PERSAMAAN HIPERBOLA KEGIATAN BELAJAR 14

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

KEGIATAN BELAJAR 14

PERSAMAAN HIPERBOLA

Setelah mempelajari kegiatan belajar 14 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1.

Menentukan Persamaan Hiperbola

2.

Melukis Persamaan Hiperbola

Sebelumnya anda telah mempelajari persamaan parabola dan persamaan elips. Hiperbola mirip dengan parabola, bedanya parabola hanya terdiri dari satu kurva, sedangkan hiperbola terdiri dari dua kurva, yang masing-masing kurva disebut cabang. cabang Untuk memahami definisi hiperbola perhatikan gambar 14.1 di bawah ini.

Sumber: www.google.co.id

Gambar 14.1 Sutet berbentuk hiperbola

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


Definisi 1: Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya tetap nilainya terhadap dua titik tertentu. Kedua titik tertentu disebut fokus (titik api). Sekarang kita pindahkan Gambar 14.1 pada Sumbu Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 14.2 di bawah ini.

Gambar 14.2. Hiperbola pada koordinat cartesius Berdasarkan gambar di atas, dapat kita ketahui bahwa unsur-unsur dari pembentukkan hiperbola tersebut adalah sebagai berikut: 1) Sumbu simetri yang melalui kedua fokus disebut sumbu utama (sumbu

transvers) atau sumbu mayor dan yang melalui pertengahan serta tegak lurus disebut sumbu sekawan (sumbu konjugasi) atau sumbu minor. minor

2) Titik potong kedua sumbu tersebut disebut pusat hiperbola. hiperbola 3) Titik potong hiperbola dengan sumbu utama disebut dengan puncak hiperbola sedangkan ruas garis penghubung kedua titik potong hiperbola dengan sumbu utama disebut latus rectum. rectum 4) Hiperbola mirip dengan parabola, bedanya parabola hanya terdiri dari satu kurva, sedangkan hiperbola terdiri dari dua kurva, yang masing-masing kurva disebut cabang. cabang Jika unsur-unsur hiperbola tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan hiperbola? Untuk menentukan persamaan hiperbola berdasarkan koordinat pusat; koordinat puncak; panjang sumbu mayor dan sumbu minor; latus rectum dan lain-lain, maka lakukanlah kegiatan berikut ini.


2


Kegiatan 14.1. Menentukan Persamaan hiperbola dengan pusat di , ,, sumbu mayor sejajar dengan sumbu dan sumbu minornya adalah sumbu ..

1.

Pertama sekali kita gambar sebuah hiperbola yang berpusat di 0, 0 ,

sumbu utama adalah sumbu dan sumbu sekawannya adalah sumbu ,

seperti yang terlihat pada Gambar 14.3 di bawah ini.

Gambar 14.3. Hiperbola horizontal yang berpusat di ,

2.

3.

Misalkan titik terletak pada hiperbola. Perhatikan gambar di atas, yang menunjukkan jarak ke dan jarak ke . Selisih jarak | | terhadap | | anggap sama dengan 2.

Dengan menggunakan defenisi hiperbola, diperoleh: | | | | 0 0 2 2 2 ∓

2

4 4 " # 4 4

2 4 2 4

4 4 4

$ 2 " # $ 2 " 2 # $ 2 2 $ $ [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

3

4


Berdasarkan hubungan % , maka persamaan di atas menjadi,

% % Jika dibagi dengan % maka di peroleh suatu persamaan elips adalah: Dengan syarat > %

& ' (

38

Persamaan (38) di atas merupakan persamaan hiperbola dengan pusat

0, 0 . Apabila hiperbola dengan pusat 0, 0 , fokus , 0 dan , 0

dengan persamaan:

& ' (

* apabila pusat 0, 0 kita translasikan sejauh + maka kita peroleh pusat hiperbola menjadi *, + , sumbu utama adalah + yang sejajar dengan sumbu dan sumbu sekawannya adalah * yang sejajar dengan sumbu .

sehingga persamaan hiperbola menjadi: & , ' - 39 ( Persamaan (39) merupakan persamaan hiperbola dengan pusat *, + , dimana > %.

