KINEMATIKA Kelas XI Terdiri dari sub bab : 1. persamaan gerak 2. Gerak Parabola 3. Gerak Melingkar 1. PERSAMAAN GERAK Membahas tentang posisi, perpindahan, kecepatan dan percepatan dengan menggunakan vector satuan. Pembahansan meliputi cara menyatakan besaran tersebut dalam vector, menyatakan besar dan arahnya. POSISI a. Benda Diam j Posisi : Sist. Kartesian Vektor Satuan A (3,3) rA = 3i + 3j B (5,6) rB = 5i + 6j C (6,-2) rC = 6i -2j D (-2,3) rD = -2i + 3j
B
C
A
i C
b. Benda bergerak Persamaan benda bergerak memiliki ciri terdapatnya variable waktu Contohnya : r = (2t2 + 3t)i + (4t3 + 3)j posisi benda akan berubah jika waktunya berubah, misalnya sebagai berikut : ketika t = 0 maka posisi benda r(0) = 3j ketika t = 1 maka posisi benda r(1) = 5i + 7j ketika t = 2 maka posisi benda r(2) = 14i + 37j dan seterusnya PERPINDAHAN Untuk menyatakan perpindahan digunakan simbol r.
r = rakhir – rawal
Vektor perpindahan ditulis r = xi + yj Besarnya perpindahan ditulis |r| = x 2 y 2 Arah perpindahan dinyatakan dengan derajad, dimana nilai positip dimulai dari arah sejajar sumbu x positip berputar berlawanan jarum jam. Besarnya dihitung dengan
y x Perlu diingat bahwa ketika kita menghitung sudut dengan menggunakan kalkulator, nilai tan akan sama dengan tan , padahal yang pertama lokasinya ada di kuadran I sedangakn yang kedua lokasinya ada di kuadran III. sehingga untuk yang kedua sudut yang dimaksud adalah 180 + .
tan
Contoh : Sebuah partikel semula berada dilokasi r1 = 3t + 2 j, kemudian partikel tersebut berpindah dan menempati lokasi r2 = 5i + 4j, maka : Vektor perpindahannya : r = 2i + 2j Besar perpindahannya Arah perpindahannya
22 22 = 2 2 2 : tg = = 1 2 = 45o
: |r| =
Posisi sebuah partikel mengikuti persamaan : r = (3t2 + 2)i + (4t + 3)j, dimana r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan vektor, besar dan arah perpindahannya ketika bergerak dari t = 0 sampai dengan t = 2s Jawab : r(0) = 2i + 2j r(2) = 14i + 11j Vektor perpindahannya Besarnya perpindahan Arah perpindahannya
: r = 12i + 9j : |r| = 12 2 9 2 = 15 m 9 = 36,9o : tan = 12
KECEPATAN Dibedakan menjadi kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Masing-masing memiliki vektor, besar dan arah.
Kecepatan rata-rata v Diperoleh dari perpindahan dibagi lamanya terjadi perpindahan. r v t vektor kecepatannya ditulis : v v x i v y j Besarnya
: v v x2 v y2
: tan =
Arahnya
vy vx
Contoh : Gerak sebuah benda mengikuti persamaan : r = (4t2 + 4)i + (5t)j. dimana t dalam sekon dan r dalam meter berapakah kecepatn rata-ratanya untuk a. dua detik pertama b. dari t = 2s sampai dengan t = 4s Jawab : a. r(0) = 4i r(2) = 20i + 10 j v
20 4 10 0 i j 8i 5 j 2 2
v 8 2 5 2 = 9,4 m/s
b. r(2) = 20i + 10j r(4) = 68i + 20j 68 20 20 10 v i j 24i 5 j 2 2 v 24 2 5 2 24,5m / s
Kecepatan sesaat. Adalah kecepatan yang dihitung dalam interval waktu yang sangat singkat (mendekati nol biasa disebut limit t mendekati nol). Untuk menghitung kecepatan sesaat menggunakan bantuan fungsi defferensial, dimana fungsi ini dapat mengubah persamaan posisi menjadi persamaan kecepatan.
