IRISAN KERUCUT (CONICS SECTIONS)
Irisan kerucut merupakan kurva yang terbentuk ketika sebuah bidang memotong permukaan kerucut tegak. Kurva dari irisan kerucut berupa lingkaran, parabola, ellips dan hiperbola. Perhatikan gambar berikut :
Pembelajaran dari irisan kerucut mulai dikembangkan 2000 tahun yang lalu yang diperkenalkan oleh Apollonius (262 – 190 SM). Baru abad 17 irisan kerucut sangat penting untuk bidang fisika dan kimia. Dalam modul ini akan dibahas irisan kerucut berupa parabola, ellips dan hiperbola. Sedangkan lingkaran akan dibahas secara mendalam di matematika wajib kelas XI semester 2. B.
Ellips Definisi : Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik (himpunan semua titik) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu (titik fokus/titik api) tetap harganya.
Rangkuman :
1
+
=1
M(0, 0)
(a, 0), (– a, 0), (0, b), (0, – b)
(c, 0), (– c, 0)
Sumbu Mayor y=0 (Sb X)
2
+
=1
M(0, 0)
(0, a), (0, – a), (b, 0), (– b, 0)
(0, c), (0, – c)
x=0 (Sb Y)
y=0 (Sb X)
=1
M(p, q)
(p + a, q), (p – a, q), (p, q + b), (p, q – b)
(p + c, q), (p – c, q)
y=q
x=p
=
±
=1
M(p, q)
(p, q + a), (p, q – a), (p + b, q), (p – b, q)
(p, q + c), (p, q – c)
x=p
y=q
=
±
NO
PERSAMAAN ELLIPS
( − ) 3 ( − ) 4
+ +
( − ) ( − )
PUSAT
PUNCAK
FOKUS
Untuk semua bentuk persamaan ellips berlaku : 1. a > b 2. a2 = b2 + c2 atau c2 = a2 – b2 3. Panjang sumbu utama/sumbu mayor = 2a 4. Panjang sumbu pendek/sumbu minor = 2b 5. Eksentrisitas = e = dengan 0 < c < 1 6. Panjang Latus Rectum =
Sumbu Minor x=0 (Sb Y)
direktriks =± =±
Contoh 1 Lukislah ellips dengan persamaan
"
1, lalu tentukan unsur-unsurnya unsurnya !
Jawab : +
Bentuk Umum :
= 1,, dari
2
"
1 diperoleh :
2
a = 25 maka a = 5 dan b = 9 maka b = 3 c2 = a2 – b2 = 25 – 9 = 16 c =4 Pusat = M(0, 0) Puncak = (a, 0), (– a, 0),(0, b), (0, – b) = (5, 0), (–5, 5, 0), (0, 3), (0, –3) Fokus = (c, 0), (–c, 0) = (4, 0), ((–4, 0) Sumbu mayor : y = 0 (sumbu X) Sumbu minor : x = 0 (sumbu Y) Panjang sumbu mayor = 2a = 2.5 = 10 Panjang sumbu minor = 2b = 2.3 = 6 Eksentrisitas
:e=
Direktriks
:
Latus Rectum =
=
=
Contoh 2 Lukislah ellips dengan persamaan
1,, lalu tentukan unsur-unsurnya unsur !
#
Jawab : 1, dari
Bentuk umum :
p = 4, q = 2 jadi Pusat : M(4, 2) a2 = 25 maka a = 5 b2 = 16 maka b = 4 a2 = b2 + c2 maka c = 3 Puncak : A(p + b, q) = A(4 (4 + 4, 2) = A(8, 2) B(p, q + a) = B(4, 2 + 5) = B(4, 7) C(p – b, q) = C(4 – 4, 2) = C(0, 2) D(p, q – a) = D(4, 2 – 5) = (4, – 3) Fokus : (p, q + c) = (4, 2 + 3) = F1 (4, 5) (p, q – c) = (4, 2 – 3) = F2 (4, – 1) Persamaan sumbu mayor (garis BD) : x = 4 Persamaan sumbu minor (garis AC) : y = 2 Panjang sumbu mayor = BD = 2a = 10 Panjang sumbu minor = AC = 2b = 8 Eksentrisitas
:e=
Direktriks
:y
$
= 2
$
2 Latus Rectum = PQ = RS =
8$
=
$
#
1 diperoleh :
Contoh 5 Diberikan ellips dengan persamaan 5x2 + 2y2 + 10x – 4y – 3 = 0, tentukan : a. eksentrisitas b. persamaan direktriks c. panjang latus rectum Jawab : Ubahlah 5x2 + 2y2 + 10x – 4y – 3 = 0 ke bentuk umum ellips 5x2 +10x + 2y2 – 4y = 3 5(x2 + 2x) + 2(y2 – 2y) = 3 5(x + 1)2 – 5 + 2(y – 1)2 – 2 = 3 5(x + 1)2 + 2(y – 1)2 = 3 + 5 + 2 5(x + 1)2 + 2(y – 1)2 = 10
Contoh 3 Tentukan koordinat fokus dan puncak dari ellips 1 !
