K-13
matematika IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan unsur-unsur hiperbola. 2. Dapat menentukan persamaan hiperbola yang berpusat di (0, 0). 3. Dapat menentukan persamaan hiperbola yang berpusat di (h, k). 4. Memahami garis asimtot, eksentrisitas, dan lactus rectum pada persamaan hiperbola.
A. Definisi Hiperbola Hiperbola merupakan salah satu jenis irisan kerucut. Hiperbola terjadi jika kerucut diiris sejajar dengan sumbu simetri. Secara umum, hiperbola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama. Dua titik tersebut disebut sebagai titik api atau titik fokus. Perhatikan gambar berikut! Y
lactus rectum
fokus
as im to t
F1 (c1, 0) A1 (a1, 0) O
pusat
A2 (a2, 0)
puncak
F2 (c2, 0) X
K e l a s
XI
Gambar tersebut merupakan hiperbola yang mempunyai unsur-unsur berikut. 1.
Titik O(0, 0) disebut pusat hiperbola.
2.
F1(c1, 0) dan F2(c2, 0) disebut titik fokus hiperbola yang jaraknya 2c.
3.
X disebut sumbu mayor yang selalu memotong hiperbola.
4.
Y disebut sumbu minor yang tidak memotong hiperbola.
5.
A1(a1, 0) dan A2(a2, 0) disebut puncak hiperbola yang merupakan titik potong hiperbola dengan sumbu mayor.
6.
Asimtot adalah garis arah yang tidak dipotong oleh hiperbola.
7.
Lactus rectum adalah garis vertikal yang melalui salah satu fokus, tegak lurus sumbu mayor, dan memotong hiperbola di dua titik.
Contoh Soal 1 Buktikan bahwa besar selisih jarak titik-titik pada hiperbola terhadap dua titik fokus selalu bernilai 2a! Pembahasan: Perhatikan gambar hiperbola berikut! Y P (x, y)
F1 (–c, 0) A1 (–a, 0) A2 (a, 0) O
F2 (c, 0)
X
Misal P(x, y) merupakan sembarang titik pada hiperbola. Agar besar selisih jarak titik P(x, y) terhadap dua titik fokus selalu bernilai 2a, haruslah: PF1 − PF2 = 2a
2
Berdasarkan gambar, diketahui: PF1 =
( x + c )2 + y 2
PF2 =
( x − c )2 + y 2
Dengan demikian, diperoleh: PF1 − PF2 =
( x + c )2 + y 2
−
( x − c )2 + y 2
Misalkan P (x , y ) = A2 (a,0 ) ⇔ PF1 − PF2 =
( a + c )2 + 02
−
( a − c )2 + 02
⇔ PF1 − PF2 = a + c − a − c Oleh karena c > a, maka |a – c| = c – a, sehingga: ⇔ PF1 − PF2 = a + c − ( c − a ) ⇔ PF1 − PF2 = 2a (terbukti) Jadi, terbukti bahwa besar selisih jarak titik-titik pada hiperbola terhadap dua titik fokus selalu bernilai 2a.