Pada kegiatan 14.1 kita sudah dapat suatu persamaan hiperbola adalah & , ' - & ' dan ( ( Sekarang kita juga dapat menentukan persamaan hiperbola, jika sumbu

mayornya adalah sumbu dan sumbu sekawannya adalah sumbu . Seperti

yang terlihat pada Gambar 14.4 dengan cara yang sama pada kegiatan 14.1


5


Gambar 14.4. Hiperbola Vertikal dengan pusat di ,

Berdasarkan gambar di atas, dapat dilihat bahwa jumlah jarak titik

sembarang , terhadap kedua fokus sama dengan 2. Karena titik ,

terletak pada hiperbola maka diperoleh, 2

0 0 2 2

2

4 4

2 4 4 2

4 4 4

2

2 $ 2 $

Berdasarkan hubungan % , maka persamaan di atas menjadi,

% % Jika dibagi dengan % maka di peroleh suatu persamaan elips adalah: Dengan syarat % > .

& ' (

40



Persamaan (40) di atas merupakan persamaan hiperbola dengan pusat

0, 0 . Apabila hiperbola dengan pusat 0, 0 , fokus 0, dan 0,

dengan persamaan:

& ' (

* apabila pusat 0, 0 kita translasikan sejauh + maka kita peroleh pusat hiperbola menjadi *, + , sumbu utama adalah * yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu sekawannya adalah + yang sejajar dengan sumbu . sehingga persamaan hiperbola menjadi:

41 & , ' - ( Persamaan (41) merupakan persamaan hiperbola dengan pusat *, + ,

dimana > %.

Masalah 14.1 Tentukan koordinat pusat, koordinat fokus, koordinat puncak, dan jarak kedua fokus dari persamaan hiperbola 4 12 24 12 0!

Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaiakan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu pusat hiperbola dengan menggubah persamaan 4 12

24 12 0 menjadi bentuk baku persamaan hiperbola yaitu: * + 1 % 4 12 24 12 0 4 24 12 12 4 6 12 12 4 3 36 12 12 4 3 12 48 3 1 12 4 Diperoleh nilai 12 → ±2√3

% 4 → % ±2 % sehingga diperoleh nilai √12 4 √16 atau ±4 Sehingga dapat disimpulkan bahwa: (i) Koordinat pusat di 3, 0


6


(ii) Koordinat puncak *, + dan *, + berarti 2√3 3, 0 dan 2√3 3, 0

(iii) Koordinat fokus *, + dan *, + berarti 1, 0 dan 7, 0

(iv) Jarak kedua fokus 8.

(v) Sumbu utama adalah 0 dan sumbu sekawan adalah 3.

Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh. Masalah 14.2 Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai koordinat puncak 8,0 dan 9

8, 0 serta melalui titik 10, 3 $ !

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu titik pusat hiperbola dengan cara:

1) Hiperbola mempunyai puncak , 0 dan , 0 sehingga diperoleh nilai 8 2) Pusat hiperbola adalah 0, 0 sehingga persamaan hiperbola adalah

1 %

1 64 % 9 Hiperbola melalui titik 10, 3 $ sehingga diperoleh,

3 10 4 1 64 % 15 100% 64 : < 64% 4 100% 64% 900 36% 900 % 25 ↔ % ±5 Jadi, persamaan hiperbola dengan pusat 0, 0 adalah

3

1 64 25 Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh.


7

8


Persamaan Asimtot Hiperbola Definisi 2 Asimtot adalah suatu garis yang menyinggung kurva/parabola di jauh tak terhingga. Untuk menentukan persamaan asimtot hiperbola, kita dapat menggunakan persamaan hiperbola yang berpusat 0, 0 adalah:

1 % Persamaan di atas dapat kita ubah menjadi bentuk:

1 % % 1 Kedua ruas kita kalikan dengan

%

sehingga kita peroleh:

% % %

1 %

% %

% % ±I

% % ±I

%

±I

% ± I

Jika → ~ maka lim 1 M→~

% ± I1

% % ↔ ± √1, oleh karena itu mendekati ±

% % ± atau ±

Jadi, dapat disimpulkan persamaan asimtot hiperbola adalah: ( '± &

42


9


Dengan cara yang sama, jika hiperbola vertikal dengan pusat 0, 0 maka '± & (

persamaan asimtotnya adalah:

43 P

Perhatikan Gambar 14.5 di bawah ini, garis dengan persamaan ± Q

masing-masing disebut dengan asimtot hiperbola.

