Bab 1. Irisan Kerucut

Tahun Ajaran 2012 2012-2013/Genap STKIP Surya

Bab 1. Irisan Kerucut

e=0

e <1

e =1

e >1

A. Lingkaran Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (0,0) Pada segitiga siku-siku, siku, menurut dalil phytagoras berlaku : c2 = a2 + b2 c b a Sekarang perhatikan segitiga siku-siku siku OAB yang berada pada gambar lingkaran dibawah ini ini. Pada segitiga disamping: y

AB = x AB = y

A(x, y) r

AO = r

y

O

x

B

x Dalil phytagoras: OB2 + AB2 = OA2

atau x2 + y2 = r2

1

Tahun Ajaran 2012-2013/Genap STKIP Surya

Persamaan ini disebut persamaan lingkaran. Seluruh titik-titik yang memenuhi persamaan ini akan terletak pada lingkaran yang jari-jarinya r yang berpusat dititik O (0,0).

Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (a,b) y C (x,y)

Perhatikan gambar disamping: BC=y - b

r

AB = x – a

B(x,b)

A(a,b)

BC = y – b x

AC = r

AB= x - a

Dalil phytagoras: AB2 + BC2 = AC2 atau (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dan memiliki jari-jari r. atau +

⇔ ⇔

+

⇔

+

⇔

+

+

+ +

2

+ 4 4

+ ∶

− +

+

+

4

+

=0 +

+

2

+ =

4

+ 4

+

4

= 4

4

− +

−

+

4 4

− ,− 2 2

−

:! ="

4

+

4

−

2 Created by Edwin Setiawan N.

−

=0


Kedudukan titik (x1, y1) terhadap lingkaran 1. Terletak didalam lingkaran: 2. Terletak pada lingkaran: 3. Terletak diluar lingkaran:

#

#

#

$ $ $

− %& + # − %& + # − %& + #

$ $ $

− '& < ! − '& = !

− '& > !

Hubungan Garis Lurus dengan lingkaran 1. Garis memotong lingkaran pada dua titik lingkaran 2. Garis memotong/menyinggung pada satu titik lingkaran 3. Garis tidak memotong lingkaran lingkaran

Garis memotong lingkaran pada dua titiktitik

Garis menyinggung lingkaran

Garis tidak memotong lingkaran

Garis Singgung Lingkaran Garis yang melalui titik (a,b) dan menyinggung lingkaran yang berpusat di titik O

P (a, b)

l

O (0, 0)



Dari gambar diatas tampak bahwa garis OP dan garis l saling tegak lurus. misal m1 adalah gradient garis OP: m1 =

b a

dan m2 adalah gradient garis l maka

m1m2 = −1

m2 =

−1 m1

m2 =

−a b

Persamaan garis singgungnya:

y − b = m2 ( x − a)

y −b =

−a ( x − a) b

y −b =

−ax a 2 + b b

by − b 2 = −ax + a 2 ax + by = a 2 + b 2 ax + by = r 2 Dengan cara yang sama seperti cara diatas maka garis singgung melalui titik (x1, y1) dan menyinggung lingkaran yang berpusat di titik (a, b) ( x − a )( x1 − a ) + ( y − b )( y1 − b ) = r 2

Apabila diketahui gradien garis singgungnya misalnya m, maka persamaan garis singgung pada lingkaran yang berpusat di (0, 0) dapat dicari sebagai berikut: Persamaan garis singgung: y = mx + n



Persamaan lingkaran: x2 + y2 = r2 Substitusikan y = mx + n kedalam x2 + y2 = r2 x2 + (mx + n)2 = r2 x2 + m2x2 + 2mnx + n2 - r2 = 0 (1+ m2)x2 + 2mnx + n2 - r2 = 0 kasus menyinggung berarti D = 0 b2 - 4ac = 0 (2mn)2 - 4 (1 + m2)(n2 - r2) = 0 4m2n2 - 4(n2 - r2 + m2n2 - m2r2) = 0 m2n2 - n2 + r2 - m2n2 + m2r2 = 0 -n2 + r2 + m2r2 = 0 n2 = r2 + m2r2 n = ± r 1 + m2 Maka persamaan garis singgungnya: y = mx ± r 1 + m 2 Apabila lingkarannya berpusat di (a, b): (x - a)2 + (y - b)2 = r2 maka persamaan garis singgungnya: y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2

