K-13
matematika PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius, dan bentuk umum persamaan garis. 2. Memahami pengertian gradien dan cara menentukan gradien suatu garis. 3. Memahami cara membentuk persamaan linear. 4. Memahami hubungan antara sudut dan gradien, termasuk sudut pada dua garis berpotongan. 5. Memahami sifat garis-garis sejajar dan garis-garis tegak lurus.
1
K e l a s
XI
A.
APA ITU GARIS? Kalian sering mendengar kata garis? Apa itu garis? Garis adalah himpunan titik-titik yang anggotanya lebih dari satu titik. Titik-titik tersebut berderet ke dua arah yang berlawanan sampai jauh tak terhingga.
Sifat suatu garis adalah memanjang terus-menerus. Jika suatu garis memiliki ujung kiri dan kanan, maka dinamakan sebagai segmen garis.
Penamaan garis biasanya dengan menggunakan huruf kecil, sedangkan segmen garis dengan menggunakan huruf kapital di ujung-ujungnya. k P
garis k
B.
segmen garis PQ Q
GARIS PADA KOORDINAT CARTESIUS Garis dalam matematika tentunya tidak dinyatakan begitu saja. Untuk membedakan dengan pelajaran menggambar, garis digambarkan dalam koordinat Cartesius dan memiliki bentuk persamaan tertentu. Jadi pembeda suatu garis dengan garis lain, selain nama adalah persamaan dalam variabel x dan y, yang mewakili sifat umum setiap titik. Perhatikan garis pada koordinat Cartesius berikut.
2
y
k
5 4 3 2 1 1 2 3
x
4 5
Oleh karena setiap titik x dan y pada garis tersebut bernilai sama, maka garis k di atas dapat dinyatakan dengan persamaan x = y. Perhatikan kembali contoh grafik berikut! y 4 3 2 1 1 2 3 4
x
Garis di atas dapat dinamakan atau dinyatakan dengan persamaan x + y = 4, karena hasil penjumlahan x dan y di setiap titiknya selalu bernilai 4.
C.
BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS Semua garis pada koordinat Cartesius dapat dinyatakan dalam bentuk umum persamaan garis berikut. ax + by = c atau y = ax + b Persamaan di atas berlaku jika variabelnya x dan y. Jika variabelnya diubah, maka x dan y digantikan dengan variabel yang dipakai, misalnya dalam variabel v dan t. Selama yang terlibat hanya dua variabel, maka kita dapat menggambarkan persamaan garis tersebut pada koordinat Cartesius. Perhatikan gambar berikut.
3
v(m/s) 30
14 10 1
5
t(s)
Garis di atas dapat dinyatakan dengan v = 4t + 10.
D.
GRADIEN SUATU GARIS Unsur penting garis yang perlu kalian ketahui adalah gradien. Gradien garis menunjukkan seberapa curam suatu garis. Tingkat kecuraman suatu garis meliputi seberapa curam garis itu naik dan seberapa curam garis itu turun. Hanya saja perlu ada kesepakatan bilamana suatu garis dikatakan naik dan bilamana suatu garis dikatakan turun. Untuk melihat suatu garis naik atau turun sangatlah mudah, yaitu lihatlah dari sebelah kiri ke kanan. y garis naik
x garis turun
E.
MENENTUKAN NILAI GRADIEN SUATU GARIS Gradien suatu garis dapat didefinisikan sebagai angka yang menunjukkan tingkat dan arah kecuraman. Notasi untuk gradien menggunakan huruf m. Suatu garis yang mendatar memiliki nilai m = 0, sedangkan suatu garis naik memiliki nilai m > 0, dan garis turun memiliki nilai m < 0.
a.
Gradien Garis yang Melewati Dua Titik Gradien garis yang melewati dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) dapat ditentukan dengan rumus berikut. m=
y2 − y1 x2 − x1
4
Contoh Soal 1 Garis k melalui titik (4, 1) dan (5, -8). Nilai gradien dari garis k adalah .... Pembahasan: Oleh karena (x1, y1) = (4, 1) dan (x2, y2) = (5, -8), maka diperoleh: m=
y2 − y1 x2 − x1
−8 − 1 5−4 = −9 =
Jadi, nilai gradien dari garis k adalah −9.
