K-13
matematika IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi elips. 2. Memahami unsur-unsur elips. 3. Memahami eksentrisitas elips. 4. Dapat menentukan persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0). 5. Dapat menentukan persamaan elips dengan pusat yang bergeser sejauh (h, k) dari titik O(0, 0).
A. Definisi Elips Elips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama. Dua titik tertentu tersebut dinamakan sebagai titik api atau titik fokus.
B. Definisi Elips dari Sisi Eksentrisitas Dari sisi eksentrisitas, elips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap titik fokus dan garis direktris selalu di antara 0 dan 1. Perbandingan ini dinamakan eksentrisitas (e). Eksentrisitas menunjukkan tingkat kelengkungan suatu irisan kerucut. Perhatikan gambar berikut!
K e l a s
XI
direktris
E B
Sumbu minor
D (x2, y2) A (x1, y1) Sumbu mayor
O
C1
C2
C1 dan C2 disebut titik fokus elips. Eksentrisitas = e =
C1A C1D , dengan 0 < e < 1. = AB DE
C. Unsur-Unsur Elips Untuk memahami unsur-unsur elips, perhatikan gambar berikut! Y
B1 b
A1 –a
–c C1
O
c
A2
C2
a
X
B2 –b
A1A2 adalah sumbu mayor atau sumbu panjang, dengan panjang 2a. B1B2 adalah sumbu minor atau sumbu pendek, dengan panjang 2b. O adalah pusat dari elips. C1 dan C2 adalah titik fokus yang selalu terletak pada sumbu mayor. A1, A2, B1, dan B2 adalah puncak-puncak elips.
2
Contoh Soal 1 Tunjukkan bahwa jumlah jarak titik-titik pada elips terhadap dua titik fokus selalu 2a! Pembahasan: Perhatikan gambar berikut! Misal diketahui elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu-X sebagai sumbu mayor. Y
P(x, y)
b
c
–c –a
O
C1
C2
a
X
–b
Dari gambar tersebut, (x, y) merupakan titik sembarang pada elips. Jika jumlah jarak P ke C1 dan P ke C2 adalah k maka: PC1 + PC2 = k ⇔
(x + c)
2
+ ( y − 0) + 2
(x − c)
2
+ ( y − 0) = k 2
Jika kita pilih (x, y) = (a, 0) maka: ⇔
(a + c )
2
+ (0 − 0) + 2
(a + c ) + (a − c ) ⇔ (a + c ) + (a − c ) = k ⇔
2
2
(a − c )
2
+ (0 − 0) = k 2
=k
⇔ 2a = k ⇔ k = 2a Jadi, terbukti bahwa jumlah jarak titik-titik pada elips terhadap titik fokus selalu 2a.
3
Contoh Soal 2 Tunjukkan bahwa pada elips selalu berlaku a2 = b2 + c2! Pembahasan: Perhatikan gambar berikut!
Y
P(x, y)
b
c
–c –a
C1
O
C2
a
X
–b
Oleh karena telah terbukti bahwa jumlah jarak titik-titik pada elips terhadap titik fokus selalu 2a, maka: PC1 + PC2 = 2a ⇔
(x + c)
2
+ y2 +
(x − c)
2
+ y 2 = 2a
Jika kita pilih (x, y) = (0, b) maka: ⇔
(0 + c )
2
+ b2 +
(0 − c )
2
+ b 2 = 2a
⇔ c 2 + b 2 + c 2 + b 2 = 2a ⇔ 2 c 2 + b 2 = 2a ⇔ c 2 + b2 = a ⇔ c 2 + b 2 = a2 ⇔ a2 = b 2 + c 2 Jadi, terbukti bahwa pada elips selalu berlaku a2 = b2 + c2.
