Matematika Dasar
INTEGRAL RANGKAP DUA
{
Misal
diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang,
}
D = ( x , y ) a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d dan fungsi dua peubah z = f ( x,y ) > 0 . Maka untuk menghitung volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh kurva z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D dilakukan sebagai berikut. Bagi daerah D menjadi sub persegi panjang yang berukuran ∆xi dan Y d ∆yi c ∆xi
a
b
X
∆yi. Ambil sebuah titik pada sub persegi panjang, misal titik potong diagonal ( xi,yi ), sehingga kita dapatkan bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh sub persegi panjang. Bangun ruang ( partisi ) tersebut akan mendekati bangun balok dengan tinggi f ( xi,yi ). Maka kita dapatkan volume tiap-tiap partisi adalah hasilkali luas alas ( ∆Ai = ∆xi ∆yi ) dan tinggi ( f ( xi,yi ) ), yakni
Vi = f ( xi,yi ) ∆Ai . Bila tiap-tiap partisi kita jumlahkan maka dapat dituliskan dalam bentuk :
n
n
i =1
i =1
∑ Vi = ∑ f (xi , yi ) ∆Ai .
Jumlah volume partisi tersebut akan merupakan
volume bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D bila diambil sebanyak tak hingga partisi atau n → ∞ , yakni : V = lim
n
∑
n→∞ i =1
f ( xi , yi ) ∆Ai
Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D didefinisikan sebagai berikut:
∫∫ f ( x , y ) D
dA = lim
n
∑
n →∞ i =1
f (xi , yi ) ∆Ai
Sifat-sifat dari integral rangkap dua diberikan berikut :
1.
∫∫ [a f ( x , y) + bg( x, y )] dA = a ∫∫ f ( x, y ) dA + b ∫∫ g( x, y ) dA D
D
2. Bila D = B ∪ C dan B ∩ C = ∅ maka
D
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ f ( x , y ) dA + ∫∫ f ( x , y ) dA D
B
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
C
Matematika Dasar
Iterasi Integral Untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f ( persegi panjang D kita lakukan sebagai berikut. Luas tegak lurus Z c ≤ y ≤
x,y ) atas daerah berbentuk penampang benda yang terhadap sumbu Y dengan d , misal A(yi) adalah
b
A( yi ) =
z
∫ f ( x , y) dx .
a
Volume
bangun
ruang
merupakan
n
c
jumlah volume :
d
a
Y
b ∆y
X
∑ A(yi ) ∆y
i =1
untuk
n → ∞. Oleh karena itu, integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara berikut :
d b
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ A( y) dy = ∫ ∫ f ( x , y) dy dx . D c c a d
Dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti di atas, integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut : b d
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ f ( x , y ) dx dy D a c Metode penyelesaian integral rangkap dua di atas dinamakan Iterasi Integrasi.
Contoh 1 Hitung integral ∫∫ f ( x , y ) dA bila D
{
}
a. f ( x , y ) = 2 xy dan D = ( x , y ) 0 < x < 2 ,1 < y < 3
b. f ( x , y ) = x 2 dan D daerah tertutup yang dibatasi oleh garis x = -1, x = 1 , y = 0 , y = 1. Jawab : 3 a. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ 2 xy dy dx = ∫ x ∫ 2 y dy dx = 16 D 01 0 1 23
2
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
2 b. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ x dx dy = ∫ ∫ x 2 dx dy = 3 D 0 −1 0 −1 1 1
1 1
2
Integral Rangkap atas Daerah Sembarang Misal R merupakan daerah sembarang . Maka untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah R dilakukan berikut. Dibentuk daerah persegi panjang D yang melingkupi daerah R dan didefinisikan suatu fungsi baru, g ( x, y ) yaitu: f ( x, y ) ; ( x, y ) ∈R g( x , y ) = 0 ; ( x, y ) ∈D − R Nilai integral rangkap dua dari g ( x,y ) atas D sama dengan integral rangkap dua dari f ( x,y ) atas R, dituliskan :
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ g( x , y ) dA R
D
Hal ini menunjukkan bahwa untuk menghitung integral rangkap dua atas suatu daerah sembarang dapat dicari dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti menghitung integral rangkap atas daerah berbentuk persegi panjang. Adapun daerah sembarang secara umum dapat dibedakan menjadi dua tipe yaitu :
{
}
1. Tipe I, R = ( x , y) a ≤ x ≤ b , v ( x) ≤ y ≤ w( x ) Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R dituliskan dengan : b w (x)
