UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE MULTIPLIER DENGAN EKSPANSI TAYLOR UNTUK DETEKSI HUBUNGAN NONLINEAR PADA DATA TIME SERIES

J. Indones. Math. Soc. (MIHMI) Vol. xx, No. xx (20xx), pp. xx–xx.

UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE MULTIPLIER DENGAN EKSPANSI TAYLOR UNTUK DETEKSI HUBUNGAN NONLINEAR PADA DATA TIME SERIES

SUBANAR and SUHARTONO Abstract. This paper discusses some latest progress on nonlinear time series analysis, particularly about linearity tests that developed based on concepts from theory of neural networks. These statistics tests are for preliminary identification whether a nonlinear model must be used to analyze a time series. In general, there are two kinds of the neural networks linearity tests which are included a Lagrange Multiplier (LM) test, those are White test and Terasvirta test. Both of these tests are derived from the same single-hidden-layer neural networks. White test is based on the random sampling of the parameter values of neural networks model, whereas Terasvirta test is using Taylor expansion. This research is focused on the Terasvirta test. Here, the theoretical study is considered and also the possibility to develop a new statistics test for linearity using neural networks is discussed. Finally, simulation study is used to evaluate the power of the test and to compare to the result of White test. The result of the simulation study shows that Terasvirta test is more effective than White test to detect nonlinearity in time series.

1. PENDAHULUAN Pada beberapa dekade terakhir ini, pemodelan yang digunakan untuk menjelaskan hubungan nonlinear antar variabel dan beberapa prosedur pengujian untuk Received dd-mm-yyyy, Accepted dd-mm-yyyy. 2000 Mathematics Subject Classification: Key words and Phrases: Neural networks, Lagrange Multiplier test, Terasvirta test, nonlinear time series

1

2

Subanar and Suhartono

mendeteksi adanya keterkaitan nonlinear mengalami perkembangan yang sangat pesat. Sebagai overview hal ini dapat dilihat pada [5]. Perkembangan yang pesat ini juga terjadi dalam pemodelan statistik, khususnya model-model untuk time series dan ekonometrika. Banyak tipe model yang sudah dikembangkan untuk pemodelan time series yang nonlinear, parametrik maupun nonparametrik. Pemodelan time series yang dibahas di sini dikonsentrasikan pada suatu kondisi khusus, yaitu hanya satu variabel dependen yt . Misalkan wt adalah suatu himpunan informasi yang didefinisikan wt = {yt−j , j > 0; xt−i , i ≥ 0}, t = 1, 2, . . . , n

(1)

yang menyatakan semua variabel lag yt dan suatu vektor dari variabel eksogen xt . Proses pemodelan bertujuan mendapatkan suatu pendekatan yang baik untuk f (wt ) sedemikian hingga E[yt |wt ] = f (wt ).

(2)

Strategi pemodelan yang banyak dilakukan pada time series nonlinear adalah: (i) Uji linearitas yt dengan menggunakan informasi wt . Banyak kemungkinan bentuk dari nonlinearitas, dan rupanya tidak ada satu tes yang mampu melakukan semua kemungkinan nonlinear tersebut, sehingga beberapa tes mungkin diperlukan. (ii) Jika linearitas ditolak, gunakan beberapa model parametrik alternatif dan/atau model-model nonparametrik. Hasil uji linearitas juga mungkin memberikan petunjuk tentang model nonlinear yang sebaiknya digunakan. (iii) Model-model tersebut selanjutnya diestimasi dalam sampel (in-sample) dan dibandingkan pada data validasi (out-of-sample) Sifat-sifat dari model taksiran harus diselidiki dan divalidasi. Jika suatu model tunggal terbaik yang dibutuhkan, maka model yang memberikan hasil out-ofsample terbaik yang dipilih, dan kemudian lakukan estimasi kembali pada semua datum yang ada. Strategi ini tidak memberikan jaminan kesuksesan. Sebagai contoh, jika nonlinearitas yang ada suatu bentuk nonlinear tertentu dari data dan bentuk ini tidak terjadi pada periode evaluasi setelah sampel, maka model nonlinear tidak akan memberikan hasil yang lebih baik daripada model linear. Banyak model nonlinear yang digunakan untuk menyelesaikan suatu data time series. Menurut Terasvitra dkk. [14], secara umum model-model nonlinear terbagi dalam tiga kelompok, yaitu model-model dari teori time series, model-model statistik parametrik yang fleksibel dan model-model nonparametrik. Model linear autoregresif, moving average, dan fungsi transfer adalah model-model yang populer dalam literatur time series sebagai hasil kerja dari Box dan Jenkins [3]. Dalam

