K e l a s
K-13
matematika
XI
IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) di luar elips. 3. Dapat menentukan persamaan garis singgung elips jika diketahui gradiennya m.
Garis singgung elips merupakan suatu garis yang menyinggung elips. Ada tiga jenis persamaan garis singgung elips, yaitu persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada elips, persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) di luar elips, dan persamaan garis singgung elips jika diketahui gradiennya m.
A. Persamaan Garis Singgung di Titik (x1, y1) pada Elips Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada elips dengan pusat (0, 0) dapat ditentukan sebagai berikut. Persamaan Garis Singgung di Titik (x1, y1) pada Elips dengan Pusat (0, 0) Persamaan Elips
Persamaan Garis Singgung
x2 y2 + =1 a2 b 2
x1x
x2 y2 + =1 b 2 a2
x1x
a
b
2
2
+
y1y
=1
+
y1y
=1
b2
a2
Sementara itu, persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada elips dengan pusat (h, k) dapat ditentukan sebagai berikut. Persamaan Garis Singgung di Titik (x1, y1) pada Elips dengan Pusat (h, k) Persamaan Elips
( x − h) a
+
2
( x − h) b
2
2
2
+
(y − k) b
a
2
( x1 − h )( x − h ) ( y1 − k )( y − k )
2
=1
2
(y − k)
Persamaan Garis Singgung
a2
+
b2
( x1 − h )( x − h ) ( y1 − k )( y − k )
2
=1
b2
+
a2
=1
=1
Contoh Soal 1 Buktikan bahwa untuk persamaan elips (x1, y1) pada elips adalah sebagai berikut. x1x a
2
+
y1y b2
x2 y2 + = 1, persamaan garis singgung di titik a2 b 2
=1
Pembahasan: Perhatikan gambar elips berikut!
y (x1, y1)
b
(x1 + h, y1 + k)
–a
a
O
–b
(x1, y1) terletak pada elips, sehingga berlaku: x12 a
2
+
y12 b2
= 1 ... (1)
2
x
(x1 + h, y1 + k) juga terletak pada elips, sehingga berlaku:
( x1 + h )2 + ( y1 + k )2
=1
⇔
a2 b2 x12 + 2hx1 + h2
y12 + 2ky1 + k 2
⇔
x12 a2
⇔ 1+ ⇔
+
a2 y12
+
2hx1 + h2
b2 2hx1 + h2
a2 2hx1 + h2
+
+
b2 2ky1 + k 2
+ a2 2ky1 + k 2
b2 2ky1 + k 2
b2
=1 =1
= 1 ... substitusi persamaan (1)
=− a2 b2 h ( 2 x1 + h ) k ( 2 y1 + k ) =− ⇔ 2 a b2 ( 2 x1 + h ) b2 k ⇔ =− h ( 2 y1 + k ) a2 Dengan demikian, gradien garis singgung (mgs) elips dapat ditentukan sebagai berikut. k mgs = lim h→0 h k →0 ( 2 x1 + h ) b2 = lim − h→0 ( 2 y1 + k ) a2 k →0 =−
b2 x1 a2 y1
Substitusikan nilai mgs pada formula umum persamaan garis singgung, sehingga diperoleh: y − y1 = mgs ( x − x1 ) ⇔ y − y1 = −
b2 x1 ( x − x1 ) a2 y1
⇔ a2 y1 y − a2 y12 = −b2 x1 x + b2 x12 ⇔ b2 x1 x + a2 y1 y = a2 y12 + b2 x12 b2 x1 x a2 y1 y a2 y12 b2 x12 + 2 2 = 2 2 + 2 2 ab a2 b 2 ab ab 2 2 xx yy y x ⇔ 12 + 12 = 12 + 12 a b b a x1 x y1 y ⇔ 2 + 2 =1 a b ⇔
3
Jadi, terbukti bahwa untuk persamaan elips titik (x1, y1) pada elips adalah
x1x a2
+
y1y b2
x2 y2 + = 1, persamaan garis singgung di a2 b 2
= 1.