B. Persamaan Hiperbola yang Berpusat di (0, 0) Perhatikan cara menurunkan persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) melalui gambar berikut. Y P (x, y)
F1 (–c, 0) A1 (–a, 0)
O
A2 (a, 0)
F2 (c, 0)
X
Oleh karena telah terbukti bahwa besar selisih jarak titik-titik pada hiperbola terhadap dua titik fokus selalu bernilai 2a, maka:
3
PF1 − PF2 = 2a ⇔
(x + c)
+ y2 −
⇔
(x + c)
+ y 2 = 2a +
2
2
(x − c)
2
+ y 2 = 2a
(x − c)
2
+ y2
Kuadratkan masing-masing ruas, sehingga diperoleh: ⇔ ( x + c ) + y 2 = 4 a2 + 4 a 2
(x − c)
⇔ x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4 a2 + 4 a ⇔ 4 cx = 4 a2 + 4 a
(x − c)
2
⇔ cx = a2 + a
(x − c)
+ y2
⇔ cx − a2 = a
(x − c)
+ y2
2
2
2
+ y2 + ( x − c ) + y2 2
(x − c)
2
+ y 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2
+ y2
Kuadratkan masing-masing ruas, sehingga diperoleh: ⇔ c 2 x 2 − 2a2 cx + a.4 = a2 ( x 2 − 2cx + c 2 + y 2 ) ⇔ c 2 x 2 − 2a2 cx + a.4 = a2 x 2 − 2a2 cx + a2 c 2 + a2 y 2 ⇔ ( c 2 − a2 ) x 2 − a2 y 2 = a2 c 2 − a 4 Jika semua suku dibagi a2c2 – a4, maka diperoleh:
(c ⇔
2
− a2 ) x 2
a2 c 2 − a 4
⇔ ⇔
(c
2
− a2 ) x 2
a2 ( c 2 − a2 )
−
a2 y 2 a2 c 2 − a 4 = a2 c 2 − a 4 a2 c 2 − a 4
−
a2 y 2 =1 a2 ( c 2 − a2 )
x2 y2 − =1 a2 ( c 2 − a2 )
Untuk menyederhanakannya, misalkan c2 – a2 = b2, sehingga: ⇔
x2 y2 − =1 a2 b 2
Jadi, persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) adalah sebagai berikut. x2 y2 − =1 a2 b 2
4
Contoh Soal 2 Perhatikan gambar berikut! Y
F1(–5, 0)
A1(–3, 0)
A2(3, 0)
F2(5, 0)
O
X
Persamaan hiperbola pada gambar tersebut adalah .... Pembahasan: Gambar tersebut merupakan hiperbola horizontal dengan nilai a = 3 dan c = 5. Oleh karena nilai a = 3 dan c = 5, maka: c 2 = a2 + b 2 ⇔ b 2 = c 2 − a2 ⇔ b = 52 − 32 ⇔b=4 Dengan demikian, persamaan hiperbolanya adalah sebagai berikut. x2 y2 − =1 a2 b 2 x2 y2 ⇔ 2 − 2 =1 3 4 x2 y2 ⇔ − =1 9 16
x2 y2 − =1 a2 b 2 x2 y2 ⇔ 2 − 2 =1 3 4 2 x y2 Jadi, persamaan hiperbola pada gambar tersebut adalah ⇔ − = 1. 9 16
Contoh Soal 3 Koordinat titik fokus persamaan hiperbola
5
x2 y2 − = 1 adalah .... 144 25
Pembahasan: Dari persamaan hiperbola •
a2 = 144 → a = 12
•
b2 = 25 → b = 5
x2 y2 − = 1 , diketahui nilai: 144 25
Oleh karena nilai a = 12 dan b = 5, maka: c 2 = a2 + b 2 ⇔ c = 122 + 52 ⇔ c = 13 Koordinat titik fokus hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) dirumuskan dengan (±c, 0). Dengan demikian, koordinat titik fokus hiperbola tersebut adalah (13, 0) dan (–13, 0). Jadi, koordinat titik fokus pada persamaan hiperbola
x2 y2 − = 1 adalah (13, 0) dan (–13, 0). 144 25
Setelah memahami persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0), kamu akan belajar tentang persamaan hiperbola vertikal yang berpusat di (0, 0). Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, persamaan hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0) dapat dirumuskan sebagai berikut. y2 x2 − =1 a2 b 2
Contoh Soal 4 Perhatikan gambar berikut! Y
F1 (0, 10) A1 (0, 6) X
O A2 (0, –6)
Persamaan hiperbola pada gambar tersebut adalah ....
6
Pembahasan: Gambar tersebut merupakan hiperbola vertikal dengan nilai a = 6 dan c = 10. Oleh karena nilai a = 6 dan c = 10, maka: b = c 2 − a2 ⇔ b = 102 − 62 ⇔b=8 Dengan demikian, persamaan hiperbolanya adalah sebagai berikut. y2 x2 − =1 a2 b 2 y2 x2 ⇔ 2 − 2 =1 6 8 2 x2 y ⇔ − =1 36 64
y2 x2 − =1 a2 b 2 y2 x2 ⇔ 2 − 2 =1 6 8 y2 x2 ⇔ − = 1. Jadi, persamaan hiperbola pada gambar tersebut adalah 36 64
Contoh Soal 5 Persamaan hiperbola yang memiliki puncak (0, ±4) dan fokus (0, ±8) adalah .... Pembahasan: Hiperbola yang memiliki puncak (0, ±a) = (0, ±4) dan fokus (0, ±c) = (0, ±8) merupakan hiperbola vertikal dengan nilai a = 4 dan c = 8. Oleh karena nilai a = 4 dan c = 8, maka: b 2 = c 2 − a2 ⇔ b 2 = 82 − 4 2 ⇔ b2 = 48 ⇔ b = 48 Dengan demikian, persamaan hiperbolanya adalah sebagai berikut. y2 x2 − =1 a2 b 2 y2 x2 ⇔ 2 − 4 48
(
)
2
=1
y2 x2 − =1 16 48 ⇔ 3 y 2 − x 2 = 48 ⇔
7
y2 x2 − =1 a2 b 2 y2 x2 ⇔ 2 − 4 48
(
2
)
2
=1
2
y x − =1 16 48 ⇔ 3 y 2 − x 2 = 48 ⇔
Jadi, persamaan hiperbola yang memiliki puncak (0, ±4) dan fokus (0, ±8) adalah 3y2 – x2 = 48.