Uji linearitas tipe Lagrange Multiplier

3

perkembangannya, telah ada berbagai variasi dari generalisasi model linear tersebut dalam bentuk-bentuk nonlinear. Beberapa model yang termasuk di dalamnya adalah model autoregresi nonlinear, model fungsi transfer nonlinear, model bilinear (lihat [11]), model moving average nonlinear, dan model-model stokastik ganda (lihat [15]). Model trigonometri dan model neural networks adalah modelmodel kelompok statistik parametrik yang fleksibel. Sedangkan model-model nonparametrik mencakup model-model yang dikembangkan dari fungsi penghalus atau metode kernel.

2. UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE MULTIPLIER (LM) DENGAN EKSPANSI TAYLOR Perhatikan model nonlinear yt = ϕ(γ ′ wt ) + β ′ wt + ut

(3)

dengan ut ∼ nid(0, σ 2 ), wt = (1, w et′ )′ , w et = (yt−1 , . . . , yt−p )′ , β = (β0 , β1 , . . . , βp )′ , ′ ′ ′ γ = (γ0 , e γ ) dan γ e = (γ1 , . . . , γp ) . Dalam model (3) ini, wt dibatasi hanya variabel lag yt dan tidak melibatkan variabel eksogen xt . Misal diberikan ϕ(γ ′ wt ) = θ0 ψ(γ ′ wt ),

(4)

dengan (lihat [13])

1 (5) 2 Dengan demikian persamaan (3) dapat diinterpretasikan sebagai suatu model autoregresi nonlinear dengan kostanta β0 + θ0 ψ(γ ′ wt ), yang variatif terhadap waktu dan berubah secara halus dari (β0 − θ0 /2) ke (β0 + θ0 /2) dengan γ ′ wt . Model (3) adalah kasus khusus dari model neural networks dengan satu layer tersembunyi, yaitu (lihat [13]) ψ(γ ′ wt ) = {1 + exp(−γ ′ wt )}−1 −

yt = β ′ wt +

q X

1 θ0j {ψ(γj′ wt ) − } + ut , 2 j=1

(6)

dengan q adalah banyaknya unit neuron pada layer tersembunyai. Secara visual, arsitektur dari model neural networks ini dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 1. Perhatikan persamaan (3) dengan (4) dan uji hipotesis bahwa yt adalah linear, yaitu yt = β ′ wt +ut dengan asumsi bahwa proses stasioner. Jadi hipotesis nol dapat didefinisikan sebagai H0 : θ0 = 0. Untuk model (6) hipotesis nolnya H0 : θ01 = θ02 = · · · = θ0q = 0, yang disebut hipotesis linearitas dari uji neural networks melawan nonlinearitas yang terabaikan (lihat [7]) dan [16]). Selanjutnya, jika diberikan bahwa ψ(0) = 0

4


maka hal ini berimplikasi pada kemungkinan lain untuk hipotesis nol untuk linearitas, yaitu H0∗ : γ = 0 (7) melawan hipotesis alternatif γ 6= 0.

Gambar 1: Arsitektur model neural networks satu layer tersembunyi pada persamaan (6), dengan γj adalah bobot-bobot yang diproses bersama dengan input-input pada fungsi aktifasi logistik sigmoid di layer tersembunyi, θ0j adalah bobot-bobot yang diproses bersama output dari layer tersembunyi pada fungsi linear di layer output, dan β ′ adalah bobotbobot yang diproses bersama dengan input-input pada fungsi linear di layer output.