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ f ( x , y) dy dx R a v( x)
{
}
2. Tiep II, R = ( x , y) g ( y ) ≤ x ≤ h ( y ), c ≤ y ≤ d Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R ditlusikan dengan :
∫∫ R
f ( x , y ) dA =
d h ( y)
dy f ( x , y ) dx ∫ ∫ c g ( y)
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Y Y
g(y)
w(x)
h(y) d
v(x)
c
O X
a
b
O
X
Tipe I Tipe II Contoh 2 Hitung integral ∫∫ f ( x, y ) dA bila R
{
}
a. f ( x , y ) = 2 x dan R = ( x, y ) 0 < x < 1, x < y < − x 2 + 1
b. f(x,y) = 2y dan R merupakan daerah tertutup yang dibatasi oleh x = 2, y = x2 , sumbu X. Jawab : − x 2 +1 1 a. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ 2 x dy dx = ∫ 2 x ∫ dy dx = − 6 R 0 x 0 x b. Daerah R dapat dituliskan menjadi : 1 − x 2 +1
1
{
}
i. R1 = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x 2 atau
{
ii. R2 = ( x , y )
}
y ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4
32 Untuk R1 , ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ 2 y dy dx = ∫ ∫ 2 y dy dx = 5 R1 0 0 0 0 2 x2
2 x2
2 32 Untuk R2 , ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ 2 y dx dy = ∫ 2 y ∫ dx dy = 5 R2 0 y 0 y 4 2
4
Perubahan Urutan Integrasi Seringkali dijumpai dalam perhitungan integral rangkap dua, kita dihadapkan kepada bentuk iterasi yang diberikan tidak dapat dilakukan secara langsung seperti apa yang diminta. Sebagai contoh, perhitungan integral rangkap dua berikut tidak dapat Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
dilakukan dengan iterasi yang diberikan ( dengan terhadap x ). 4 2
∫ ∫
mengintegralkan terhadap y kemudian
2
e y dy dx
0 x2
Untuk menyelesaikan integral di atas kita harus merubah urutan integrasi. Bila integral dituliskan dalam bentuk :
∫∫
2
e y dA
R
x maka R = ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, ≤ y ≤ 2 . Daerah R digambarkan berikut : 2 Daerah R dapat juga dinyatakan dengan : R = ( x , y) 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ 2 y
{
Y
}
Oleh karena itu, nilai integral dari : 4 2
2
∫ ∫
R
O
0 x2
4
2
e y dy dx =
2 2y
∫ ∫
0 0
X
Contoh 3 Ubahlah urutan integrasi dari integral rangkap berikut 2 2 y
a. ∫ ∫ f ( x , y) dx dy 0 0 0
b. ∫
x2
∫ f ( x , y) dy dx
−1 − x 2
Jawab :
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
2
e y dx dy
Matematika Dasar
{
}
{
}
a. Misal R = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ y 2 , 0 ≤ y ≤ 2 . Maka R = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 y2
4 2
0 0
0 x
x .
Jadi ∫ ∫ f ( x, y ) dx dy = ∫ ∫ f ( x, y ) dy dx .
{
}
b. Misal R = ( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0, − x 2 ≤ y ≤ x 2 .
{
} {
}
Maka R = ( x, y ) − 1 ≤ x ≤ − − y , − 1 ≤ y ≤ 0 ∪ ( x , y ) − 1 ≤ x ≤ − y , 0 ≤ y ≤ 1 0
x2
−1
−x 2
Jadi ∫
0 − −y
∫ f ( x , y) dy dx = ∫
−1
∫
−1
1 − y
f ( x , y) dx dy + ∫
∫
f ( x , y ) dx dy
0 −1
Koordinat Kutub Kadang-kadang perhitungan integral rangkap dua dalam koordinat cartesius ( x dan y ) membutuhkan perhitungan yang rumit. Untuk lebih menyederhanakan perhitungan kita kenalkan koordinat kutub ( polar ). Misal ( x,y ) merupakan titik pada koordinat cartesius. Maka dalam koordinat kutub didapatkan hubungan : x = r cos θ dan y = r sin θ. • (x,y) Integral rangkap dua dari f ( x,y ) atas daerah R dapat dituliskan : r y ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ f (r cosθ, r sinθ) dA R
R
= ∫∫ F (r ,θ) dA
θ O
x
R
Sumbu Polar
Dalam koordinat cartesius, dA = dx dy atau dA = dy dx , sedangkan dalam dalam koordinat kutub : dA = | J(r,θ) | dr dθ atau dA = | J(r,θ) | dθ dr dengan ∂x r J ( r ,θ) = ∂ ∂y ∂r
∂x ∂θ = cos θ − r sinθ = r disebut determinan Jacobi dari r dan θ. ∂y sinθ r cosθ ∂θ
Sehingga bentuk integral dalam koordinat kutub dituliskan berikut :
∫∫ R
f ( x , y) dA =
∫∫ F ( r, θ) R
J ( r, θ) dr dθ =
∫∫ F ( r ,θ) r dr dθ R
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Contoh 4 1
Gunakan koordinat kutub untuk menyelesaikan ∫
1− x2
∫
x dy dx
0 − 1− x 2
Jawab :
{
}
R = ( x , y) 0 ≤ x ≤1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 .
