Bab 19
IRISAN KERUCUT A. LINGKARAN 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r Persamaan = TK titik T = {T / OT r }
T(x,y) r X
= {( x , y ) / x 2
0
= {( x , y ) / x 2
y y
2
r}
2
2
r }
2. Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dengan jari-jari r (x
a)
2
(y
b)
2
r
2
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran. x
2
y
2
Ax
Pusat P (
1 2
yB
A,
1 2
C
, Koef. x 2 dan y 2
0
0
Jari-jari r
B)
1 4
A
2
1 4
B
2
C
4. Posisi titik terhadap suatu Lingkaran Sebuah lingkaran L
x
2
y
2
Ax
By
C
0
dan sebuah titik P ( x1 , y1 ) maka kuasa
titik P ( x1 , y1 ) terhadap lingkaran L adalah : KP = x1
2
y1
2
A x1
B y1
C
5. Hubungan antara garis dan Lingkaran Jika garis g : y = mx + n dan lingkaran L x 2 y 2 r 2 maka hubungan garis g dan lingkaran L dapat diselidiki dengan cara mensubstitusikan g ke L sebagai berikut : x
2
x
2
(1
(m x 2
m x 2
n) 2
m )x
2
2
r
2
2 mx
0
n
2 m nx
diskriminan sbb : D
2
n
r 2
2
r
0 2
2
4m r
0 2
, yang merupakan persamaan kuadrat dengan 4n
2
4r
2
Jika D>0 , maka garis memotong lingkaran pada dua titik Jika D = 0 , maka garis memotong lingkaran pada satu titik ( menyinggung) Jika D < 0 , maka garis tidak memotong lingkaran
D
0
D=0
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
D
0
125
Contoh : Dimanakah letak titik potong garis x – 2y – 8 = 0 dari x 2 Jawab : x – 2y – 8 = 0 x
2
(
x
8
)
x
y
8 2
2
12 x
3x
24
y
2
12 x
6y
29
0
substitusikan ke 29
0
2
x
x
2
2
16 x
64
12 x
3x
24
29
0
4 4x
2
(x
2
5x
2
52 x
16 x
64)
84
0
2
y1
maka : x1
36 x
20
3 d an x 2
0 42 5
1
y2
5
Jadi letak titik potong di 2 titik yaitu (2, -3) dan (
42 1 , ) 5 5
Catatan : Jarak titik ( x1 , y1 ) ke garis Ax + By + C = 0 adalah
A x1
B y1 A
2
C
B
2
6. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran a. Persamaan garis singgung pada lingkaran
x1 x
y1 y
x
2
y
2
r
2
di titik ( x1 , y1 )
r2
b.Persamaan garis singgung di titik P ( x1 , y1 ) pada ingkaran L
x1 x
y1 y
1 A ( x1 2
x)
1 B ( y1 2
y)
C
x
2
y
2
Ax
By
C
0
0
c. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran yang berpusat dititik asal dan jari-jari r ( pers garis kutub/polar) y
mx
r 1 m2
d. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran ( x (y
b)
m(x
a)
a)
2
(y
b)
2
r
2
r 1 m2
Bila ada titik ( x 1 , y 1 ) maka : Gunakan rumus y y 1 m ( x Cari m dari c 2 r 2 (1 m 2 )
x 1 ) kemudian ubah ke y – b = m ( x – a ) + c
Contoh : Tentukan persamaan garis singgung ( x 3) 2 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
(y
4)
2
25
yang
garis 3x+4y-8=0 126
Jawab : 3
Gradien garis3x+4y-8=0 adalah m =
4
, karena garis singgung
Langkah berikutnya menentukan pusat dan jari-jari ( x 3) a=3 , b = -4 dan r = 5 Persamaan garis singgung pada lingkaran : y
b
m(x
y
( 4)
a)
4
r m
(x
4
4
(x
5
3)
3
3
(y
4)
2
4 3
25
1
4 2 5 ( ) 3
3)
3 y
2
2
maka m gs
3y
1
4x
24
5
persamaan garis 4x – 3y – 19 = 0 dan 4x – 3y – 29 = 0 Contoh : Persamaan garis singgung pada lingkaran ( x 2) 2 ( y 1) 2 10 dengan gradien 3 adalah … a. y = 3x – 17 atau y = 3x + 3 d. y = 3x – 17 atau y = 3x - 3 b. y = 3x + 17 atau y = 3x - 3 e. y = 3x – 3 atau y = 3x + 3 c. y = 3x +17 atau y = 3x + 3 (y
b)
m(x
( y 1) y
1
y
3x
3( x 3x
a) 2)
r 1 m2 32
10 1
6 10
3 atau y
3 x 17
Contoh : Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x 2 A. 1 Jawab : 2
B.