Hipotesis (7) memberikan suatu titik awal yang menarik untuk mempelajari permasalahan uji linearitas dalam kerangka pengujian LM. Perhatikan kembali bahwa model (3) hanya diidentifikasi di bawah alternatif γ 6= 0. Seperti Saikkonen dan Luukkonen [10] dan Luukkonen dkk. [8], tulisan ini mencoba menyelesaikan masalah ini dengan mengganti ϕ dalam (3) dengan pendekatan ekspansi Taylor pada γ = 0. Pendekatan ekspansi Taylor yang paling mudah adalah suatu pendekatan order pertama. Dari (4) dan (5) dapat ditunjukkan bahwa ∂ψ(γ ′ wt ) 1 = ψ ′ (0)wt = wt (8) ∂γ 4 γ=0 Dengan demikian pendekatan ekspansi Taylor orde pertama, yang dinotasikan

5


dengan t1 , yaitu θ0 t1 (γ ′ wt ) = θ0 ψ ′ (0)γ ′ wt = 14 θ0 γ ′ wt bergabung dengan bagian linear dari model (3), sehingga semua informasi tentang nonlinearitas tereliminir. Hal ini merupakan cara lain untuk melihat bahwa (3) dengan (4) dan model linear autoregresi order p adalah alternatif yang secara lokal sama dengan dasar (7). Untuk mengatasi permasalahan tereliminasinya informasi tentang nonlinearitas di atas, dilakukan hal seperti dalam Luukkonen dkk. [8] dan gantikan ψ dalam (3) melalui pendekatan ekspansi Taylor dengan orde yang lebih tinggi, orde ketiga, yang dinotasikan dengan t3 untuk menurunkan suatu uji yang tepat. Diberikan t3 (γj′ wt ) = ψ(0) +

p X ∂ψ(0) i=0

p

+

p

∂γi

p

γi +

p

1 X X ∂ 2 ψ(0) 2 i=0 j=0 ∂γi ∂γj

p

1 X X X ∂ 3 ψ(0) γi γj γk 6 i=0 j=0 ∂γi ∂γj ∂γk

(9)

k=0

dan gantikan ψ dalam (3) oleh (8). Dengan substitusi tersebut akan diperoleh {exp(−γ ′ wt ) − exp(−2γ ′ wt )} ∂2ψ =− yt−i yt−j untuk i, j ≥ 1, ∂γi ∂γj {1 + exp(−γ ′ wt )}3 dan ∂ 3ψ {exp(−γ ′ wt ) − 4 exp(−2γ ′ wt ) + exp(−3γ ′ wt )} =− yt−i yt−j yt−k ∂γi ∂γj ∂γk {1 + exp(−γ ′ wt )}4 untuk i, j, k ≥ 1. (Lihat [12] untuk bukti penjabaran penurunannya) Dari hasil-hasil penjabaran di atas, pendekatan ekspansi Taylor pada γ = 0 akan menghasilkan {exp(0) − exp(0)} ∂ 2 ψ(0) =− yt−i yt−j = 0, ∂γi ∂γj {1 + exp(−0)}3 dan ∂ 3 ψ(0) ∂γi ∂γj ∂γk

{exp(0) − 4 exp(0) + exp(0)} yt−i yt−j yt−k {1 + exp(0)}4 1 = − yt−i yt−j yt−k , untuk i, j, k ≥ 1. 8

= −

Jika i, j ≥ 1 dan k = 0 diperoleh

∂ 3 ψ(0) ∂γi ∂γj ∂γk

= − 81 yt−i yt−j .

Dengan demikian, model (3) menjadi yt = βe′ wt +

p X p X i=1 j=i

δij yt−i yt−j +

p X p X p X i=1 j=i k=j

δijk yt−i yt−j yt−k + ut ,

(10)