Contoh-contoh soal 1. Tunjukkan bahwa titik P (6,-8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100 Jawab Titik P (6,-8) berarti x = 6 dan y = -8 kemudian substitusikan ke x2 + y2



62 + (-8)2 = 36 + 64 = 100 karena hasilnya 100 berarti titik P terletak pada lingkaran 2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A (0, -10) pada lingkaran (x - 3)2 + (y + 5)2 = 36 Jawab Titik A (0, -10) berarti x1 = 1 dan y1 = 4 Persamaan lingkaran (x - 3)2 + (y + 5)2 = 36 Persamaan garis singgungnya: (x - 3) (x1 - 3) + (y + 5) (y1 + 5) = 36 (x - 3) (0 - 3) + (y + 5) (-10 + 5) = 36 -3(x - 3) -5(y + 5) = 36 -3x + 9 - 5y - 25 - 36 = 0 3x + 5y + 42 = 0 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (2, 1) pada lingkaran x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0 Jawab P (2,1) berarti x1 = 2 dan y1 = 1 Persamaan lingkaran: x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0 berarti A = -1, B = 2, C = -5 Persamaan garis singgung: xx1 + yy1 + Ax + Ax1 + By + By1 + C = 0 2x + y + (-1)x + (-1)(2) + (2)y + (2)(1) – 5 = 0 2x + y – x – 2 + 2y + 2 - 5=0 x + 3y – 5 = 0 4. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient -2 pada lingkaran x2 + y2 = 16!



Jawab m = -2, r = 4 persamaan garis singgung: y = mx ± r 1 + m 2

y = −2 x ± 4 1 + (−2) 2 y = −2 x ± 4 5

Jadi persamaan garis singgung lingkaran: y = −2 x + 4 5 y = −2 x − 4 5

5. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient 3 pada lingkaran (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25! Jawab m = 3, r = 5, a = -2, b = 3 persamaan garis singgung : y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2

y − 3 = 3( x + 2) ± 5 1 + (3)2 y = 3x + 6 + 3 ± 5 1 + 9 y = 3 x + 9 ± 5 10

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 4)2 + (y + 5)2 = 36 dan tegak lurus dengan garis ½x – y = 10! Jawab Garis ½x – y = 10 memiliki gradient m1 = ½ karena tegak lurus maka 7 Created by Edwin Setiawan N.


m1⋅ m2 = -1 1/2 ⋅ m2 = -1 m2 = -2 jadi gradien garis singgung yang kita cari adalah -2. a = 4, b = -5, r = 6 y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2

y + 5 = −2( x − 4) ± 6 1 + (−2)2 y = −2 x + 8 − 5 ± 6 5 y = −2 x + 3 ± 6 5

Latihan 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat dititik O(0,0) yang berjari-jari a. 2 b. 3 c. 5 d. 7 2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat dititik O(1, 2) yang berjari-jari a. 4 b. 6 c. 8 d. 10 3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat dititik O(-3,-2) yang berjari-jari 8 Created by Edwin Setiawan N.


a. 4 b. 6 c. √10

d. √15 4. Tentukan titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut ini a. (x + 1)2 + (y - 3)2 = 9 b. (x - 5)2 + (y + 4)2 = 25 c. (x - 7)2 + (y + 10)2 = 20 d. (x + 8)2 + (y - 6)2 = 18

5. Tentukan titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut ini a. x2 + y2 + 4x - 10y + 13 = 0 b. x2 + y2 + 4x - 8y - 44 = 0 c. x2 + y2 + 2x - 6y - 15 = 0 d. x2 + y2 + 6x + 6y - 18 = 0 e. x2 + y2 + 4x - 12y - 8 = 0 f. 2x2 + 2y2 - 2x + 6y - 14 = 0 g. 3x2 + 3y2 - 18x + 24y = 0 h. 2x2 + 2y2 - 6x + 4y – 18 = 0 i. 4x2 + 4y2 - 12x + 16y - 20 = 0 j. 5x2 + 5y2 - 10x + 15y - 30 = 0