Contoh Soal 2 Tentukan persamaan garis singgung elips Pembahasan:
x2 y2 + = 1 di titik (2, 1)! 8 2
Tentukan dahulu posisi titik terhadap elips. Dengan substitusi titik (2, 1) ke persamaan elips, diperoleh:
( 2 )2 + (1)2 8
2
=
4 1 1 1 + = + = 1= 1 8 2 2 2
Oleh karena 1 = 1 maka titik (2, 1) terletak pada elips. Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgungnya dengan rumus berikut. x1x y1y + =1 8 2 2x y ⇔ + =1 8 2 x y ⇔ + =1 4 2 ⇔ x + 2y = 4 Jadi, persamaan garis singgung elips
x2 y2 + = 1 di titik (2, 1) adalah x + 2y = 4. 8 2
Contoh Soal 3 Tentukan persamaan garis singgung elips 2x2 + y2 = 6 di titik (1, 2). Pembahasan: Tentukan dahulu posisi titik terhadap elips. Dengan substitusi titik (1, 2) ke persamaan elips, diperoleh: 2(1)2 + (2)2 = 2 + 4 = 6 = 6 Oleh karena 6 = 6 maka titik (1, 2) terletak pada elips.
4
Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgungnya dengan rumus berikut. 2 x1 x + y1 y = 6
⇔ 2 (1) x + 2 y = 6 ⇔ 2x + 2y = 6 ⇔ x+y=3
Jadi, persamaan garis singgung elips 2x2 + y2 = 6 di titik (1, 2) adalah x + y = 3.
Contoh Soal 4 Persamaan garis singgung elips berikut ini di titik (3, –1) adalah ....
( x − 1)
2
6
+
( y + 2)
2
=1
3
Pembahasan: Tentukan dahulu posisi titik terhadap elips. Dengan substitusi titik (3, –1) ke persamaan elips, diperoleh:
( 3 − 1) 6
2
+
( −1+ 2 ) 3
2
=
4 1 2 1 + = + = 1= 1 6 3 3 3
Oleh karena 1 = 1 maka titik (3, –1) terletak pada elips. Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgungnya dengan rumus berikut.
( x1 − 1)( x − 1) ( y1 + 2 )( y + 2 ) + 6 ( 3 − 1)( x − 1)
=1 3 ( −1+ 2 )( y + 2 ) ⇔ + =1 6 3 2 ( x − 1) ( y + 2 ) ⇔ + =1 6 3 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = 3 ⇔ x+y=2 Jadi, persamaan garis singgung elips tersebut di titik (3, –1) adalah x + y = 2.
5
B. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Titik (x1, y1) di Luar Elips Perhatikan gambar elips berikut!
Y
(x1, y1)
k
b
–a
O
a
X
–b
Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) di luar elips tidak memiliki formula khusus. Untuk menentukan persamaan garis singgungnya, perhatikan langkah-langkah berikut. 1.
Misalkan persamaan garisnya dengan y – y1 = m(x – x1).
2.
Subtitusikan titik (x1,y1) ke persamaan tersebut sehingga diperoleh persamaan garis y = mx + n.
3.
Subtitusikan y = mx + n ke persamaan elips sehingga diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
4.
Gunakan syarat garis menyinggung kurva, yaitu D = 0 untuk mencari nilai m.
5.
Subtitusikan balik nilai m ke persamaan y = mx + n sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya.