6


dengan βe adalah gabungan antara β dengan koefisien-koefisien bagian linear hasil pendekatan Taylor orde pertama, δij = dij θ0 γi γj , dan δijk = dijk θ0 γi γj γk dengan 1 dij = dijk = − 48 . Jika γ0 = 0 adalah suatu informasi dari model, sehingga γ ′ wt = γ e′ w et (bagian eksponensial tidak mengandung suatu kostanta), maka δij = 0 untuk semua i, j. Dalam kasus ini, persamaan (10) tidak mempunyai suku orde kedua. Hipotesis nol yang bersesuaian dengan (7) adalah H0∗ : δij = 0, δijk = 0 untuk i = 1, . . . , p; j = 1, . . . , p; k = j, . . . , p. Dengan demikian, uji linearitas tipe LM melawan (3) terdiri dari deret orde ketiga dari ekspansi Volterra (lihat [9]) suatu fungsi nonlinear. Dalam hal ini, uji hipotesis nolnya menyatakan bahwa koefisien-koefisien dari suku-suku kuadratik dan kubik adalah sama dengan nol. Jika ada argumen yang menyatakan bahwa fungsi tidak mengandung suatu kostanta, maka dalam hal ini tidak ada suku kuadratik dalam ekspansi Taylor pada γ = 0. Selanjutnya, perhatikan bahwa (6) merupakan bentuk dasar dari uji neural networks. Jika q > 1, (6) tidak secara global dapat diidentifikasi di bawah hipotesis nol H0∗ : γ1 = · · · = γq = 0 (11) ataupun di bawah hipotesis alternatif bahwa hipotesis nol adalah tidak benar. Suatu konsekuensi dari ini adalah kenyataan bahwa penurunan suatu uji yang dapat diterapkan untuk hipotesis nol pada (11) mengikuti argumen di atas menghasilkan (10) dengan δij =

q X h=1

dij θ0 γhi γhj γh0 dan δijk =

q X

dijk θ0 γhi γhj γhk .

h=1

Dengan demikian, uji linearitas berdasarkan dual (suku kuadratik dan kubik) dari ekspansi Volterra tetap tidak berubah ketika proses pembangkitan data adalah seperti (6) pengganti dari (3) Uji ini tidak selalu tergantung pada asumsi bahwa fungsi ”squashing” dalam model neural networks adalah logistik. Seperti yang telah dikerjakan Lukkonen dkk. [8], uji yang sama akan dapat diperoleh dengan asumsi bahwa (i) ψ(γ ′ wt ) dalam (4) adalah suatu fungsi terbatas, ganjil, naik secara monoton dengan suatu turunan ketiga berhingga pada suatu persekitaran dari daerah asal, dan (ii) ψ(0) = 0, dan turunan parsial pertama dan ketiga dari ψ pada nol adalah tidak sama dengan nol. Hal ini berimplikasi bahwa uji tersebut mempunyai kuasa (power) dibanding beberapa model nonlinear, tidak hanya satu bentuk nonlinearitas yang dicirikan dengan fungsi logistik. Fungsi logistik yang digunakan dalam menurunkan uji disini disebabkan karena fungsi tersebut yang dipakai pada (6).

7


3. UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE MULTIPLIER (LM) DENGAN SAMPLING ACAK Uji neural networks dalam White [16] dan Lee dkk. [7] adalah suatu uji lain untuk linearitas melawan (6), yaitu yt = β ′ wt +

q X

1 θ0j {ψ(γj′ wt ) + } + ut . 2 j=1

Hipotesis nolnya adalah H0 : θ01 = θ02 = · · · θ0q = 0

(12)

Permasalahan identifikasi di atas diselesaikan dengan menetapkan nilai-nilai dari γ1 , . . . , γq sehingga nilai-nilai dari ψ(γj′ wt ) dapat dihitung. Hal ini dilakukan melalui penentuan vektor-vektor itu secara acak dari suatu distribusi yang mungkin. Sebagai contoh, Lee dkk. [7] menggunakan suatu ditribusi uniform. Karena variabelvariabel ψ(γj′ wt ) dimungkinkan sangat berkorelasi, Lee dkk. [7] menerapkan suatu transformasi komponen utama menjadi ψ¯t = [ψ(γ1′ wt ), . . . , ψ(γq′ wt )]′ dan menggunakan dua komponen utama yang ortonormal ke dalam bagian linear dari model pada regresi tambahan untuk uji linearitas. Implementasi praktis dari uji linearitas, merupakan tipe LM yang dikenalkan oleh Lee dkk. [7], dan yang dikenalkan oleh Terasvirta dkk. [13], dapat dilakukan melalui dua statistik uji, yaitu uji χ2 atau uji F . Prosedur untuk mendapatkan uji χ2 adalah sebagai berikut: (i) Regresikan yt pada 1, yt−1 , . . . , yt−p dan hitung residual u ˆt = yt − yˆt . (ii) Regresikan u ˆt pada 1, yt−1 , . . . , yt−p dan m prediktor tambahan, dan kemudian hitung koefisien determinasi dari regresi R2 . Pada uji yang dikenalkan oleh Lee dkk. [7], m prediktor tambahan ini adalah nilai-nilai dari ψ(γj′ wt ) pada persamaan (6). Selanjutnya pada uji Terasvirta dkk. [13] ini adalah suku kuadratik dan kubik yang merupakan hasil dari pendekatan ekspansi Taylor seperti yang telah dijelaskan pada bagian 3 persamaan (10) sebelumnya. (iii) Hitung χ2 = nR2 , dengan n adalah banyaknya pengamatan yang digunakan. Dibawah hipotesis linearitas, χ2 mendekati distribusi χ2 (m), dengan m adalah banyaknya prediktor tambahan. Kajian teoritik berkaitan dengan pendekatan d asimtotis nR2 −→ χ2 dapat dilihat pada [17]. Sedangkan prosedur uji F untuk uji linearitas tipe LM ini adalah sebagai berikut: (i) Regresikan yt pada 1, yt−1 , . . . , yt−p hitung nilai-nilai residual u ˆt dan hitung Pdan jumlah kuadrat residual SSR0 = u ˆ21 .