2
C.
2 2
3 2
D.
y
2
25
, maka nilai c adalah … E.
5 2
6 2
maka r = 5 y = x + c maka c 2 r 2 (1 m 2 ) x
y
25
c
2
25 (1
2
1 )
c
5 2
e. Persamaan garis singgung melalui suatu titik diluar lingkaran P ( x1 , y1 ) terletak diluar lingkaran maka
terdapat 2 garis singgung melalui titik itu , untuk menentukan persamaan garis P ( x1 , y1 ) singgung ditentukan sebagai berikut : 1) cek apakah titik yang dilalui persamaan garis itu diluar lingkaran 2) misalkan titik P pada persamaan garis
O
y
y1
m(x
x1 )
y
y1
m(x
x1 )
3) Susbstitusikan persamaan pada langkah 2 kedalam persamaan yang akan diperoleh persamaan kuadrat gabungan 4) Hitung diskriminan PK gabungan , agar garis menyinggung jangan lupa memasukkan syarat D = 0 5) Dua gradien m substitusikan pada persamaan hasil langkah 2 maka akan diperoleh garis singgungnya.
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
127
Catatan : Untuk menghindari waktu hitung yang lama pada proses D = 0 , gunakan persamaan garis singgung dengan gradien m untuk persamaan x 2 2
2
y
2
r
2
yaitu
y
mx
r m
2
1,
2
r . Nyatakan persamaan garis singgung itu selanjutnya hitung r untuk persamaan x y dalam 2 bentuk , jangan lupa memasukkan nilai x dan y , maka diperoleh m
Soal Latihan : 1. Persamaan lingkaran x 2 y 2 12 ax 2 y 5 0 melalui titik ( 1 , 2 ) maka pusat dan jarijarinya adalah … A. ( - 4 , 4 ) dan 5 B. ( 6 , - 4 ) dan 5 C. ( 2 , -1 ) dan 10 D. ( - 3 , 3 ) dan 10 E. ( 3 , -4 ) dan 10 2. Persamaan lingkaran yang memiliki pusat ( -3 , 4 ) menyinggung garis x = 2y – 8 adalah : A. 2 x 2 2 y 2 12 x 16 y 1 0 D. 2 x 2 2 y 2 12 x 16 y 1 0 B. 2 x 2 2 y 2 12 x 16 y 1 0 E. 2 x 2 2 y 2 12 x 16 y 1 0 C. 2 x 2 2 y 2 12 x 16 y 1 0 3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 y 2 4 x 2 y 8 0 yang tegak lurus dengan garis 3x + 4y + 2 = 0 adalah : A. y = 2x – 7 + 10 B. y = 2x + 7 + 10 C. y = 2x +3 - 10 1 D. y = 2x +37 - 10 E. y = 2 x – 7 + 10 4. Garis singgung lingkaran x 2 y 2 13 dititik (2,3) menyinggung lingkaran 2 2 ( x 7) ( y 4) p maka nilai p adalah … A. 13 B. 12 C. 5 D. 13 E. 5 5. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(2 , - 3 ) dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 adalah … A. x 2 y 2 4 x 6 y 12 0 D. x 2 y 2 4 x 6 y 12 0 B. x 2 y 2 2 x 6 y 12 0 E. x 2 y 2 2 x 6 y 12 0 C. x 2 y 2 4 x 6 y 12 0 6. Agar lingkaran x 2 y 2 4 x A. – 38 B. – 12