Contoh Soal 5 Persamaan garis singgung elips x 2 + Pembahasan:
y2 = 1 yang melalui titik (–2, –1) adalah .... 5
Tentukan dahulu posisi titik terhadap elips. Dengan mensubstitusikan titik (–2, –1) ke persamaan elips, diperoleh:
( −2 )
2
+
( −1) 5
2
=4+
Oleh karena 4
1 1 = 4 >1 5 5
1 > 1 maka titik (–2, –1) terletak di luar elips. 5
6
Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgungnya dengan langkah-langkah berikut. Misalkan persamaan garisnya dengan y – y1 = m(x – x1). Substitusikan titik (–2, –1) ke persamaan tersebut, sehingga diperoleh: y − y1 = m ( x − x1 )
⇔ y +1= m ( x + 2 ) ⇔ y = mx + 2m − 1 Substitusikan y = mx + 2m – 1 ke persamaan elips, sehingga diperoleh: x2 +
( mx + 2m − 1)
2
5
⇔ x2 +
=1
m2 x 2 + 2m ( 2m − 1) x + ( 2m − 1)
2
=1 5 ⇔ 5 x 2 + m2 x 2 + ( 4 m2 − 2m ) x + ( 4 m2 − 4 m +1) = 5
⇔ ( 5 + m2 ) x 2 + ( 4 m2 − 2 m ) x + 4 m2 − 4 m − 4 = 0
⇔ ( 5 + m2 ) x 2 + ( 4 m2 − 2m ) x + 4 ( m2 − m − 1) = 0 Persamaan kuadrat tersebut memiliki nilai a = (5 + m2), b = 4m2 – 2m, dan c = 4(m2 – m – 1). Dengan menggunakan syarat garis menyinggung kurva, diperoleh: D=0 ⇔ b2 − 4 ac = 0 ⇔ ( 4 m2 − 2m ) − 4 ( 5 + m2 ) .4 ( m2 − m − 1) = 0 2
⇔ 16m4 − 16m3 + 4 m2 − 16 ( m4 − m3 − m2 + 5m2 − 5m − 5 ) = 0 ⇔ 16 m4 − 16 m3 + 4 m2 − 16 m4 + 16 m3 +16 m2 − 80 m2 + 80 m + 80 = 0 ⇔ −60 m2 + 80 m + 80 = 0 ⇔ 3m 2 − 4 m − 4 = 0 ⇔ ( 3m + 2 )( m − 2 ) = 0 2 m = − atau m = 2 3 Substitusikan nilai m ke persamaan y = mx + 2m – 1, sehingga diperoleh: 1.
2 3 2 2 y = − x + 2 − −1 3 3 2 7 ⇔ y=− x− 3 3 ⇔ 2x + 3y + 7 = 0
Untuk m = −
7
Untuk m = 2
2.
y = 2 x + 2 (2) − 1 ⇔ y = 2x + 3 ⇔ 2x − y + 3 = 0 y2 Jadi, persamaan garis singgung elips x 2 + = 1 yang melalui titik (–2, –1) adalah 5 2x + 3y + 7 = 0 atau 2x – y + 3 = 0.
C. Persamaan Garis Singgung Elips Jika Diketahui Gradiennya m x2 y2 + = 1 adalah m dan persamaan garis a2 b 2 singgungnya adalah y = mx + n. Jika persamaan garis singgung tersebut disubstitusikan ke persamaan elips maka diperoleh: Misalkan gradien garis singgung elips
x 2 ( mx + n ) + =1 a2 b2 x 2 m2 x 2 + 2mnx + n2 =1 ⇔ 2+ a b2 2
(
(kalikan kedua ruas dengan a2 b2 )
)
⇔ b2 x 2 + a2 m2 x 2 + 2mnx + n2 = a2 b2 ⇔ b x + a m x + 2mna x + a n − a2 b2 = 0 2 2
2
2
2 2
(
2 2
)
(
)
⇔ b2 + a2 m2 x 2 + 2mna2 x + a2 n2 − b2 = 0 Persamaan kuadrat tersebut memiliki nilai a = (b2 + a2m2), b = 2mna2, dan c = a2(n2 – b2). Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah sebagai berikut. D = b2 − 4 ac
(
⇔ D = ( 2mna2 ) − 4 ( b2 + a2 m2 ) a2 ( n2 − b2 ) 2
)
⇔ D = 4 m n a − 4 a ( b n − b + a m n − a 2 m2 b 2 ) 2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