8


(ii) Regresikan u ˆt pada 1, yt−1 , . . . , yt−p dan m prediktor tambahan, dan kemudian ˆˆt dan jumlah kuadrat residual SSR1 = P vˆ2 . (m hitung residual vˆt = u ˆt − u 1 dan prediktor-prediktor yang terlibat bervariasi untuk suatu uji dengan uji yang lain, seperti yang ditunjukkan pada bagian sebelumnya). (iii) Hitung F =

(SSR0 − SSR1 )/m , SSR1 /(n − p − 1 − m)

(13)

dengan n adalah banyaknya pengamatan yang digunakan. Dibawah hipotesis linearitas, F mendekati distribusi F dengan derajat bebas m dan (n − p − 1 − m). Penggunaan dari uji F menggantikan uji χ2 ini didasarkan oleh rekomendasi dari teori asimtotis dalam sampel kecil, yaitu karena uji ini mempunyai sifat-sifat kuasa dan ukuran yang baik (lihat[6]).

4. DESAIN STUDI SIMULASI Studi simulasi yang dilakukan difokuskan pada perbandingan kuasa (power) antara kedua uji linearitas tipe LM yang dibahas sebelumnya, yaitu uji Terasvirta dan uji White. Isu yang akan dikaji dalam studi simulasi ini adalah bagaimana perbandingan kuasa kedua uji itu pada model-model linear dan nonlinear. Eksperimen Monte Carlo secara umum berupa dua kelompok pembangkitan data univariat, yaitu linear dan nonlinear. Model-model linear yang dipilih dalam eksperimen ini adalah model Autoregresi orde 2 atau AR(2) dan model Gerak Acak. Model AR(2) mewakili kelompok model linear ARIMA dan dalam hal ini dipilih koefisien 1,2 dan -0,6 yang memenuhi syarat stasioneritas. Sedangkan model Gerak Acak mewakili kelompok model linear yang tidak memenuhi syarat stasioner. Ada dua model nonlinear yang digunakan dalam studi simulasi ini yaitu model Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR). Model LSTAR yang digunakan secara umum mempunyai bentuk yang sama dengan yang telah digunakan oleh Terasvirta dkk. [13]. Sedangkan model ESTAR yang dipilih adalah model yang mempunyai bentuk yang sama dengan yang digunakan oleh Connor dkk. [4]. Perbedaan kedua model ini adalah terletak pada besarnya nilai-nilai parameter yang digunakan. Secara lengkap model linear dan nonlinear yang digunakan dalam studi simulasi ini adalah: a Kelompok model linear (i) Model AR(2) : yt = 1.2yt−1 − 0.6yt−2 + ut , dengan ut ∼ nid(0, 0.52 ). (ii) Gerak Acak: yt = yt−1 + ut , dengan ut ∼ nid(0, 0.52 ). b Kelompok model nonlinear


9

(i) Model LSTAR: yt = 1.2yt−1 − 0.6yt−2 + (θ0 − 0.9yt−1 + 0.795yt−2)F (yt−1 ) + ut dengan F (yt−1 ) = [1 + exp{−γ(yt−1 − 0.02)}]−1 , θ0 = 0.02, γ = 100, dan ut ∼ nid(0, 0.052). (ii) Model ESTAR: 2 ) + ut dengan ut ∼ nid(0, 0.52 ) yt = 6.5yt−1 . exp(−0.25yt−1