6y
m
C. 12
0
berjari-jari 5, m haruslah sama dengan … D. 25 E. 38
7. Supaya garis y = x + a menyinggung lingkaran x 2 y 2 A. a = -6 atau a = 1 B. a = -5 atau a = 2 D. a = -6 atau a = 2 E. a = 6 atau a = -2
6x
8. Persamaan garis singgung melalui titik ( 5 , 1 ) pada lingkaran 2 2 x y 4 x 6 y 12 0 adalah … A.3x + 4y – 19 = 0 B. 3x - 4y – 19 = 0 0 D.x + 7y – 26 = 0 E. x - 7y – 26 = 0
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
haruslah … C. a = -5 atau a = 1
2y
2
0
C. 4x - 3y + 19 =
128
B. PARABOLA Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik (fokus) dan garis tertentu ( direktrik ) Persamaan parabola dengan puncak (0,0) adalah (y
b)2
4 p(x
y2
4 px
A(x,y)
a)2
Koordinat fokus : ( a +p , b ) Persamaan garis direktrik : x = a – p Grafik terbuka ke atas/bawah : ( x x p ) 2 Grafuk terbuka ke kiri/kanan : ( y
yp)
F(p,0)
x=-p
2
4 p( y
yp)
4 p(x
xp)
Persamaan Garis Singgung Parabola Persamaan garis singgung parabol y 2
4 px
di titik P ( x1 , y1 ) : yy1
2 p(x
x1 )
Persamaan garis singgung parabol x 2
4 py
di titik P ( x1 , y1 ) : xx1
2 p( y
y1 )
Persamaan garis singgung parabol ( y b ) 2 ( y1 b )( y b ) 2 p ( x x1 2 a )
4 p(x
a)
di titik P ( x1 , y1 ) :
Persamaan garis singgung parabol ( x a ) 2 ( x1 a )( y a ) 2 p ( y y1 2 a )
4 p( y
b)
di titik P ( x1 , y1 ) :
Persamaan garis singgung parabol dengan gradien m pada parabola y 2 y
mx
4 px
adalah :
p m
Soal Latihan : 1. Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik (2,1) dan garis x = 0 adalah … A. x 2 2 x y 9 0 D. y 2 2 y 4 x 5 0 B. x 2 2 x 4 y 7 0 E. y 2 2 y 4 x 5 0 C. y 2 2 y 8 x 9 0 2. Persamaan parabola dengan puncak ( 2 , 4 ) dan garis direktrik x = -1 adalah : 12( x 2) A. ( y 4) 2 12( x 2) D. ( y 4) 2 2 2 12( x 2) B. ( y 4) 12( x 2) E. ( y 4) 2 C. ( y 4) 12( x 2) 3. Persamaan garis singgung pada parabola ( y 1) 2
6( x
2)
dengan gradien
A. x – 2y – 10 = 0 D. x – 2y + 20 = 0 B. x – 2y + 10 = 0 E. x + 2y + 20 = 0 C. x +2y – 20 = 0 4. Besarnya nilai m agar garis y = mx – 3 menyinggung parabola y 2 A. –3
B. 8
C.
1 8
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
D.