Cara menjalankan fungsi defferensial adalah sebagai berikut : Jika r = atn maka jika didefferensialkan terhadap waktu akan menjadi v = Contoh : diketahui r = (3t3 – 2t)i + (4t2 – 5)j maka : v = (6t2 – 2)i + (8t)j jadi vektor kecepatan sesaatnya
besar kecepatan sesaat
v=
dr vxi v y j dt
v vx2 v y2
dr = a.n tn-1 dt
tan =
arah kecepatan sesaat
vy vx
Contoh : Sebuah partikel yang sedang bergerak memenuhi persamaan r = (5t2 + 2)i + (4t)j, dimana r dalam meter dan t dalan sekon. Hitunglah : a. kecepatan mula-mula b. kecepatan saat t = 2s c. kecepatan dua detik pertama Jawab. Soal a dan b adalah menghitung kecepatan sesaat sedangkan soal c menghitung kecepatan rata-rata karena pada soal c terdapat interval waktu yaitu dari t = 0 sampai dengan t = 2s. a. r = (5t2 + 2)i + (4t)j v = (10t)i + 4j v(0) = 4j |v(0)| = 4 m/s b. v(2) = (10 . 2)i + 4j = 20i + 4j |v(2)| =
20 2 4 2 =
416 m/s
c. r = (5t2 + 2)i + (4t)j r(0) = 2i r(2) = (5.22 + 2)i + (4.2)j = 22i + 8j 20 8 r x y v i j i j t t t 2 2 v = 10i + 4j |v| = 10 2 4 2 116 m/s PERCEPATAN Percepatan juga terdapat dua jenis, yaitu percepatan rata-rata dan percepatan sesaat Percepatan rata-rata Percepatan rata-rata diperleh dari perubahan kecepatan dibagi dengan lamanya perubahan kecepatan tersebut :
a
v y v v x i j t t t
vektor percepatan rata-rata
:
a axi a y j
besar percepatan rata-rata
:|
a | = a x2 a y2 ay
arah percepatan rata-rata
tan =
ax
Contoh : Sebuat partikel yang sedang bergerak, kecepatnnya berubah menurut persmaan v = (2t2 + 2)i + (4t)j, dimana v dalam m/s dan t dalam s. Berapakah percepatan rata-rata ketika partikel tersebut antara t = 0 s.d t = 2s Jawab : v = (2t2 + 2)i + (4t)j v(0) = 2i v(2) = (2.22 + 2)i + (4.2)j = 10i + 8j
a
10 2 8 0 i j 4i 4 j 2 2
| a | = 4 2 m/s2 Percepatan sesaat Percepatan sesaat adalah percepatan yang dihitung dalam interval waktu yang sangat pendek atau mendekati nol biasa disebut dengan waktu limit mendekati nol. Untuk menghitung percepatan ini digunakan fungsi defferensial, dimana fungsi ini digunakan untuk mengubah persamaan keceptan menjadi persamaan percepatan. Misalkan persamaan kecepatan tertulis : v = 4t3 +2t + 6, maka turunan dari persamaan tersebut terhadap waktu akan menjadi persamaan percepatan dv a= 12t2 + 2 dt Vektor percepatan sesaat : a = axi + ayj
Besar percepatan sesaat
: |a| =
Arah percepatan sesaat
: tan a
a x2 a y2 ay ax
Contoh : Sebuah partikel bergerak dengan perubahan kecepatan terhadap waktu dinyatakan dengan persamaan : v = (5t3 – 3)i + (t2 – 4t)j, dimana v dalam m/s dan t dalam s. Hitunglah : a. percepatan saat t = 2s b. percepatan dua detik pertama
Jawab : Soal a adalah mencari percepatan sesaat, sedangkan soal b mencari percepatan rata-rata. a. v = (5t3 – 3)i + (t2 – 4t)j dv 15t2i + (2t – 4)j a= dt a(2) = 60i + 0 |a(2)| = 60 m/s2 b. v = (5t3 – 3)i + (t2 – 4t)j v(0) = -3i v(2) = (40 – 3)i + (4 – 8)j = 37i -4j v 37 (3) 4 a i j 20i 2 j 2 2 t |a| = 20 2 (2) 2 404 m/s2 Menyatakan posisi dari persamaan kecepatan dan menyatakan kecepatan dari persamaan percepatan. Untuk keperluan tersebut digunakan fungsi integral, dimana fungsi ini merupakan kebalikan dari fungsi defferensial, secara sederhana pengoperasian fungsi integral adalah sebagai berikut : a n 1 Jika v = a.tn diintegralkan : vdt t n 1 Untuk mengubah persamaan kecepatan menjadi persamaan posisi caranya adalah : r = ro + vdt ; ro adalah posisi saat awal (biasanya diketahui, jika tidak dianggap 0)
untuk mengubah persamaan percepatan menjadi persamaan kecepatan caranya adalah : v = vo + adt ; vo adalah kecepatan awal (biasanya diketahui, jika tidak ada dianggap 0) Contoh : Kecepatan partikel yang bergerk dinyatakan dengan v = (3t2 + 2)i + (2t)j, dimana v dalam m/s. hitunglah posisi saat t = 4s, jika mula-mula partikel berada di posisi 2i + j. Jawab : v = (3t2 + 2)i + (2t)j r = ro + vdt = (2i + j) + (3t2 2)i (2t)j dt
3 21 2 t 2t )i ( t 11 ) j 2 1 2 3 2 = (2i + j) + (t + 2t)i + t j = (t3 + 2t + 2)i + (t2 + 1)j r(2) = (23 + 2.2 + 2)I + (22 + 1)j = 14i + 5j = (2i + j) + (
|r(2)| = 14 2 5 2 = 191 m
Contoh : Sebuah partikel bergerak dimana percepatan sebagai fungsi waktu dinyatakan dengan persamaan : a = 2ti + j, dimana a dalam m/s2, hitunglah : Kecepatan dan posisi ketika t = 2s, jika mula-mula dalam keadaan diam dan berada di posisi 3i + 5j. Jawab : Pertanyaan diatas semuanya mengacu pada keadaan sesaat, sehingga solusinya, dari persamaan percpatan kita ubah dulu menjadi persamaan kecepatan dan persamaan posisi. Setelah itu baru kita masukkan waktu yang diminta. Diket vo = 0 ro = 3i + 5j. a = 2ti + j v = vo + vdt v = 0 + (2ti j )dt = t2i + t j
v(2) = 22 i+ 2j = 4i + 2j |v(2)| =
4 2 2 2 = 18 m/s //
r = ro + vdt
r = (3i + 5j) + (t 2 i tj )dt 1 3 1 2 t i t j 3 2 1 1 r = (3 t 3 )i (5 t 2 ) j 3 2 1 1 8 2 r(2) = (3 2 3 )i (5 2 2 ) j (3 )i (5 2) j 5 i 7 j m // 3 2 3 3
r = (3i + 5j) +