Untuk masing-masing model, besar ukuran sampel yang digunakan adalah 200. Studi simulasi ini dilakukan dengan menggunakan program R. 5. DATA HASIL STUDI SIMULASI MODEL LINEAR Ilustrasi grafik yang berupa plot time series dan plot data dengan lag-lagnya dari hasil simulasi untuk kelompok model linear dapat dilihat pada Gambar 2 untuk model AR(2) dan Gambar 3 untuk model Gerak Acak.

Gambar 2: Plot time series data (2a), dan plot data dengan lag-lagnya, yaitu 2b dengan lag 1, 2c dengan lag 2, 2d dengan lag 3, dan 2e dengan lag 4, dari data simulasi AR(2).

Dari Gambar 2a dapat dilihat bahwa data relatif stasioner dan hal ini sesuai dengan yang dipostulatkan. Berdasarkan plot lag-lagnya, yaitu Gambar 2b sampai

10


dengan 2e, dapat dijelaskan bahwa lag-lag yang relatif kuat berhubungan linear dengan kejadian pada waktu ke-t, yt , adalah lag 1 dan 2, atau yt−1 dan yt−2 .

Gambar 3: Plot time series data (3a), dan plot data dengan lag-lagnya, yaitu 3b dengan lag 1, 3c dengan lag 2, 3d dengan lag 3, dan 3e dengan lag 4, dari data Gerak Acak.

Hasil pada gambar 3a menunjukkan bahwa pola data tidak stasioner dan dari Gambar 3b sampai dengan 3e terlihat jelas bahwa ada hubungan linear yang sangat kuat antara lag 1, 2, 3 dan 4, atau yt−1 , yt−2 , yt−3 dan yt−4 , dengan kejadian pada waktu ke-t atau yt . Adanya hubungan yang sangat kuat terutama antara yt−1 dengan yt menunjukkan bahwa hasil simulasi telah sesuai dengan postulat model yang sebenarnya, dimana hanya lag 1 yang ada dalam model.

6. DATA HASIL STUDI SIMULASI MODEL NONLINEAR Gambar 4 dan 5 adalah hasil ilustrasi grafik yang berupa plot time series data dan plot data dengan lag-lagnya dari simulasi untuk kelompok model nonlinear. Dari Gambar 4a dapat dilihat bahwa pola data fluktuatif di sekitar angka nol. Secara visual pola data terlihat stasioner dan sulit membedakan dengan model linear pada Gambar 2a sebelumnya. Begitu juga dengan visualisasi data dengan lag-lagnya mengindikasikan bahwa bentuk hubungan linear dengan lag-lag data masih relatif ada. Hal ini terutama dapat dilihat pada plot dengan lag 1 di gambar 4b. Kondisi ini sesuai dengan yang dipostulatkan dalam model bahwa model LSTAR juga mengandung unsur model linear didalamnya. Gambar 4d dan 4e juga


11

menunjukkan bahwa lag 3 dan lag 4 relatif tidak berhubungan dengan yt . Indikasi ini digambarkan dengan bentuk titik-titik pada plot lag-lag tersebut yang relatif menyerupai suatu lingkaran.

Gambar 4: Plot time series data (4a), dan plot data dengan lag-lagnya, yaitu 4b dengan lag 1, 4c dengan lag 2, 4d dengan lag 3, dan 4e dengan lag 4, dari data simulasi LSTAR.

Berbeda dengan model LSTAR sebelumnya, Gambar 5a mengindikasikan bahwa data cenderung tidak stasioner dan berfluktuasi dengan pola yang teratur disekitar angka nol. Hasil pada Gambar 5b sampai dengan 5e menunjukkan dengan jelas bahwa bentuk hubungan dengan lag-lag data adalah nonlinear. Hal ini terutama dapat dilihat pada plot data dengan lag 1 di Gambar 5b. Kondisi ini sesuai dengan postulat model sebenarnya yaitu lebih didominasi unsur nonlinearnya.