Gambar 14.5. Hiperbola dengan pusat ,

Dari gambar di atas, dapat kita ketahui unsur-unsur hiperbola adalah:

2 2 RS 2% Sumbu mayor Sumbu minor RS P

P

Garis asimtot dan Q Q

Persamaan hiperbola dengan pusat 0, 0 adalah P

MT

QT

UT

P T 1yang

mempunyai persamaan asimtot adalah ± Q . Apabila kita translasikan * sejauh + maka kita peroleh pusat hiperbola adalah *, + dengan persamaan hiperbola adalah: * + 1 % Dan persamaan asimtot hiperbola adalah: ( ' - ± & ,

Atau 44 [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

10


( & ,

Dengan cara yang sama, jika hiperbola vertikal dengan pusat *, + maka '-±

persamaan asimtotnya adalah:

'-±

& ,

(

45

Masalah 14.3 Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai koordinat puncak 4, 2 dan 2, 2 serta salah satu asimtotnya 2 3 4 0!

Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu titik pusat hiperbola dengan cara:

1) Hiperbola mempunyai puncak *, + dan *, +

* 4

(1)

* 2

(2)

Eliminasikan persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh, 2 6 → 3 Subsitusikan nilai 3 persamaan (1) maka * 1.

2) Persamaan asimtot

% *

Nilai * 1, + 2, dan 3 kita substitusikan ke persamaan asimtot +

hiperbola menjadi,

% 1 ↔ 2 3 4 0 3 3 6 % % ↔ 2 3 4 0 % 3 % 6 0 ↔ 2 3 4 0 Dari persamaan di atas, di peroleh nilai % 2 maka persamaan hiperbola 2

adalah:

1 2 1 9 4 Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh.



Kegiatan 14.2. Menggambar persamaan hiperbola. hiperbola Perlu diperhatikan apa saja yang dibutuhkan untuk melukis sketsa hiperbola adalah sebagai berikut: 1.

Menentukan koordinat pusat dan puncak hiperbola.

2.

Menentukan persamaan sumbu utama (nyata) dan sumbu sekawan (imajiner).

3.

Menentukan persamaan asimtot hiperbola.

4.

Menentukan beberapa titik bantu.

Masalah 14.4 Gambarlah sketsa hiperbola dengan persamaan 4 8 16 16

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaiakan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan di atas ke bentuk baku persamaan hiperbola yaitu:

4 8 16 16

8 4 16 16 8 4 4 16 4 16 4 2 4 16 4 4 2 16 16 4 4 4 2 36 4 2 1 36 9 Dari persamaan di atas, diperoleh 36 → ±6, % 9 → % ±3,

sehingga √ % √36 9 √45

±3 √5

Untuk melukis hiperbola tersebut, tentukan terlebih dahulu unsur-unsur hiperbola adalah sebagai beriku: 1. 2. 3. 4.

Koordinat pusat *, + berarti 4, 2

Koordinat titik puncak *, + dan *, + adalah 10, 2 dan 2, 2 . Sumbu mayor (sumbu utama) 2

Sumbu minor (sumbu sekawan) 4


11


5. 6. 7. 8.

Koordinat titik fokus *, + dan *, + adalah 3√5 4, 2

dan 3√5 4, 2

Jarak kedua fokus 2 6√5

Persamaan asimtot 2 ± 4

Titik bantunya adalah: &

'

2

2

-4

-4

-3

-1

-6

-2

Gambar 14.6. Hiperbola Horizontal Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh.

Rangkuman 1.

2.

3.

Persamaan hiperbola horizontal dengan pusat 0, 0 adalah

Dengan syarat > %

& ' (

Persamaan hiperbola horizontal dengan pusat *, + adalah & , ' - ( Dengan syarat > %

Persamaan hiperbola vertikal dengan pusat 0, 0 adalah Dengan syarat ( >

& ' (


12


4.

5.

6.

7.

8.

9.

Persamaan hiperbola horizontal dengan pusat *, + adalah & , ' - ( Dengan syarat ( >

Latus rectum adalah

( Persamaan asimtot hiperbola horizontal dengan pusat 0, 0 adalah ( '± & Persamaan asimtot hiperbola horizontal dengan pusat *, + adalah ( ' - ± & ,

Persamaan asimtot hiperbola vertikal dengan pusat 0, 0 adalah '± & ( Persamaan asimtot hiperbola vertikal dengan pusat *, + adalah ' - ± & ,

(


13

PERSAMAAN HIPERBOLA KEGIATAN BELAJAR 14

Recommend Documents