CATATAN KULIAH #5&6 Optimasi Tanpa Kendala dengan Lebih dari Satu Variabel
Sumber: Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Ch.11 5.1 Pendahuluan • Pada kuliah sebelumnya, optimasi tanpa kendala dilakukan dengan satu variabel saja • Dalam kenyataannya, seringkali fungsi yang dihadapi adalah fungsi dengan lebih dari dua variabel. • Pemahaman mengenai diferensial sangat diperlukan dalam menyelesaikan optimasi dengan dua variabel tersebut. 5.2 Fungsi Diferensial dalam Optimisasi • Misalkan sebuah fungsi didefenisikan dengan z = f (x ) , maka diferensial dari fungsi tersebut dinotasikan dengan dz = f ′(x ) dx
dimana nilai optimum didapat ketika dz = 0 • Dengan dz = f ′(x ) dx , akan didapatkan diferensial lebih lanjut yakni d 2 z ≡ d (dz ) = d [ f ′( x )dx] = [df ′( x )]dx = [ f ′′( x )dx]dx = f ′′( x )dx 2
dimana d 2 z = f ′′(x )dx 2 sering disebut dengan diferensial tingkat dua • Nilai diferensial tingkat dua berfungsi sebagai SOSC untuk menentukan nilai maksimum atau minimum, yaitu z minimum jika : d 2z ≤ 0 z maksimum jika : d 2z ≥ 0
• Tentukan diferensial pertama dan kedua dari fungsi di bawah ini. Tentukanlah nilai relatif ekstremnya! 1. y = ln x
2. y =
2x + 3 x−2
5.3 Nilai Ekstrem untuk Fungsi dengan Dua Variabel • Misalkan diberikan sebuah fungsi z = f (x, y ) . Maka kondisi diferensial pertama yang memaksimumkan fungsi tersebut (FONC) adalah dz = f xdx + f ydy
• Nilai optimal diperoleh pada saat
fx = fy = 0
• Uji diferensial kedua untuk SOSC, melalui total diferensial, didapatkan d 2z
∂ (dz ) ∂ (dz ) dx + dy dx dy ∂ f x dx + f y dy ∂ f x dx + f y dy = dy dx + dy dx = f xx dx 2 + f xy dxdy + f xx dxdy + f yy dy 2 = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2 = d (dz ) =
(
)
(
)
• SOSC diperoleh: • z maksimum : f xx < 0; f yy < 0; f xx . f yy > f xy 2 •
z minimum
: f xx > 0; f yy > 0; f xx . f yy > f xy 2
• Kondisi ekstrem di atas dapat disajikan secara umum dapat disajikan sebagai berikut: Kondisi FONC SOSC
Maksimum
Minimum
fx = fy = 0
fx = fy = 0
f xx , f yy < 0 , dan
f xx , f yy > 0 , dan
f xx . f yy > f xy 2
f xx . f yy > f xy 2
• Contoh soal: 1. Carilah nilai ekstrem z = x 2 + xy + 2 y 2 + 3
5.4 Pendekatan Determinan Matriks Hessian untuk SOSC • Pendekatan determinan matriks Hessian dapat digunakan untuk uji SOSC, terutama sangat berguna untuk menguji fungsi dengan lebih dari dua variabel. • Misalkan fungsi dua variabel z = f (x1 , x 2 ,..., x n ) . Maka determinan matriks Hessian-nya adalah: f11 f H = 21 ..... f n1
f12 f 22 ..... f n2
... ... .... f n3
yang selanjutnya didefinisikan bahwa
f1n f 2n .... f nn H 1 = f11 , H 2 =
f 11 f 21
f 12 ,…, f 22
Hn = H
• Adapun penentuan relatif ekstremnya dapat dituliskan sebagai berikut Kondisi FONC SOSC
Maksimum
Minimum
f1 = f 2 = ... = f n = 0
f1 = f 2 = ... = f n = 0
H 1 < 0; H 2 > 0;
H 1 , H 2 ,..., H n > 0
H 3 < 0;...; (− 1)n H n > 0
• Contoh soal 1. Carilah nilai ekstrem dari z = 2 x12 + x1 x 2 +4 x22 + x1 x 3 + x32 + 2
2. Carilah nilai ekstrem dari z = − x13 + 3x1 x3 + 2 x 2 − x 22 − 3x32
5.5 Penerapan dalam Ekonomi • Perusahaan multiproduk: Asumsikan suatu perusahaan dengan dua produk berada pada keadaan persaingan sempurna dengan harga masing-masing P1 = 12 dan P2 = 18 . Fungsi pendapatan perusahaan dinyatakan dengan R = P1Q1 + P2 Q2 dengan biaya sebesar C = 2Q12 + 2Q1Q2 + 2Q22 . Tentukan kuantitas produk yang dapat memaksimumkan laba!
• Diskriminasi harga: Suatu perusahaan monopoli yang memproduksi dua macam produk mempunyai fungsi permintaan untuk masing-masing produk sebagai berikut: D1 : D2:
p1 = 36 − 3q1 p 2 = 40 − 5q 2
Adapun fungsi biaya totalnya adalah C = q1 2 + 2q1 q 2 + 3q 2 2 . Tentukan kuantitas dan harga dari masing-masing produk yang memaksimumkan laba bagi monopolis! Hitung pula berapa laba maksimum yang dapat diperoleh!
• Penentuan jumlah input perusahaan: Diketahui sebuah perusahaan memiliki fungsi penerimaan R = P Q(K , L )e − rt , dimana Q(K , L ) menunjukkan jumlah produksi yang merupakan fungsi dari modal (K) dan tenaga kerja (L). Adapun fungsi biayanya adalah C = rK + wL , dimana r dan w masing-masing adalah balas jasa untuk modal dan tenaga kerja. Tentukan nilai K dan L yang dapat memaksimumkan profit!
Latihan Soal 1. Carilah nilai relatif ekstrem dari fungsi-fungsi di bawah ini a. z = 29 − x12 + x 22 + x32
(
) − (2 x + 2e
)
w −y b. z = e 2 x + e − y + e w 2. Misalkan terdapat sebuah perusahaan monopolis yang menghadapi 3 pasar yang berbeda dengan permintaan masing-masing pasar adalah sebagai berikut: 2
P1 = 63 − 4Q1
P2 = 105 − 5Q2
P3 = 105 − 5Q3
Selanjutnya, fungsi biaya yang dihadapi oleh perusahaan adalah C = 20 + 15Q;
Q = Q1 +Q 2 +Q3
Tentukan besarnya harga dan kuantitas yang memaksimumkan laba! Bagaimana kondisi optimal seandainya pemerintah melarang strategi diskriminasi harga? 3. Suatu perusahaan dengan dua produk menghadapi fungsi permintaan dan biaya sebagai berikut: Q1 = 40 − 2 P1 − P2 Q1 = 35 − P1 − P2 C = Q1 2 + 2Q2 2 + 10
a. Carilah tingkat output yang menyebabkan laba maksimum! b. Periksa syarat cukup orde kedua. Dapatkan Anda memutuskan bahwa persoalan ini memiliki maksimum mutlak yang unik? c. Berapah laba maksimumnya?