7. HASIL PERBANDINGAN POWER PADA STUDI SIMULASI Studi simulasi ini dilakukan pada masing-masing model di atas dengan pengulangan sebanyak 1000 kali dan ukuran sampel sebesar 200. Banyak pengulangan ini sama seperti yang telah dilakukan oleh Terasvirta dkk. [13], sedangkan besarnya ukuran sampel tersebut mewakili besar data yang besar untuk suatu data time series. Secara ringkas hasil-hasil perhitungan dari power pada uji Terasvirta dan uji White pada keempat model simulasi di atas dapat dilihat pada Tabel 1 dan secara grafik ditampilkan pada Gambar 6.

12


Gambar 5: Plot time series data (5a), dan plot data dengan lag-lagnya, yaitu 5b dengan lag 1, 5c dengan lag 2, 5d dengan lag 3, dan 5e dengan lag 4, dari data simulasi ESTAR.

Nilai power ini adalah banyaknya terjadi kesimpulan tolak H0 dalam 1000 kali pengujian pada masing-masing model. Dari Tabel 1 dan Gambar 6a dan 6b dapat dilihat dengan jelas bahwa power pada kedua uji ini untuk model yang sesungguhnya linear dan stasioner adalah sangat kecil. Dari hasil pada model AR(2) dapat dilihat dengan jelas bahwa nilai power pada kedua uji tersebut mendekati nilai level signifikasi, yaitu antara 0,01 dan 0,05.

Model AR(2) Gerak Acak LSTAR ESTAR

Level signifikansi 0,05 Uji White Uji Terasvirta F χ2 F χ2 0,065 0,052 0,059 0,048 0,119 0,122 0,142 0,136 0,568 0,558 0,973 0,972 1,000 0,999 1,000 1,000

Level signifikansi 0,01 Uji White Uji Terasvirta F χ2 F χ2 0,018 0,008 0,011 0,008 0,038 0,035 0,043 0,042 0,402 0,393 0,917 0,907 1,000 0,999 1,000 1,000

Tabel 1. Hasil perbandingan power uji Terasvirta dan uji White pada keempat model simulasi (1000 kali pengulangan) Power ini akan semakin besar pada saat model yang ada adalah model yang tidak stasioner, yang dalam penelitian ini diwakili oleh model Gerak Acak pada Gambar 6b. Perbandingan uji nonlinearitas dan uji ketidakstasioneran data (unit root test) pada suatu data time series secara mendalam dapat dilihat pada [2].


13

Gambar 6: Plot hasil perbandingan nilai-nilai power pada keempat model simulasi dengan level signifikasi 0,05.

Berdasarkan hasil-hasil pada tabel 1, Gambar 6c dan 6d dapat dilihat bahwa hasil perbandingan power kedua uji pada model-model yang nonlinear menunjukkan bahwa uji Terasvirta cenderung mempunyai power yang lebih tinggi dibanding uji White. Hal ini terlihat jelas pada nilai power pada model nonlinear LSTAR di gambar 6c, baik pada level signifikasi 0,05 ataupun 0,01. Hasil dari penelitian ini juga menunjukkan bahwa untuk data time series yang indikasi nonlinearnya sangat kuat, dalam hal ini seperti pada model ESTAR, maka kedua uji ini memberikan hasil yang sama baiknya dan hal ini dapat dilihat secara nyata pada Gambar 6d di atas.

8. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil-hasil dari studi simulasi dan perbandingan power antara uji Terasvirta dan uji White untuk mendeteksi adanya nonlinearitas pada suatu data time series dapat disimpulkan bahwa uji Terasvirta merupakan uji yang lebih baik dalam mendeteksi

14


adanya nonlinearitas pada suatu data time series dibanding uji White. Hal ini ditunjukkan dengan nilai power dari uji Terasvirta yang cenderung lebih besar dalam data time series dari kelompok model nonlinear. Hasil dari penelitian ini juga menunjukkan bahwa penggunaan fungsi aktifasi logistik sigmoid pada uji White dan pemilihan bobot dengan sampling acak, yang menghasilkan nilai power yang tidak begitu besar pada model-model time series nonlinear, memberikan peluang kajian teoritik lebih lanjut terhadap penggunaan fungsi aktifasi yang lain dan cara pemilihan bobot yang tidak hanya secara sampling acak dari suatu distribusi uniform. Sebagai contoh, pengunaan fungsi aktifasi Gaussian yang dikenal dengan model Radial Basis Function untuk uji linearitas pada suatu data time series telah dikembangkan oleh Blake dan Kapetanios [1].

