Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
KEGIATAN BELAJAR 10
Persamaan Parabola Setelah mempelajari kegiatan belajar 10 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan Parabola 2. Melukis Persamaan Parabola Anda tentu sangat mengenal sekali benda yang bernama parabola. Parabola digunakan untuk memperoleh sinyal siaran televisi. Perhatikan gambar parabola di bawah ini (Gambar 10.1).
Sumber: www.google.co.id
Gambar 10.1 Parabola Definisi 1: Parabola adalah tempat kedudukan titik (himpunan titik) yang berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut Fokus () dan garis tertentu itu disebut Direktrik. Sekarang kita pindahkan gambar parabola (Gambar 10.1) pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 10.2 di bawah ini. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
1
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Gambar 10.2. Parabola pada koordinat cartesius Jika unsur-unsur parabola tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan parabolanya? Untuk menentukan persamaan parabola berdasarkan titik api atau fokus dan garis direktriknya yang sejajar dengan sumbu , lakukanlah kegiatan berikut ini.
Kegiatan 10.1. Menentukan Persamaan Parabola dengan puncak , 1. Gambarkan sebuah parabola dengan memisalkan titik Fokus dan garis direktrik sejajar dengan sumbu seperti yang terlihat pada Gambar 10.3 di bawah ini.
Gambar 10.3. Parabola terbuka ke kanan atau horizontal 2. Perpotongan garis dengan sumbu adalah titik , dan puncak adalah titik tengah dan sumbu simteri sejajar dengan sumbu yaitu , seperti
yang terlihat pada Gambar 10.3 di atas. 3.
Misalkan jarak | | , berarti titik Fokusnya adalah , .
Sehingga persamaan garis adalah .
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
2
3
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
4.
5.
Ambil sembarang titik pada parabola yaitu titik , , maka berlaku persamaan || = jarak ke garis atau 1 2
1 2
Kuadratkan kedua ruas dan di jabarkan sehingga diperoleh suatu persamaan
…1 " # #$% Persamaan (1) di atas merupakan persamaan parabola dengan puncak
&, . Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika puncak parabola
&, adalah '0,0 , maka persamaan (1) menjadi: 0 2 0 sehingga diperoleh persamaan parabola,
"# #$% Persamaan (2) merupakan persamaan parabola dengan puncak '0,0 .
…2
CATATAN (1)
Untuk persamaan parabola "# #$% dan " # #$% • Jika > 0, maka parabola tersebut terbuka ke kanan • Jika < 0, maka parabola tersebut terbuka ke kiri
Masalah 10.1
Tentukan persamaan parabola jika diketahui koordinat fokus 1 , 0 dan
persamaan direktriksnya 1 0!
Penyelesaian. Perhatikan hasil temuan di bawah ini. Untuk menyelesaiakan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan nilai parameter parabola tersebut dengan menggunakan persamaan fokus yaitu
,
, 0 1 , 0 berarti 3. Persamaan direktriks 1 0 atau .
Jadi,persamaan parabola adalah 2 berarti 6 .
Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. Pada kegiatan 10.1 kita sudah dapat suatu persamaan parabola
" # #$% dan "# #$%. Sekarang kita juga dapat menentukan
persamaan parabola, jika garis direktriksnya sejajar dengan sumbu . seperti
yang terlihat pada Gambar 10.4 dengan cara yang sama pada kegiatan 10.1
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
4
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Gambar 10.4. Parabola terbuka ke atas atau vertikal
1. 2.
3.
Misalkan jarak | | , berarti titik Fokusnya adalah , .
Sehingga persamaan garis / adalah .
Ambil sembarang titik pada parabola yaitu titik , , berdasarkan defenisi parabola maka berlaku persamaan || = jarak ke garis / atau 1 2
1 2
Kuadratkan kedua ruas dan di jabarkan sehingga diperoleh suatu persamaan
…3 % # #$" Persamaan (3) di atas merupakan persamaan parabola dengan puncak &, .
Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika puncak parabola
&, adalah '0,0 , maka persamaan (3) menjadi: 0 2 0 sehingga diperoleh persamaan parabola,
%# #$" Persamaan (4) merupakan persamaan parabola dengan puncak '0,0 .
…4
CATATAN (2)
Untuk persamaan parabola %# #$" dan % # #$" • Jika > 0, maka parabola tersebut terbuka ke atas
• Jika < 0, maka parabola tersebut terbuka ke bawah
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Masalah 10.2 Titik adalah puncak dan titik 0 adalah titik fokus parabola 2 6 2 ! Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di 0 dan berfokus di !
Penyelesaian. Perhatikan hasil temuan dibawah ini.
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan titik puncak dan titik fokus untuk persamaan parabola 2 6 2 . Titik
puncaknya adalah 2, 2 dan fokusnya adalah 0 2, . Sekarang baru
kita dapat menentukan persamaan parabola baru yaitu 2 6 .
Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.
Kegiatan 10.2. Menggambar persamaan parabola Perlu diperhatikan apa saja yang dibutuhkan untuk melukis grafik parabola adalah sebagai berikut:
1) Untuk persamaan parabola "# #
%$
• Memiliki puncak '0, 0 dengan titik fokus adalah , 0 , Garis
direktriknya adalah dan koordinat titik potong latus rectum
(LR) dengan parabola adalah , dan ,
2) Untuk persamaan parabola " # #$%
• Memiliki puncak &, dengan titik fokus adalah , , Garis
direktriknya adalah dan koordinat titik potong latus rectum
(LR) dengan parabola adalah , dan ,
3) Untuk persamaan parabola %# #$"
• Memiliki puncak '0, 0 dengan titik fokus adalah 0, dan Garis
direktriknya adalah dan koordinat titik potong latus rectum
(LR) dengan parabola adalah , dan , ,
4) Untuk persamaan parabola
2
• Memiliki puncak &, dengan titik fokus adalah , dan
Garis direktriknya adalah dan koordinat titik potong latus
rectum (LR) dengan parabola adalah , dan
,
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
5
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Nah, sekarang coba saudara buat gambar parabola dengan mengikuti langkah-langkah dibawah ini dan memperhatikan bagaimana cara menentukan unsur-unsur parabola yang telah ditentukan di atas. 1.
Menentukan koordinat puncak;
2.
Menentukan koordinat fokus dengan bantuan langkah 1 akan didapat persamaan sumbu simetri;
3.
Menentukan garis direktriks;
4.
Menentukan koordinat titik potong laktus rectum (LR); dan
5.
Menentukan titik-titik bantu (jika diperlukan)
Masalah 10.3 Gambarlah sketsa parabola dengan persamaan 2 4 3 ! Penyelesaian Perhatikan hasil temuan di bawah ini.
Dari persamaan parabola 2 4 3 dapat di peroleh nilai 3,
2 dan 2 4 maka 2. Untuk melukis Parabola 2 4 3 ikutilah langkah-langkah di atas. 1. 2. 3. 4. 5.
6. 7.
Koordinat puncak , berarti &3, 2
Persamaan sumbu simetri berarti 2
Persamaan diretriks berarti 4
Koordinat fokus , berarti 2, 2
Koordinat titik potong latus rectum dengan parabola ,
dan , berarti 2, 4 dan 2, 0
Panjang latus rectum |2| berarti 23 4
Titik bantu untuk 1, maka diperoleh titik 1, 6 dan 1, 2
Gambar 10.5. Parabola " # # 4% 5 [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
6
7
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. Masalah 10.4 Gambarlah sketsa parabola dengan persamaan 4 2 8 0.
Penyelesaian Perhatikan hasil temuan di bawah ini.
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita dapat mengubah persamaan 4 2 8 0 ke bentuk persamaan % # #$" adalah
4 2 8 0 4 2 8 2 4 2 8 2 2 4 2 2 2 Jadi, persamaan parabola adalah 2 2 2 Dari persamaan parabola 2 2 2 dapat di peroleh nilai 2, 2 dan 2 2 maka 1. Untuk melukis parabola 2 2 2 ikutilah langkah-langkah di atas. 1. 2. 3. 4. 5.
6. 7.
Koordinat puncak , berarti &2, 2
Persamaan sumbu simetri berarti 2
,
Persamaan diretriks berarti
7
Koordinat fokus , berarti 2,
Koordinat titik potong latus rectum dengan parabola ,
dan , berarti 3, dan 1,
7
7
Panjang latus rectum |2| berarti 23 2 Titik bantu untuk 4, maka diperoleh titik 4, 4 dan 0, 4
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Gambar 10.6. Parabola % # # #" # Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.
Rangkuman 1.
Untuk persamaan parabola "# #
%$
• Memiliki puncak '0, 0 dengan titik fokus adalah , 0 , Garis
direktriknya adalah dan koordinat titik potong latus rectum
2.
(LR) dengan parabola adalah , dan ,
Untuk persamaan parabola " # #$%
• Memiliki puncak &, dengan titik fokus adalah , , Garis
direktriknya adalah dan koordinat titik potong latus rectum
3.
(LR) dengan parabola adalah , dan ,
Untuk persamaan parabola %# #$"
• Memiliki puncak '0, 0 dengan titik fokus adalah 0, dan Garis
direktriknya adalah dan koordinat titik potong latus rectum
4.
(LR) dengan parabola adalah , dan , ,
Untuk persamaan parabola 2
• Memiliki puncak &, dengan titik fokus adalah , dan
Garis direktriknya adalah dan koordinat titik potong latus
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
8
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
rectum (LR) dengan parabola adalah , dan
,
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
9