6. Periksa apakah titik-titik berikut terletak didalan lingkaran, pada lingkaran atau diluar lingkaran jika jari-jari lingkaran 8 dengan titik pusat di (0,0) a. (2, 4) b. (5, -3) c. (-7, 5) d. (-3, -6) e. (-2, 7) f. (-5, 6) g. (9, 1) h. (4, -4) i. (10,12) j. (8, 7) 7. Tentukan persamaan lingkaran berikut: a. titik pusat (0, 0) melalui titik (3, 4) b. titik pusat (0, 0) melalui titik (7, 12) c. titik pusat (0, 0) melalui titik (8, -6) d. titik pusat (1, -3) melalui titik (4, 0) e. titik pusat (4, 6) melalui titik (11, -6) f. titik pusat (3, -5) melalui titik (10, 7) g. titik pusat (2, -6) melalui titik (-6, 8) h. titik pusat (-6, -7 ) melalui titik (2, 2) i. titik pusat (5, 4) melalui titik (0, 16) j. titik pusat (-7, -10) melalui titik (-5, -12)



Diketahui lingkaran x2 + y2 + 2px + 10y + 9 = 0 mempunyai jari-jari 5 dan

8.

menyinggung sumbu x. Tentukanlah pusat lingkaran tersebut! 9.

Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x 4y – 2 = 0.

10.

Tentukanlah jarak titik pusat lingkaran x2 - 4x + y2 + 4 = 0 dari sumbu y.

11.

Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x - 5y - 21= 0, tentukanlah nilai k.

12.

Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 - 4x + 2y + c = 0 melalui titik (0,-1). Tentukanlah jari-jari lingkaran tersebut.

13.

Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 10x- 12y + 20 = 0 yang melalui titik (-9, 1).

14.

Tentukanlah persamaan lingkaran dengan pusat P (3,1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0.

15.

Garis singgung dititik (12,-5) pada lingkaran x2 + y2 = 169 menyinggung lingkaran (x 5)2 + (y - 2)2 = p. Tentukanlah nilai p.

16.

Tentukanlah titik pusat dan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik (5, 0), (0, 5) dan (-1, 0)

B. Ellips Unsur Unsur Elips Elips adalah tempat keduduka titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik fokus. Y C(0,b)

A(a,0)

F1 ( - c , 0 )

O

P(x,y)

F1 ( c , 0 )

D(0,-b)


B(a,0)

X


Dari gambar diatas, titik F1 dan F2 dan adalah titik fokus elips dan A, B, C, D adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu : 1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu mayor elips adalah AB. 2. Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD. Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips. Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks. Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan :

-

Pusat elips O(0,0) ;

-

Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;

-

Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0) ;

-

Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu mayor = 2a

-

Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu minor = 2b

-

Eksentrisitas :

-

A.

Direktriks :

e =

x=

a e

Panjang lactus rectum

c a a2 atau x = c

2b2 = a

Persamaan elips yang berpusat di O(0,0) dengan fokus pada sumbu-x

Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya.

-.$ = /# + 0 & +

-. = /# − 0& + -.$ + -. = 2%



/# + 0 & +

+ /# − 0 & +

1/# + 0 & +

2 = 12% − /# − 0 & +

/# + 0 & +

# + 0& +

= 2% − /# − 0 & +

= 4% − 4%/# − 0 & +

+ 20 + 0 +

1%/# − 0 & +

% ## − 0 & + %

+% 0 +% −0

#0 − % & '

+%

2

+ # − 0& +

= 4% − 4%/# − 0& +

20 = 4% − 4%/# − 0 & +

%

= 2%

− 20

+

− 20 + 0 +

2 = #% − 0 &

& = %3 − 2% 0 + 0 = %3 + 0

+%

= %3 − % 0

+%

=% '

= % #% − 0 & atau

%

+

'

=1

Apabila fokusnya pada sumbu y F1(0, c) dan F2(0, -c), dengan cara yang sama seperti diatas akan diperoleh:

%

+'

Catatan:

=% '

atau

'

+

%

=1

c = a2 − b2

Contoh 1 Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan.