Ucapan Terimakasih. Makalah ini merupakan salah satu bagian dari hasil Hibah Penelitian Tim Pascasarjana UGM 2004-2005. Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada tim penilai MIHMI atas revisi dan saran yang telah diberikan demi kesempurnaan makalah ini.

REFERENSI 1. Blake, A.P. and Kapetanios, G. ”A Radial Basis Function Artificial Neural Networks Test for Neglected Nonlinearity”, Working paper, National Institute of Economic and Social Research, 2000. 2. Blake, A.P. and Kapetanios, G. ”Pure Significance Tests of The Unit Root Hypothesis Against Nonlinear Alternatives”, Journal of Time Series Analysis, 24 (3)(2003), 253267. 3. Box, G.E.P. and Jenkins, G.M. Time Series Analysis, Forecasting and Control, Holdenday, San Fransisco, 1970. 4. Connor, J.T., Martin, R.D. and Atlas, L.E. ”Recurrent Neural Networks and Robust Time Series Prediction”, IEEE Transaction on Neural Networks, 5 (2)(1994), 240-254. 5. Granger, C.W.J. and Terasvirta, T. Modeling Nonlinear Economic Relationships, Oxford Universiy Press, Oxford, 1993. 6. Harvey, A.C. Econometrics Analysis of time Series, 2ed edition. MA:MIT Press, Cambridge, 1990. 7. Lee, T.-H., White, H. and Granger, C.W.J. ”Testing for Neglected Nonlinearity in Time Series Models: A Comparison of Neural Networks Methods and Alternative Test”, Journal of Econometrics, 56 (1993), 269-290. 8. Luukkonen, R., Saikkonen, P. and Terasvirta, T. ”Testing Linearity Agains Smooth Transition Autoregressive Models”, Biometrika, 75 (1988), 491-499. 9. Priestley, M.B. ”State-dependent Models: A General Approach to Non-linear Time Series Analysis”, Journal of Time Series Analysis, 1 (1980), 47-71. 10. Saikkonen, P. and Luukkonen, R. ”Lagrange Multiplier Test for Testing Non-linearities in Time Series Models”, Scandinavian Journal of Statistics, 15 (1988), 55-68. 11. Stensholt, B.K. and Tjostheim, D. ”Multiple Bilinear Time Series Models”, Journal of Time Series Analysis, 8 (1987), 221-233. 12. Suhartono dan Subanar. ”Uji Linearitas dengan Neural Networks pada Pemodelan Time Series”, Laporan Hibah Penelitian Tim Pascasarjana, UGM, Yogyakarta, 2004.


15

13. Terasvirta, T., Lin, C.-F. and Granger, C.W.J. ”Power of the Neural Networks Linearity Test”, Journal of Time Series Analysis, 14 (1993), 159-171. 14. Terasvirta, T., Tjostheim, D. and Granger, C.W.J. ”Aspect Modelling Nonlinear Time Series, in RF. Engle and D.L. McFadden”, eds. Handbook of Econometrics, 4 Chapter 48 (1994), 2919-2957. Elsevier Science B.V. 15. Tjostheim, D. ”Some Doubly Stochastic Time Series Models”, Journal of Time Series Analysis, 7 (1986), 51-72. 16. White, H. ”An Additional Hidden Unit Test for Neglected Nonlinearity in Multilayer Feedforward Networks ”, In Proceedings of The International Joint Conference on Neural Networks 451-455 (1989a), Washington DC, CA: SOS Printing, San Diego. 17. White, H. ”Some Asymptotic Results for Learning in Single Hiden-Layer Feedforward Networks Models”, Journal of the Americal Statistical Association , 84 (408) (1989b), 1003-1013. SUBANAR: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta 55281, Indonesia. E-mail: [email protected] SUHARTONO: Mahasiswa S3, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta 55281, Indonesia. E-mail: [email protected]

UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE MULTIPLIER DENGAN EKSPANSI TAYLOR UNTUK DETEKSI HUBUNGAN NONLINEAR PADA DATA TIME SERIES

Recommend Documents