Contoh Soal 2 Perhatikan gambar grafik berikut ini! y 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4
x
Nilai gradien pada gambar tersebut adalah .... Pembahasan: Garis tersebut melalui titik (x1, y1) = (4, 0) dan (x2, y2) = (0, -1). Dengan demikian, gradiennya adalah:
5
m=
y2 − y1 x2 − x1
y −y m= 2 1 −1− 0 x2 − x1 m= 0−4 −1− 0 m= 1 m= 0−4 4 1 Jadi, nilai gradien dari gambar di atas adalah m= . 4
b.
Gradien Garis Berbentuk y = ax + b Suatu persamaan garis dapat dibentuk melalui gradiennya. Misalkan suatu garis bergradien m melewati titik (x1, y1) dan (x, y). Persamaan garis tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut. y − y1 m= x − x1 m ( x − x1 ) = y − y1 mx − mx1 = y − y1 y = mx − mx1 + y1 Bila dibandingkan dengan persamaan garis y = ax + b, dapat diketahui bahwa koefisien x adalah gradiennya, sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut. Setiap bentuk persamaan y = ax + b, maka besar gradiennya adalah m = a.
Contoh Soal 3 Garis y = (p − 1) x + q − 2 memiliki gradien -6. Jika garis tersebut melalui titik (-2, 4), maka nilai dari p2 + q2 adalah .... Pembahasan: Bentuk y = (p − 1) x + q − 2 memiliki gradien m = p − 1, sehingga didapat persamaan: p − 1 = −6 p = −5 Dengan demikian persamaan garisnya menjadi y = −6x + q − 2 Oleh karena garis melalui (−2, 4) maka: 4 = −6(−2) + q − 2 q = −6 Jadi, nilai dari p2 + q2 = 61.
6
c.
Gradien Garis Berbentuk px + qy = r Gradien suatu garis berbentuk px + qy = r dapat ditentukan dengan mengarahkan persamaan menjadi bentuk y = ax + b. Perhatikan prosesnya berikut! px + qy = r qy = − px + r p r y =− x+ q q Berdasarkan proses tersebut didapatkan bahwa untuk bentuk px + qy = r besaran gradiennya adalah p m=− q
Contoh Soal 4 Jika garis 2x + (p + 1)y = 6 memiliki gradien yang berlawanan dengan gradien garis 3x – 6y = 10, maka besar nilai p adalah .... Pembahasan: 2x + (p + 1)y = 6 memiliki gradien m1 = − m2 =
1 2
2 dan 3x – 6y = 10 memiliki gradien p +1
Oleh karena m1 = -m2, maka: −
2 1 =− p +1 2 2 1 = p +1 2 p + 1= 4 p=3
Jadi, nilai p adalah 3.
F.
MEMBENTUK PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear dari suatu garis dapat dibentuk jika memenuhi beberapa kondisi berikut. 1.
Gradien garis m diketahui dan satu titik (x1, y1) pada garis diketahui. Rumus yang digunakan untuk menemukan persamaannya adalah: y − y1 = m(x – x1)
7
2.
Dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) pada garis diketahui. Rumus yang digunakan untuk menemukan persamaannya adalah: y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1
Contoh Soal 5 Garis k melewati titik (4, -5) dan memiliki gradien -3. Persamaan garis k adalah .... Pembahasan: Diketahui (x1, y1) = (4, -5) dan m = -3. Dengan demikian persamaan garisnya adalah: y − y1 = m ( x − x1 )
y − ( −5 ) = −3 ( x − 4 ) y + 5 = −3 x + 12 y = −3 x + 7
Jadi, persamaan garis k adalah y = -3x + 7.
Contoh Soal 5 Suatu bak air memiliki volume 200 liter berisi penuh dengan air. Bak air tersebut hendak dikuras sampai air habis. Di bawah ini adalah data kondisi air per satuan waktu. Waktu (dalam menit) Volume air (v)
1
2
3
4
185 liter
170 liter
155 liter
140 liter
a)
Buatlah persamaan yang menunjukkan hubungan antara waktu dan volume!
b)
Pada menit ke berapa air akan habis?
Pembahasan: a)
Dari data di atas dapat dilihat bahwa volume berkurang secara konstan per menit. Untuk membuat persamaannya, ambil dua titik sebarang, misal (t1, v1) = (1,185) dan (t2, v2) = (2,170). Dengan menggunakan persamaan untuk membentuk garis, diperoleh: y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1
8
v − v1 t − t1 = v2 − v1 t2 − t1 v − 185 t −1 = 170 − 185 2 − 1 v − 185 t − 1 = −15 1 v − 185 = −15t + 15 v + 15t = 200 Oleh karena air akan habis saat v = 0, maka: v + 15t = 200 0 + 15t = 200
b)
200 15 1 t = 13 menit atau 13 menit 20 detiik. 3 t=
G.
