OPTIMASI BIAYA PRODUKSI PADA HOME INDUSTRY SUSU KEDELAI MENGGUNAKAN PENDEKATAN PENGALI LAGRANGE DAN PEMROGRAMAN KUADRATIK
TUGAS AKHIR SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh : Ela Rukmana NIM. 13305141009
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2017
i
PERSETUJUAN
Tugas Akhir Skripsi dengan Judul OPTIMASI BIAYA PRODUKSI PADA HOME INDUSTRY SUSU KEDELAI MENGGUNAKAN PENDEKATAN PENGALI LAGRANGE DAN PEMROGRAMAN KUADRATIK
Disusun Oleh:
Ela Rukmana NIM 13305141009
telah memenuhi syarat dan disetujui oleh Dosen Pembimbing untuk dilaksanakan Ujian Akhir Tugas Akhir Skripsi bagi yang bersangkutan.
Yogyakarta, Juli 2017 Disetujui, Ketua Prodi Matematika
Dosen Pembimbing
Dr. Agus Maman Abadi
Eminugroho Ratna Sari M.Sc
NIP. 19700828 199502 1 001
NIP. 19850414 200912 2 003
ii
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi yang berjudul “OPTIMASI BIAYA PRODUKSI PADA HOME INDUSTRY SUSU KEDELAI MENGGUNAKAN PENDEKATAN PENGALI LAGRANGE DAN PEMROGRAMAN KUADRATIK” yang disusun oleh Ela Rukmana, NIM 13305141009 ini telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 4 Agustus 2017 dan dinyatakan lulus. TIM PENGUJI Nama/Jabatan
Jabatan
Tanda Tangan
Tanggal
Eminugroho Ratna Sari, M. Sc NIP. 198504142009122003
Ketua Penguji
..................
.............
Husna ‘Arifah, M. Sc NIP. 197810152002122001
Sekretaris Penguji
..................
.............
Rosita Kusumawati, M. Sc NIP. 198007072005012001
Penguji Utama
..................
.............
Nikenasih Binatari, M. Si NIP. 198410192008122005
Penguji Pendamping
..................
.............
Yogyakarta,
Agustus 2017
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Dekan,
Dr. Hartono NIP.19620329 198702 1 002
iii
PERNYATAAN Yang bertanda tangan dibawah ini, Saya : Nama
: Ela Rukmana
NIM
: 13305141009
Program Studi
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Judul
: Optimasi biaya Produksi pada Home Industry Susu Kedelai Menggunakan
Pendekatan
Pengali
Lagrange
dan
Pemrograman Kuadratik. Menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri dan sepanjang sepengetahuan saya, tidak berisi materi-materi yang dipublikasikan atau ditulis orang lain, kecuali pada bagian-bagian yang saya ambil sebagai acuan. Apabila terbukti pernyataan saya tidak benar, sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai peraturan yang berlaku.
Yogyakarta,
Agustus 2017
Yang menyatakan
Ela Rukmana NIM. 13305141009
iv
MOTTO “Berdoalah kepadaKu, niscaya akan Kuperkenankan bagimu” -Q.S. Al Mu’min : 60“Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, maka apabila kamu telah selesai dari suatu urusan kerjakanlah dengan sungguhsungguh urusan yang lain, dan hanya kepada Tuhanmulah hendaknya kamu berharap” -Al Insyirah : 6-8“Trust yourself, you know more than think you do” -Dr Spock-
v
HALAMAN PERSEMBAHAN Karya ini saya persembahkan untuk ayah dan ibu saya, Diyono dan Sutri kalau bukan karena doa dan semangat dari beliau saya tidak akan bisa mencapai titik ini. Muhamad Kukuh Prasetyo ,Dialah motivasi saya untuk bisa menjadi kakak dan contoh yang lebih baik. Ibu Emi Nugroho Ratna Sari, M.Sc, yang telah banyak memberikan semangat, arahan, dan bimbingan selama penyusunan skripsi ini
vi
OPTIMASI BIAYA PRODUKSI PADA HOME INDUSTRY SUSU KEDELAI MENGGUNAKAN PENDEKATAN PENGALI LAGRANGE DAN PEMROGRAMAN KUADRATIK
Oleh: Ela Rukmana NIM. 13305141009
ABSTRAK Optimasi merupakan suatu cara untuk memperoleh hasil yang optimal dari memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan dengan memperhatikan batasan-batasan yang ada. Salah satu penerapan optimasi pada bidang industri yaitu untuk meminimumkan biaya produksi. Tujuan dari penelitian ini adalah membentuk model matematika untuk pengoptimalan biaya produksi pada home industry susu kedelai Pak Ahmadi kemudian menyelesaikan model menggunakan metode pengali lagrange dan pemrograman kuadratik. Model matematika yang diperoleh berupa model nonlinear yang dibentuk menggunakan Geogebra. Dalam hal ini,model dipilih dari varian rasa original, rasa strawberry dan rasa coklat. Fungsi tujuan dari model tersebut adalah meminimumkan biaya produksi. Pengali lagrange menyelesaikan masalah nonlinear dengan membentuk fungsi lagrange kemudian mencari turunan pertama pada semua variabel hingga diperoleh titik kritis dan nilai minimum. Pemrograman kuadratik menyelesaikan masalah nonlinear dengan mengubah menjadi masalah linear menggunakan syarat Karush Kuhn Tucker kemudian diselesaikan dengan menggunakan simpleks metode wolfe. Berdasarkan perhitungan, penyelesaian menggunakan pengali lagrange sama dengan pemrograman kuadratik yaitu diperoleh solusi optimal sebesar Rp 2.352.804,13. Dalam hal ini, solusi yang diperoleh adalah biaya minimum untuk memproduksi susu kedelai dengan varian rasa original sebanyak 1300 bungkus, sedangkan jumlah produksi susu kedelai untuk varian rasa strawberry dan coklat masing-masing sebanyak 960 bungkus. Kata kunci : Optimasi, Pengali Lagrange, Pemrograman Kuadratik.
