



2

dikelilingi 4 elemen lain: besi (4 dan 9), api (2 dan 7), air (1 dan 6), dan kayu (3 dan 8) (Gardner, 1988).

(a)

(b)

Gambar 1.2 (a) Bentuk pola pada tempurung kura-kura Loh-Shu, dan (b) representasi bilangan pada Loh-Shu.

Selain itu, terdapat pula penulisan Yunani yang berelasi dengan persegiajaib yang berasal dari tahun 1300 (Farrar, 1997). Diperkirakan pula, Cina memperkenalkan persegi-ajaib kedalam kebudayaan India, sehingga persegi-ajaib berukuran 4x4 dapat ditemukan di India (Swaney, 2000). Di India, persegi-ajaib tidak hanya digunakan pada konteks matematika tradisional, tetapi juga pada aplikasi lain seperti pada campuran untuk membuat parfum dan juga pada bidang kedokteran, dengan persegi-ajaib berukuran

muncul sebagai suatu alat

untuk mengurangi tingkat kelahiran (Anderson, 2001). Ahli matematika dari Arab telah sadar akan keberadaan dari persegi-ajaib sejak abad ke-4 SM. Seringkali para ahli matematika tersebut menghubungkan persegi-ajaib dalam ilmu perbintangan dan beragam prediksi. Persegi-ajaib yang ditemukan oleh ahli matematika tersebut ialah persegi-ajaib dengan ukuran yang lebih besar dan para ahli matematika tersebut menyusun suatu daftar dari persegiajaib sampai berukuran

. Pada tahun 1300-an, seorang

Byzantin,Manual Moschopoulos, menulis suatu buku yang berdasarkan pada pencarian oleh Al-Buni,seorang matematikawan Arab, tentang persegi-ajaib. Moschopoulos juga merupakan ahli matematika yang memperkenalkan persegiajaib ke Eropa, dimana persegi-ajaib tersebut dihubungkan dengan divinasi, Universitas Indonesia


3

alkimis, dan astrologi. Sejak saat itu, persegi-ajaib telah memiliki hubungan antara planet-planet dan matahari, seni, dan agama. Pada masa lampau, persegi-ajaib merupakan hal yang penting pada kebudayaan Afrika. Persegi-ajaib tersebut memegang peranan penting pada agama di Afrika dan seringkali digoreskan pada topeng-topeng, pakaian-pakaian, dan artefak keagamaan dan juga memiliki pengaruh pada bentuk rumah dan bangunan (Anderson, 2001). Persegi-ajaib berukuran

ialah suatu persegi berukuran

entrinya ialah susunan dari

yang

, dimana setiap bilangan muncul sekali,

dengan penjumlahan elemen dari setiap baris dan penjumlahan elemen dari setiap kolom akan memiliki nilai yang sama (Wallis,1999). Para ahli matematika juga telah membuat berbagai pengembangan dari persegi-ajaib, antara lain lingkaran-ajaib yang ditemukan oleh Yang Hui pada tahun 1275, segitiga-ajaib dan persegi-enam-ajaib yang ditemukan oleh Frenicle pada tahun 1640, kubus-ajaib yang ditemukan oleh Fermat pada tahun 1640, persegi-pan-ajaib yang ditemukan oleh Henry Dudeley pada tahun 1917, persegialfa-ajaib oleh Sallows pada tahun 1986, dan juga persegi-panjang-ajaib yang ditemukan oleh TR. Hagedorn pada tahun 1999 (Magic Rectangle s Revisited, 1999, halaman 65-72). Suatu persegi-panjang-ajaib berukuran persegi panjang dengan jumlah baris yaitu

didefinisikan sebagai

dan jumlah kolom yaitu , dimana

penjumlahan elemen dari setiap baris akan memiliki nilai yang sama (misalkan ), dan penjumlahan elemen dari setiap kolom akan memiliki nilai yang sama (misalkan ) (Wallis,1999). Suatu persegi-panjang-ajaib dikatakan normal jika persegi-panjang tersebut terdiri dari bilangan yang berurutan, yaitu

,

dan disebut tidak-normal jika bilangan tersebut tidak berurutan (sumber: http://homepage2.nifty.com/googol/magcube/en/rectangles.htm).

1.2

Perumusan Masalah dan Ruang Lingkup Perumusan masalah dari skripsi ini adalah bagaimana konstruksi

pembentukan dari persegi-panjang-ajaib. Universitas Indonesia


4

Ruang lingkup dari masalah yang dibahas pada skripsi ini adalah persegipanjang ajaib yang bersifat normal.

1.3

Tujuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah, penulisan skripsi ini bertujuan untuk

mengkaji beberapa konstruksi dari persegi-panjang-ajaib.

1.4

Metode Penulisan yang digunakan Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah studi literatur.

1.5

Sistematika Penulisan Skripsi ini terbagi menjadi empat bab. Pada Bab 2 diberikan teori dasar

persegi-panjang-ajaib dan penjelasan tentang aturan-aturan dasar yang mendukung konstruksi persegi-panjang-ajaib. Pada Bab 3 diberikan konstruksi persegi-panjang-ajaib. Bab 4 merupakan kesimpulan yang memberikan jawaban dari pencapaian tujuan penelitian.



BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini, diberikan landasan teori yang akan digunakan untuk pembahasan dalam skripsi, yaitu mengenai teori pada persegi-panjang-ajaib, permutasihimpunan, dan aturan Kronecker.

2.1

Persegi-ajaib Persegi-ajaib merupakan suatu konfigurasi-ajaib yang paling terkenal pada

bidang matematika. Suatu persegi-ajaib dengan sisi

ialah suatu array berukuran

yang entri-entri dari array tersebut merupakan suatu susunan dari bilangan bulat

, dimana setiap elemen pada setiap baris, setiap kolom maupun

diagonal-utama dan diagonal lainnya akan memiliki nilai penjumlahan yang sama (Wallis, 2001). Gambar 2.1 memberikan contoh dari persegi-ajaib berukuran .  1 15 8 10    12 6 13 3  14 4 11 5     7 9 2 16 

Gambar 2.1 Contoh dari persegi-ajaib berukuran

Pada Gambar 2.1, terlihat bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen yang berada pada kolom yang sama maupun baris yang sama adalah 34. Terlihat pula bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen yang berada pada diagonalutama maupun diagonal lainnya juga akan berjumlah 34. Dengan menggunakan ide yang serupa, persegi-ajaib dapat dikembangkan menjadi konfigurasi yang lain, seperti persegi-panjang-ajaib dan sebagainya.



6

2.2

Permutasi-Himpunan Dalam kombinatorial, suatu permutasi dari suatu himpunan

elemen ialah suatu daftar dari elemen dari himpunan

dengan

berdasarkan suatu urutan,

dimana setiap elemen muncul tepat satu kali. Hal ini bisa didefinisikan secara formal sebagai pemetaan bijeksi dari himpunan

ke himpunan . Lebih

lanjut, karena komposisi dari 2 fungsi bijektif akan selalu memberikan fungsi bijektif, maka produk dari dua permutasi tersebut juga merupakan suatu permutasi. Selain itu, karena komposisi fungsi bersifat asosiatif, maka operasi produk pada permutasi juga bersifat asosiatif. Karena pemetaan bijektif memiliki invers, begitu pula dengan permutasi. Pada notasi matriks, invers dapat diperoleh dengan menukar 2 baris, dan kemudian mengurutkan kolom – kolom yang ada. Permutasi dapat ditulis dalam notasi matriks.Gambar 2.2 memberikan contoh notasi matriks

 1 2 3 4 5    2 5 4 3 1 Gambar 2.2 Contoh penulisan permutasi dalam matriks Gambar 2.3 memberi contoh untuk invers permutasi pada Gambar 2.2

 2 5 4 3 1 1 2 3 4 5     1 2 3 4 5 5 1 4 3 2 Gambar 2.3 Contoh invers permutasi

2.3

Aturan Kronecker pada Matriks Dalam matematika, produk Kronecker, yang dinotasikan dengan

, ialah

suatu operasi pada dua matriks dengan ukuran yang belum tentu sama, yang menghasilkan suatu matriks baru. Misalkan terdapat suatu matriks berukuran

berukuran

dan matriks

, yaitu Universitas Indonesia


7

 a1,1  a2,1 A    ai ,1

a1,2 a2,2 ai ,2

maka produk Kronecker dari

a1, j   b1,1 b1,2   a2, j   b2,1 b2,2  dan B     ai , j   bk ,1 bk ,2

b1, m   b2, m    bk ,m 

ialah matriks berukuran

,

yaitu

  b1,1    a1,1   b   k ,1 A B      b1,1 a   i ,1    bk ,1  

b1,m    bk ,m 

 b1,1  a1, j  b  k ,1

b1,m    bk ,m 

 b1,1  ai , j  b  k ,1

b1, m     bk ,m      b1, m     bk ,m  



BAB 3 KONSTRUKSI PERSEGI-PANJANG-AJAIB

Pada bab ini, akan diberikan konstruksi persegi-panjang-ajaib berukuran , dengan dua kasus, yaitu untuk

dengan

ganjil, dan

3.1. Persegi-panjang-ajaib Berukuran

dengan

dan

,

genap.