#"
Jawab : a2 = 169 maka a = 13 b2 = 144 maka b = 12 a2 = b2 + c2 maka c = 5 Koordinat fokus = (± , 0) = (5,0) dan (– 5, 0) Puncak = (± , 0) dan (0, ± ) = (13, 0), (–13,0), (0,12) dan (0, –12) Contoh 4 Diberikan ellips dengan persamaan x2 + 4y2 – 4x – 8y – 92 = 0, tentukan : a. Pusat ellips b. Puncak ellips c. Fokus ellips d. Panjang sumbu mayor dan minor Jawab : Ubahlah x2 + 4y2 – 4x – 8y – 92 = 0 ke bentuk umum ellips x2 – 4x + 4y2 – 8y = 92 (x – 2)2 – 4 + 4(y2 – 2y) = 92 (x – 2)2 – 4 + 4(y – 1)2 – 4 = 92 (x – 2)2 + 4(y – 1)2 = 92 + 4 + 4 (x – 2)2 + 4(y – 1)2 = 100 (
) ))
+
(
)
( - )
+
(
)
= 1 , diperoleh :
p = –1, q = 1 jadi Pusat : M(–1, 1) a2 = 5 maka a = √5 b2 = 2 maka b = √2 a 2 = b2 + c 2 c2 = 3 maka c = √3 a. eksentrisitas = e = =
= 1 , diperoleh :
b. direktriks = y =
±
c. Latus rectum =
=
√$ √
= 1± √
Contoh 6 Tentukan persamaan ellips dengan Fokus (– 1, – 5) dan (5, – 5) serta panjang sumbu mayor 10 ! Jawab : Pusat ellips ditengah-tengah titik fokus, maka
p = 2, q = 1 jadi Pusat : M(2, 1) a2 = 100 maka a = 10 b2 = 25 maka b = 5 a 2 = b2 + c 2 c2 = 75 maka c = 5√3 a. Pusat = M(p, q) = M(2, 1) b. Puncak Ellips = ( ± , ) dan ( , ± ) = (12, 1), (–8, 1), (2, 6), (2, –4) c. Fokus ellips =( ± , ) = (2 + 5√3 , 1) dan (2 − 5√3 , 1) d. Panjang sumbu mayor = 2a = 20 Panjang sumbu minior = 2b = 10
Pusat = (
-
, −5) = (2, – 5)
Karena Pusat (2, – 5) dan Fokus (5, – 5) maka c = 5 – 2 = 3 dan sumbu utama/mayor sejajar sumbu X Panjang sumbu mayor = 2a = 10 maka a = 5 a 2 = b2 + c 2 25 = b2 + 9 maka b = 4 Jadi persamaan ellips nya adalah : ( − ) ( − ) + =1 ( − 2) ( + 5) + =1 5 4 ( − ) ( − ) + =1 25 16
Kerjakan Soal berikut dengan jelas dan Tepat ! 1. Tentukan persamaan garis arah / direktriks dari ellips 2. Tentukan panjang garis mayor, minor dari ellips
√$
)
))
+ $# = 1 !
+$ =1 !
3. Tentukan kordinat titik fokus dan puncak dari ellips 9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0 ! 4. Tentukan panjang latus rectum dari persamaan ellips x2 + 4y2 – 2x – 8y – 11 = 0 ! 5. Tentukan nilai eksentrisitas ellips dengan persamaan 16x2 + 25y2 + 32x – 50y – 359 = 0 !
Untuk no 6 – 15 tentukan persamaan ellips apabila diketahui hal-hal berikut : 6. Pusat O(0, 0), sumbu utama sumbu X, panjang sumbu mayor 10 dan panjang sumbu minor 8. 7. Koordinat puncak 0, 4 dan fokus (0, 3). 8. Koordinat ujung sumbu Minor (–2, 6), fokus (1, 2) dan sumbu mayor sejajar sumbu X. 9. Koordinat puncak (–4, 3) dan (8, 3) serta titik fokus (6, 3) ! 10. Koordinat puncak (1, 8) dan (1, – 4) serta titik fokus (1, 6) ! 11. Koordinat puncak (–2, 2),(–2, –4) dan (– 4, –1) serta sumbu utama sejajar sumbu Y. 12. Pusat O(0, 0), sumbu utama sumbu X serta melalui titik 4, 13. Koordinat fokus
dan 3,
#
10, 0) dan eksentrisitas . #
14. Pusat O(0, 0), Latus rectum dengan persamaan x = 6 dan panjangnya 7. 15. Fokus pada titik pangkal, Puncak (6, 0) dan panjang Lactus rectum 15. Kunci Jawaban : =±
1.
2. Panjang Garis mayor = 10√2 Panjang Garis minor = 8√2 3. Fokus : (6, – 1) dan (–2, –1) Puncak : (7, –1), (–3, –1), (2, 2) dan (2, –4) 4. LR = 2 5. e = 0,6 +
6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
#
+
=1 =1
0 # ( - ) (
+
(
)
+
) ) ( - )
+
$# (
+ + +
# ( - ) #
+ #
) # ( $) ) ( ) $# ( - ) "
=1 =1 =1 =1
=1 =1 =1
+ #) = 1
!