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan segala rahmat, hidayah, dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Optimasi Biaya Produksi pada Home Industry Susu Kedelai Menggunakan Pendekatan Pengali Lagrange dan Pemrograman Kuadratik”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. Penyusunan skripsi ini dapat berhasil dengan baik dan lancar berkat bantuan dari barbagai pihak. Oleh karena itu dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada : 1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. 2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. 3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Prodi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. 4. Ibu Eminugroho Ratna Sari, M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, motivasi, bantuan, dan arahan dengan sabar dalam penyusunan skripsi ini. 5. Bapak ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY yang telah mengajarkan ilmunya selama perkuliahan. 6. Teman-teman Matematika B 2013 yang telah menemani dan memberi semangat serta bantuan demi kelancaran penyusunan skripsi ini. 7. Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Penulis menyadari adanya kekurangan, ketidaktelitian dan kesalahan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun
viii
sangat terbuka. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak yang terkait. Yogyakarta, Agustus 2017 Penulis
Ela Rukmana
ix
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL................................................................................................ i PERSETUJUAN ..................................................................................................... ii PENGESAHAN ..................................................................................................... iii PERNYATAAN..................................................................................................... iv MOTTO ...................................................................................................................v PERSEMBAHAN .................................................................................................. vi ABSTRAK ............................................................................................................ vii KATA PENGANTAR ......................................................................................... viii DAFTAR ISI ............................................................................................................x DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiii DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv DAFTAR LAMPIRAN ..........................................................................................xv DAFTAR SIMBOL.............................................................................................. xvi BAB I PENDAHULUAN .......................................................................................1 A. LATAR BELAKANG MASALAH .............................................................1 B. BATASAN MASALAH ..............................................................................6 C. RUMUSAN MASALAH .............................................................................6 D. TUJUAN PENELITIAN ..............................................................................7 E. MANFAAT PENELITIAN ..........................................................................7 BAB II KAJIAN PUSTAKA ....................................................................................... 9 A. Fungsi.................................................................................................................... 9 B. Turunan ............................................................................................................... 10 C. Turunan Parsial .................................................................................................. 11 D. Fungsi Konveks dan Konkaf ........................................................................... 13 E. Maksimum dan Minimum ................................................................................ 16 F. Titik Kritis .......................................................................................................... 17 G. Matriks Hessian ................................................................................................. 20 H. Matriks Definit Positif dan Negatif................................................................. 20 I. Pemrograman Linear......................................................................................... 21
x
J. Metode Simpleks ............................................................................................... 24 K. Dualitas ............................................................................................................... 30 L. Pemrograman Nonlinear................................................................................... 38 M. Pengali Lagrange .............................................................................................. 42 N. Kondisi Karush Kuhn-Tucker (KKT)............................................................. 47 O. Pemrograman Kuadratik................................................................................... 49 P. Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe ........................................................ 52 Q. Software Geogebra ............................................................................................ 58 R. Software WinQSB 2.0 ...................................................................................... 59 BAB III METODE PENELITIAN ........................................................................... 61 A. Waktu dan Tempat ........................................................................................... 61 B. Metode Pengumpulan Data ............................................................................. 61 C. Prosedur Penelitian ........................................................................................... 62 BAB IV PEMBAHASAN............................................................................................ 65 A. Penerapan Model Nonlinear di Home Indusrty Susu Kedelai Pak Ahmadi ............................................................................................................................. 65