GARIS DAN SUDUT Suatu garis yang membentuk sudut tertentu dengan sumbu x dapat ditentukan besar gradiennya dengan mudah. Perhatikan gambar di bawah ini. Misal α adalah sudut yang terbentuk antara garis dengan sumbu x positif. y (x1, y1) α (x2, 0)
(x1, 0)
x
Garis tersebut melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, 0). Dengan demikian besar gradiennya adalah: y −0 m= 1 x1 − x2 m=
yI x1 − x 2
y1 adalah panjang sisi di depan sudut pada segitiga siku-siku, dan x1 – x2 adalah panjang sisi di samping sudut pada segitiga siku siku.
9
y (x1, y1) y1
α (x2, 0)
(x1, 0)
x
x1 – x2 Tangen sudut segitiga didefinisikan dengan: tan sudut =
sisi depan sudut sisi samping sudut
Dengan demikian, diperoleh: tanα =
yI x1 − x 2
tanα = m
Contoh Soal 6 Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis-garis berikut! a)
x – y = 10
b)
3x + 3y = 7
c)
3 x − y = 10
Pembahasan: a)
1 Gradien dari garis x – y = 10 adalah m = − = 1, sudut yang terbentuk antara −1 garis dengan sumbu x adalah: tanα = 1 α = 45°
b)
3 Gradien dari garis 3x + 3y = 7 adalah m = − = −1, sudut yang terbentuk antara 3 garis dengan sumbu x adalah: tanα = −1 α = 135°
c)
3 3 x − y = 10 adalah m = − = 3 , sudut yang −1 terbentuk antara garis dengan sumbu x adalah:
Gradien dari garis
10
tanα = 3 α = 60°
Contoh Soal 7 Persamaan garis yang membentuk sudut 30o dan melalui titik (2, 3) adalah .... Pembahasan: m = tanα = tan30° 1 m= 3 3 1 3 dan melalui titik (2, 3) adalah: 3
Persamaan garis dengan gradien y − y1 = m ( x − x1 ) 1 3 ( x − 2) 3 3y − 9 = 3x − 2 3 y −3=
3x − 3y = 2 3 − 9
H.
SUDUT DUA GARIS BERPOTONGAN Dua garis yang berpotongan di bidang Cartesius memiliki sudut di titik potongnya. Perhatikan gambar berikut! y
ax + by = c
px + qy = r
C
θ α A
β B
x
Misal dua garis ax + by = c memiliki gradien m1 = tan α dan garis px + qy = r memiliki gradien m2 = tan β, dua garis tersebut berpotongan di titik C membentuk sudut θ sehingga sudut antara dua garis tersebut adalah θ. Perhatikan segitiga ABC! ∠ABC = 180o – β Dengan menggunakan sifat jumlah sudut segitiga α + 180o – β + θ = 180o → θ = β −α → tanθ = tan( β − α )
{tangen dari kedua sudut}
11
→ tanθ =
tan β − tanα 1+ tan β ⋅ tanα
→ tanθ =
m2 − m1 1+ m2 m1
{rumus selisih dua sudut rangkap untuk tan}
Sudut di antara dua garis berpotongan diambil yang paling kecil, oleh karena itu tempatkan nilai m2 > m1.
Contoh Soal 8 Tentukanlah sudut antara garis 2x – 3y = 10 dan garis 3x + 2y = 1! Pembahasan:
2 dan garis 3x + 2y = 1 memiliki gradien 3 3 m1 = − dengan demikian besar sudutnya adalah: 2
Garis 2x – 3y = 10 memiliki gradien m2 =
tanθ =
m2 − m1 1+ m2 m1
2 3 − − 3 2 tanθ = 2 3 1+ − 3 2 13 tanθ = 6 0 Oleh karena nilai tan θ di atas tidak terdefinisi, maka nilai θ = 90o.
Contoh Soal 9 Tentukanlah sudut antara garis
3 x − y = 7 dan garis x − 3 y = 1 !