4
D. Eksentrisitas Elips Eksentrisitas merupakan perbandingan jarak suatu titik terhadap titik fokus dan garis direktris. Eksentrisitas dari suatu elips dapat ditentukan dengan rumus berikut. e=
c a
Contoh Soal 3 Tunjukkan bahwa eksentrisitas suatu elips dapat ditentukan dengan rumus berikut! e=
c a
Pembahasan: Perhatikan gambar berikut! Y
(0, b)
(x, y)
Q(d, y)
P
(–a, 0)
(–c, 0)
C
O
(c, 0)
(0, –b)
Berdasarkan definisi eksentrisitas, diperoleh: e=
CP PQ
( x − c ) + y2 2 (x − d) 2
⇔e=
5
(a, 0)
d
X
Jika kita substitusikan (x, y) = (a, 0) maka: ⇔e=
(a − c ) 2 (a − d )
⇔e=
a−c ... (1) d −a
2
Jika kita substitusikan (x, y) = (0, b) maka: c 2 + b2
⇔e=
d2 a2
⇔e= ⇔e=
d2 a ... ( 2 ) d
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2), sehingga diperoleh: a−c a = d −a d ⇔ ad − cd = ad − a2 ⇔ cd = a2 ⇔d=
a2 ... ( 3 ) c
(persamaan garis direktris)
Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1), sehingga diperoleh: e=
a−c d −a
⇔e=
⇔e= ⇔e=
a−c a2 −a c c (a − c )
a (a − c ) c a
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa, elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu-X sebagai sumbu mayor memiliki rumus eksentrisitas: e=
6
c a
; dan
persamaan garis direktris: x=
E.
a2 c
Persamaan Elips yang Berpusat di Titik O(0, 0) Persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X adalah sebagai berikut. x2 y2 + =1 a2 b 2
Sementara persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-Y adalah sebagai berikut. x2 y2 + =1 b 2 a2
Contoh Soal 4 Buktikan bahwa persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X adalah sebagai berikut. x2 y2 + =1 a2 b 2 Pembahasan: Perhatikan kembali gambar berikut!
Y P(x, y)
b
c
–c –a
C1
O
C2 –b
7
a
X
Oleh karena jumlah jarak titik-titik pada elips terhadap titik fokus selalu 2a, maka: PC1 + PC2 = 2a ⇔
(x + c)
⇔
(x + c)
2
2
(x − c)
2
+ y2 +
+ y 2 = 2a −
+ y 2 = 2a
(x − c)
⇔ ( x + c ) + y 2 = 4 a2 − 4 a
2
+ y2
(x − c)
2
⇔ x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4 a2 − 4 a ⇔ 4 cx − 4 a2 = −4 a ⇔ cx − a2 = −a
(x − c)
2
(x − c)
2
2
+ y2 + ( x − c ) + y2 2
(x − c)
2
+ y 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2
+ y2
+ y2
⇔ c 2 x 2 − 2a2 cx + a4 = a2 ( x − c ) + a2 y 2 2
⇔ c 2 x 2 − 2a2 cx + a4 = a2 ( x 2 − 2cx + c 2 ) + a2 y 2 ⇔ c 2 x 2 −2a2 cx + a4 = a2 x 2 −2a2 cx + a2 c 2 + a2 y 2 ⇔ c 2 x 2 + a 4 = a2 x 2 + a2 c 2 + a2 y 2
⇔ ( a2 − c 2 ) x 2 + a2 y 2 = a 4 − a2 c 2
⇔ ( a2 − c 2 ) x 2 + a2 y 2 = a2 ( a2 − c 2 ) Oleh karena pada elips berlaku b2 + c 2 = a2 atau b2 = a2 − c 2 , maka: ⇔ b 2 x 2 + a2 y 2 = a2 b 2 ⇔
x2 y2 + =1 a2 b 2