Misal
setengah lingkaran dengan 0 ≤ r ≤ 1 dan 1− x2
1
Jadi ∫
∫
−π π ≤θ≤ . 2 2
Maka
Soal Latihan ( Nomor 1 sd 6 ) Hitung nilai integral rangkap dua berikut : 1.
∫∫ (1 + 8xy ) dA ; D = {( x , y ) 1 ≤ x ≤ 2 ,1 ≤ y ≤ 2} D
2.
∫∫ ( 4 xy 3) dA ; D = {( x , y ) − 1 ≤ x ≤ 1,−2 ≤ y ≤ 2} D
xy dA ; D = 3. ∫∫ 2 2 D x + y + 1 4.
{( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}
∫∫ ( x sin y − y sin x ) dA ; D = ( x , y ) 0 ≤ x ≤
D 2 3
5.
π π ,0 ≤ y ≤ 2 3
∫ ∫ (2 x − xy ) dx dy
1 0 π 2
6.
∫ ∫ x cos ( xy ) dy dx
π
2
1
( Nomor 7 sd 16 ) Hitung integral rangkap dua berikut : 1 x
7.
∫ ∫
merupakan
1 π/ 2 2 2 2 r cos θ d θ dr = r ∫ ∫ ∫ cosθ dθ dr = 3 −π / 2 0 − π/ 2 0 1 π/ 2
x dy dx = ∫
0 − 1− x 2
R
xy 2 dy dx
0 x2 Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
daerah
Matematika Dasar
2 3 9− y
8.
∫
∫
0
0 x3
2π
9.
y dx dy
∫
∫
π
π
10.
0
y dy dx x
2 2 x
∫ ∫ ( x 2 − y 2 ) dy dx 0
2
11.
sin
0
y2
x
2 e y dx dy
∫ ∫
1 0
12.
∫∫ 6xy dA
2
; R daerah dibatasi oleh y = 0, x = 2 dan y = x .
R
13.
∫∫ xy
dA
; R merupakan trapesium dengan titik sudut ( 1,3 ), ( 5,3 ) , ( 2,1 ) dan (
R
4,1 ). 14. ∫∫ x cos ( xy) dA ; R daerah dibatasi oleh x = 1, x = 2, y = ½ π dan y = 2π / x. R
15.
∫∫ ( x + y )
dA ; R daerah dibatasi oleh y = x 2 dan y = x
R
16.
∫∫ xy 2 dA
; R daerah dibatasi oleh y =1, y = 2, x = 0 dan y = x.
R
( Nomor 17 sd 22 ) Hitung integral rangkap dua berikut dengan merubah urutan integrasinya terlebih dahulu. 1 4
17.
2
e− y dy dx
∫ ∫
0 4x 2 1
18.
∫ ∫ 0 y
2
4 2
19.
( )
cos x 2 dx dy
∫ ∫
3
e x dx dy
0 y 3 ln x
20.
∫ ∫ 1
x dy dx
0
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
1 cos−1 x
21.
∫
∫
0 1
22.
x dy dx
0 π
∫
2
sec 2 (cos x ) dx dy
∫
0 sin− 1 x
( Nomor 23 sd 29 ) Selesaikan integral rangkap dua berikut ( Gunakan koordinat kutub ) 23.
∫∫ ex
2
+ y 2 dA ; R daerah di dalam lingkaran x2 + y2 = 4
R
24.
∫∫
2
2
4 − x 2 − y 2 dA ; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x + y = 4,
R
y = 0 dan y = x. 1 2 2 25. ∫∫ 2 2 dA ; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x + y = 4, R 4+ x + y y = 0 dan y = x. 26.
∫∫ y dA
2
2
2
R
kuadran pertama. 1 1− x2
27.
28.
∫
∫
0
0
1
1− y 2
0
0
∫
2
29.
∫
1
∫
2 x− x2
∫
0
2
; R daerah di dalam x + y = 4 dan di luar x + y = 1 yang terletak di
(
4 − x2 − y2
(
)
−1
2
dy dx
)
sin x 2 + y 2 dx dy
( x 2 + y 2)
−1
2
dy dx
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