Jawab : Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x ) Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5

b = a2 − c2 =

25 − 16 =

9 =3

Persamaan elipsnya :



x2 y2 + =1 ⇔ a2 b2

x2 y2 + =1 ⇔ 5 2 32

x2 y2 + =1 25 9

x2 y2 + =1 Jadi persamaan elipnya adalah 25 9 Contoh 2

x2 y2 + = 1 , tentukan koordinat titik puncak, koordinat titik Diketahui persamaan elips 16 9 fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum !

Jawab :

x2 y2 + = 1 , diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 = 9, maka b = 3. Dari persamaan elips 16 9 c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c =

7.

Dari data diatas diperoleh :

-

Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)

-

Titik fokus ( -c,0) = (- 7 ,0 ) dan ( c,0)=(

-

Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8 Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6

-

Eksentrisitas:

-

Persamaan direktriks : x = e =

-

Panjang lactus rectum =

e =

c a

=

a

7 ,0 )

7 4

4 16 16 = = 7 7 7 4

7

2 b2 2.9 18 1 = = =4 a 4 4 2

B.

Persamaan elips yang berpusat di P(α, β)

1.

Fokus terletak pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x # − 7& # − 8& + =1 % ' 14

Created by Edwin Setiawan N.


Dengan :

-

Pusat (α, β)

-

Titik fokus di F1 (α-c, β) & F2(α+c, β)

-

Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)

-

Panjang sumbu mayor = 2a

-

Panjang sumbu minor = 2b

-

Persamaan direktriks x = α ±

a2 c

2. Fokus terletak pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y # − 7& # − 8& + =1 ' %

Dengan :

-

Pusat (α, β)

-

Titik fokus di F1 (α, β-c) & F2(α,β+c)

-

Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)

-

Panjang sumbu mayor=2a

-

Panjang sumbu minor=2b

-

a2 Persamaan direktriks y = β ± c

Contoh 1 Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan elips 4 x 2 + 9 y 2 + 16 x − 18 y − 11 = 0

Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku

( x −α ) a2

2

+

(y−β) b2

2

=1

4 x 2 + 9 y 2 + 16 x − 18 y − 11 = 0



4 x 2 + 16 x + 9 y 2 − 18 y = 11

4 ( x 2 + 4 x ) + 9 ( y 2 − 2 y ) = 11

{

2

{

2

{

4 ( x − 2 ) − 22 } + 9 ( y − 1) − 12 } = 11 2

{

2

4 ( x − 2 ) − 4} + 9 ( y − 1) − 1} = 11 2

2

4 ( x − 2 ) − 16 + 9 ( y − 1) − 9 = 11 2

2

2

2

4 ( x − 2 ) + 9 ( y − 1) = 11 + 16 + 9 4 ( x − 2 ) + 9 ( y − 1) = 36

( x − 2)

2

9

( y − 1) + 4

2

=1

Dari persamaan diatas diperoleh : α = 2, β = 1, a2 = 9 maka a = 3, b2 = 4 maka a = 2, c=

a2 − b2 =

32 − 2 2 =

9−4 =

5

-

Pusat ( α, β ) = ( 2,1 )

-

Titik fokus di F1 ( α - c, β ) = ( 2 - 5 , 1 ) & F2 ( α + c, β ) = ( 2 + 5 , 1 )

-

Titik puncak ( α-a, β ) =( 2 - 3, 1 ) = ( -1, 1 ) & ( α + a, β ) = ( 2 + 3, 1 ) = ( 5, 1 )

-

Panjang sumbu mayor = 2a = 2 ⋅ 3 = 6

-

Panjang sumbu minor = 2b = 2⋅ 2 = 4

Latihan 1. Tentukan persamaan elips yang berpusat di O (0, 0) dengan a. fokus (-4, 0) dan (4, 0) dan sumbu mayor 10 b. fokus (-6, 0) dan (6, 0) dan sumbu mayor 16 c. fokus (-8, 0) dan (8, 0) dan sumbu mayor 20 d. fokus (-10, 0) dan (10, 0) dan sumbu mayor 26



