Perjanjian No: III/LPPM/2016-02/35-P
ANALISA OPTIMASI PORTOFOLIO DENGAN KENDALA JUMLAH LOT SAHAM
Disusun Oleh: Liem Chin, M.Si Erwinna Chendra, M. Si Drs. Agus Sukmana, M.Sc
Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat Universitas Katolik Parahyangan 2016
1
DAFTAR ISI
Abstrak
3
Bab 1
Pendahuluan
3
Bab 2
Tinjauan Pustaka
4
Bab 3
Metode Penelitian
7
Bab 4
Jadwal Pelaksanaan
9
Bab 5
Hasil dan Pembahasan
10
Bab 6
Kesimpulan dan Saran
12
Daftar Pustaka
13
2
ABSTRAK
Pada penelitian sebelumnya, kami telah membuat model matematika untuk menentukan banyaknya jenis saham dan proporsi masing-masing saham yang mengoptimalkan portofolio yang terdiri dari saham-saham kelompok LQ45. Kriteria optimum yang digunakan pada portofolio tersebut adalah meminimumkan risiko atau meminimumkan risiko dengan target return tertentu dengan asumsi tidak diperbolehkannya short-selling. Indeks LQ45, yang diluncurkan pada Februari 1997, menggunakan 45 saham pilihan dengan kriteria yang ditentukan oleh Bursa Efek Indonesia, di antaranya likuiditas dan kapitalisasi pasar. Saat ini, investor retail di Indonesia tidak dapat melakukan short selling. Selain itu, transaksi saham dilakukan dalam satuan lot di mana 1 lot adalah 100 lembar. Dua hal ini akan di akomodasi dalam penelitian kali ini. Dengan demikian, pada penelitian ini kami akan mengembangkan model yang telah ada dengan menambahkan kendala banyaknya lot saham yang harus dibeli agar risiko portofolionya minimum baik dengan dan tanpa adanya target return. Kami akan melakukan analisa saham-saham yang termuat dalam indeks LQ45 berdasarkan kapitalisasi pasar saham tersebut. Untuk melakukan analisa ini, kami akan menggunakan pengembangan Generalized Reduced Gradient (GRG) yang programnya telah tersedia di Solver Microsoft Excel. Program ini dapat digunakan untuk untuk menyelesaikan masalah optimasi tak linear. BAB I. PENDAHULUAN Portofolio didefinisikan sebagai suatu kumpulan investasi yang dapat tersusun dari berbagai jenis aset, seperti obligasi dan saham. Optimasi portofolio adalah suatu proses memilih proporsi berbagai aset dalam portofolio yang membuat portofolio tersebut lebih baik dari yang lain berdasarkan beberapa kriteria, seperti: risiko yang minimum dan/atau return yang maksimum. Saat ini, indeks saham LQ45 yang diluncurkan pada bulan Februari 1997 termasuk indikator saham-saham di pasar modal di Indonesia. LQ45 menggunakan 45 saham pilihan dengan kriteria yang ditentukan oleh Bursa Efek Indonesia, di antaranya likuiditas dan kapitalisasi pasar. Menurut “Buku Panduan Indeks Harga Saham Bursa Efek Indonesia (2010) [3], nilai transaksi di pasar reguler merupakan ukuran utama likuiditas dan sejak Januari 2005, ditambahkan jumlah hari perdagangan dan frekuensi transaksi sebagai ukuran likuiditas. Saham-saham yang masuk ke dalam perhitungan indeks LQ45 akan dievaluasi setiap 3 bulan sekali dan penggantian saham-saham ke dalam indeks LQ45 dilakukan setiap enam bulan sekali yaitu pada awal bulan Februari dan Agustus. Masalah yang seringkali dijumpai oleh para investor dalam berinvestasi, khususnya dengan instrumen saham, adalah bagaimana mengoptimalkan portofolio yang dimilikinya. Tentu saja banyak kriteria yang dapat digunakan untuk mengoptimalkan portofolio. Pada [3], dibahas beberapa kriteria untuk mengoptimalkan sebuah portofolio, di antaranya meminimumkan risiko, memaksimumkan return, meminimumkan risiko dengan target return tertentu, dan memaksimumkan return dengan target return tertentu. Pada penelitian sebelumnya [4], kami telah memodelkan masalah optimasi portofolio yang terdiri dari saham-saham kelompok LQ45 dengan kriteria meminimumkan risiko dan meminimumkan risiko dengan target return