Jadi, terbukti bahwa persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor x2 y2 pada sumbu-X adalah 2 + 2 = 1. a b
Contoh Soal 5 Persamaan elips pada gambar berikut ini adalah .... Y 3
–5
5
O –3
8
X
Pembahasan: Diketahui: a=5 b=3 Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X, diperoleh: x2 y2 + =1 a2 b 2 x2 y2 ⇔ 2 + 2 =1 5 3 2 x y2 ⇔ + =1 25 9
x2 y2 + a2 b 2 x2 ⇔ 2 + 5 x2 ⇔ + Jadi, persamaan elips berdasarkan gambar tersebut adalah 25
=1 y2 =1 32 y2 = 1. 9
Contoh Soal 6 Persamaan elips pada gambar berikut ini adalah .... Y 8
–6
O
6
–8
Pembahasan: Diketahui: b=8 c=6
9
X
Oleh karena a2 = b2 + c2, maka: a2 = b 2 + c 2 ⇔ a2 = 8 2 + 6 2 ⇔ a2 = 100 ⇔ a = 10 Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X, diperoleh: x2 y2 + =1 a2 b 2 x2 y2 ⇔ 2 + 2 =1 10 8 x2 y2 ⇔ + =1 100 64
x2 y2 + =1 a2 b 2 x2 y2 ⇔ 2 + 2 =1 10 8 2 x y2 Jadi, persamaan elips berdasarkan gambar tersebut adalah ⇔ + = 1. 100 64
Contoh Soal 7 Tentukan persamaan elips yang memiliki titik fokus di (0, 3) dan (0, –3), serta panjang sumbu mayor 10. Kemudian, lukislah grafik elips tersebut! Pembahasan: Oleh karena panjang sumbu mayornya 10, maka: panjang sumbu mayor = 10 ⇔ 2a = 10 ⇔a=5 Oleh karena titik fokusnya di (0, 3) dan (0, –3), maka c = 3. Dengan demikian, diperoleh: b = a2 − c 2 ⇔ b = 52 − 32 ⇔ b = 25 − 9 ⇔ b = 16 ⇔b=4
10
Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-Y, diperoleh: x2 y2 + =1 b 2 a2 x2 y2 ⇔ 2 + 2 =1 4 5 2 x y2 ⇔ + =1 16 25 ⇔ 25 x 2 +16 y 2 = 400 Dengan demikian, grafik persamaan elips tersebut adalah sebagai berikut. Y 5 3
–4
C1
O –3
4
X
C2
–5
Contoh Soal 8 Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0), sumbu panjangnya merupakan 16 sumbu-X, serta kurva elips melalui titik-titik A 3, − dan B 5 Pembahasan:
5 3,2 ! 2
Bentuk persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X adalah sebagai berikut. x2 y2 + =1 a2 b 2
11
16 Substitusi A 3, − pada persamaan elips, sehingga diperoleh: 5 2
16 − ( 3) + 5 = 1 a2 b2 256 9 ⇔ 2 + 252 = 1 a b 9 256 ⇔ 2+ = 1 (kalikan kedua ruas dengan 25) a 25b2 225 256 ⇔ 2 + 2 = 25... (1) a b 2
5 3,2 pada persamaan elips, sehingga diperoleh: Substitusi B 2 x2 y2 + =1 a2 b 2 2
5 2 3 22 ⇔ 2 + 2 =1 a b 75 4 ⇔ 2 + 2 = 1 (kalikan kedua ruas dengan 4) 4a b 75 16 ⇔ 2 + 2 = 4... ( 2 ) a b Eliminasi variabel b pada persamaan (1) dan (2). 225 256 + 2 = 25 ×1 a2 b 75 16 + =4 ×16 a2 b 2 225 256 + 2 = 25 a2 b 1200 256 + 2 = 64 a2 b − 975 = −39 a2 ⇔ 39a2 = 975 −
⇔ a2 = 25 ⇔a=5
12
Substitusi nilai a = 5 ke persamaan (2), sehingga diperoleh: 75 16 + =4 a2 b 2 75 16 ⇔ 2 + 2 =4 5 b 75 16 + =4 ⇔ 25 b2 16 ⇔ 3+ 2 = 4 b 16 ⇔ 2 =1 b ⇔ b2 = 16 ⇔b=4 Dengan demikian, persamaan elipsnya adalah sebagai berikut. x2 y2 + =1 a2 b 2 x2 y2 ⇔ 2 + 2 =1 5 4 2 x y2 ⇔ + =1 25 16