2. Tentukanlah persamaan ellips yang berpusat di (0, 0) dengan panjang sumbu mayor dan sumbu minor berturut-turut a. 8 dan 6 b. 12 dan 8 c. 16 dan 10 d. 20 dan 12

3. Tentukanlah persamaan ellips yang titik apinya terletak pada sumbu x dan simetri terhadap titik O (0, 0) a. sumbu panjangnya 10 dan eksentrisitasnya e = 3/5 b. sumbu panjangnya 16 dan eksentrisitasnya e = 3/4 c. sumbu panjangnya 20 dan eksentrisitasnya e = 2/5 d. sumbu panjangnya 30 dan eksentrisitasnya e = 1/3

4. Tentukanlah persamaan ellips yang a. berpusat di titik (3, -2), sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 6 dan 4 b. berpusat di titik (-1, 5), sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 8 dan 4 c. berpusat di titik (2, -1), sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 10 dan 6 d. berpusat di titik (-6, 9), sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 12 dan 8

5. Tentukan koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum pada ellips-ellips berikut ini

%. '. 0.

;.

16

25

20

36

+

+

+

+

10

16

12

16

=1

=1

=1

=1

6. Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan elips



%. '. 0. ;.

# − 3& # + 1& + =1 9 4

# + 2& # − 3& + =1 20 16

# + 5& # + 4& + =1 18 12

# − 6& # + 2& + =1 25 9

7. Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan elips a. 4x2 + 8y2 - 8x + 32y + 4 = 0 b. 4x2 + 7y2 + 16x -42y + 51 = 0 c. 3x2 + 6y2 + 6x - 24y + 9 = 0 d. 6x2 + 10y2 - 48x + 60y + 126 = 0 8. Buatlah sketsa ellips 9x2 + 25y2 - 36x + 50y + 164 = 0 9. Tentukanlah persamaan ellips yang memiliki eksentrisitas e = 2/3 dan salah satu titik apinya F (6, 0). 10. Carilah persamaan garis singgung pada ellips

# + 2& # + 3& + =1 20 5 Pada titik yang ordinatnya -2.



C. Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu y P(x, y) Q (-p, y) A

x S

F (p, 0)

O

B g = -p

Garis g disebut direktrik Titik F(p,0) disebut titik fokus Titik O(0,0) disebut titik puncak FS disebut sumbu simetri (y = 0) FS = 2p = parameter Garis AB disebut latus rectum tegak lurus dengan sumbu simetri dan melalui titik F. Panjang latus rectum=|4p|

Persamaan Parabola Dengan sumbu x sebagai sumbu simetri PF = PQ

/# − ?& +

=

+?

1/# − ?& + 2 = # + ?& 19 Created by Edwin Setiawan N.


− 2? + ? + = 4?

=

+2 ?+?

Apabila p>0 maka parabola akan terbuka ke kanan dan p < 0 parabola akan terbuka ke kiri.

Dengan sumbu y sebagai sumbu simetri = 4? Apabila p > 0 parabola akan terbuka ke atas dan p < 0 parabola akan terbuka ke kebawah.

Parabola dengan puncak (a,b) # − '& = 4?# − %& Titik fokus: F (a + p, b) Sumbu simetri: y = b Garis dielektrik: g = a - p

Parabola dengan puncak (a,b) # − %& = 4?# − '& Titik fokus: F(a, b + p) Sumbu simetri: x = a Garis dierektrik: g = b - p

Latihan 1. Tentukan persamaan parabola jika a. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 4 , 0 ) b. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 8 , 0 ) c. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 10 , 0 ) d. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 16, 0 )



e. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( -4, 0 ) f. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( -8, 0 ) g. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( -12, 0 ) h. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( -10, 0 )