⇔ D = 4 m2 n2 a4 − 4 a2 b2 n2 + 4 a2 b 4 − 4 m2 n2 a4 + 4 m2 b2 a4 ⇔ D = −4 a2 b2 ( n2 − b2 − a2m2 )
Syarat garis menyinggung kurva adalah D = 0. Dengan demikian, diperoleh: D=0
⇔ −4 a2 b2 ( n2 − b2 − a2 m2 ) = 0
8
Faktor penghasil nol yang mungkin adalah sebagai berikut. n2 − b2 − a2 m2 = 0 ⇔ n2 = b2 + a2 m2 ⇔ n = ± b 2 + a 2 m2 x2 y2 Dengan demikian, persamaan garis singgung elips 2 + 2 = 1 dengan gradien m adalah a b sebagai berikut. y = mx ± b2 + a2 m2 x2 y2 Analog dengan cara di atas, persamaan garis singgung elips 2 + 2 = 1 dengan gradien a b m adalah sebagai berikut. y = mx ± a2 + b2 m2
Contoh Soal 6 Tentukan persamaan garis singgung pada elips Pembahasan:
x2 y2 + = 1 yang memiliki gradien 5 . 9 4
x2 y2 + = 1 memiliki nilai a = 3 dan b = 2. 9 4 x2 y2 Dengan demikian, persamaan garis singgung elips + = 1 dengan gradien m = 5 9 4 dapat ditentukan sebagai berikut.
Persamaan elips
y = mx ± b2 + a2 m2 ⇔ y = 5 x ± 22 + 32
( 5)
2
⇔ y = 5 x ± 49 ⇔ y = 5x ± 7 Jadi, persamaan garis singgung elips tersebut yang memiliki gradien 5 adalah y = 5 x ± 7.
Contoh Soal 7 Persamaan garis singgung pada elips x2 + 3y2 = 27 yang membentuk sudut 45° terhadap sumbu-X positif adalah ....
9
Pembahasan: Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-X positif dapat dirumuskan dengan m = tan α. Dengan demikian, gradien garis singgung elips tersebut adalah m = tan 45° = 1. Perhatikan bahwa persamaan elips pada soal dapat dinyatakan dalam bentuk berikut. x 2 + 3 y 2 = 27 x2 3y2 + =1 27 27 x2 y2 ⇔ + =1 27 9 x2 y2 ⇔ + =1 2 32 3 3 ⇔
(
)
Dari bentuk tersebut, diketahui elips berpusat di titik O(0, 0) dengan nilai a = 3 3 dan b = 3. Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut. y = mx ± b2 + a2 m2
(
⇔ y = 1. x ± 32 + 3 3
) (1) 2
2
⇔ y = x ± 9 + 27 ⇔ y = x ± 36 ⇔ y = x±6 Jadi, persamaan garis singgung elips x2 + 3y2 = 27 yang membentuk sudut 45° terhadap sumbu-X positif adalah y = x ± 6.
Contoh Soal 8 Persamaan garis singgung elips 4x2 + y2 = 16 yang tegak lurus dengan garis 4 y + 5 x + 3 = 0 adalah .... Pembahasan:
5 3 5 x − memiliki gradien m = − . 4 4 4 Oleh karena garis singgung elips tegak lurus dengan garis tersebut, maka gradien garis Garis 4 y + 5 x + 3 = 0 atau y = −
singgungnya adalah m = −
1 4 = . 5 5 − 4
10
Perhatikan bahwa persamaan elips pada soal dapat dinyatakan dalam bentuk berikut. 4 x 2 + y 2 = 16 4 x2 y2 + =1 16 16 x2 y2 ⇔ + =1 4 16 x2 y2 ⇔ 2 + 2 =1 2 4 ⇔
Dari bentuk tersebut, diketahui elips berpusat di titik O(0, 0) dengan nilai a = 4 dan b = 2. Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut. y = mx ± a2 + b2 m2 ⇔y= ⇔y= ⇔y= ⇔y=
4 x ± 4 2 + 22 5 5
4 4
5 4 5 4 5
x ± 16 + 4.