3
tertentu. Kedua kriteria yang kami gunakan ini ditambahkan pula dengan syarat short-selling tidak diperkenankan. Pada model portofolio kami sebelumnya, jika portofolio tersebut terdiri dari saham semuanya, maka banyaknya saham yang dibeli berdasarkan proporsi dana yang diperoleh dapat berupa bilangan real positif. Padahal, investor retail di Indonesia dapat membeli saham dalam satuan lot, di mana 1 lot = 100 lembar saham. Dengan demikian, kami perlu mengembangkan model yang telah ada dengan menyertakan kendala banyaknya lot saham yang perlu dibeli agar risiko portofolio tersebut minimum, baik tanpa target return maupun dengan adanya target return. BAB II. TINJAUAN PUSTAKA Misalkan dalam suatu portofolio terdapat n buah aset dan menyatakan persentase return dari aset ke-i pada periode ke-j dengan dan dan diasumsikan m > ) menyatakan proporsi besarnya investasi untuk aset ke-i dengan n. Misal ( ∑ . Risiko portofolio (V) pada model Markowitz dapat didefinisikan sebagai variansi dari portofolio [1, 2, 8], yaitu dengan ( )
(
)
Matriks Q merupakan matriks variansi-kovariansi dari return historis saham. Pada [1] telah dibahas mengenai optimalisasi portofolio dengan beberapa kriteria, di antaranya meminimumkan risiko, memaksimumkan return, meminimumkan risiko dengan target return tertentu, dan memaksimumkan return dengan target return tertentu. Beberapa dari kriteria itu pun ada pula yang ditambahkan dengan syarat tanpa short-selling. Pada penelitian sebelumnya, kami telah membahas mengenai meminimumkan risiko dan meminimumkan risiko dengan target return tertentu disertai syarat tidak adanya short-selling. Kemudian, model yang telah kami peroleh, diterapkan pada suatu portofolio yang terdiri dari saham-saham yang termasuk dalam indeks LQ45 dengan berbagai skenario [4]. Pada penelitian kali ini, kami akan menyertakan kendala banyaknya lot saham yang perlu dibeli agar risiko portofolio tersebut minimum. Banyaknya lot saham ini berupa bilangan bulat tak negatif. Kemudian kami akan melakukan analisa risiko dan return portofolio yang terdiri dari beberapa saham dengan rata-rata return terbaik berdasarkan kapitalisasi pasar yang sahamnya berada pada kelompok LQ45. Nilai kapitalisasi pasar suatu perusahaan menyatakan harga yang harus dibayar seseorang untuk membeli seluruh perusahaan tersebut. Nilai kapitalisasi dapat dihitung dengan mengalikan harga saham dengan banyaknya saham yang beredar. Kami membagi saham-saham yang masuk dalam kelompok indeks LQ45 menjadi tiga kelompok berdasarkan nilai kapitalisasinya. Kelompok I adalah perusahaanperusahaan dengan nilai kapitalisasi lebih besar dari 100 Triliun, Kelompok II adalah perusahaan-perusahaan dengan nilai kapitalisasi 21 Triliun sampai 100 Triliun, dan Kelompok III adalah perusahaan-perusahaan dengan nilai kapitalisasi lebih kecil atau sama dengan 20
4
Triliun. Kami juga menganalisa risiko dan return portofolio yang terdiri dari beberapa saham dengan rata-rata return terbaik untuk masing-masing kelompok berdasarkan nilai kapitalisasi pasar ini. Adapun tujuan dari penelitian kami ini adalah untuk memberikan pembelajaran bagi investor retail dalam menyusun portofolio yang optimal di mana portofolio ini hanya terdiri dari saham saja. Berikut ini merupakan rencana roadmap dari penelitian kami.