2. Tentukan persamaan parabola jika a. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0 , 8 ) b. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0 , 10 ) c. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0 , 12 ) d. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0, 6 ) e. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0 , -5 ) f. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0 , -7 ) g. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0 , -9 ) h. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0, -11 )

3. Tentukan persamaan parabola jika a. titik puncaknya ( 2 , 3) dan titik fokusnya ( 6 , 3 ) b. titik puncaknya ( 1 , 4) dan titik fokusnya ( 7 , 4 ) c. titik puncaknya ( -2 , 2) dan titik fokusnya ( 4 , 2 ) d. titik puncaknya ( 3 , -5) dan titik fokusnya ( 8, -5 ) e. titik puncaknya ( -1 , -1) dan titik fokusnya ( -1 , 5 ) f. titik puncaknya ( -4 , 2) dan titik fokusnya ( -4 , 8 ) g. titik puncaknya ( -2 , -3) dan titik fokusnya ( -2 , -11 ) h. titik puncaknya ( 5 , -6) dan titik fokusnya ( 5 , 0 )

4. Tentukan koordinat fokus dan koordinat titik puncak, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola a. y2 = 4x b. 2y2 = -10x c. 3y2 = 15x d. y2 = - ½ x



5. Tentukan koordinat fokus dan koordinat titik puncak, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola a. x2 = 8y b. 1/3x2 = -4y c. 2/3x2 = -8y d. 3/10x2 = - ½ y

6. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola a. (y - 2)2 = 4(x - 1) b. (y + 5)2 = 6(x - 2) c. (y - 4)2 = -8(x + 3) d. (y + 9)2 = -10(x – 1/2)

7. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola a. (x - 4)2 = 12(y - 1) b. (x + 3)2 = -16(y - 2) c. (x - 4)2 = 20(y + 3) d. (x + 5)2 = -18(y – 1/3)

8. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola a. y2 – 6y – 6x + 15 = 0 b. y2 + 10y – 10x + 55 = 0 c. x2 - 4x - 8y + 6 = 0 d. x2 + 8x + 12y + 4 = 0



D. Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap harganya. Dua titik tersebut disebut fokus hiperbola.

Q

P (x, y)

A F (-c,0) (-a,0)

G

B O

(a,0) (c,0)

Titik F (-c, 0) dan G (c, 0) adalah titik fokus hiperbola yang jaraknya 2c. Titik O (0, 0) disebut pusat parabola Titik A(-a,0) dan B(a,0) disebut puncak parabola. Harga c/a disebut eksentrisitas hiperbola. PF - PG = QG - QF = 2a (tetap)

Persamaan hiperbola dengan pusat (0, 0) -. = /# + 0& +

-@ = /# − 0& + -. − -@ = 2% /# + 0 & + /# + 0 & +

− /# − 0 & +

= 2%

= 2% + /# − 0 & +



/# + 0& + # + 0& +

= 12% + /# − 0& +

2

= 4% + 4%/# − 0 & +

+ 20 + 0 +

+ # − 0& +

= 4% + 4%/# − 0 & +

20 = 4% + 4%/# − 0 & +

+

− 20

40 = 4% + 4%/# − 0& + 0 = % + %/# − 0 & + 0 −% = %/# − 0 & +

#0 −% & = 1%/# − 0& +

2

0

− 2% 0 + %3 = % ## − 0& +

0

− 2% 0 + %3 = %

− 2% 0 + %3 = % #

0 0

−%

#0 − % & '

%

−

−%

'

=1

−%

−%

=% '

&

− 20 + 0 +

&

− 2% 0 + % 0 + %

= % 0 − %3

= % #0 − % &

Persamaan hiperbola dengan pusat (α, β)

# − 7& # − β& − =1 % '


− 20 + 0 +


BM

y

x=α

G

B

A

F

y=β

(α, β)

x O(0, 0)

Asymptot, direktrik dan eksentisitet Asymptot Asymptot

Q

P (x, y)

F

B

A

G

O

f

g

Asymptot:

=±

' %

direktik



B=− C=−

% 0

% 0

Eksentrisitas:

D=

0 >1 %

Latihan 1. Tentukan persamaan hiperbola jika a. titik puncak (-2, 0) dan (2, 0), titik fokus (-4, 0) dan (4, 0) b. titik puncak (-3, 0) dan (3, 0), titik fokus (-6, 0) dan (6, 0) c. titik puncak (-3, 0) dan (3, 0), titik fokus (-5, 0) dan (5, 0) d. titik puncak (-4, 0) dan (4, 0), titik fokus (6, 0) dan (6, 0)

2. Tentukan persamaan hiperbola jika a. titik puncak (0, -3) dan (0, 3), titik fokus (0, -5) dan (4, 5) b. titik puncak (0, -2) dan (0, 2), titik fokus (0, -6) dan (0, 6) c. titik puncak (0, -4) dan (0, 4), titik fokus (0, -7) dan (0, 7) d. titik puncak (-4, 0) dan (4, 0), titik fokus (6, 0) dan (6, 0)

3. Tentukanlah koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, persamaan asimtot, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari persamaan hiperbola berikut ini

%. '. 0.

;.

16

12

25

25

−

−

−

−

9

8

9

16

=1

=1

=1

=1




%. '. 0.

;.

10

36

20

18

−

−

−

−

6

25

15

12

=1

=1

=1

=1


%. '. 0.

;.

# + 1& # − 2& − =1 10 6

# − 3& # + 5& − =1 13 9

# + 7& # + 4& − =1 22 18

# + 2& # − 4& − =1 24 20

6. Tentukanlah koordinat titik puncak, koordinat titik hiperbola, persamaan asimtot, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari persamaan hiperbola berikut ini

%. '. 0.

;.

# − 5& # + 1& − =1 11 6

# − 3& # − 2& − =1 40 25

# + 4& # + 3& − =1 30 22

# + 6& # − 2& − =1 24 16

7. Tentukanlah koordinat titik puncak, koordinat titik hiperbola, persamaan asimtot, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari persamaan hiperbola berikut ini a. 4x2 - 9y2 + 8x - 18y - 41 = 0 b. 6x2 - 10y2 + 12x + 40y - 94 = 0 c. 4y2 - 16x2 - 16y + 32x - 64 = 0 d. 8y2 - 126x2 + 48y + 120x - 324 = 0 27 Created by Edwin Setiawan N.


Soal-Soal Latihan Tambahan

1. Lingkaran yang berpusat di titik O (0, 0) dengan jari – jari a. x2 + y2 =

d. x2 + y2 = 6

3

b. x2 + y2 = 3 c. x2 + y2 =

3 adalah :

e. x2 + y2 = 9 6

2. Pusat dan jari – jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 10 – 2y = 0 berturut – turut adalah : a. (10, 2) dan 10

d. (-5, -1) dan 6

b. (5, 1) dan 6

e. (5, 1) dan 6

c. (-5, 1) dan 6

3. Persamaan lingkaran yang berjari – jari 3 dan menyinggung sumbu x di (3, 0) menyinggung sumbu y di titik (0, 3) adalah : a. (x – 3)2 + (y – 3)2 = 3

d. (x – 3)2 + (y + 3)2 = 9

b. (x + 3)2 + (y – 3)2 = 3

e. (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9

c. (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9

4. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 di titik (1, 2) adalah : a. x + 2y =

d. 2x + y = 5

5

b. x + 2y = - 5

e. 2x + y = - 5

c. x + 2y – 5 = 0

5. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 5x – 6y + 33 = 0 yang melalui titik (1, -3) adalah : a. 7x - 12y – 43 = 0

d. 6x - 7y + 34 = 0



b. 7x + 12y – 43 = 0

e. 12x + 7y – 24 = 0

c. -7x - 12y + 12 = 0

6. Koordinat titik fokus parabola y2 = -12x adalah : a. (-12, 0)

d. (0, -3)

b. (-4, 0)

e. (0, -4)

c. (-3, 0)