Bilangan

Ganjil Pada bagian ini, konstruksi persegi-panjang-ajaib untuk dibatasi hanya untuk

dengan

dan

ganjil akan

. Ada dua jenis konstruksi yang akan

dibahas, yaitu dengan menggunakan metode blok-pembangun dan metode pemutasi-himpunan. 3.1.1

Metode blok-pembangun Pandang suatu persegi-panjang-ajaib berukuran

ganjil.

Teorema 3.1 (Wallis, 2001) Terdapat suatu persegi-panjang-ajaib

dimana

ganjil.

Bukti Misalkan

dan

ialah blok-pembangun berupa matriks berukuran

, yaitu

i 1   1 C  i   (cij )(i )    3n  1  i 2  3n  2i 

n 1 i

  1  3n  1  i  dan 2  2n  2i  2n  2 j   3n  2 j   1 1 D  j    dij  ( j )    3n  1  j  3n  1  j  2 2   j 1 n  1  j  



10

Pembuktian dari teorema ini akan dibagi menjadi 2 kasus, yaitu untuk dan

.

Secara garis besar, ide dari pembuktian teorema ini ialah dengan mendefinisikan suatu matriks berukuran kasus pertama, dan berukuran

sebagai blok-pembangun untuk

sebagai blok-pembangun untuk kasus kedua.

Kemudian, dengan aturan tertentu, blok-pembangun tersebut akan digabungkan dengan blok-pembangun

dan

. Setelah itu, akan dilihat bahwa

penggabungan tersebut menghasilkan suatu persegi-panjang yang memiliki sifat bahwa dimana setiap elemen yang terdapat pada persegi-panjang tersebut berbeda satu sama lain, bilangan pada

muncul tepat satu kali, dan

penjumlahan dari setiap elemen pada baris maupun kolom yang sama akan memberikan nilai yang sama, sehingga dapat disimpulkan bahwa persegi-panjang tersebut ialah persegi-panjang-ajaib. Pertama, akan diberikan formula pembentukan persegi-panjang-ajaib untuk kasus I yaitu Misalkan

. adalah blok-pembangun berupa matriks berukuran

,

yaitu

Bodd

1  1 2n  n  3   2   1   3n  n  1 n  1   2    1  3n  1 2n  1 3n  1  2 

Maka persegi-panjang menggabungkan dan

berukuran

diperoleh dengan

buah blok-pembangun

dengan

buah blok-pembangun

dengan

,

yaitu  A   Bodd 

C 1

1  C   n  5  4 

1  D   n  3   2 

1  D   n  1  4 



11

Selanjutnya, akan diberikan formula pembentukan persegi-panjang-ajaib untuk kasus II, yaitu

.

Pada kasus II, dibutuhkan suatu nilai dari

ialah

atau

Definisikan matriks

sedemikian sehingga nilai

. sebagai blok-pembangun bernama

dan

yaitu

Beven

1  1 2n  2   n  3   3n  2  2     1 1   3n n  1  dan D 1    3n  1  1  3n  1  1  2 2  1    2 n   3n  1 3n  1    2  

Kemudian bentuk suatu matriks F yang dipilih berdasarkan nilai dari . Untuk

, misalkan

h 1   1 F    3n  1  h 2  3n  2h  Untuk

1  n  1 2 2n

2n  2h   1  n  1  h  2  n  1  h 

, misalkan

h 1   1 F    3n  1  h 2  3n  2h  Untuk

2n  1

2n 1  n  1 2 2n  1

2n  2h   1 n  1  h    2  n  1  h 

, misalkan

 3n  2h  1 F    3n  1  h 2  h 1 

2n  1 1  n  1 2 2n

n 1 h   1  n  1  h  2  2n  2h 



12

Maka persegi-panjang dengan

diperoleh dengan menggabungkan

buah blok-pembangun

buah blok-pembangun

, , dan

dimana

dan

dengan

,

yaitu  A   Beven 

D 1

F

1  C   n  3  4 

C  2

1  D   n  3   2 

1  D   n  1  4 

Selanjutnya, akan ditunjukan bahwa persegi-panjang yang dibentuk pada kasus I dan kasus II merupakan persegi-panjang-ajaib. Pada pembentukan persegi-panjang-ajaib tersebut, dibutuhkan 3 jenis blok-pembangun untuk

dan 4 jenis blok-pembangun untuk

. Dengan demikian, pembuktian akan dilakukan dengan cara menunjukkan bahwa penggabungan dari blok-pembangun tersebut akan membentuk persegi-panjang-ajaib. Kasus I. Untuk

.

Pembuktian pada kasus I dibagi menjadi 4 bagian, yaitu pembuktian bahwa setiap elemen yang terdapat pada blok-pembangun saling berbeda satu sama lain, bilangan

dan

muncul tepat satu sekali,

nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah

dan nilai

penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama ialah Kasus I.a. Akan ditunjukkan bahwa setiap elemen yang terdapat pada blokpembangun

dan

saling berbeda satu sama lain.

Perhatikan blok-pembangun

, dengan

i 1   1 C  i   (cij )(i )    3n  1  i 2  3n  2i 

.

n 1 i

  1  3n  1  i  2  2n  2i  Universitas Indonesia


13

Sekarang, perhatikan blok-pembangun

dengan

.

 3n  2 j  1 D  j    dij  (i )    3n  1  j 2  j 1 

2n  2 j

  1 3 n  1  j    2  n  1  j 

Terakhir, perhatikan blok-pembangun

Bodd

1  1 2n  n  3   2   1   3n  n  1 n  1   2    1  3n  1 2n  1 3n  1  2  

Dengan mengurutkan elemen yang terbentuk pada pemaparan di atas, diperoleh



14



15

Maka, untuk dan

diperoleh

Dengan demikian, terbukti bahwa setiap elemen yang terdapat pada blokpembangun

dan


Kasus I.b. Akan ditunjukkan bahwa bilangan pada

muncul tepat satu

sekali. Berdasarkan pemaparan pada Kasus I.a, terlihat bahwa untuk

dan yang bersesuaian, diperoleh .

Kasus I.c. Akan ditunjukkan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama untuk blok-pembangun

maupun

akan memiliki nilai

yang sama yaitu . Untuk pembuktian berdasarkan kolom–kolom dari persegi-panjang yang telah dipaparkan sebelumnya, maka agar persegi-panjang tersebut memiliki sifat persegi-panjang-ajaib, nilai penjumlahan dari setiap elemen yang berada pada kolom yang sama harus berjumlah

Karena setiap kolom dari

dan

tidak saling bergantung,

maka dapat dibuktikan secara terpisah bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah .



16

Berikut ini akan diberikan tabel 3.1 yang merepresentasikan penjumlahan setiap elemen yang berada pada kolom yang sama, baik pada blok-pembangun dan

. Tabel 3.1 Nilai penjumlahan dari setiap kolom yang terdapat pada blokpembangun dan

Blokpembangun

kolom ke-

Formula

Nilai

1 2 3 1

2

1

2

Dengan demikian, terbukti bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama dari persegi-panjang yang dibentuk dari penggabungan blok-pembangun

dan

memiliki sifat persegi-panjang-ajaib.

Kasus I.d. Akan ditunjukkan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama pada blok-pembangun

maupun

akan memiliki nilai

yang sama yaitu . Agar persegi-panjang tersebut memiliki sifat persegi-panjang-ajaib, nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama harus berjumlah



17

Dengan demikian akan dibuktikan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama dari persegi panjang yang dibentuk dari penggabungan blok-pembangun

dan

ialah .

Untuk membuktikan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen yang terdapat pada baris yang sama pada persegi-panjang-ajaib yang terbentuk oleh penggabungan blok-pembangun

dan

, maka didefinisikan beberapa hal

berikut, yaitu  Bilangan

,

dan

berturut–turut merepresentasikan nilai

penjumlahan dari setiap elemen yang terdapat pada baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga dari blok-pembangun  Bilangan

berturut – turut sebagai nilai penjumlahan dari

dan

setiap elemen yang terdapat pada baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga blok-pembangun  Bilangan

berturut – turut sebagai nilai penjumlahan

dan

dari setiap elemen yang terdapat pada baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga dari blok-pembangun  Bilangan

dan

sebagai penjumlahan dari setiap elemen

yang terdapat pada baris yang sama pada matriks , yaitu berturut – turut ,

dan

.

Berikut ini diberikan Tabel 3.2 yang merupakan representasi dari penjumlahan setiap elemen yang berada pada baris yang sama pada blokpembangun

dan

. Tabel 3.2

Nilai penjumlahan dari setiap baris yang terdapat pada blokpembangun dan . Blokpembangun

Baris ke-

Formula

Nilai Universitas Indonesia


18

1 2 3 1

2

3

1

2

3

Dengan menggunakan hasil di atas, diperoleh nilai dari

dan

, yang direpresentasikan oleh tabel 3.3 berikut Tabel 3.3 Nilai penjumlahan dari setiap baris yang terdapat pada blok-pembangun Baris ke

Formula

Nilai

1

2

3



19

Berdasarkan tabel 3.3, terlihat bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama dari persegi-panjang yang terbentuk dari penggabungan blok-pembangun

dan

merupakan penjumlahan-ajaib.