Gambar 1. Roadmap Penelitian
Pada tahun 2015, kami melakukan penelitian untuk mencari portofolio yang optimal dengan meminimumkan risiko baik dengan atau tanpa target return sekaligus short selling tidak diperkenankan. Selanjutnya, pada tahun ini (2016) kami menambahkan kendala banyaknya lot saham yang dibeli agar memberikan portofolio yang optimum. Hal ini kami lakukan karena pada kenyataannya, saham yang dibeli haruslah dalam satuan lot (1 lot = 100 lembar). Kemudian, pada tahun 2017 kami berencana untuk memodelkan optimasi portofolio di mana kendala biaya transaksi kami tambahkan di sini (selain tentu saja short selling tetap tidak diperkenankan). Agar lebih sesuai dengan kenyataan yang ada, pada tahun berikutnya kami menambahkan kendala banyaknya lot saham yang harus dibeli agar portofolio optimum. Dengan demikian pada tahun 2018, kami berharap dapat memperoleh model optimasi portofolio dengan kendala short selling tidak diperkenankan, adanya biaya transaksi beli/jual saham, dan banyaknya lot saham yang harus dibeli dalam penyusunan portofolio tersebut.
5
Fungsi objektif dari masalah optimasi portofolio pada penelitian ini adalah fungsi tak linear. Demikian pula halnya dengan kendala yang diberikan. Untuk menyelesaikan masalah optimasi ini, kami akan menggunakan metode Generalized Reduced Gradient (GRG) [6] yang dilanjutkan dengan metode Branch and Bound (B&B) [5]. Metode GRG ini merupakan pengembangan dari metode reduced gradient yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan fungsi objektif dan kendala berupa fungsi linear. Metode GRG ini digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan fungsi objektif dan kendala berupa fungsi tak linear, diperkenalkan pertama kali padi tahun 1974 oleh Lasdon dkk [7] yang kemudian dikembangkan oleh Lasdon dan Waren hingga tahun 2004. Sedangkan metode B&B pertama kali diperkenalkan oleh Land dan Doig pada tahun 1960 untuk menyelesaikan masalah pemrograman diskret. Kedua metode ini akan kami jelaskan lebih lanjut pada bab berikutnya. Kami akan melakukan analisa optimasi portofolio ini dengan bantuan Solver yang terdapat pada Microsoft Excel. Berikut ini diberikan dua model yang kami bahas pada penelitian sebelumnya. 1. Model meminimumkan risiko tanpa target return dan tanpa short selling. Model01 ∑
∑ ∑
(1)
dengan kendala ∑
dan untuk setiap i. 2. Model meminimumkan risiko dengan target return Model02 ∑
dan tanpa short selling.
∑ ∑
(2)
dengan kendala ∑ ∑ ̅
dan untuk setiap i. Kedua model ini ditransformasi dengan memanfaatkan fungsi penalti. Kemudian, model yang telah kami peroleh, diterapkan pada suatu portofolio yang terdiri dari saham-saham yang termasuk dalam indeks LQ45 dengan berbagai skenario [4]. Masalah selanjutnya adalah pembelian saham harus dalam lot (1 lot = 100 saham). Banyaknya lembar saham i yang perlu dibeli dalam membentuk portofolio adalah
6
dengan : harga saham ke-i saat ini dan M menyatakan besarnya dana yang akan diinvestasikan. Dengan demikian, banyaknya lot saham yang perlu dibeli adalah
dengan : banyaknya lot saham ke-i. Karena jumlah lot ini harus berupa bilangan bulat tak negatif ( ), maka Model01 dimodifikasi menjadi Model01M dengan kendala (short-selling tidak diperkenankan) ∑ Dengan cara serupa, Model02 dimodifikasi menjadi Model02M dengan kendala (short-selling tidak diperkenankan) ∑ ∑ ̅
Baik pada Model01M maupun Model02M, semua entri diganti dengan . Karena hasilnya berupa bilangan bulat positif, kedua model ini tidak ditransformasi seperti yang kami lakukan penelitian sebelumnya. Namun, kami memilih metode Generalized Reduced Gradient (GRG) yang digabungkan dengan Branch and Bound (B&B) karena programnya telah tersedia di Solver yang merupakan suatu tools Microsoft Excel yang cukup mudah penggunaanya. BAB III. METODE PENELITIAN Sistematika dari usulan hibah penelitian ini dibagi dalam beberapa tahap seperti tampak pada Gambar 2. Tahap I: Studi pustaka mengenai optimasi portofolio dengan meminimumkan risiko dan meminimumkan risiko dengan target return tertentu di mana short-selling tidak diperbolehkan dan adanya kendala banyaknya lot saham yang dibeli. Selain itu, studi literatur juga diperlukan untuk metode Generalized Reduced Gradient. Tahap II: membuat model masalah optimasi portofolio dengan meminimumkan risiko tanpa short-selling dan kendala banyaknya lot (bilangan bulat tak negatif) saham yang dibeli. Tahap III: membuat model masalah optimasi portofolio dengan meminimumkan risiko dengan target return tertentu tanpa short-selling dan kendala banyaknya lot (bilangan bulat tak negatif) saham yang dibeli.