1 3
4x
1 2
adalah …
adalah …
E. –8 129
5. Persamaan parabola yang direktriknya x = -4 dan fokusnya ( 4 , 0 ) adalah … A. y 2 32 x B. y 2 16 x C. y 2 8 x D. y 2 4 x E. y 2 2 x 6. Persamaan parabola dengan titik puncak di ( 1 , -2 ) dan titik fokus di (5 , -2 ) adalah … A. y 2 4 y 16 x 20 0 D. y 2 4 y 16 x 12 0 B. y 2 4 y 16 x 20 0 E. y 2 4 y 16 x 20 0 C. y 2 4 y 16 x 12 0 7. Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik ( 1 , 2 ½ ) dan garis y = 3 ½ adalah 2 ( x 1) A. ( x 1) 2 2 ( y 3 ) D. ( y 3 ) 2 2 2 4 ( y 3) 2 ( x 1) B. ( x 1) E. ( y 3 ) 2 2 ( y 3) C. ( x 1) 8. Titik P(3,2) adalah titik puncak parabola, sumbu simetri sejajar dengan sumbu Y dan parabola melalui titik A(7,4). Persmaan parabola adalah … A. x 2 6 x 8 y 6 0 D. x 2 6 x 8 y 16 0 B. x 2 6 x 8 y 25 0 E. x 2 6 x 8 y 10 0 C. x 2 6 x 8 y 40 0 9. Persamaan garis singgung pada parabol y 2 6 y 8 x adalah .. A. x + y + 4 = 0 C. x – y + 4 = 0 B. x + y – 4 = 0 D. x + 4y + 1 = 0
31
0
yang melalui titik ( -3 , -1 ) E. 4x + y + 1 = 0
10. Pada parabola y 2 24 x dibuat tali busur tali busur yang saling sejajar dengan gradien 3. Persamaan garis yang melalui titik –titik tengah tali busur-tali busur tersebut adalah … A. y = 1 B. y = 2 C. y = 3 D. y = 4 E. y = 5
C. Hiperbola Tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya dari dua titik ( fokus ) tertentu adalah tetap. Persamaan hiperbola :
x
2
y
2
a
2
b
2
Pusat : 0( 0 , 0 ) Fokus : F( c , 0 ) Puncak : ( a , 0 ) a
Direktris : x =
1
M(h,k) F( c+h,k) ( a+h,k)
2
x=
a
c
h
c b
Asimtot : y = x =
x
(y
a
k)
b
(x
h)
a
c
Eksentrisitas : e Latus rectum :
2
a
2b
2
a
Panjang sumbu nyata = 2a Panjang sb. Sekawan = 2b
Soal Latihan : Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
130
(x
1. Diketahui hiperbola
1)
2
(y
64
A. B. C. D. E. 2.
1)
2
1 maka pernyataan yang benar adalah …
36
Pusat ( 10 , -1 ) dan ( 12 , - 1 ) Puncak ( 8 , -1 ) dan ( - 7 , - 1 ) Sumbu utama y = 1 dan x = -1 Eksentrisitas e = 4/5 Asimtot y = ¾ ( x – 1 )
Persamaan hiperbol yang berpusat di (0,0) , Fokus ( 0 , 2 3 ) dan panjang sumbu minor 4 satuan adalah … y
A.
2
x
8 y
B.
2
C.
1
4
2
x
4
2
y
x
8
2
D.
1
2
y
E.
1
2 2
y
2
x
9
2
1
25
2
x
4
2
1
2
3. Persamaan hiperbol dengan titik puncak di ( 4 , 0 ) dan titik fokus ( 5 , 0 ) adalah … x
A.
2
25
B.
x
2
y
C.
1
16
2
y
25
2
D.
1
x
2
2
16
9
2
y
x
16
9
y
E.