Dengan demikian, berdasarkan pemaparan pada kasus I.a, kasus I.b, kasus I.c, dan kasus I.d, dapat disimpulkan bahwa persegi-panjang

yang terbentuk

pada kasus I merupakan persegi-panjang-ajaib. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa persegi-panjang pada kasus II yaitu

yang terbentuk

merupakan persegi-panjang-ajaib.

Kasus II. Untuk Pembuktian ini akan dibagi 4 bagian, yaitu pembuktian bahwa setiap elemen yang terdapat pada blok-pembangun

dan

berbeda satu sama lain, bilangan pada

saling

muncul tepat satu sekali, nilai

penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah

dan nilai

penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama ialah Kasus II.a. Akan ditunjukkan bahwa setiap elemen yang terdapat pada blokpembangun

dan

Blok pembangun

saling berbeda satu sama lain. dan

sama dengan kasus I dengan

menggunakan konstruksi yang .

dan

Selain itu, pandang pula

Beven

1  1  n  3   2     3n n 1  1    3n  1 3n  1  2 

dan juga



20

2n  2   3n  2   1 1 D 1    3n  1  1 3 n  1  1    2 2    2 n   Untuk

blok-pembangun

h 1   1 F    3n  1  h 2  3n  2h  Karena pembangun

ialah

2n  1 1  n  1 2 2n

2n  2h

  1  3n  1  h  2  n  1  h  , sehingga blok-

maka diperoleh

menjadi

 1 2n  1  3  n  2  1 1 F   11n  1  n  1 6 2   1  7n  2  2n 3 Untuk

blok-pembangun

h 1   1 F    3n  1  h 2  3n  2h  Karena

ialah

2n  2h

2n 1  n  1 2 2n  1

maka diperoleh

1 8n  2   3  1  7n  5   6  1  2n  4   3 

  1  3n  1  h  2  n  1  h 

, sehingga blok-pembangun

menjadi

 1 2n  3  n  3  1 1 F   11n  3  n  1 6 2  7n  2n  1 3 

   1  7n  3  6  1  2n  3  3  8n 3



21

Untuk

blok-pembangun

 3n  2h  1 F    3n  1  h 2  h 1  karena

ialah

2n  1

n 1 h

1  n  1 2 2n

  1  3n  1  h  2  2n  2h  , sehingga blok-

maka diperoleh

pembangun menjadi

2  1 2n  1  n  1   3  8n  1 3   1 1 1  F  11n  5   n  1  7n  1  6 2 6   1 1   n  4  2n 8 n  1    3  3  Terdapat syarat bahwa

. Andaikan

 3n  2h  1 D  h     3n  1  h 2  h 1 

didapat

2n  2h

  1 3 n  1  h    2  n  1  j 

Akan ditunjukan bahwa baik untuk , elemen pada blok-pembangun

maupun sudah terdapat pada blok-

pembangun . Pertama, untuk

diperoleh

1  3  7n  2   1  1 D   n  1   11n  1 3  6   1  n  2   3 Entri – entri di

, sehingga

1 8n  2   3  1  7n  5  6  1  2n  4   3 

sudah terdapat dalam Universitas Indonesia


22

 1 2n  1  3  n  2  1 1 F   11n  1  n  1 6 2   1  7n  2  2n 3 Selanjutnya, untuk

diperoleh

7n   3  1 n D     11n  3 3 6   1  n  3  3 Entri – entri di

, sehingga

   1  7n  3  6  1  2n  3  3  8n 3

sudah terdapat dalam

 1 2n  3  n  3  1 1 F   11n  3  n  1 6 2  7n  2n  1 3  Terakhir, untuk

1 8n  2   3  1  7n  5   6  1  2n  4   3 

   1  7n  3  6  1  2n  3  3  8n 3

diperoleh

, sehingga

1 1   3  7 n  2  3  8n  2     1 1  1 D   n  1   11n  5   7n  1   3 6 6     2  1  n  4   n  1  3 3   Entri – entri di

sudah terdapat dalam



23

2 1 2n  1  n  1   3  7n  2  3   1 1 1  F  11n  5   n  1  7n  1  6 2 6   1  1  n  4  2n 8n  2   3  3  Hasil diatas kontradiksi dengan persyaratan blok-pembangun harus berbeda. Sehingga haruslah

.

Karena untuk kasus entri-entri dari

dan

maupun

,

memiliki nilai yang sama, maka tanpa mengurangi keumuman,

akan ditunjukan untuk

.

Dengan mengurutkan elemen yang terbentuk pada pemaparan diatas, diperoleh



24

. Universitas Indonesia


25

Maka, baik untuk

maupun

dengan dan diperoleh

Dengan demikian, terbukti bahwa setiap elemen yang terdapat pada blokpembangun

dan


Kasus II.b. Akan ditunjukkan bahwa bilangan pada

muncul tepat satu sekali.

berdasarkan pemaparan pada kasus II.a, terlihat bahwa baik untuk maupun

dan

dengan

diperoleh

Kasus II.c. Akan ditunjukkan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama pada blok-pembangun

maupun

akan

memiliki nilai yang sama yaitu . Untuk pembuktian berdasarkan kolom–kolom dari persegi-panjang , maka nilai penjumlahan dari setiap elemen yang berada pada kolom yang sama harus berjumlah



26

Karena tiap–tiap kolom dari

dan

tidak saling

bergantung, maka dapat dibuktikan secara terpisah bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah . Berikut ini akan diberikan Tabel 3.4 yang merepresentasikan nilai penjumlahan dari elemen yang terdapat pada kolom yang sama pada blokpembangun

dan Tabel 3.4

Nilai penjumlahan dari elemen yang terdapat pada kolom yang sama pada blok-pembangun Blok-

Kolom

pembangun

ke-

dan Formula

Nilai

1 2

1

2

3

1 2

1

2



27

1

2

Dengan demikian, terbukti bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama dari persegi-panjang blok-pembangun

dan

yang dibentuk dari penggabungan membentuk sifat persegi-panjang-

ajaib. Kasus II.d. Akan ditunjukkan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama pada blok-pembangun

maupun

akan

memiliki nilai yang sama yaitu . Untuk membuktikan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen yang terdapat pada baris yang sama pada persegi-panjang yang terbentuk oleh penggabungan blok-pembangun

dan

, maka

didefinisikan beberapa hal berikut,yaitu  Bilangan

,


dan


dan

berturut – turut sebagai nilai penjumlahan dari setiap

elemen yang terdapat pada baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga dari blok-pembangun ;  Bilangan


dan

dari setiap elemen yang terdapat pada baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga dari blok-pembangun

;



28  Bilangan

berturut – turut sebagai nilai penjumlahan dari

dan

setiap elemen yang terdapat pada baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga dari blok-pembangun  Bilangan

; berturut – turut sebagai nilai penjumlahan

dan


; dan

dan

sebagai penjumlahan dari setiap elemen

yang terdapat pada baris yang sama, yaitu berturut – turut ,

dan .

Dengan demikian, diperoleh Tabel 3.5 yang merepresentasikan nilai penjumlahan dari setiap elemen yang terdapat pada baris yang sama pada blokpembangun

dan Tabel 3.5

Nilai penjumlahan dari setiap elemen yang terdapat pada baris yang sama pada blok-pembangun Blok-

Baris

pembangun

ke-

dan

Formula

Nilai

1 2 3 1 2 3 1 2



29

3 1

2

3

Selanjutnya, diberikan Tabel 3.6 yang memberikan nilai penjumlahan dari blok-pembangun

untuk kasus

dan

.

Tabel 3.6 Nilai penjumlahan dari blok-pembangun

untuk kasus

dan

kasus

Baris ke-

Formula

Nilai

1 2 3 1 2 3 1 2



30

3

Telah diketahui bahwa

Maka dengan bantuan tabel 3.5 dan tabel 3.6, diperoleh tabel 3.7 yang merepresentasikan nilai dari

, dan

.