Contoh Soal 6
(
)
Persamaan umum hiperbola yang berpusat di (0, 0) dengan puncak 0,2 2 dan melalui titik (1, 4) adalah .... Pembahasan:
(
)
Hiperbola yang berpusat di (0, 0) dengan puncak 0,2 2 merupakan hiperbola vertikal dengan nilai a = 2 2 . Persamaan hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0) dan a = 2 2 adalah sebagai berikut. y2 x2 =1 − a2 b 2 y2 x2 ⇔ − =1 2 b2 2 2
(
⇔
)
2
y x2 − 2 =1 8 b
Oleh karena hiperbola melalui titik (x, y) = (1, 4), maka: 4 2 12 − =1 8 b2 12 ⇔ 2 − 2 =1 b 1 ⇔ 2 =1 b ⇔ b2 = 1 Dengan demikian, persamaan hiperbola yang dimaksud adalah sebagai berikut. y2 x2 − =1 8 1 ⇔ y2 − 8x2 = 8
(
)
Jadi, persamaan umum hiperbola yang berpusat di (0, 0) dengan puncak 0,2 2 dan melalui titik (1, 4) adalah y2 – 8x2 = 8.
8
C. Garis Asimtot Hiperbola Perhatikan gambar berikut! Y
F1 (–c, 0) A1 (–a, 0)
A2 (a, 0)
X
as
im to t
O
F2 (c, 0)
Gambar tersebut merupakan hiperbola horizontal dengan persamaan: x2 y2 − =1 a2 b 2 y2 x2 ⇔ 2 = 2 −1 b a b2 ⇔ y 2 = 2 ( x 2 − a2 ) a b 2 ⇔ y=± x − a2 a ⇔ y=±
b 2 a2 x 1− 2 a x
b a2 ⇔ y = ± x 1− 2 a x a2 a2 → 0 . Ini 2 akan menuju nol 2 x x b b berarti, untuk nilai x yang besar, nilai y akan mendekati garis y = ± x . Garis y = ± x a a dinamakan garis asimtot hiperbola, yaitu garis arah yang tidak dipotong oleh hiperbola. Garis asimtot hiperbola selalu melewati titik (±a, ±b) sehingga dapat digambarkan sebagai berikut. Jika x menuju tak hingga (x → ∞) maka
9
Y (–a, b)
A1(–a, 0)
(a, b)
A2(a, 0) O
F2(c, 0)
X
as
im to t
F1(–c, 0)
b
–b (a, –b)
(–a, –b)
Jadi, garis asimtot untuk persamaan hiperbola
x2 y2 − = 1 adalah sebagai berikut. a2 b 2
b y=± x a y2 x2 Sementara itu, untuk persamaan hiperbola 2 − 2 = 1 , garis asimtotnya adalah sebagai a b berikut. a y=± x b
Contoh Soal 7 Tentukan puncak, fokus, dan garis asimtot dari persamaan hiperbola berikut. x2 y2 − =1 9 6
10
Pembahasan: Dari persamaan
x2 y2 − = 1 , diketahui bahwa hiperbolanya horizontal dengan nilai: 9 6
•
a2 = 9 → a = 3
•
b2 = 6 → b =
6
Oleh karena nilai a = 3 dan b =
6 , maka:
c 2 = a2 + b 2 ⇔ c2 = 9 + 6 ⇔ c 2 = 15 ⇔ c = 15 Dengan demikian, diperoleh: Puncak: (±a, 0) = (±3, 0)
(
Fokus: (±c, 0) = ± 15, 0
)
b 6 Garis asimtot: y = ± x → y = ± x. a 3
D. Eksentrisitas Hiperbola Eksentrisitas adalah nilai yang menunjukkan besar deviasi suatu irisan kerucut terhadap lingkaran. Sama halnya dengan elips, nilai eksentrisitas pada hiperbola juga dirumuskan sebagai berikut. e=
c a
