OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA
SKRIPSI
SANDRA RIZAL 060803016
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
Universitas Sumatera Utara
OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA
SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi syarat mendapat gelar Sarjana Sains
SANDRA RIZAL 060803016
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
Universitas Sumatera Utara
ii PERSETUJUAN
Judul
Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas
: OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA : SKRIPSI : SANDRA RIZAL : 060803016 : SARJANA (SI) MATEMATIKA : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Juni 2010
Komisi Pembimbing
:
Pembimbing 2
Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si. NIP. 195303031983031002
Pembimbing 1
Prof. Dr. Herman Mawengkang NIP. 194611281974031001
Diketahui/Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP: 196401091988031004
Universitas Sumatera Utara
iii
PERNYATAAN
OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2010
SANDRA RIZAL 060803016
Universitas Sumatera Utara
iv
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT Yang Maha Esa dan Kuasa atas limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan. Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada : 1. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku pembimbing I dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku pembimbing II yang telah memberikan banyak bimbingan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan tugas akhir ini. 2. Bapak Drs. H. Haluddin Panjaitan dan Bapak Drs, Ramli Barus, M.Si selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini. 3. Bapak Dr. Saib Suwilo M.Sc dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. 4. Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA USU. 5. Semua Dosen dan Pegawai pada Departemen Matematika FMIPA USU. 6. Ayahanda tercinta Abdurrahman dan Ibunda Hamdiah yang sangat saya kasihi dan sayangi atas doa dan dukungan moril maupun materil yang diberikan selama ini. 7. Saudara kandung Faisal, Andi, Rina, Putri, Faiza yang selalu memberikan motivasi, saran dan bantuannya. 8. Rekan-rekan kuliah matematika serta semua stambuk 2006 yang tidak terlupakan dukungan dan bantuannya. 9. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi penulis, semoga segala kebaikan dalam bentuk bantuan yang telah diberikan mendapat balasan dari Yang Maha Kuasa. Akhir kata, kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak pembaca.
Hormat saya, Penulis
Universitas Sumatera Utara
v
ABSTRAK
Tujuan dari tulisan ini adalah untuk mengubah persoalan bentuk optimasi terkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala, serta penentuan penerapannya dibidang ekonomi dimodelkan dalam bentuk optimasi. Untuk memudahkan optimasi berkendala atau bersyarat digunakan fungsi lagrange. Langkah-langkah menentukan nilai optimum menggunakan multiplier lagrange yaitu dengan membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda lagrange λ dengan fungsi kendalanya.
Universitas Sumatera Utara
vi
CONDITIONAL OPTIMIZATION WITH THE EQUATION CONSTRAINT USING MULTIPLIER LAGRANGE AND ALSO Its APPLYING
ABST`RACT
The aim of this paper is to alter the problem form the optimization burdened to become the problem optimization without constraint, and also its applying determination is economic area modeled in the form of optimization. To facilitate the optimization have constraint to or used by conditional of function Lagrange. Stage Steps determine the optimum value use the multiplier Lagrange that is with forming a new function representing quantifying from function which will be optimum added by result of times rill of coefficient Lagrange λ with the its constraint function.
Universitas Sumatera Utara
vii
DAFTAR ISI
Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar
ii iii iv v vi vii viii ix
Bab 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tinjauan Pustaka 1.5 Tujuan Penelitian 1.6 Manfaat Penelitian 1.7 Metode Penelitian
1 1 3 3 4 6 7 7
Bab 2 Landasan Teori 2.1 Optimasi 2.1.1 Optimasi Tak Bersyarat 2.1.2 Optimasi Bersyarat 2.2 Metode Pengali Lagrange 2.3 Matrik Hessian 2.4 Matrik Definit Positif 2.5 Maksimum dan Minimum 2.6 Fungsi Utilitas Marginal 2.7 Produk Marginal
9 9 9 10 13 14 17 19 22 24
Bab 3 Pembahasan 3.1 Optimasi Dengan Kendala Persamaan Menggunakan Multiplier Lagrange 3.2 Utilitas Marjinal Parsial Serta Keseimbangan Konsumsi 3.3 Produk Marjinal Parsial Dan Keseimbangan Produksi.
26 26 29 33
Bab 4 Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran
36 36
Daftar Pustaka
37
Universitas Sumatera Utara
viii
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1. Tabel 2.1. Nilai matrik Hessian untuk masing – masing titik ekstrim
16
Universitas Sumatera Utara
ix
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Gambar. 2.1 grafik dari
Halaman +
+
+
16
2. Gambar 2.2. Grafik 1 3. Gambar 2.3. Grafik nilai maksimum dan minimum
20 21
4. Gambar 2.4. Bentuk kurva utilitas
22
5. Gambar 2.5 Bentuk kurva fungsi U = f(Q) = 90Q – 5Q2dan
23
MU = U’ = 90 – 10Q 6. Gambar. 2.7 Kurva fungsi P = f(x) = 9x2 – x3 dan MP = P’ = 18x – 3x2
25
Universitas Sumatera Utara
