Matematika XI MIA Peminatan Persamaan Garis Singgung Parabola
Di Susun Oleh : Markus Yuniarto, S.Si
SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 2016 – 2017
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA A. Persamaan Garis Singgung Parabola Dengan Puncak (0,0) 1. Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m
Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola y2 = -4px dan : y = mx + b maka
x + b2 + 4px = 0 4p )x + b2 = 0
Garis
menyinggung parabola y2 = -4px, maka berlaku D = 0,
sehingga b2 – 4ac = 0 (2mb + 4p )2
– 4 m2 b2 = 0
4m 2 b 2 16 mbp 16 p 2 4m 2 b 2 = 0
16mbp = 16 p 2 16 p 2 mb = 16 p mb = - p b= Subtitusi b =
p m
p pada persamaan garis , m
diperoleh y = mx +
p m 2
Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y2 = -4px dengan gradien m adalah y = mx +
p m
Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola x2 = 4py dan
: y = mx+b, maka x 2 4 p(mx b) x 2 4 pmx 4 pb x 2 4 pmx 4 pb 0 Garis menyinggung parabola x2 = 4py, maka beraku D = 0, sehingga: b2 – 4ac = 0
(4 pmx ) 2 4(4 pb) 0 16 p 2 m 2 16 pb 0
y y1 = mx – pm 2
16 p 2 m 2 16 pb 16 p 2 m 2 b 16 p
y = mx + c P(x,y) x
b pm 2
Subtitusi b pm 2 pada persamaan garis , diperoleh y = mx pm 2 Jadi persamaan garis singgung pada parabola x2 = 4py dengan gradien m adalah y = mx pm 2 3
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel berikut ini: No
Persamaan parabola
Persamaan garis singgung
1.
y 2 4 px
y = mx +
p m
2.
y 2 4 px
y mx
p m
3.
x 2 4 py
y = mx pm 2
4.
x 2 4 py
y mx pm
Ex. 1 Tentukan persamaan garis singgung pada parabola : a.
y 2 8 x dengan gradien 3
b. y 2 6 x dengan gradien – 2 c.
x 2 2 y dengan gradien – 1
4
2. Persamaan garis singgung parabola melalui titik(x1 , y1) o Persamaan garis singgung y melalui titik
P (x1, y1)
yang
terletak pada parabola y 2 4 px , dapat dinyatakan sebagai:
y y1 m( x x1 ) Dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut: y2 4p 2y dx dy 4 p y dx dy 2 p dy 2 p dx y dy 2 p jadi, m dx y
x
Dititik (x1, y1) : m = nilai
m
=
2p y1
2p y1
didistribusikan
ke
persamaan
y y1 m( x x1 ) diperoleh
5
y y1
2p ( x x1 ) y1
y1 ( y y1 ) 2 px 2 px1 y1 y y1 2 px 2 px1 (ingat 2
y1 4 px) 2
y1 y (4 px) 2 px 2 px1 y1 y 4 px 2 px 2 px1 y1 y 2 px 2 px1 y1 y 2 p( x x1 ) Dengan
demikian
persamaan
garis
singgung
yang
dimaksud adalah y1y = -2p (x +x1 ) o Persamaan garis singgung yang melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada parabola x2 = - 4py, dapat dinyatakan sebagai
y y1 m( x x1 ) dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:
6
x 2 4 py x2 4p dy 2x dx 4 p dy x dx 2 p dy x Jadi, m dx 2 p
y
x1 disubtitusikan kepersamaan 2p y y1 m( x x1 )diperoleh :
Dititik ( x x1 ) : m
y y1
x1 ( x x1 ) 2p
2 p ( y y1 ) x1 x x1
2
2 py 2 py1 x1 x x1 (ingatx1 4 py1 ) 2
2
2 py 2 py1 x1 x (4 py1 ) 2 py 2 py1 x1 x 4 py1 x1 x 2 py1 2 py x1 x 2 p( y y1 )
7
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti pada tabel dibawah ini: No
Persamaan parabola
Persamaan garis singgung
1
y2 = 4px
y1 y =2p (x + x1)
2
y2 = - 4px
y1 y = - 2p (x + x1)
3
x2 = 4py
x1 x = 2p (y + y1 )
4
x2 = - 4py
x1 x = - 2p (y + y1 )
Ex. 2 Tentukan persamaan garis singgung pada parabola : a.
y 2 8 x di titik A(2, 4)
b. y 2 4 x di titik B(-1, 2) c.