x2 y2 + =1 a2 b 2 x2 y2 ⇔ 2 + 2 =1 Jadi, persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0), sumbu panjangnya merupakan 5 4 sumbu-X, 2 16 x y2 5 ⇔ + = 1. serta kurva elips melalui titik-titik A 3, − dan B 3,2 adalah 5 25 16 2
Contoh Soal 9 Tentukan persamaan elips yang memiliki titik fokus di (0, ±6) dengan eksentrisitas e = Pembahasan: Diketahui: Titik fokus (0, ±6) → c = 6 3 Eksentrisitas e = 5 3 Oleh karena eksentrisitas e = maka: 5 c e= a 3 6 ⇔ = 5 a ⇔ 3a = 30 ⇔ a = 10
13
3 ! 5
c a 3 6 ⇔ = 5 a ⇔ 3a = 30 ⇔ a = 10
e=
Oleh karena b2 = a2 – c2 maka: b = a2 − c 2 ⇔ b = 102 − 62 ⇔ b = 64 ⇔b=8 Dengan demikian, persamaan elipsnya adalah sebagai berikut. x2 y2 + =1 b 2 a2 x2 y2 ⇔ 2 + 2 =1 10 x 2 y82 2= 1 2 + b2 ⇔ax2 + y = 1 64 2 100 x2 y 3 ⇔ 2 + 2 =1 Jadi, elips yang memiliki titik fokus di (0, ±6) dengan eksentrisitas e = adalah 8 persamaan 10 5 x2 y2 ⇔ + = 1. 64 100
F.
Persamaan Elips dengan Pusat yang Bergeser Sejauh (h, k) dari Titik O(0, 0) Apabila h dan k adalah bilangan real positif, maka mengganti x dengan x – h atau x + h dan mengganti y dengan y – k atau y + k, akan menggeser bentuk kurva apapun dengan pola sebagai berikut. 1.
Jika x diganti x – h maka grafik akan bergeser h satuan ke kanan.
2.
Jika x diganti x + h maka grafik akan bergeser h satuan ke kiri.
3.
Jika y diganti y – k maka grafik akan bergeser k satuan ke atas.
4.
Jika y diganti y + k maka grafik akan bergeser k satuan ke bawah.
Sebagai contoh, perhatikan persamaan elips berikut! x2 y2 + =1 a2 b 2 Jika x diganti dengan x – h dan y dengan y – k maka elips yang berpusat di titik O(0, 0) akan bergeser h satuan ke kanan dan k satuan ke atas seperti yang ditunjukkan gambar berikut.
14
Y
( x − h )2 ( y − k )2 +
a2
b2 b
x
2
a2
+
y
2
=1 (h, k)
=1
b2
a b
(x, y)
(0, 0)
k
X
a h (x – h, y – k)
Contoh Soal 10 Sketsalah grafik elips berikut. Kemudian, tentukan titik fokusnya!
( x − 2) 16
2
( y − 3)
2
+
9
=1
Pembahasan: Persamaan elips nilai:
x2 y2 + = 1 adalah persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan 16 9
•
a=4
•
b=3
•
c = ± a2 − b2 = ± 4 2 − 32 = ± 7
Jika x diganti x – 2 maka elips bergeser 2 satuan ke kanan dan jika y diganti y – 3 maka elips bergeser 3 satuan ke atas. Dengan demikian, diperoleh grafik berikut. Y 6
3
–4 –3 –2 –1
1 2 3
15
4 5 6
X
Berdasarkan hal tersebut, fokus baru elips juga akan mengalami pergeseran sejauh 2 satuan ke kanan dan 3 satuan ke atas. Jadi, titik fokus baru elips tersebut adalah ( 2 + 7 , 3) dan ( 2 − 7 , 3).
Contoh Soal 11 Sketsalah grafik berikut!