2
16 5
144 5 12
x± x±
5
Jadi, persamaan garis singgung elips 4x2 + y2 = 16 yang tegak lurus 4 y + 5 x + 3 = 0 adalah y =
4 5
12
x±
5
.
Setelah memahami persamaan garis singgung elips yang berpusat di O(0, 0), kamu pelajari persamaan garis singgung elips yang berpusat di (h, k). Persamaan garis singgung elips yang berpusat di (h, k) memiliki bentuk yang tidak jauh berbeda dengan persamaan garis singgung sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel berikut. Persamaan Garis Singgung Elips yang Berpusat di Titik (h, k) Persamaan Elips
( x − h)
2
+
a2
( x − h) b
2
2
+
(y − k)
2
b2
(y − k) a
2
Persamaan Garis Singgung
=1
y − k = m ( x − h ) ± b 2 + a 2 m2
=1
y − k = m ( x − h ) ± a 2 + b 2 m2
2
11
Contoh Soal 9 Persamaan garis singgung elips berikut ini yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 adalah ....
( x − 3)
2
+
16
( y +1)
2
=1
5
Pembahasan: Persamaan elips pada soal dapat dinyatakan sebagai berikut.
( x − 3)
2
42
( y − ( −1) ) +
2
( 5)
2
=1
Dari bentuk tersebut, diketahui elips berpusat di (h, k) = (3, –1) dengan nilai a = 4 dan b = 5 . 1 3 1 3 Garis x – 2y + 3 = 0 atau y = x + memiliki gradien my = .x + 2 2 2 2 Oleh karena garis singgung elips sejajar dengan garis tersebut maka gradien garis 1 3 singgungnya adalah mygs = .x + 2 2 Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut. y +1=
1 ( x − 3) ± 2
( ) 5
2
1 + 42 2
2
1 3 x − ± 5+4 2 2 1 3 ⇔ y +1= x − ± 3 2 2 ⇔ 2y + 2 = x − 3 ± 6 ⇔ x − 2y − 5 ± 6 = 0 ⇔ y +1=
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x – 2y + 1 = 0 atau x – 2y – 11 = 0.
Contoh Soal 10 Persamaan garis singgung 25x2 + 4y2 – 100x + 16y + 16 = 0 yang membentuk sudut 60° terhadap sumbu-X positif adalah ....
12
Pembahasan: Ubah bentuk persamaan umum elips pada soal menjadi bentuk rumus umum. 25 x 2 + 4 y 2 − 100 x +16 y +16 = 0 ⇔ 25 x 2 − 100 x + 4 y 2 +16 y = −16
⇔ 25 ( x 2 − 4 x ) + 4 ( y 2 + 4 y ) = −16
(
) (
)
⇔ 25 ( x − 2 ) − 4 + 4 ( y + 2 ) − 4 = −16 2
2
⇔ 25 ( x − 2 ) − 100 + 4 ( y + 2 ) − 16 = − 16 2
2
⇔ 25 ( x − 2 ) + 4 ( y + 2 ) = 100 2
2
25 ( x − 2 )
2
⇔ ⇔
+
100
( x − 2) 4
2
+
4 ( y + 2)
2
100
( y + 2) 25
=
100 100
2
=1
Dari bentuk tersebut, diketahui elips berpusat di (h, k) = (2, –2) dengan nilai a2 = 25 dan b2 = 4. Oleh karena persamaan garis singgung membentuk sudut 60° terhadap sumbu-X positif maka: m = tan θ ⇔ m = tan 60° y = ⇔3 xm−=2 3 − 2 ± 37 Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut. y + 2 = 3 ( x − 2 ) ± 25 + 4
( 3)
2
⇔ y + 2 = 3 x − 2 3 ± 37 ⇔ y = 3 x − 2 3 − 2 ± 37 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 3 x − 2 3 − 2 ± 37 .
13