Tabel 3.7 Nilai dari Kasus

Nilai dari

, dan

Formula

Nilai



31

Karena pada kasus diperoleh

diperoleh

, dan kasus

dengan mensubstitusikan nilai

diperoleh

, maka

untuk setiap kasus yang ada, akan diperoleh

Tabel 3.8 yang merepresentasikan nilai nilai dari

, kasus

, dan

setelah menukar

untuk kasus yang bersesuaian. Tabel 3.8

Nilai

, dan

setelah menukar nilai dari

untuk kasus yang

bersesuaian

Kasus

Nilai dari

Nilai

penukaran

Nilai akhir



32

Berdasarkan Tabel 3.8, terlihat bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama dari persegi-panjang

yang terbentuk dari

penggabungan blok-pembangun

dan

membentuk sifat

persegi-panjang-ajaib. Lebih lanjut, dapat dilihat bahwa konstruksi yang sudah dipaparkan pada kasus II akan menghasilkan persegi-panjang-ajaib. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa konstruksi yang sudah dipaparkan baik untuk kasus I maupun kasus II akan menghasilkan persegipanjang-ajaib. CONTOH Akan dibuat suatu persegi-panjang-ajaib berukuran , maka

. Karena

, sehingga

Bodd

1  1 2 13 13  3   2    1 26 8  1   3 13 13  1 13  1    39 7 14   2    20 27 38  1   3 13  1 2 13  1 3 13  1  2 

Lebih lanjut, karena pembangun

, dan dan

maka diperoleh blok, yaitu



33

 1  1 13  1  1   2 13    1 1    C 1   3 13  1  1 3 13  1  1    21 19   2   2   3 13  2 1   37 28  2 13  2 1       13  1   2     2  1    3 12  1 1   C  2     3 13  1   2  3 13  1   2     22 18   2   2   3 13  2  2    35 30  2 13  2 2        3 13  2  3  1 D  3    3 13  1   3 2   3  1 

2 13  2  3

   33 32  1   3 13  1   3    23 17     2  13  1   3   4 11 

2 13  2  4    3 13  2  4     31 34  1 1  D  4    3 13  1   4  3 13  1   4     24 16  2 2      5 10  4  1 13  1  4         2 13  2  5    3 13  2  5     29 36  1 1   D  5     3 13  1   5  3 13  1   5     25 15   2  2     6 9 5  1 13  1  5         Dengan demikian, persegi-panjang ajaib

diperoleh dengan

menggabungkan blok-pembangun

 1 26 8  A   39 7 14  20 27 38 

dan

2 13 21 19

3 12 22 18

33 32 23 17

31 34 24 16

37 28

35 30

4

5

11

10

, yaitu

29 36   25 15  6 9 

Dari entri-entri matriks di atas dapat terlihat bahwa hasil penjumlahan entri setiap baris ialah

dan hasil penjumlahan entri setiap kolom ialah

.



34

CONTOH Akan dibuat suatu persegi-panjang-ajaib berukuran , maka

. Karena

, sehingga diperoleh

Beven

1  1 15  3   1 9    2     3 15  15  1    45 16  1   23 44     3 15   1 3 15   1   2 

Kemudian, diperoleh matriks

, yaitu

1  15  3   3 15   2 1 2    43 32  1 1  D 1   3 15   1  1 3 15  1  1   24 22  2 2    2 15  1  1 15  1  1    

Karena untuk

berlaku

, pilih matriks F dengan ketentuan

, yaitu

5 1 2 15    1 1 F    3 15   1  5 15  1 2 2  3 15   2  5  2 15   1  lebih lanjut, karena diperoleh blok-pembangun

2 15   2  5 

   6 30 40  1   3 15   1  5    28 8 18    2     35 31 11  15  1  5 

, dan

dengan dan

, maka

, yaitu

2 1 15  1  2      3 14  1 1 C  2     3 15   1  2 3 15  1  2    25 21  2 2  41 34   3 15   2  2   2 15   2  2    



35

3 1 15  1  3      4 13  1 1   C  3    3 15   1  3 3 15   1  3    26 20   2 2     3 15   2  3   39 36  2 15  2 3       2 15   2  4    3 15   2  4     37 38  1 1   D  4     3 15   1  4 3 15   1  4    27 19   2   2     5 12  4  1 15  1  4   2 15   2  6    3 15   2  6     33 42  1 1   D  6     3 15   1  6 3 15   1  6    29 17   2   2     7 10  6  1 15  1  6   Dengan demikian, persegi-panjang-ajaib

diperoleh dengan

menggabungkan blok-pembangun

dan

,

yaitu 1 9  A   45 16  23 44 

6 30 40 28 8 18

43 32 24 22

3 14 25 21

4 13 26 20

37 38 27 19

35 31 11

2

41 34

39 36

5

15

12

33 42   29 17  7 10 



.

3.1.2

Metode permutasi-himpunan Pada subbagian ini akan dibahas mengenai pembentukan persegi-panjang-

ajaib berukuran

dengan

dan

Pertama, didefinisikan terlebih dahulu matriks

. sebagai berikut



36

n ' n ' 1 n ' 2 n ' 3 n 1 2 3

2 3 1  S   n ' n ' 1 n ' 2  n n2 n4  dimana

1

n 1

n3

n5

n   n ' 1 2 

.

Terlihat bahwa baris-baris dari matriks himpunan

merupakan permutasi dari

dan penjumlahan entri-entri kolom pada matriks

ialah

Selanjutnya, akan diberikan konstruksi untuk mendapatkan persegipanjang-ajaib

.

Teorema 3.1.2 (Barui, 2006) Terdapat persegi-panjang-ajaib

berukuran

dengan

. Bukti Definisikan matriks

dimana

,

, dengan S didefinisikan seperti di atas. Lakukan pertukaran entri-entri pada

seperti yang diberikan pada Tabel

3.9. Tabel 3.9 Aturan penukaran untuk kasus yang ada Kasus awal

Kasus tambahan

Penukaran dengan dengan dengan dengan dengan dengan Universitas Indonesia


37

dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan

Untuk persegi-panjang

dengan nilai

yang cukup besar, diperlukan

suatu penukaran tambahan. Oleh karena itu, didefinisikan suatu bilangan bulat dengan formula tertentu, sehingga diperoleh persegi-panjang-ajaib yang diinginkan. Tabel 3.10 memberikan penukaran yang dibutuhkan sesuai dengan formula dari

untuk kasus

dan

.

Tabel 3.10 Penukaran tambahan untuk suatu bilangan bulat kasus

Formula

Aturan penukaran (dengan

)

dengan dengan dengan



38

dengan dengan dengan dengan dengan

Pembuktian Teorema 3.2 akan dibagi menjadi 4 bagian, yaitu pembuktian bahwa setiap elemen yang terdapat pada

saling berbeda satu sama lain, setiap

bilangan yang terdapat pada himpunan

akan muncul tepat satu kali,

nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah

dan nilai

penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama ialah a. Akan ditunjukan bahwa setiap elemen yang terdapat pada

saling berbeda

satu sama lain. Misalkan

adalah sebagai berikut

2 1  S   n ' n ' 1  n n2 

n ' n ' 1 n 1 1

 1 2    n ' n ' 1  n n  2  1 1  2 2 3 3 

n 1 n   n ' 2 n ' 1 4 2 

n 1

n ' n ' 1 n 1 1 n 1 1 1  2 2 3 3 

1 1 2 2 3 3

4  1   3n ' 1 3n ' 2  3n 3n  6 

n 1 n     n ' 2 n ' 1  13n   *3  4 2  

3n ' 2 3n ' 1 3n  1 2 3

3n  3

3n  5 3n  2   3n ' 7 3n ' 4  12 6  Universitas Indonesia


39

Terlihat bahwa ketiga baris pada matriks

membentuk barisan-barisan,

yaitu

Maka terlihat bahwa irisan dari ketiga baris tersebut ialah , sehingga terbukti bahwa setiap bilangan pada

akan saling berbeda satu sama lain.

b. Setiap bilangan yang terdapat pada himpunan

akan muncul tepat

satu kali. Berdasarkan pemaparan pada butir a, terlihat bahwa gabungan dari ketiga baris tersebut merupakan himpunan

.

c. Nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah . Agar persegi-panjang

memiliki sifat persegi-panjang-ajaib, maka nilai

penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama harus bernilai

Definisikan

sebagai penjumlahan setiap elemen yang terdapat pada

kolom ke- . Maka, nilai dari

harus sama dengan , yaitu

. Perhatikan matriks

berikut

4  1   3n ' 1 3n ' 2  3n 3n  6 

3n ' 2 3n ' 1 3n  1 2 3

3n  3

3n  5 3n  2   3n ' 7 3n ' 4  12 6  Universitas Indonesia


40

Pada matriks di atas, terlihat bahwa elemen pada baris pertama, baris kedua, maupun baris ketiga akan membentuk dua barisan aritmatika, yaitu pada entri kolom pertamasampai entri kolom ke-

, dan entri kolom ke-

sampai entri kolom ke- . Berikut ini diberikan Tabel 3.11 yang merepresentasikan elemen pada dengan

dan

. Tabel 3.11

Representasi dari elemen pada matriks

Baris ke-

Kolom ke-

1

1

2

3

1

4

7

... ...

2

...

3

... 

Untuk kolom ke- dengan

15

9

3

, diperoleh

, dan , dan , dan Lebih lanjut



41

Berikut ini diberikan Tabel 3.12 yang merepresentasikan elemen pada dengan

dan

. Tabel 3.12

Representasi elemen pada

untuk

dan Kolom ke... ...

Baris ke-

1 ... 2 ...

3



18

Untuk kolom ke- dengan

12

6

, diperoleh , dan

, dan , dan Lebih lanjut



42

Dengan demikian, terbukti bahwa penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah . d.

Nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama ialah . Misalkan

dan

berturut – turut merepresentasikan

penjumlahan dari setiap elemen yang berada pada baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga. Karena baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga membentuk barisan aritmatika, maka

Dengan demikian , terlihat bahwa diperlukan suatu penukaran elemen pada baris pertama dengan elemen pada baris ketiga. Selanjutnya, akan ditunjukan bahwa pertukaran elemen yang dipaparkan akan memberikan persegi-panjang-ajaib yang diinginkan. Dengan mengunakan cara yang serupa dan tanpa mengurangi keumuman, akan dibuktikan bahwa untuk

dengan kasus

, maka

pertukaran elemen yang dipaparkan akan memberikan persegi-panjang-ajaib yang diinginkan. Berdasarkan matriks

terlihat bahwa



43

Nilai dari

ialah

Nilai dari

ialah

Nilai dari

ialah

Nilai dari

ialah

Lalu, dengan

dan

Nilai dari

ialah

Nilai dari

ialah

, terlihat pula bahwa

Nilai dari

ialah

Nilai dari

ialah

Nilai dari

ialah

Nilai dari

ialah

Nilai dari

ialah

Nilai dari

ialah

Dengan demikian, nilai penjumlahan elemen pada baris pertama menjadi



44

Dengan demikian , terlihat bahwa nilai penjumlahan dari elemen yang terdapat pada baris pertama akan berjumlah Lebih lanjut, nilai penjumlahan elemen pada baris ketiga menjadi

Dengan demikian, terlihat bahwa nilai penjumlahan dari elemen yang terdapat pada baris ketiga akan berjumlah Maka, terlihat bahwa setelah penukaran elemen pada baris pertama dan ketiga, maka penjumlahan dari setiap eleman yang berada pada baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga akan memenuhi sifat persegi-panjang-ajaib.



45

Berdasarkan pemaparan pada butir a, b, c, dan d, maka dapat disimpulkan bahwa persegi-panjang

akan membentuk persegi-panjang-ajaib yang

diinginkan. Sebagai contoh, misalkan ingin dibentuk persegi-panjang-ajaib berukuran . Menurut konstruksi yang sudah dipaparkan pada subbagian ini, diperoleh

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13    S   7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6  13 11 9 7 5 3 1 12 10 8 6 4 2    dan

 39 4 7 10 13 16 19 36 30 28 18 34 6    H   20 23 26 29 32 35 38 2 5 8 11 14 17   1 33 27 21 15 9 3 22 25 24 31 12 37    Maka, berdasarkan Teorema 3.2, pertukaran yang diperlukan ialah dengan

;

dengan

.

Karena

diperoleh

sehingga

maka diperlukan

pertukaran tambahan, yaitu dengan

;

dengan

;

dengan

.

dengan

;

dengan

;

dengan

.

dengan

;

dengan

;

dengan

.

dengan

;

dengan

;

dengan

.

Dengan demikian, diperoleh persegi-panjang-ajaib

berukuran

yang diinginkan, yaitu

 39 4 7 10 13 16 19 36 30 28 18 34 6    H   20 23 26 29 32 35 38 2 5 8 11 14 17   1 33 27 21 15 9 3 22 25 24 31 12 37    Universitas Indonesia


46



.

3.2.

Persegi-panjang-ajaib Berukuran

dengan

dan

Bilangan Genap

Pada bagian ini, akan dibahas mengenai pembentukan persegi-panjangajaib dengan jumlah baris

dan jumlah kolom , dimana

Untuk bilangan bulat positif

dan

dengan

, didefinisikan matriks

– matriks seperti berikut:

0 2  2 3 0 1  0 3 1 2 Qe    ; Qa    ; Qb   ; Q   3 1 1 0  3 2 3 0 2 1 0   q A     p  1 q

Matriks

1

2

q 1

q2

q 1   2q  1    pq  1

 p  1 q  1  p  1 q  2

juga dapat diekspresikan sebagai:

A  1p  s 'q  1'q  qs p dimana

merepresentasikan Produk-Kronecker,

baris berukuran

merepresentasikan vektor

yang berisi bilangan 1, dan

merupakan vektor baris berorder dengan elemen yang merupakan barisan bilangan dari 0 sampai Misalkan

.

merupakan matriks identitas dengan order dan

merupakan

matriks-persegi dengan order yang diberikan oleh dengan

lainnya Universitas Indonesia


47

Maka

Dan

Untuk

matriks

akan memiliki order

Selanjutnya didefinisikan matriks

dan

. sedemikian sehingga

penjumlahannya merupakan persegi-panjang-ajaib yang dibutuhkan. Misalkan

dan

merupakan matriks berukuran

merupakan matriks berukuran

Perlu dicatat bahwa ketika

,

yang diberikan oleh

yang diberikan oleh Untuk

ganjil

Untuk

genap

tereduksi menjadi

.

Teorema berikut akan memberikan formula persegi-panjang-ajaib yang akan dicari dengan menggunakan matriks – matriks

dan

yang sudah

dijelaskan sebelumnya. Teorema 3.2. (Barui, 2006) Misalkan

merupakan persegi-panjang-ajaib berukuran

maka

atau

,

.

Bukti Pembuktian Teorema 3.2. akan dibagi menjadi 2 bagian, yaitu untuk ganjil dan untuk

genap.

Pertama–tama, akan diberikan pembuktian untuk pembuktian ini, terdapat dua kasus yaitu

dan

ganjil. Pada . Universitas Indonesia


48

Kasus I untuk untuk

.

maka diperoleh

Telah diketahui bahwa

, sehingga diperoleh

1 2   0 1 2    0    0 0 1 3 4 5  1  3 4 5   0 X     0 1 0  1   0            1 0 0   3 p  3 3 p  2 3 p  1 3 p  3 3 p  2 3 p  1     

1 2   0 0 0   0     0 0   2 1 0   0  3 4 5   0 0 0      0 0 0   5 4 3                  3 p  3 3 p  2 3 p  1  0 0 0      0 0   3 p  1 3 p  2 3 p  3   0

1 2   0   1 0   2  3 4 5    5 4 3           3 p  3 3 p  2 3 p 1     3 p 1 3 p  2 3 p  3  Karena untuk

, maka dengan mensubstitusikan formula

ke dalam formula untuk , diperoleh



49

 0 1 2   1      1 0   2  1  3  1 4 5       5 4 3  1   Y  4  1 1      1 1 1 1 1 116                 3 p  3 3 p  2 3 p 1   1        3 p 1 3 p  2 3 p  3  1      2 p1

1 5 5 9 9  1    9 5 5 1 1  9   13 13 17 17 21 21    21 21 17 17 13 13          12 p  11 12 p  11 12 p  7 12 p  7 12 p  3 12 p  3     12 p  3 12 p  3 12 p  7 12 p  7 12 p  11 12 p  11 dengan dengan

dan

dengan

dan

, sehingga

1 5  9 9   1  5     9 5  1 1   9  5  13  17 13 17  21 21      21 21 17  17 13 13    dan Y2  Y1              12 p  11 12 p  11 12 p  7  12 p  7 12 p  3 12 p  3       12 p  3 12 p  3 12 p  7  12 p  7 12 p  11 12 p  11 Dengan mensubstitusikan formula

dan

ke dalam persamaan

, diperoleh



50

1 5 12 p  7 12 p  3 12 p  3   1   9 5 12 p  7 12 p  11 12 p  11   9  13 13 17 12 p  19 12 p  15 12 p  15    21 21 17 12 p  19 12 p  23 12 p  23   C        12 p  11 12 p  11 12 p  7 5 9 9    5 1 1  12 p  3 12 p  3 12 p  7   K P  I 2 Y2

Y1

Lebih lanjut, berdasarkan konstruksi di atas, diperoleh

R  BC 1 5 12 p  7 12 p  3 12 p  3   0  1    9 5 12 p  7 12 p  11 12 p  11   3  9  13 13 17 12 p  19 12 p  15 12 p  15   0    21 21 17 12 p  19 12 p  23 12 p  23   3  R           12 p  11 12 p  11 12 p  7  0 5 9 9    5 1 1  12 p  3 12 p  3 12 p  7  3

2 1 2 1

2 1 2 1

3 0 3 0

0 3 0 3

2 1

2 1

3 0

0 3

3 7 12 p  4 12 p  3 12 p  1   1   10 6 12 p  7 12 p  8 12 p  10   12  13 15 19 12 p  16 12 p  15 12 p  13    24 22 18 12 p  19 12 p  20 12 p  22          12 p  11 12 p  9 12 p  5 8 9 11    12 p  2 12 p  6 5 4 2  12 p  Dengan menggunakan persamaan di atas, akan dibuktikan empat hal berikut, yaitu bahwa setiap elemen yang terdapat pada lain, bilangan pada

saling berbeda satu sama

muncul tepat satu kali, nilai penjumlahan dari

setiap elemen pada kolom yang sama ialah

dan nilai penjumlahan dari setiap

elemen pada baris yang sama ialah Universitas Indonesia


2  1 2  1    2  1 

51

Kasus I.a. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa setiap elemen yang terdapat pada saling berbeda satu sama lain. Untuk

, maka dengan berdasarkan pemaparan sebelumnya, terlihat

bahwa kolom pada matriks

membentuk barisan, yaitu

Dengan demikian, terlihat bahwa irisan dari seluruh barisan diatas ialah , sehingga terbukti bahwa Setiap elemen yang terdapat pada

saling berbeda satu

sama lain.