7
Tahap IV: Melakukan analisa optimasi portofolio yang memuat saham-saham kelompok LQ45 dengan bantuan software Excel dan/Matlab di mana metode yang kami gunakan adalah Generalized Reduced Gradient (GRG) yang dilanjutkan dengan Branch and Bound (B&B). Studi pustaka mengenai optimasi portofolio
Model optimasi portfolio
Meminimumkan risiko dengan dan tanpa target return Short selling tidak diperkenankan
Meminimumkan risiko tanpa target return Tanpa short selling Kendala lot saham yang dibeli
Kendala lot saham yang dibeli
Kendala lot saham yang dibeli Reduced Gradient
Analisa optimasi portofolio yang memuat saham LQ45
Tanpa short selling Meminimumkan risiko dengan target return
Studi pustaka Generalized Reduced Gradient (GRG)
Model optimasi portfolio Gambar 2. Diagram metodologi penelitian
Metode GRG Misal diberikan masalah optimasi berikut. dengan kendala
( )
( )
dengan fungsi dan merupakan fungsi yang diferensiabel kontinu. Pada masalah ini, baik fungsi objektif maupun fungsi kendala merupakan fungsi tak linear. Ide dasar dari GRG adalah mengganti persamaan tak linear dari kendala dengan aproksimasi linear Taylor pada nilai x saat ini, kemudian gunakan algoritma reduced gradient untuk menyelesaikan masalah ini [6]. Pada masalah optimasi kami ini, baik fungsi objektif maupun fungsi kendalanya berupa fungsi tak linear, dengan demikian kami pertama-tama kami akan menyelesaikannya menggunakan metode GRG. Namun, dengan menggunakan metode ini, variabel keputusan (banyaknya lot saham yang dibeli) dapat berupa bilangan real tak negatif sehingga kami perlu
8
melanjutkan dengan metode B&B agar diperoleh variabel keputusan berupa bilangan bulat tak negatif. Metode B&B Setelah diperoleh variabel keputusan yang merupakan solusi dari masalah optimasi yang diberikan, maka untuk memperoleh variabel keputusan berupa bilangan bulat tak negatif, maka kami menggunakan metode B&B. Metode ini terdiri dari tiga komponen utama, yaitu [5]: 1. Fungsi batas (bounding function) yang memberikan batas bawah untuk solusi terbaik yang dapat diperoleh dari subruang solusi. 2. Strategi pemilihan subruang solusi yang akan diselidiki pada iterasi saat ini. 3. Aturan pencabangan apabila subruang solusi tidak dapat dibuang sehingga kita perlu membagi subruang solusi menjadi dua atau lebih untuk diselidiki pada iterasi selanjutnya. Kedua metode di atas telah tersedia di Microsoft Excel dalam Solver. Kami memilih metode ini karena programnya telah tersedia dan mudah dalam penggunaannya. Hasil penelitian direncanakan akan dipresentasikan pada seminar nasional/internasional. Salah satu seminar internasional yang direncanakan untuk dihadiri adalah International Conference on Economics, Business, and Social