Pembahasan: Garis m1 =
3 x − y = 7 memiliki m = 3 dan garis x − 3 y = 1 memiliki m = 3 dan m2 = 3 , serta θ sudut antara dua garis, maka berlaku: 3
12
1 3. Misal 3
tanθ =
tanθ
tanθ tanθ
θ
m2 − m1 1+ m2 m1
1 3 3 = 1 1+ 3 3 3 2 3 =3 2 1 = 3 3 = 30 0o 3−
Jadi, sudut antara garis
I.
3 x − y = 7 dan garis x − 3 y = 1 adalah 30º.
GARIS-GARIS SEJAJAR DAN SIFAT-SIFATNYA 1.
Sifat 1 Misalkan garis g1: ax + by = c; a ≠ 0 dan b ≠ 0 memiliki gradien m1. g2: rx + sy = t; r ≠ 0 dan s ≠ 0 memiliki gradien m2. a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real. Garis g1 sejajar dengan garis g2, jika dan hanya jika gradien kedua garis sama. Secara matematis dinotasikan: g1 g2 ↔ m1 = m2 .
2.
Sifat 2 Misalkan garis g1: ax + by = c; a ≠ 0 b ≠ 0 dan c ≠ 0 memiliki gradien m1. g2: rx + sy = t; r ≠ 0 s ≠ 0 dan t ≠ 0 memiliki gradien m2. a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real. Jika
a b c = = maka garis g1 berimpit dengan garis g2. r s t
Contoh Soal 10 Jika garis 2x + (k – 3)y = 10 dan garis (k + 4)x + 9y = 3 sejajar, maka nilai k adalah .... Pembahasan:
2 dan garis (k + 4)x + 9y = 3 k −3 k+4 memiliki gradien m2 = − . Oleh karena garis pertama sejajar garis kedua, maka 9 berlaku:
Garis 2x + (k – 3)y = 10 memiliki gradien m1 = −
13
m1 = m2 2 k+4 =− 9 k −3 − = + 4 3 18 k k ( )( ) −
k 2 + k − 12 = 18 k 2 + k − 30 = 0
( k + 6 )( k − 5) = 0 k1 = -6 atau k2 = 5 Jadi, nilai k adalah k1 = -6 atau k2 = 5.
Contoh Soal 11 Jika garis 4x + (2m – 6)y = 18 dan garis 6x + (m + 1)y = 4a – 1 berimpit, maka nilai a + m adalah .... Pembahasan: Oleh karena garis 4x + (2m – 6)y = 18 dan garis 6x + (m + 1)y = 4a – 1 berimpit, maka berlaku persamaan: 4 2m − 6 18 = = 6 m + 1 4a − 1 Tentukan nilai m dengan menggunakan ruas kiri dan tengah 4 2m − 6 = 6 m +1 2 2m − 6 = 3 m +1 6 m − 18 = 2m + 2 4 m = 20 m=5 Tentukan nilai a dengan menggunakan ruas kiri dan kanan 4 18 = 6 4a − 1 2 18 = 3 4a − 1 8a − 2 = 54 a=7 Jadi, nilai dari a + m = 12.
14
J.
GARIS-GARIS TEGAK LURUS DAN SIFAT-SIFATNYA Misalkan garis g1: bx – ay = t; a ≠ 0 dan b ≠ 0 memiliki gradien m1 =
b a
g2: ax + by = c; a ≠ 0 dan b ≠ 0 dengan memiliki m2 = − a, b, c, t merupakan bilangan real
a b
Garis g1 berpotongan tegak lurus dengan garis g2, dinotasikan g1 ⊥ g2 jika dan hanya jika m1 × m2 = -1.
Contoh Soal 12 Garis g tegak lurus pada garis 2x – 3y = 9 dengan melalui titik (-1, 4). Persamaan garis g adalah .... Pembahasan:
2 . Dengan demikian, gradien garis g(m2) 3 yang tegak lurus dengan garis tersebut adalah:
Garis 2x – 3y = 9 memiliki gradien m1 = m1 × m2 = −1 2 × m2 = −1 3 3 m2 = − 2
Persamaan garis g dengan gradien m2 = − y − y1 = m2 ( x − x1 ) 3 ( x + 1) 2 2 y − 8 = −3 x − 3 3x + 2y = 5 y −4 =−
Jadi, persamaan garis g adalah 3x + 2y = 5.
15
3 dan melalui (x1, y1) = (-1, 4) adalah 2