Contoh Soal 8 Nilai eksentrisitas hiperbola dengan persamaan 15y2 – 8x2 = 120 adalah .... Pembahasan: Mula-mula, ubah dahulu persamaan hiperbola 15y2 – 8x2 = 120 ke dalam bentuk rumus umumnya. 15 y 2 − 8 x 2 = 120 15 y 2 8 x 2 − =1 120 120 y2 x2 ⇔ − =1 8 15 ⇔
11
Dari bentuk tersebut diketahui nilai: •
a2 = 8 → a = 2 2
•
b2 = 15 → b = 15
Oleh karena nilai a = 2 2 dan b = 15 , maka: c = a2 + b 2 ⇔ c = 8 +15 ⇔ c = 23 Dengan demikian, nilai eksentrisitasnya adalah sebagai berikut. e=
c a
⇔e=
23 2 2
≈ 1,7
Jadi, nilai eksentrisitas hiperbola dengan persamaan 15y2 – 8x2 = 120 adalah 1,7.
Lactus Rectum Hiperbola Lactus rectum berasal dari bahasa Yunani, lactus berarti sisi dan rectum berarti lurus. Berdasarkan hal tersebut, lactus rectum dapat didefinisikan sebagai sisi lurus dari irisan kerucut. Panjang dari lactus rectum dapat ditentukan melalui sebuah rumus. Untuk mengetahui rumus panjang lactus rectum, perhatikan gambar berikut! Y
lactus rectum
F1 (c1, 0) A1 (a1, 0) O
fokus
as im to t
E.
A2 (a2, 0)
F2 (c2, 0) X
puncak
pusat
Gambar tersebut merupakan hiperbola horizontal dengan persamaan: x2 y2 − =1 a2 b 2
12
Jika kita subtitusikan nilai x = c, maka diperoleh: c2 y2 − =1 a2 b 2 y2 c2 ⇔ 2 = 2 −1 b a c2 ⇔ y 2 = b2 2 − 1 a 2
⇔y =
(
b 2 c 2 − a2
⇔ y=±
a
)
2
( substitusikan ( c
2
)
− a2 = b 2
)
b4 a2
Oleh karena kita sedang mencari panjang lactus rectum yang nilainya tidak mungkin negatif, maka: ⇔y=
b2 a
Jadi, rumus panjang lactus rectum hiperbola adalah sebagai berikut.
Latus rectum =
2b2 a
Contoh Soal 9 Tentukan panjang lactus rectum dari hiperbola berikut! x2 y2 − =1 36 4 Pembahasan:
2 2 Dari persamaan hiperbola x − y = 1, diketahui nilai: 36 4 • a2 = 36 → a = 6
•
b2 = 4 → b = 2
13
Dengan demikian, panjang lactus rectum-nya dapat ditentukan sebagai berikut. 2b2 2b2 Lactus rectum = a a 2.4 2.4 = = 6 6 8 8 = = 6 6 4 4 = Jadi, panjang lactus rectum dari hiperbola tersebut adalah = . 3 3 Lactus rectum =
F.
Persamaan Hiperbola yang Berpusat di (h, k) Persamaan hiperbola yang berpusat di (h, k) dengan h ≠ 0 dan k ≠ 0, baik vertikal maupun horizontal didapat dari konsep pergeseran grafik. Untuk hiperbola horizontal yang berpusat di (h, k), persamaanya adalah sebagai berikut.
( x − h)
2
−
a2
(y − k)
2
=1
b2
dengan: 1.
Sumbu mayor y = k
2.
Titik puncak P(h ± a, k)
3.
Titik fokus F(h ± c, k)
4.
Persamaan asimtot y −k =±
5.
b ( x − h) a
Lactus rectum Latus rectum =
2b2 a
Sementara itu, untuk hiperbola vertikal yang berpusat di (h, k), persamaannya adalah sebagai berikut.