7. Koordinat tititk puncak parabola y2 + 2x – 6y + 11 = 0 a. (-1, 3)

d. (2, -3)

b. (1, -3)

e. (-2, 6)

c. (2, -6) 8. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -2) , mempunyai sumbu simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah : … a. (y + 2)2 = 8(x – 4 )

d. (y + 2)2 = - 8(x + 2 )

b. (y - 2)2 = 8(x – 4 )

e. (y + 2)2 = - 8(x – 2 )

c. (y + 1)2 = 8(x + 4 )

9. Persamaan garis singgung parabola y2 = 32x yang melalui titik (2, 8) adalah : .. a. y = 32x + 64

d. y = 2x + 4

b. y = 16x + 2

e. y = x + 2

c. y = 8x + 16

10. Persamaan garis singgung parabola (y - 3)2 = 8(x + 5 ) yang tegak lurus dengan garis x – 2y – 4 = 0 a. 2x + y – 4 = 0

d. 2x - y – 2 = 0

b. 2x + y + 2 = 0

e. 2x - 8y – 5 = 0

c. 2x + y + 8 = 0 29 Created by Edwin Setiawan N.


11. Panjang sumbu mayor dari persamaan elips 20x2 + 36y2 = 720 adalah : … a. 2 5

d. 20

b. 6

e. 36

c. 12

12. Koordinat titik fokus dari persamaan elips 9x2 + 25y2 + 18x – 100y = 116 adalah : a. (5, 2) dan (-3, 2) d. (-1, 6) dan (5, 3) b. (-3, -2) dan (1, 3)

e. (5, 2) dan (-3, 5)

c. (3, 2) dan (5, 2)

13. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0) serta salah satu fokusnya (-6, 0) adalah : … a. 10x2 + 6y2 = 60 d. 9x2 + 16y2 = 144 b. 36x2 + 16y2 = 400

e. 9x2 + 25y2 = 225

c. 16x2 + 9y2 = 400

14. Persamaan garis singgung elips 5x2 + 20y2 =100 pada titik (4, 1) adalah : a. x - y + 5 = 0 d. x + y = -5 b. x + y + 5 = 0

e. -x - y = 5

c. x + y = 5

15. Persamaan garis singgung elips a. 3x - 6 y = 9

x2 y 2 + = 1 yang melalui titik (1, - 6 ) adalah : 3 9 d. 6x - 6 y = 1

b. 3x - 6 y = 3

e. x - 6 y = 1

c. 3x - 3 6 y = 11

16. Persamaan garis singgung elips 5x2 + y2 = 5 yang melalui titik A(-2, 1) adalah : … 30 Created by Edwin Setiawan N.


a. 2x + 3y + 7 = 0

d. 2x - y - 3 = 0

b. 2x - 3y + 5 = 0

e. 2x - y - 5 = 0

c. 3x + 2y + 9 = 0

17. Salah satu asimtot dari hiperbola 9x2 + 16y2 - 54x – 64y - 127 = 0 adalah… a. 4x - 3y - 18 = 0 d. 3x - 4y 17 = 0 b. 4x - 3y - 6 = 0

e. 3x - 4y – 1 = 0

c. 4x - 3y - 1 = 0

18. Koordinat titik puncak hiperbola x2 - 4y2 - 2x + 24y - 39 = 0 adalah : a. (1, 2) dan (-1, 2) d. (1, 0) dan (1, 4) b. (3, 2) dan (-1, 2)

e. (1, -2) dan (1, -4)

c. (1, 3) dan (-1, 3)

19. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 - 40x - 4y + 48 = 0 di titik (9, 2) adalah : a. 4x - y + 21 = 0 d. 9x - 2y - 34 = 0 b. 4x - y - 34 = 0

e. 9x - 2y + 21 = 0

c. 4x - y - 28 = 0

20. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 + 12 = 0 di titik (1, 4) adalah : a. 19x + 11y = 63 dan x – y = -3 b. 19x + 11y = -63 dan x – y = 3 c. 19x - 11y = 63 dan x + y = -3 d. 19x - 11y = -126 dan x + y = 3 e. -19x + 11y = 126 dan -x + y = -3


Bab 1. Irisan Kerucut

Recommend Documents