Sciences, 6-7 December 2016, Universitas Islam Malang. Namun, karena laporan akhir harus selesai pada bulan November, maka kami mempresentasikan hasil penelitian ini di Konferensi Nasional Matematika, 2-5 November 2016, Universitas Riau. Selain itu, hasil penelitian ini juga direncanakan akan dimasukkan sebagai artikel dalam sebuah jurnal nasional terakreditasi. Jurnal yang disasar adalah “Jurnal Akuntansi dan Keuangan Indonesia”. BAB IV. JADWAL PELAKSANAAN BULAN KEGIATAN 1 2 3 Studi Pustaka Optimasi portofolio dengan meminimumkan risiko tanpa short-selling dan kendala banyaknya lot (bilangan bulat tak negatif) saham yang dibeli Optimasi portofolio dengan meminimumkan risiko dengan target return tertentu tanpa shortselling dan kendala banyaknya
4
5
6
7
8
9
10
3 orangminggu 3 orangminggu
3 orangminggu
9
lot (bilangan bulat tak negatif) saham yang dibeli Analisa optimasi portofolio yang memuat saham-saham kelompok LQ45 dengan menggunakan model yang telah dikembangkan
3 orangminggu
Penyusunan Laporan Kegiatan dan publikasi
2 orangminggu
BAB V. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada penelitian ini, kami akan menentukan banyaknya saham pada kelompok LQ45 yang akan dipilih beserta jumlah lot yang perlu dibeli dari masing-masing saham yang telah dipilih agar portofolio yang terbentuk optimum dalam arti risikonya paling kecil. Kami menggunakan data historis harga saham dari 1 Juli 2015 hingga 30 Juni 2016. Data ini kami unduh pada tanggal 10 Juli 2016 di yahoo finance [10]. Dari data ini kami hitung rata-rata return dari masing-masing saham. Sedangkan untuk membentuk matriks variansi-kovariansi Q, digunakan formula [1, 2]: ∑(
̅)
dan
∑(
̅ )(
̅)
dengan ̅ menyatakan rata-rata return dari saham i. Parameter-parameter yang kami gunakan untuk hasil-hasil berikut ini adalah modal juta dan keakuratan masing-masing kendala adalah .
Dari data historis harga saham, kami peroleh bahwa ada 14 saham yang rata-rata returnnya negatif. Karena itu, ke-14 saham ini tidak kami gunakan dalam pembentukan portofolio. Dengan demikian kami hanya menggunakan 31 saham dari 45 saham yang terdapat dalam kelompok LQ45. Berikut ini diberikan 2 buah tabel pembentukan portofolio yang terdiri dari saham-saham LQ45. Tabel 1 dan Tabel 2 masing-masing merupakan portofolio yang terbentuk dengan menggunakan Model01M dan Model02M. Dari kedua tabel ini terlihat bahwa kendala target return berperan dalam pembentukan portofolio. Pada Tabel 2, portofolio yang terbentuk terdiri dari saham-saham yang lebih banyak (ada 13 saham) dibandingkan dengan Tabel 1 (hanya 7 saham). Untuk portofolio dengan target return 0.02% memberikan risiko yang lebih besar dibandingkan dengan portofolio tanpa target return.