1. Pembentukan model ............................................................................. 66 2. Penyelesaian Model Nonlinear Menggunakan Pengali Lagrange dengan Multiplier λ∗ ......................................................................75 3. Penyelesaian
Model
Nonlinear
Menggunakan
Pendekatan
Pemrograman Kuadratik metode Wolfe ............................................ 77 4. Dualitas Pada Fungsi Linear Pemrograman Kuadratik ................... 83 BAB V PENUTUP ........................................................................................................ 87 A. KESIMPULAN ................................................................................................. 87 B. SARAN............................................................................................................... 89 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 90 LAMPIRAN................................................................................................................... 93
xi
DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Fungsi Konveks dan Konkaf dengan Dua Variabel ...............................16 Tabel 2.2 Bentuk tabel simpleks ............................................................................27 Tabel 2.3 Tabel simpleks Contoh 2.18 ..................................................................57 Tabel 2.4 Iterasi 1 Contoh 2.18 ..............................................................................57 Tabel 2.5 Tabel optimum Contoh 2.18 ..................................................................58 Tabel 4.1 Jumlah Pemesanan Susu Kedelai Pak Ahmadi Periode Februari 2016Januari 2017 ..........................................................................................................67 Tabel 4.2 Data Biaya Produksi Susu Kedelai Pak Ahmadi Periode Februari 2016Januari 2017 ...........................................................................................................68
xii
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Bagan Alir Metode Pengali Lagrange .............................................. 45 Gambar 2.2 Bagan Alir Metode Pemrograman Kuadratik ....................................... 54 Gambar 2.3 Tampilan pembuka pada software Geogebra ........................................ 59 Gambar 2.4 Tampilan utama software Geogebra ...................................................... 59 Gambar 2.5 Tampilan Pembuka WinQSB 2.0 Nonlinear Programming51 .......... 60 Gambar 2.6 Tampilan Pilihan Sub Menu WinQSB .................................................. 60 Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian .......................................................................... 64 Gambar 4.1 Bagan Alir Proses Pembentukan Model dan Penyelesaian Model Nonlinear ......................................................................................................................... 65 Gambar 4.2 Proses Penyelesaian Solusi Optimal Metode Pemrograman Kuadratik .......................................................................................................................................... 66
Gambar 4.3 Tampilan hasil fitpoly untuk 𝑥1 ............................................................. 70 Gambar 4.4 Tampilan hasil fitpoly untuk 𝑥2 ............................................................. 71 Gambar 4.5 Tampilan hasil fitpoly untuk 𝑥3 .............................................................. 72 Gambar 4.6 Hasil akhir iterasi simpleks metode wolfe ............................................ 81
xiii
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 Input data Simpleks Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe dengan LP-ILP ............................................................................................................................. 94 Lampiran 2 Table Iterasi Pemograman Kuadratik Metode Wolfe dengan LP-ILP .......................................................................................................................................... 95
Lampiran 3 Tabel Optimal Iterasi Simpleks Pemograman Kuadratik Metode Wolfe dengan LP-ILP ............................................................................................................... 98 Lampiran 4 Solution Summary Pendekatan Pemrograman Kuadratik dengan LPILP .................................................................................................................................... 99 Lampiran 5 Dualitas Pemograman Kuadratik Metode Wolfe dengan LP-ILP ..... 100
xiv
DAFTAR SIMBOL λ∗
: pengali lagrange
λ𝑖
: pengali pada kondisi Kuhn-Tucker untuk kendala ke-i
𝑒𝑖 ′
: variabel surplus (excess) untuk kondisi Kuhn-Tucker ke-i
𝑒𝑖
: variabel surplus (excess) untuk kondisi Kuhn-Tucker kendala ke-i
𝑎𝑖
: variabel buatan untuk kondisi Kuhn-Tucker ke-i
𝑎𝑖 ′
: variabel buatan untuk kondisi Kuhn-Tucker kendala ke-i
𝑤
: fungsi tujuan linear pada pemrograman kuadratik
𝑦𝑗
: variabel keputusan ke-j untuk masalah dual
𝑧
: fungsi tujuan pada permsalahan dual
xv