( x + 4) 16
2
+
( y − 2) 25
Pembahasan: Persamaan elips Persamaan elips
2
=1
( x + 4)
2
+
16
( x + 4)
•
16 a2 = 25 → a = 5
•
b2 = 16 → b = 4
•
c2 = a2 – b2
2
+
( y − 2)
2
= 1 memiliki nilai pusat (h, k) = (–4, 2).
25
( y − 2) 25
2
= 1 memiliki nilai:
⇔ c = 52 − 4 2 ⇔c=3 Berdasarkan informasi tersebut, diketahui: Pada sumbu mayor: a.
Fokus adalah (h, k ± c) ≡ (–4, 2 ± 3) yaitu titik C1(–4, 5) dan C2(–4, –1).
b.
Puncak adalah (h, k ± a) ≡ (–4, 2 ± 5) yaitu titik P1(–4, 7) dan P2(–4, –3).
Pada sumbu minor: Puncak adalah (h ± b, k) ≡ (–4 ± 4, 2) yaitu titik P3(0, 2) dan P4(–8, 2).
16
Dengan demikian, didapat gambar sebagai berikut. Y
P1
7 6 5
C1
4 3 2 P3 1
P4
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 C2 –2
1
2
3
X
–3 –4
P2
Kesimpulan yang dapat diperoleh berdasarkan contoh soal-soal di atas adalah sebagai berikut. Bentuk persamaan elips
( x − h)
2
+
a2
(y − k)
Fokus (–c + h, k) dan (c + h, k)
2.
Persamaan garis direktris x = −
( x − h) b2
2
+
1.
Fokus (h, –c + k) dan (h, c + k )
2.
Persamaan garis direktris y =
= 1 memiliki nilai:
b2
1.
Bentuk persamaan elips
2
a2 a2 + h dan x = + h c c
(y − k)
2
a2
= 1 memiliki nilai:
a2 a2 + k dan y = − + k c c
17
Contoh Soal 12 Diberikan persamaan elips berikut. 9x2 – 54x + y2 + 2y + 46 = 0 Tentukan: a.
pusat elips;
b.
panjang sumbu mayor dan minor;
c.
koordinat titik fokus;
d.
koordinat puncak; dan
e.
sketsa grafik elips.
Pembahasan: a.
Untuk menentukan pusat elips, ubah dahulu persamaan pada soal ke dalam bentuk berikut. 9 x 2 − 54 x + y 2 + 2 y + 46 = 0
⇔ 9 ( x 2 − 6 x ) + y 2 + 2 y = −46
(
)
⇔ 9 ( x − 3 ) − 9 + ( y +1) − 1 = −46 2
2
⇔ 9 ( x − 3 ) − 81+ ( y +1) − 1= −46 2
2
⇔ 9 ( x − 3 ) + ( y +1) − 82 = −46 2
2
⇔ 9 ( x − 3 ) + ( y +1) = 36 2
⇔
9 ( x − 3)
2
+
36
( x − 3)
2
⇔
4
2
+
( y +1) 36
( y +1) 36
2
=1
2
=1
Berdasarkan persamaan tersebut, diketahui pusat elips (3, –1). b.
Panjang sumbu mayor dan minor a2 = 36 ⇔a=6 Panjang sumbu mayor: 2a = 2(6) = 12 b2 = 4 ⇔b=2 Panjang sumbu minor: 2b = 2(2) = 4
18
c.
Koordinat titik fokus c2 = a2 – b2 ⇔ c = 6 2 − 22 ⇔ c = 32 ⇔c= 4 2 Titik fokus (3, –1 + 4 2 ) dan (3, –1 – 4 2 ).
d.
Koordinat puncak Puncak pada sumbu mayor: ( 3, –1 + 6) dan (3, –1 – 6 ) (3, 5) dan (3, –7) Puncak pada sumbu minor: ( 3 + 2, –1) dan (3 – 2, –1 ) (5, –1) dan (1, –1)
e.
Sketsa grafik elips Y (3, 5)
X (1, –1)
(3, –1)
(5, –1)
(3, –7)
19