52

Kasus I.b. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa bilangan pada

muncul

tepat satu kali. Berdasarkan pemaparan pada kasus I.a, diperoleh bahwa gabungan dari seluruh barisan tersebut ialah himpunan

.

Kasus I.c. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah Agar persegi-panjang

yang terbentuk merupakan persegi-panjang-ajaib,

maka nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama harus bernilai dengan

Pertama, didefinisikan

dan

berturut – turut sebagai

penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama pada Lebih lanjut, karena Didefinisikan pula

dan

dan .

maka diperoleh dan

.

berturut – turut merupakan

penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama pada

, dan

, maka

diperoleh



53

Misalkan yang sama pada

merupakan penjumlahan dari setiap elemen pada kolom maka

sehingga diperoleh

Berdasarkan penjelasan sebelumnya, diperoleh

Karena

dan

dimana

maka diperoleh

Dengan demikian, terbukti bahwa penjumlahan dari setiap elemen dari setiap kolom yang berada pada matriks

yang terbentuk berdasarkan konstruksi

diatas akan memiliki nilai yang sama yaitu Kasus I.d. Pada poin ini, akan ditunjukan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama ialah . Untuk

, diperoleh



54

Untuk

, diperoleh

Terlihat bahwa . Karena

dengan

dan

, diperoleh

Dengan demikian, terbukti bahwa penjumlahan dari setiap elemen dari setiap baris yang berada pada matriks


diatas akan memiliki nilai yang sama yaitu Berdasarkan pemaparan pada kasus I.a, kasus I.b, kasus I.c, dan kasus I.d, terbukti bahwa persegi-panjang yang terbentuk merupakan persegi-panjang-ajaib untuk

.

Kasus II yaitu

.

akan diuraikan mengenai konstruksi persegi-panjang-ajaib Karena

untuk

.

maka diperoleh

0 2 2 3 ' 0 1 2 3 0 2   B  1p   Qe Qa 1' q 3   Qb Qa  Qe   1p   1 q 3       3 1 1 0 3 2 1 0 3 1  2  2    



55

1    0 2 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 1       3 1 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0     1  p1 

 0 2 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3  1p   3 1 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0                 

 0 1 2 3 0 2  3 2 1 0 3 1  

2 q 6

 0 1 2 3 0 2  3 2 1 0 3 1  

2 q 6

0

2 2

3 0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3 0

3 0

1 1 2 2

0 3 3 0

2 1

1 2

0 3

3 0

2 1

1 2

0 3

3 0

2 1

1 2

0 3 3 0

3

1 1

0 3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0 3

0

2 2

3 0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3 0

3

1 1

0 3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0 3

2 q 6

Karena

 2  1 2  1     2 1  

, maka diperoleh

0    q 1  q  2q  1 X       p  1 q   pq  1 

1 q2 q 1 2q  2

 p  1 q  1 pq  2

q2 1 2q  2

     q 1 q     pq  2 pq  1    p  1 q  1  p  1 q 

Selain itu, karena mensubstitusikan formula untuk  0  q 1   q  2 q 1  Y  4        p  1 q    pq  1 

1 q2 q 1 2q  2

 p  1 q  1 pq  2

q 1 0 2q  1

, maka dengan kedalam formula untuk , diperoleh  1 q 1      0  1   1  2q  2 2q  1     q 1 q  1 1  1       1            1 pq  2 pq  1        1   p  1 q  1  p  1 q    2 p1 q2 1

112 q 



56

 0   q 1  q  2q  1  4      p  1 q   pq  1  1  1 1  1    1  1

0 q 1 q

1 q2 q 1

1 q2 q 1

2q  1

2q  2

2q  2

q2 1 2q  2

 p  1 q  p  1 q  1  p  1 q  1 pq  1

pq  2

pq  2

1

1

1

1

1

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

q 1 0 2q  1

q 1 0 2q  1

     q 1 q 1 q q     pq  2 pq  2 pq  1 pq  1    p  1 q  1  p  1 q  1  p  1 q  p  1 q 

1  1 1  1    1  1 

0 0 4 4   4 q  4 4 q  4 4 q  8 4 q 8   4q 4q 4q  4 4q  4  8q  4 8q  4 8q  8 8q  8      4q  p  1 4q  p  1 4q  p  1  4 4q  p  1  4   4 pq  4 4 pq  4 4 pq  8 4 pq  8 

1  1 1  1    1  1

q2 1 2q  2

4q  8 4 8q  8

4q  8 4 8q  8

4q  4 0 8q  4

4q  4

4q  4

4q

4 pq  8 4 pq  8 4 pq  4 4q  p  1  4 4q  p  1  4 4q  p  1

4q  4 0 8q  4

     4q     4 pq  4   4q  p  1 

1  1 1  1    1  1  4q  7 5 8q  7

1 1 5 5   4 q  3 4 q  3 4 q  7 4 q 7   4q  1 4q  1 4q  5 4q  5  8q  3 8q  3 8q  7 8q  7      4q  p  1  1 4q  p  1  1 4q  p  1  5 4q  p  1  5   4 pq  3 4 pq  3 4 pq  7 4 pq  7 

4q  7 5 8q  7

4q  3 1 8q  3

4q  3 1 8q  3

     4q  5 4q  5 4q  1 4q  1     4 pq  7 4 pq  7 4 pq  3 4 pq  3   4q  p  1  5 4q  p  1  5 4q  p  1  1 4q  p  1  1 

Dengan dengan

dan

dengan

dan

, sehingga Universitas Indonesia


57 2q  1 2q  1 6q  1 6q  1

1 1 5 5   4 q  3 4 q  3 4 q  7 4 q 7   4q  1 4q  1 4q  5 4q  5  8 q  3 8 q  3 8 q  7 8 q7 Y1       4q  p  1  1 4q  p  1  1 4q  p  1  5 4q  p  1  5  4 pq  3 4 pq  7 4 pq  7  4 pq  3

         4 pq  2q  1   4 pq  2q  1

dan  2q  1   2q  1  6q  1  6q  1 Y2      4 pq  2q  1   4 pq  2q  1 

4q  7 5 8q  7

4q  7 5 8q  7

4q  3 1 8q  3

4q  3 1 8q  3

     4q  5 4q  5 4q  1 4q  1     4 pq  7 4 pq  7 4 pq  3 4 pq  3   4q  p  1  5 4q  p  1  5 4q  p  1  1 4q  p  1  1 

Dengan mensubstitusikan formula

dan

ke persamaan

, diperoleh 1   4 q 3   4q  1  8q  3 C      4q  p  1  1   4 pq  3 

2q  3

1

5

5

4q  3

4q  7

4q  7

2q  1

4q  1

4q  5

4q  5

6q  3

8q  3

8q  7

8q  7

6q  1

4q  p  1  1

4q  p  1  5

4q  p  1  5

4 pq  2q  3

4 pq  3

4 pq  7

4 pq  7

4 pq  2q  1

Y1

4 pq  2q  1 4 pq  2q  3 4 pq  6q  1 4 pq  6q  3

2q  1 2q  3

4 pq  7

4 pq  7

4 pq  3

4q  p  1  5

4q  p  1  5

4q  p  1  1

4 pq  3   4q  p  1  1  4q  p  1  7 4q  p  1  7 4q  p  1  3 4q  p  1  3   4q  p  2   5 4 p  p  2   5 4 q  p  2   1 4 q  p  2   1     4q  7 4q  7 4q  3 4q  3    5 5 1 1   K P  I 2 Y2

Definisikan R  B  C



58

 0  3 0  3 B    0 3  

2 2

3 0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3 0

1 1 2 2

0 3 3 0

2 1

1 2

0 3

3 0

2 1

1 2

0 3

3 0

2 1

1 2

0 3 3 0

1 1

0 3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0 3

2 2

3 0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3 0

1 1

0 3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0 3

2 q 6

 2  1 2  1     2 1  

2q  3

1 1 5 5   4 q  3 4 q  3 4 q  7 4 q 7   4q  1 4q  1 4q  5 4q  5  8q  3 8q  7 8q  7  8q  3     4q  p  1  1 4q  p  1  1 4q  p  1  5 4q  p  1  5  4 pq  3 4 pq  7 4 pq  7  4 pq  3

2q  1 6q  3 6q  1

4 pq  2q  3 4 pq  2q  1

Y1

4 pq  2q  1 4 pq  2q  3 4 pq  6q  1 4 pq  6q  3

2q  1 2q  3

4 pq  7

4 pq  7

4 pq  3

4 pq  3

  4q  p  1  5 4q  p  1  5 4q  p  1  1 4q  p  1  1  4q  p  1  7 4q  p  1  7 4q  p  1  3 4q  p  1  3   4q  p  2   5 4 p  p  2   5 4 q  p  2   1 4 q  p  2   1     4q  7 4q  7 4q  3 4q  3    5 5 1 1   K P  I 2 Y2

Dengan menggunakan persamaan diatas, akan dibuktikan empat hal berikut, yaitu setiap elemen yang terdapat pada bilangan pada

saling berbeda satu sama lain,

muncul tepat satu kali, nilai penjumlahan dari setiap

elemen pada kolom yang sama ialah

dan nilai penjumlahan dari setiap elemen

pada baris yang sama ialah Kasus II.a. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa setiap elemen yang terdapat pada saling berbeda satu sama lain.