10
Tabel 1. Portofolio Model01M
Saham ADHI WSKT AKRA MYRX PTBA LPKR BBCA
Jumlah Lot 83 25 19 353 3 68 16
Tabel 2. Portofolio Model02M
Saham WKST PWON CPIN HMSP BBTN ANTM ICBP
Jumlah Lot 159 89 57 1 56 10 7
Saham TLKM SCMA SMRA PTPP MYRX SRIL
Jumlah Lot 3 1 1 1 3 1
Selanjutnya, kami membagi ke-31 saham itu menurut kapitalisasi pasarnya. Kapitalisasi pasar ini kami bagi menjadi 3 kelompok, yaitu: 1. Kelompok 1, terdiri dari 9 saham dengan kapitalisasi pasar kurang dari Rp 20 Triliun. 2. Kelompok 2, terdiri dari 15 saham dengan kapitalisasi pasar antara Rp 20 – Rp 100 Triliun. 3. Kelompok 3, terdiri dari 7 saham dengan kapitalisasi pasar lebih dari Rp 100 Triliun. Sama seperti sebelumnya, berikut ini akan ditampilkan 5 buah tabel yang menyatakan jumlah lot yang diperlukan untuk membentuk portofolio Model01M dan Model02M yang terdiri dari saham-saham berkapitalisasi kecil, menengah, dan besar. Khusus untuk portofolio yang terdiri dari saham-saham berkapitalisasi besar, tidak ditemukan solusi fisibel untuk Model02M. Tabel 3. Portofolio Model01M yang terdiri dari saham-saham berkapitalisasi kecil Tabel 4. Portofolio Model02M yang terdiri dari Saham Jumlah Lot saham-saham berkapitalisasi kecil
ANTM BBTN MYRX PTBA PTPP SRIL SSMS WIKA
2 59 355 2 58 40 73 82
Saham ADHI ANTM BBTN MYRX SRIL
Jumlah Lot 247 14 125 33 305
11
Tabel 5. Portofolio Model01M yang terdiri dari saham-saham berkapitalisasi menengah
Saham ADRO AKRA ICBP JSMR LPKR PWON WSKT
Tabel 6. Portofolio Model02M yang terdiri dari saham-saham berkapitalisasi menengah
Jumlah Lot 105 9 15 25 117 40 123
Saham ADRO BSDE ICBP PWON SMRA WSKT
Jumlah Lot 6 27 18 148 2 216
Tabel 7. Portofolio Model01M yang terdiri dari saham-saham berkapitalisasi besar
Saham BBCA BBRI UNVR TLKM
Jumlah Lot 14 54 1 48
Seorang investor moderat (yang dapat menerima risiko dengan tingkat menengah) dapat membentuk portofolio tanpa target return dengan mengacu pada Tabel 5. Pada tabel ini, investor tersebut dapat mengharapkan return sebesar 0.136% dengan risiko yang ditanggungnya sebesar 0.019%. Return yang diharapkan ini lebih besar dibandingkan dengan portofolio Tabel 7 dan sedikit lebih kecil dibandingkan portofolio Tabel 3. Sedangkan apabila seorang investor ingin mengharapkan return sebesar 0.2%, maka investor tersebut dapat membentuk portofolio Tabel 4 atau Tabel 6 yang keduanya memberikan risiko yang sama, yaitu sebesar 0.06%. BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN Dari pembahasan di atas, kami dapat menyimpulkan bahwa portofolio yang terdiri dari saham LQ45 dengan kapitalisasi pasar antara Rp 20 – Rp 100 Triliun relatif memberikan hasil yang baik (dalam arti risiko lebih kecil dan return lebih besar) dibandingkan dengan portofolio lainnya. Untuk penelitian lebih lanjut, kami akan memasukkan biaya transaksi beli-jual saham dalam pembentukan portofolio. Selain itu, rebalancing portofolio juga tampaknya
12
perlu dipertimbangkan untuk menjaga agar portofolio yang dibentuk oleh investor dapat memberikan return yang sesuai dengan harapannya. DAFTAR PUSTAKA [1] Biggs, M.C. B. (2005), Nonlinear Optimization with Financial Applications, Kluwer Academic Publisher, London. [2] Biggs, M.C. B., Kane, S.J. (2009), A Global Optimization Problem in Portfolio Selection, Computational Management Science, vol. 6, issue 3, pp 329-345. [3] Bursa Efek Indonesia (2010), Buku Panduan Indeks Harga Saham Bursa Efek Indonesia. [4] Chin, L., Chendra, E., Sukmana A. (2015), Analysis of Portfolio Optimization Consisting of Stocks in LQ45 Index, ICMAME Proceedings, Sanata Dharma University (camera ready). [5] Clausen, J (1997), Branch and Bound Algorithms – Principles and Examples, Parallel Computing in Optimization, pp. 239-267 [6] De Klerk, E., Roos, C., Terlaky, T. (2004), Nonlinear Optimization, University of Waterloo. [7] Lasdon, L.S., Fox, R. L., Ratner, M. W (1974), Nonlinear Optimization using Generalized Reduced Gradient Method, Recherce Operationelle, tome 8, vol 3, pp. 73-103. [8] Markowitz, H. (1952), Portfolio Selection, The Journal of Finance, vol. 7, no. 1, pp. 7791. [9] www.idx.co.id. [10] http://finance.yahoo.com/
13
