PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

KEGIATAN BELAJAR 11

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA

Setelah mempelajari kegiatan belajar 11 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola, Titik dan Garis Polar

Pada kegiatan ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan

persamaan garis singgung parabola bergradien , persamaan garis singgung melalui titik , pada parabola, dan persamaan garis singgung melalui titik , di luar parabola. Untuk menentukan persamaan garis singgung

parabola pahami dan lakukanlah kegiatan-kegiatan berikut ini. A. Menentukan Persamaan Garis Singgung parabola yang berpuncak di ,

dan , dengan gradien Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang berpuncak

di 0,0 dan , dengan gradien lakukanlah kegiatan 11.1 dan perhatikan Gambar 11.1 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.

Gambar 11.1 Parabola yang berpuncak di , dan sebuah garis

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


Kegiatan 11.1. Gradien garis singgung diketahui dan parabola yang berpuncak di , Langkah-langkahnya: 1.

2.

Potonglah antara persamaan parabola = 2 dan persamaan garis

= + sebagai berikut.

= 2 dipotongkan = + Subsitusikan garis = + % ke persamaan parabola = 2 sehingga

diperoleh: + = 2 + 2 + = 2 + 2−2 + = 0

3.

….(1)

Persamaan (1) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel . Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (1) mempunyai nilai:

• Diskriminan ' positif atau ' > 0, diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis = + memotong parabola

= 2 pada dua titik.

• ' < 0, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis = + tidak memotong parabola = 2 atau garis = berada

di luar parabola.

• ' = 0, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis = + menyinggung parabola = 2 pada suatu titik.

4.

Agar garis = + menyinggung parabola = 2, maka ambil ' = 0, yaitu:

2 − 2 − 4 = 0 4 − 8 + 4 − 4 = 0 −8 + 4 = 0 4 = 8 4 = 8 = 2 Sehingga persamaan garis singgung parabola = 2 dengan gradien

atau sejajar dengan garis = + adalah: . , = - + 5 / Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di

tentukan persamaan garis singgung parabola − = 2 − dengan

gradien . Geser titik puncak parabola 0, 0 ke titik , . Akibatnya [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

2

3

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom 0

persamaan garis singgung = + 1 bergeser menjadi − = − + 0

1

.

Sehingga persamaan garis singgung parabola − = 2 −

dengan gradien atau yang sejajar dengan garis = + adalah: . , − = - − + 6 / Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan garis singgung pada parabola = 2 dengan gradien adalah

7 , = - − . / dan persamaan garis singgung parabola − = 2 − melalui titik 2 , adalah

, − = - − − . /

8

Masalah 11.1 Tentukan persamaan garis singgung parabola = 8 yang tegak lurus pada

garis 2 − + 5 = 0.

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali tentuka terlebih

dahulu gradien dari persamaan garis 2 − + 5 = 0 yaitu = . Karena tegak lurus dengan garis tersebut maka gradiennya adalah = −2. Sehingga

diperoleh persamaaan garis singgung parabola tersebut adalah = + 4 = −2 + −2 = −2 − 2 Jadi, persamaan garis singgung parabola adalah = −2 − 2 atau 2 + + 2 = 0.

Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik -4 , ,4 Pada Parabola yang berpuncak di , dan , Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang benpuncak di 0,0 dan , yang melalui titik , , lakukanlah kegiatan 11.2 dan perhatikan Gambar 11.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]


Gambar 11.2. Parabola melalui titik singgung Kegiatan 11.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada parabola yang berpuncak di , 1. Misalkan persamaan parabola = 2 dan titik 2 , dan 5 , yang terletak pada parabola.

2.

3.

Sehingga persamaan garis 25 adalah − − = − − ,/ − ,4 - − -4 , − ,4 = -/ − -4 , − ,4 = - − -4 … … 4 Karena titik 2 , dan 5 , berada pada parabola maka berlaku persamaan berikut:

= 2 2 3 = 2 Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan ,/ / − ,4 / = /.-/ − -4 … . 4 atau − = 2 − − + = 2 − − 2 = − +

= 4.

/. ,/ + ,4

… . 9

Subsitusikan persamaan (5) ke persamaan (1) sehingga diperoleh: y − y = m x − x /> ? − ?4 … . @ = − =4 = ,/ + ,4 [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

4

5


5.

Apabila titik 5 , bergerak mendekati titik 2 , , sehingga titik

5 , dan 2 , berimpit, dan garis 25 akan menjadi garis singgung parabola di titik 2 , , akibatnya = dan = .

Sehingga persamaan (4) menjadi: 2p x − x y − y = + 2p x − x y − y = kalikan semuanya dengan 2y − = − = − + berdasarkan hasil (2) di peroleh = 2

= − + 2 = + ,,4 = .- + -4 Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik 2 , pada parabola = 2 adalah:

,4 , = .- + -4

9

Bentuk persamaan garis singgung di titik 2 , pada persamaan parabola − = 2 − adalah − − = E − + − F , − ,4 − = .- + -4 − /

10

Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan garis singgung parabola = 2 melalui titik 2 , adalah -4 - = ., + ,4

11

Dan persamaan garis singgung parabola − = 2 − melalui titik

2 , adalah

- − -4 − = ., + ,4 − /

12

Masalah 11.2 Tentukan persamaan garis singgung parabola − 2 = 6 + 2 di titik yang mempunyai absis = 4!

Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali tentukan terlebih

dahulu nilai parameternya yaitu = 3 dan puncak parabola adalah −2, 2. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]


Kemudian kita tentuka nilai ordinat () dengan mensubstitusikan nilai absis = 4 ke persamaan parabola − 2 = 6 + 2 sehingga diperoleh, − 2 = 64 + 2 − 2 = 36

− 2 = √36 − 2 = ±6 = 8 atau = −4 Maka koordinat titik singgung adalah 4, 8 dan 4, −4 Persamaan garis singgung parabola − 2 = 6 + 2 dengan titik singgung 4, 8 adalah, − − = + − 2 8 − 2 − 2 = 3 + 4 − 2−2 6 − 2 = 3 + 8 6 − 12 = 3 + 24 3 − 6 + 36 = 0 − 2 + 12 = 0 Persamaan garis singgung parabola − 2 = 6 + 2 dengan titik singgung

4, −4 adalah,

− − = + − 2 −4 − 2 − 2 = 3 + 4 − 2−2 −6 − 2 = 3 + 8 −6 + 12 = 3 + 24 3 + 6 + 12 = 0 + 2 + 4 = 0 Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. C. Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik K-4 , ,4 di Luar Parabola Agar dapat menentukan persamaan garis singgung di titik 2 , di luar

parabola, maka diskusikan kegiatan 11.3 dengan memperhatikan Gambar 11.3 di bawah ini. Kegiatan 11.3 Menentukan Titik -4 , ,4 dan Garis Polar Jika titik , terletak di luar parabola yang berpuncak di 0, 0 seperti yang terlihat pada Gambar 11.3 di bawah ini:


6

7


Gambar 11.3 Titik di Luar parabola Persamaan garis singgung yang melalui titik , tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: Langkah-langkahnya: 1. 2.

Titik , berada di luar parabola = 2.

Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung parabola yaitu L dan M. Garis L menyinggung parabola di N , ; garis M menyinggung parabola di

OP , P . Jadi, titik merupakan titik potong garis singgung L dan M.

3.

Tentukan persamaan garis singgung N dengan menggunakan persamaan

garis singgung yang melalui titik yaitu = + . Titik , pada

N, sehingga diperoleh = + . Itu berarti 5 , pada garis = + ….(1)

4.

Tentukan persamaan garis singgung O dengan menggunakan persamaan

garis singgung diperoleh P = P + . Itu berarti QP , P pada persamaan = +

5.

….(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis NO (garis

penghubung antara titik N dan O) yaitu = + , yang juga di sebut

garis polar dari titik , terhadap parabola = + adalah

,4 , = .- + -4 Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 1.

2.

Persamaan

garis

polar

dari

titik

,

13 terhadap

− = 2 + − 2 adalah , − ,4 − = .- + -4 − / Persamaan garis polar dari titik , terhadap = 2 adalah

-4 = ., + ,4

parabola 14 parabola

15


8


3.

Persamaan

garis

polar

dari

titik

,

terhadap

− = 2 + − 2 adalah - − -4 − = ., + ,4 − /

parabola 16

Menentukan persamaan garis singgung dari titik , di luar parabola baik

yang berpuncak di 0, 0 maupun yang berpuncak di , . diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1.

Membuat garis polar dari titik terhadap parabola.

2.

Mencari koordinat titik potong garis polar dengan parabola.

3.

Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis polar dan parabola tersebut.

Masalah 11.3 Tentukan persamaan garis singgung parabola yang melalui titik 22,5 yang terletak di luar parabola = 8

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu persaman garis polar yaitu,

= + 5 = 4 + 2 5 = 4 + 8 4 + 8 = … 1 5 Subsitusikan persamaan (1) di atas ke persamaan parabola = 8 sehingga

diperoleh,

4 + 8 R S = 8 5 16 + 64 + 64 = 8 25 16 + 64 + 64 = 200 16 − 136 + 64 = 0 2 − 17 + 8 = 0 2 − 1 − 8 = 0 1 = atau = 8 2



Substitusikan nilai = nilai

= 2

atau

U , 2V dan 8, 8.

atau = 8 ke persamaan (1) sehingga diperoleh

= 8.

Sehingga

titik

singgung

parabola

adalah

Setelah kita memperoleh titik singgung maka kita dapat menentukan

persamaan garis singgung parabola = 8 dengan titik U , 2V adalah:

= + 1 2 = 4 R + S 2 2 = 4 + 2 2 − + 1 = 0 Dan persamaan garis singgung parabola = 8 dengan titik 8, 8 adalah: = + 8 = 4 + 8 8 = 4 + 32 − 2 + 8 = 0 Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.

Rangkuman 1.

2.

Persamaan garis singgung pada parabola = 2 dengan gradien adalah: . , = - + / Persamaan garis singgung parabola − = 2 − dengan gradien adalah:

. / Persamaan garis singgung pada parabola = 2 dengan gradien , − = - − +

3.

adalah: 4.

, = - − . / Persamaan garis singgung parabola − = 2 − melalui titik

5.

, − = - − − . / Persamaan garis singgung yang melalui titik 2 , pada parabola

2 , adalah:

= 2 adalah:

,4 , = .- + -4


9


6.

Persamaan garis singgung di titik 2 , pada persamaan parabola

7.

= 2 melalui titik 2 , adalah: -4 - = ., + ,4 Persamaan garis singgung parabola − = 2 − melalui titik

8.

, − ,4 − = .- + -4 − / Persamaan garis singgung parabola − = 2 − melalui titik

2 , adalah: 2 , adalah:

- − -4 − = ., + ,4 − /


10

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA

Recommend Documents