59

Terlihat bahwa untuk

, elemen pada

membentuk barisan

aritmatika,yaitu



60

Dengan demikian, terlihat bahwa irisan dari seluruh barisan diatas ialah , sehingga terbukti bahwa setiap elemen yang terdapat pada

saling berbeda satu

sama lain. Kasus II.b. Pada butir ini akan ditunjukan bahwa bilangan dalam

muncul

tepat satu kali. Berdasarkan pemaparan pada Kasus I.a, diperoleh bahwa gabungan dari seluruh barisan tersebut ialah himpunan

.

Kasus II.c. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah . Agar persegi-panjang

yang terbentuk pada konstruksi diatas merupakan

persegi-panjang-ajaib, maka nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama harus bernilai

dengan



61

Lebih lanjut, berdasarkan pemaparan pada poin a, terlihat bahwa seluruh kolom dari matriks kolom ke –

terbentuk berdasarkan replikasi dari 10 kolom utama, yaitu , kolom ke-

kolom ke, kolom ke-

, kolom ke- , kolom ke-

,

, kolom ke-

, kolom ke-

, dan kolom ke-

.

, kolom ke-

Dengan demikian, akan dibuktikan bahwa pada kesepuluh kolom tersebut, penjumlahan dari setiap elemen yang terdapat pada kolom yang sama ialah Berikut ini akan diberikan tabel 3.13 yang merepresentasikan nilai penjumlahan dari kesepuluh kolom tersebut. Tabel 3.13 Nilai penjumlahan dari kesepuluh kolom utama Penjumlahan Kolom ke

Formula

Nilai



62

Karena

dan

, diperoleh


yang akan memiliki nilai yang sama

yaitu Kasus II.d. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama ialah . Agar persegi-panjang

merupakan persegi-panjang-ajaib, maka nilai

penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama harus bernilai

Oleh karena itu, didefinisikan

dengan

dan

berturut–turut sebagai nilai penjumlahan dari setiap elemen yang berada pada baris ke- dari matriks Untuk

Karena

dan , diperoleh

maka



63

Karena

Karena

dimana

dan

Sedangkan untuk

Karena

, maka diperoleh

, maka diperoleh

diperoleh

maka



64

Karena

dimana

Karena

dan

, maka diperoleh

, maka diperoleh


akan memiliki nilai yang sama yaitu

Berdasarkan pemaparan pada butir kasus I.a, kasus I.b, kasus I.c, dan kasus I.d,, terbukti bahwa persegi-panjang untuk

merupakan persegi-panjang-ajaib

ganjil. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa persegi-panjang

persegi-panjang-ajaib untuk

merupakan

genap.

Pertama, pandang   B  1p  1' q   Q  2 



65

 1     1        1 1      1    1  p1    1  1    1  1

1 1

1 1

1 1

1 1

    0 3 1 2 1 1      q  1  3 0 2 1  2     1  1  0 3 1 2    3 0 2 1 1  1 

Sehingga diperoleh matriks dengan order     B    

dan matriks

0 3 1 2   3 0 2 1     0 3 1 2   3 0 2 1 

0 3 1 2 3 0 2 1

0 3 1 2 3 0 2 1

dengan order

, yaitu

, yaitu 2q  3 2q  1 6q  3 6q  1

1 1 5 5   4q  3 4q  7 4q  7  4q  3  4q  1 4q  1 4q  5 4q  5  8 q  3 8 q  3 8 q  7 8 q7 C      4q  p  1  1 4q  p  1  1 4q  p  1  5 4q  p  1  5  4 pq  3 4 pq  7 4 pq  7  4 pq  3

4 pq  2q  1 4 pq  2q  3 4 pq  6q  1 4 pq  6q  3

4 pq  7 4 pq  7 4 pq  3 4 pq  3   4q  p  1  5 4q  p  1  5 4q  p  1  1 4q  p  1  1  4q  p  1  7 4q  p  1  7 4q  p  1  3 4q  p  1  3   4q  p  2   5 4 p  p  2   5 4 q  p  2   1 4 q  p  2   1     4q  7 4q  7 4q  3 4q  3   5 5 1 1 

2q  1 2q  3

didefinisikan

4 pq  2q  3 4 pq  2q  1

yaitu Universitas Indonesia


66

    R    

0 3 1 2   3 0 2 1   +  0 3 1 2   3 0 2 1 

0 3 1 2 3 0 2 1

0 3 1 2 3 0 2 1 4 pq  2q  3

4 pq  7

4 pq  7

4 pq  3

4 pq  3

  4q  p  1  5 4q  p  1  5 4q  p  1  1 4q  p  1  1  4q  p  1  7 4q  p  1  7 4q  p  1  3 4q  p  1  3   4q  p  2   5 4 p  p  2   5 4 q  p  2   1 4 q  p  2   1     4q  7 4q  7 4q  3 4q  3   5 5 1 1 

4 pq  2q  3 4 pq  6q  3 4 pq  6q  3

2q  3 2q  3

Berdasarkan pemaparan diatas, timbul 2 kasus, yaitu untuk dan

. Baik pada

maupun

, akan

dibuktikan empat hal berikut, yaitu pembuktian bahwa setiap elemen yang terdapat pada

saling berbeda satu sama lain, bilangan pada

muncul

tepat satu kali, nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah dan nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama ialah Kasus I yaitu

.

Pertama, akan dibuktikan bahwa pada kasus I dimana setiap elemen yang terdapat pada

,


muncul tepat satu kali, nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah

dan nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris

yang sama ialah Kasus I.a. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa setiap elemen yang terdapat pada saling berbeda satu sama lain. Terlihat bahwa untuk

, elemen pada

membentuk barisan

aritmatika,yaitu Universitas Indonesia


67



68


saling berbeda satu

sama lain. Kasus I.b. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa bilangan pada

muncul

tepat satu kali. Berdasarkan pemaparan pada kasus I.a, diperoleh bahwa gabungan dari seluruh barisan tersebut ialah himpunan

.



69

Kasus I.c. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama pada persegi-panjang Agar persegi-panjang

ialah .

yang terbentuk berdasarkan konstruksi diatas

merupakan persegi-panjang-ajaib, maka penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama harus bernilai

dengan

Lebih lanjut, karena matriks satuan yang berorder

diperoleh dengan mengoperasikan matriks

dengan matriks

yang beroder

, maka matriks

merupakan matriks dengan susunan kolom yang merupakan replikasi (pengulangan) dari matriks

sehingga setiap kolomnya merupakan replikasi dari

8 kolom utama, yaitu kolom kekolom ke-

kolom ke-

, kolom ke-

, kolom ke, kolom ke-

, kolom ke-

, dan kolom ke-

,

.

Dengan demikian, akan dibuktikan bahwa pada kedelapan kolom tersebut, penjumlahan dari setiap elemen yang terdapat pada kolom yang sama ialah Selanjutnya, didefinisikan

berturut – turut sebagai penjumlahan dari setiap elemen yang

dan

terdapat pada kolom keke-

kolom ke-

, kolom ke-

dan kolom ke-

, kolom ke-

, kolom ke-

, kolom

, kolom ke-

,

.

Berikut ini akan diberikan tabel 3.14 yang merepresentasikan nilai penjumlahan dari kedelapan kolom utama tersebut. Tabel 3.14 Representasi nilai penjumlahan dari delapan kolom utama Universitas Indonesia


70

Penjumlahan

Formula

Nilai

kolom ke



Kasus I.d. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama ialah . Agar persegi-panjang

yang terbentuk pada konstruksi diatas merupakan

persegi-panjang-ajaib, maka nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama harus bernilai

dengan



71


dan

berturut – turut sebagai nilai penjumlahan dari setiap elemen yang berada pada baris ke- dari matriks

dan

Untuk

, diperoleh

Karena

maka

Karena

dimana

Sedangkan untuk

, maka diperoleh

diperoleh Universitas Indonesia


72

Karena

Karena

maka

dimana

, maka diperoleh



diatas akan memiliki nilai yang sama yaitu Lebih lanjut, berdasarkan pembuktian pada kasus I.a, kasus I.b, kasus I.c, dan kasus I.d, maka diperoleh pembuktian untuk kasus I yaitu

.



73

Kasus II yaitu

.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa untuk yang terdapat pada

, setiap elemen


muncul tepat satu kali, nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah

dan nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama ialah

Kasus II.a. Pada butir ini akan dibuktikan bahwa setiap elemen yang terdapat pada saling berbeda satu sama lain. Terlihat bahwa untuk

dan

, elemen pada

membentuk barisan aritmatika,yaitu



74



75


saling berbeda satu

sama lain. Kasus II.b. Pada butir ini akan ditunjukan bahwa bilangan pada

muncul

tepat satu kali. Berdasarkan pemaparan pada kasus II.a, diperoleh bahwa gabungan dari seluruh barisan tersebut ialah himpunan

.