3 x 2 6 y di titik C 3, 2
B. Persamaan garis singgung parabola dengan puncak (a.b) 1. Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m Untuk parabola dengan bentuk umum (x – a)2 = 4p (y – b) Dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan mensubstitusikan y = mx + n ke dalam persamaan parabola 8
(x –a)2 = 4p (y – b) Subtitusi y = mx + n (x –a)2 = 4p (mx + n – b) x2 – 2ax + a2 = 4pmx + 4p(n - b) x2 – 2ax + a2 – 4pmx – 4p(n – b) = 0 x2 – 2ax – 4pmx + a2 – 4p(n – b) = 0 x2 + ( -2a – 4pm)x + a2 – 4p(n – b) = 0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D= 0 ( -2a – 4pm)2 – 4.1.(-4p(n – b ) + a2 = 0 4a2 + 16pma + 16pm2 + 16p ( n – b) – 4a2 = 0 16pma + 16p2m2 + 16p (n – b) = 0
--------------------------------------------------------------------- : 16p ma + pm2 + (n – b) =0 (n – b) = -ma – pm2 n = -ma – pm2 + b
Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p (y – b) diperoleh dengan cara mensubstitusikan nilai n = -ma – pm2 + b pada y = mx + n y = mx + n y = mx + ( -ma – pm2 + b) y = mx – ma – pm2 + b y – b = m( x – a ) – pm2
9
y
y-b = m(x-a) – pm 2 P(x,y)
x y = mx + n
Untuk p dengan bentuk umum (y – b)2 = 4p( x – a) dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh garis singgungnya dengan mensubstitusikan garis y = mx + n ke dalam persamaan parabola (y – b)2 = 4p( x – a) ((mx + n) – b)2 = 4p(x – a) (mx – n) 2 – 2(mx + n)b + b2 = 4p( x - a) m2x2 + 2mxn + n2 – 2mbx - 2bn + b2 = 4p( x – a) m2x2 + 2mnx – 2mbx – 4px + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0 m2x2 + (2mn – 2mb – 4p)x + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0 (( 2mn – 2mb) – 4p)2 – 4m2(4pa - 2bn + n2 + b2) = 0
10
4m2n2 – 8m2nb – 4m2b2 – 16mnp + 16mbp +16p2 – 16m2pa + 8m2bn – 4m2n2 – 4m2b2 = 0 - 16mnp + 16mbp + 16p2 – 16m2pa = 0 ---------------------------------------------------------- : 16p
- mn + mb + p – m2a = 0 - mn = - mb + m2a – p - mn = m (ma – b) – p n = - (ma – b) –
p m
Subtitusi nilai n pd persamaan y = mx + n y = mx + n y = mx + (- ma + b) – (y – b) = m(x – a) -
p m
p m
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel di bawah ini. No Persamaan parabola
Persamaan garis singgung
1
y b 2 4 px a
y b mx a
p m
2
y b2 4 px a
y b mx a
p m 11
3
x b 2 4 p y a
y b mx a pm2
4
x b2 4 p y a
y b mx a pm2
Ex. 3 Tentukan persamaan garis singgung pada parabola : a.
y 12 6x 2 dengan gradien
b.
y 22 4x 1 dengan gradien – 3
c.