1
x
2
9
y
2
1
25
2
1
25
D. Ellips x
2
y
2
a
2
b
2
Persamaan Ellips :
1
Pusat : 0( 0 , 0 ) Fokus : F( c , 0 ) Puncak : ( a , 0 ) : (0 , b ) a
Direktris : x =
M(h,k) F( c+h,k) ( a+h,k) (h, b+k)
2
a
x=
c
h
c c
Eksentrisitas : e
a
2b
Latus rectum :
2
2
a
Panjang sumbu nyata = 2a Panjang sb. Sekawan = 2b Contoh : Titik pusat ellips 9 x 2 16 y 2 A. ( -3 , 2 ) B. ( 6 , 4 )
45 x
adalah … C. ( 3 , -2 ) D. ( -6 , 4 )
64 y
1
0
E. ( 6 , -4 )
Jawab : 9x
2
9x
2
9( x
16 y
2
54 x 2
9( x f ( y)
3)
64 y
2
64 y
16 y
6 x) 2
45 x
16( y 16( y
16 y
2
2
1 1
4 y) 2)
64 y
2
Cara cerdik :
0
9x
1 1
f '( y )
f ( x)
81
2
16 y 9x
2
2
45 x
45 x
64 y f '( x )
1
0
18 x
54
0
x
3
64
32 y
64
0
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
y
2
131
9( x
(x
3)
3) 16
2
2
16( y
(y
2)
2)
2
144
Jadi pusat : ( 3 , -2 )
2
1
9
Jadi pusat : ( 3 , - 2 )
Soal Latihan : Persamaan garis singgung ellips 5( x 1) 2 9( y 2) 2 45 yang tegak lurus garis 2x + 3y – 10 = 0 adalah .. A. 3x – 2y – 15 = 0 D. 2x – y – 6 = 0 B. 2x – y – 8 = 0 E. 2x – y + 6 = 0 C. 2x – y + 8 = 0
Soal – soal Ujian Nasional 1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13 di titik yang berabsis –1 adalah …. a. 3x – 2y – 3 = 0 b. 3x – 2y – 5 = 0 c. 3x + 2y – 9 = 0 d. 3x + 2y + 9 = 0 e. 3x + 2y + 5 = 0 2. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah …. a. 4x – y – 18 = 0 b. 4x – y + 4 = 0 c. 4x – y + 10 = 0 d. 4x + y – 4 = 0 e. 4x + y – 15 = 0 3. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah …. a. x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0 b. x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0 c. x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0 d. x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0 e. x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0 4. Persamaan garis lingkaran yang berpusat di ( 1,4 ) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah …. a. x² + y² + 3x – 4y – 2 = 0 b. x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0 c. x² + y² + 2x + 8y – 8 = 0 d. x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0 e. x² + y² + 2x + 2y – 16 = 0
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
132
5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y – x + 3 = 0 adalah…. a. 52521+−=xy b. 52521−−=xy c. 552−=xy d. 552+−=xy e. 552+=xy 6. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P( 5,3 ) adalah …. a. 3x – 4y + 27 = 0 b. 3x + 4y – 27 = 0 c. 3x + 4y – 7 = 0 d. 7x + 4y – 17 = 0 e. 7x + 4y – 7 = 0 7. Jarak antara titik pusat lingkaran x² + y² – 4x + 4 = 0 dari sumbu y adalah …. a. 3 b. 2 ½ c. 2 d. 1 ½ e. 1 8. Diketahui lingkaran 2x² + 2y² – 4x + 3py – 30 = 0 melalui titik ( – 2,1 ). Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari – jarinya dua kali panjang jari – jari lingkaran tadi adalah …. a. x² + y² – 4x + 12y + 90 = 0 b. x² + y² – 4x + 12y – 90 = 0 c. x² + y² – 2x + 6y – 90 = 0 d. x² + y² – 2x – 6y – 90 = 0 e. x² + y² – 2x – 6y + 90 = 0 9. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik ( 3,–2 ) adalah …. a. 3x – 2y = 13 b. 3x – 2y = –13 c. 2x – 3y = 13 d. 2x – 3y = –13 e. 3x + 2y = 13 10. Salah satu persamaan garis singgung dari titik( 0,4 ) pada lingkaran x² + y² = 4 adalah …. a. y = x + 4 b. y = 2x + 4 c. y = – x + 4 d. y = –3x + 4 e. y = –2x + 4 11. Garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik ( –3,4 ) menyinggung lingkaran dengan pusat ( 10,5 ) dan jari – jari r. Nilai r = …. a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e. 11
1. D
2. A
3. A
4. D
5. D
6. E
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
7. C
8. D
9. A
10. D 11. C
133