(y − k) a2
2
−
( x − h)
14
b2
2
=1
dengan: 1.
Sumbu mayor x = h
2.
Titik puncak P(h, k ± a)
3.
Titik fokus F(h, k ± c)
4.
Persamaan asimtot y −k =±
a ( x − h) b
Lactus rectum
5.
Latus rectum =
2b2 a
Contoh Soal 10 Salah satu persamaan asimtot hiperbola berikut ini adalah .... 4x2 – y2 + 16x + 16y – 9 = 0 A.
2x + 2y + 4 = 0
B.
2x – y + 7 = 0
C.
2x + y – 1 = 0
D.
2x – y + 1 = 0
E.
2x + y – 7 = 0
Pembahasan: Mula-mula, ubah dahulu persamaan hiperbola 4x2 – y2 + 16x + 16y – 9 = 0 ke dalam bentuk rumus umumnya. 4 x 2 − y 2 +16 x + 6 y − 9 = 0 ⇔ 4 x 2 +16 x − y 2 + 6 y − 9 = 0
⇔ 4 ( x2 + 4 x ) − ( y2 − 6y ) = 9
(
) (( y − 3)
⇔ 4 ( x + 2) − 4 − 2
2
)
−9 =9
⇔ 4 ( x + 2 ) − 16 − ( y − 3 ) + 9 = 9 2
2
⇔ 4 ( x + 2 ) − ( y − 3 ) = 16 2
2
⇔
( x + 2) 4
2
( y − 3)
2
−
16
=1
Dari bentuk tersebut, diketahui nilai h = –2, k = 3, a = 2, dan b = 4.
15
Dengan demikian, persamaan asimtotnya dapat ditentukan sebagai berikut. b ( x − h) a 4 ⇔ y − 3 = ± ( x + 2) 2 ⇔ y − 3 = ±2 ( x + 2 ) y −k =±
Persamaan asimtot pertama: y – 3 = 2x + 4 atau 2x – y + 7 = 0 Persamaan asimtot kedua: y – 3 = –2x – 4 atau 2x + y + 1 = 0 Jadi, salah satu persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah 2x – y + 7 = 0.
Contoh Soal 11 Gambarlah hiperbola 16y2 – 96y – 9x2 – 18x – 9 = 0 dengan lengkap! Pembahasan: Mula-mula, ubah dahulu persamaan hiperbola 16y2 – 96y – 9x2 – 18x – 9 = 0 ke dalam bentuk rumus umum berikut. 16 y 2 − 96 y − 9 x 2 − 18 x − 9 = 0
⇔ 16 ( y 2 − 6 y ) − 9 ( x 2 + 2 x ) = 9
(
) (
)
⇔ 16 ( y − 3 ) − 9 − 9 ( x + 1) − 1 = 9 2
2
⇔ 16 ( y − 3 ) − 144 − 9 ( x +1) + 9 = 9 2
2
⇔ 16 ( y − 3 ) − 9 ( x +1) = 144 2
( y − 3)
2
⇔
9
−
2
( x +1) 16
2
=1
Dari bentuk tersebut, diketahui nilai (h, k) = (–1, 3), a = 3, dan b = 4. Oleh karena nilai a = 3 dan b = 4 maka: c = a2 + b 2 ⇔ c = 32 + 4 2 ⇔c=5
16
Oleh karena hiperbolanya adalah hiperbola vertikal maka: •
Sumbu simetri x = –1
•
Fokus F(–1, 3 ± 5) atau F1(–1, 8) dan F2(–1, –2)
•
Puncak P(–1, 3 ± 3) atau P1(–1, 6) dan P2(–1, 0)
•
Persamaan asimtot a ( x − h) b 3 ⇔ ( y − 3 ) = ± ( x +1) 4 ⇔ 4 y − 12 = ±3 ( x +1) y −k =±
Garis asimtot pertama: 3x + 3 = 4y – 12 atau 3x – 4y + 15 = 0 Garis asimtot kedua: –3x – 3 = 4y – 12 atau 3x + 4y – 9 = 0 Dengan demikian, gambar lengkap hiperbola tersebut adalah sebagai berikut.
F1
8
Y
7 6 5 3x + 4y – 9 = 0
3x – 4y + 15 = 0 4 3 2 1
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1 –1
F2
–2 –3
17
O 2
3
4
5
6
X