x 32 8 y 2 dengan gradien
1 2
2 3
2. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) Persamaan garis singgung parabola (y – b)2 = 4p( x – a) di titik P (x1, y1) (y1 – b)2 = 4p( x1 – a) y12 – 2by1 + b2 = (4p (x1 – a) y12 = 2by1 –b2 + 4px(x1 – a) .........(i) Persamaan garis singgung melalui P (x1, y1) adalah (y – y1) = m (x – x1)............(ii) Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
12
( y b) 2 4 p ( x a ) 1 ( x a) ( y b) 2 4p d ( x a) 1 .2 ( y b ) dy 4p d ( x a ) ( y b) dy 2p dy 2p dx ( y b)
Jadi m di titik P (x1, y1) =
2p ........(iii ) ( y1 b )
Subtitusi (iii) ke (ii) y y1 m( x x1 ) y y1
2p ( x x1 ) ( y1 b )
( y y1 )( y1 b 2 p ( x x1 ) yy1 by y1 by1 2 p ( x x1 ).......(iv ) 2
Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (IV)
yy1 by y12 by1 2 px 2 px1 yy1 by (2by1 b 2 4 p( x1 a)) by1 2 px 2 px1 yy1 by by1 b 2 4 px1 4 pa 2 px 2 px1 ( y b)( y1 b) 2 px1 4ap 2 px ( y b)( y1 b) 2 p( x x1 2a) 13
Persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1, y1)
( x1 a) 2 4 p( y1 b) x12 2ax1 a 2 4 p( y1 b) x12 2ax1 a 2 4 p( y 1 b).......(i ) Persamaan garis singgung melalui p(x1, y1) adalah (y – y1) = m (x – x1) ……………….(ii) Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut: ( x1 a ) 2 4 p ( y1 b) ( y1 b )
1 ( x1 a ) 2 4p
( y1 b ) 1 .2( x1 a ) dx 4p dy ( x1 a ) dx 2p
jadi m =
x1 a .........(iii ) 2p
Subtitusi persamaan ini ke persamaan (ii)
( y y1 ) m( x x1 ) ( x1 a) ( x x1 ) 2p 2 p( y y1 ) ( x1 a)( x x1 )
( y y1 )
2 p( y y1 ) x1 .x x12 ax ax1 .......(iv ) 14
Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (iv)
2 py 2 py1 xx1 x12 ax ax1 2 py 2 py1 xx1 (2ax1 a 2 4 p( y1 b)) ax ax1 2 py 2 py1 4 py1 4 pb xx1 ax ax1 a 2 2 py 2 py1 4 pb xx1 ax1 ax a 2 2 p( y y1 2 p) ( x a)( x1 a) Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1, y1) (x – a) (x1 – a) = 2p (y +y1 - 2p) Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti tabel dibawah ini: No
Persamaan parabola
Persamaan garis singgung
1
(y – b)2 = 4p( x – a)
(y – b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)
2
(y – b)2 = - 4p( x – a)
(y – b) (y1 – b) = - 2p (x +x1 - 2a)
3
(x – a)2 = 4p(y – b)
(x – a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)
4
(x – a)2 = - 4p(y – b)
(x – a)(x1 – a) = - 2p ( y + y1 -2b)
15
Ex. 4 Tentukan persamaan garis singgung pada parabola : a.
y 22 3x 1 di titik A(4, - 1)
b.
y 22 4x 2 di titik B(-2, 3)
c.
x 32 8 y 4 di titik C(1, 2)
16
Latihan Soal Pada soal 1 – 6 tentukan persamaan garis singgung pada parabola di titik A(x1, y1) yang diberikan dan yang mempunyai kemiringan m yang diberikan. 1. y2 = 6x,
m = 2,
A(2, 2/3)
2. x2 + 4y = 0,
m=½,
A(2, –1)
3. x + 2y2 = 1,
m = 3/4,
A(1, –1)
4. 8x2 – 3y = 0,
m = –2,
A(1/2, 4/3)
5. 2x2 + 3y – 6 = 0,
m = –3/4,
A(1, 4/3)
6. y2 + 2y + 6x + 4 = 0, m = 1,
A(–2, 4)
7. Tentukan persamaan parabola yang menyinggung garis x = 2 di titik (2, 0) dan titik fokusnya (4, 0). 8. Puncak parabola menyinggung garis y = 2. Tentukan persamaan parabola tersebut jika titik fokusnya (5, 2).
17
9. Tentukan persamaan garis singgung parabola y 2 = –16x yang sejajar garis x – y = 3. 10. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 + 2y + 6x + 4 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 6. 11. Tentukan persamaan garis singgung parabola x2 = –8y yang memuat titik (4, 0). 12. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 – 4x = 0 yang memuat titik (–2, –1).
18