Kasus II.c. Pada butir ini akan ditunjukan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama ialah . Agar persegi-panjang

merupakan persegi-panjang-ajaib, maka

penjumlahan dari setiap elemen pada kolom yang sama harus bernilai

Lebih lanjut, karena matriks satuan yang berorder

dengan

diperoleh dengan mengoperasikan matriks

dengan matriks

yang beroder

, maka matriks

merupakan matriks dengan susunan kolom yang merupakan replikasi (pengulangan) dari matriks

sehingga setiap kolomnya merupakan replikasi dari

8 kolom utama, yaitu kolom pertama, kolom kedua, kolom ketiga, kolom keempat, kolom ke-

, kolom ke-

, kolom ke-

, dan kolom ke-

. Dengan demikian, akan dibuktikan bahwa pada kedelapan kolom tersebut, penjumlahan dari setiap elemen yang terdapat pada kolom yang sama ialah Selanjutnya, didefinisikan



76

dan

berturut – turut sebagai penjumlahan dari setiap

elemen yang terdapat pada kolom pertama, kolom kedua, kolom ketiga, kolom keempat, kolom ke-

, kolom ke-

, kolom ke-

, dan kolom ke-

. Berikut ini akan diberikan tabel nilai penjumlahan dari kedelapan kolom utama tersebut . Tabel 3.15 Nilai penjumlahan kedelapan kolom utama Penjumlaha

Formula

Nilai

n kolom ke


akan memiliki nilai yang sama yaitu Universitas Indonesia


77

Kasus II.d. Pada butir ini, akan ditunjukan bahwa nilai penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama ialah . Agar persegi-panjang

merupakan persegi-panjang-ajaib, maka

penjumlahan dari setiap elemen pada baris yang sama harus bernilai


dengan

dan

berturut – turut sebagai nilai penjumlahan dari setiap elemen yang berada pada baris ke- dari matriks

dan

Untuk

Karena

Karena

, diperoleh

maka

dimana

, maka diperoleh



78

Karena

dan

, maka diperoleh

Sedangkan untuk

Karena

Karena

diperoleh

maka

dimana

, maka diperoleh



79

Karena

dan

, maka diperoleh



Lebih lanjut, berdasarkan pembuktian pada kasus II.a, kasus II.b, kasus II.c, dan kasus II.d, dan pembuktian pada kasus I, maka diperoleh pembuktian yang diinginkan. Selanjutnya, akan diberikan contoh dari persegi-panjang-ajaib berdasarkan teorema 3.2 untuk Contoh untuk

ganjil dan

genap.

ganjil.

Misalkan ingin dibentuk persegi-panjang-ajaib Maka diperoleh

dan

dengan order

.

, sehingga

0 1 2 3    A  4 5 6 7   8 9 10 11   Karena

, maka diperoleh 0 1 2 3   3 2 1 0 4 5 6 7 X   7 6 5 4  8 9 10 11   11 10 9 8 

Lebih lanjut, karena

, maka diperoleh



80

1   13  17 Y   29  33   41

1 5 5 9 9 13 13   13 9 9 5 5 1 1  17 21 21 25 25 29 29   29 25 25 21 1 17 17  33 37 37 41 41 45 45   41 45 45 37 37 33 33 

Selanjutnya, karena 1   13  17 C   29  33   45

, maka diperoleh 1 5 5 13 9 9 17 21 21 29 25 25

41 37 25 21

41 37 25 21

33 37 37 45 41 41

9 5

9 5

45   33  29   17  13 13   1 1 

45 33 29 17

dan karena

, didapat 0  3 0 B 3 0  3

2  1 2  1 3 1 2 0 3 1 2  0 2 1 3 0 2 1  3 0 3 0

1 2 1 2

2 1 2 1

0 3 0 3

3 0 3 0

1 2 1 2

Akhirnya, dengan menggunakan teorema 3.2, diperoleh persegi-panjang- ajaib yaitu 1   16  17 R  32  33   48

Contoh untuk

4 6 7 41 13 11 10 40 20 22 23 25 29 27 26 24 36 38 39 45 43 42

9 8

47   34  31   18  12 14 15   5 3 2  44 37 28 21

46 35 30 19

genap

misalkan ingin dibentuk persegi-panjang-ajaib Maka diperoleh

dan

dengan order

.

sehingga Universitas Indonesia


81

0 1 2 3 4   5 6 7 8 9 A   10 11 12 13 14     15 16 17 18 19   20 21 22 23 24   

Karena

, maka diperoleh 0  4 5  9  10 X   14  15   19  20   24 

1 3 6 8

2 2 7 7

3 1 8 6

11 12 13 13 12 11 16 17 18 18 17 16 21 22 23 23 22 21

      14   10  19   15  24  20  4 0 9 5

Lebih lanjut, karena 1   17  21   37  41 Y   57  61   77  81   97 

Selanjutnya, karena

, maka diperoleh 1 5 5 9 9 13 13 17 17   17 13 13 9 9 5 5 1 1  21 25 25 29 29 33 33 37 37   37 33 33 29 29 25 25 21 21  41 45 45 49 49 53 53 57 57   57 53 53 49 49 45 45 41 41  61 65 65 69 69 73 73 77 77   77 73 73 69 69 65 65 61 61  81 85 85 89 89 93 93 97 97  97 93 93 89 89 85 85 81 81 

, maka diperoleh



82

1   17  21   37  41 C   57  61   77  81   97 

1 5 5 9 17 13 13 9 21 25 25 29 37 33 33 29

89 89 69 69

93 85 73 65

93 85 73 65

97 81 77 61

41 45 45 49 49 53 53 57 57 53 53 49 49 45 45 41 61 65 65 69 29 33 33 37 77 73 73 69 29 25 25 21 81 85 85 89 9 13 13 17 97 93 93 89 9 5 5 1

Dan karena

97   81  77   61  57   41  37   21  17  1 

, didapat 0  3 0  3 0 B 3 0  3 0  3 

2 1 2 1

2 1 2 1

3 0 3 0

0 3 0 3

1 2 1 2

2 1 2 1

3 0 3 0

0 3 0 3

2 2 3 0 1 2 3 0 1 1 0 3 2 1 0 3 2 2 3 0 1 2 3 0 1 1 0 3 2 1 0 3 2 2 3 0 1 2 3 0 1 1 0 3 2 1 0 3

2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 

Akhirnya, dengan menggunakan teorema 3.2, diperoleh persegi-panjang- ajaib yaitu  1   20  21   40  41 R  60  61   80  81  100 

3 7 8 9 18 14 13 12 23 27 28 30 38 34 33 32

90 91 70 70

95 86 75 66

96 85 76 65

97 84 77 64

43 47 48 49 50 55 56 57 58 54 53 52 51 46 45 44 63 67 68 69 30 35 36 37 78 74 73 72 31 26 25 24 83 87 88 89 10 15 16 17 98 94 93 92 11 6 5 4

99   82  79   62  59   42  39   22  19  2 



BAB 4 KESIMPULAN

Dalam skripsi ini telah dibahas beberapa metode untuk mengkonstruksi persegi-panjang-ajaib berukuran

. Hasil yang telah diperoleh dapat

disimpulkan sebagai berikut  Persegi-panjang-ajaib berukuran

dengan entri bilangan bulat

tidak dapat dibentuk untuk nilai ganjil dengan

genap dengan

ganjil, dan

genap.

 Persegi-panjang-ajaib berukuran

dapat diperoleh untuk

ganjil dengan

menggunakan dua metode, yaitu metode blok-pembangun dan metode permutasi-himpunan.  Persegi-panjang-ajaib berukuran

dengan

dan

genap dapat

diperoleh dengan menggunakan aturan Kronecker.

Masih diperlukan penelitian lebih lanjut untuk memperoleh bentuk umum dari persegi-panjang-ajaib

dengan

dan

ganjil.



84

DAFTAR PUSTAKA

(n.d.). Retrieved Februari 6, 2011, from http://homepage2.nifty.com/googol/magcube/en/rectangles/htm Anderson, D. (2001). Retrieved December 6, 2006, from http://illuminations.ntcm.org/LessonDetail.aspx?id=L263 Ballew, P. (n.d.). Retrieved December 7, 2006, from http://www.pballew.net/magsquar.html Barui, S. (2006). On Construction Of Magic Rectangles. Bombay: Indian Institute Of Technology. Farrar, M. (n.d.). Retrieved December 6, 2006, from http://www.markfarrar.co.uk/msqhst01.htm Gardner, M. (1988). Time travel and other mathematical bewilderments . Grogono, A. (2004). Retrieved December 6, 2006, from http://www/grgono.com/magic/history.ph Hagedorn, T. (1999). Discrete Mathematics 207. Magic rectangles revisited , 65-72. Swaney, M. (2000). Mark Swaney on the history of magic. Retrieved December 7, 2006, from http://www.ismaili.net/mirrors/ikhwan_08/magic_squares/html Wallis, W. (2001). Magic Graphs. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser.



KONSTRUKSI PERSEGI-PANJANG-AJAIB SKRIPSI

Recommend Documents