BAB I PERSAMAAN GERAK

1

BAB I PERSAMAAN GERAK 1.

Seseorang mengendarai mobil menuju sebuah kota A yang berjarak 160 km dengan arah 300 timur laut. Nyatakan vektor perpindahan r dalam notasi vektor satuan dengan menggunakan sistem koordinat x ke timur, dan y ke utara. Penyelesaian: Perhatikan gambar! 1 Ax = r cos 30 0 = 2 r 3

= 12 (160) 3 = 80 3 km 1

Ay = r sin 30 0 = 2 r 1

= 2 (160) = 80 km Dengan mengingat Persamaan (1.3), maka r = r2 - r1 = rA − 0 = rA

r = A xi + A y j r = (80 3i + 80 j) km 2.

Sebuah partikel bergerak dari titik P(2,4,2) ke titik Q (4,6,8). Tuliskan vektor posisi partikel itu ketika berada di P dan di Q. Hitunglah vektor perpindahan dari P ke Q serta besar perpindahan tersebut! Penyelesaian:

Vektor posisi titik P, rP dan vektor posisi titik Q, rQ adalah r = rQ − rP = (4i + 6j + 8k) − (2i + 4j + 2k)

r = 2i + 2j + 6k Besar vektor r adalah r = 2 2 + 2 2 + 6 2 = 44 3.

Sebuah pesawat memulai perjalanannya dari sebuah airport dan menempuh rute seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Pertama, pesawat tersebut bergerak menuju kota A yang berada sejauh 175 km dalam arah 300 ke utara dari arah timur. Selanjutnya, pesawat terbang ke kota B yang berada 150 km dalam arah 200 ke barat dari arah utara. Akhirnya, pesawat tersebut menuju kota C yang jaraknya 190 km ke arah barat. Tentukan posisi kota C relatif terhadap airport awal. Penyelesaian:

Kita sebuat ketiga vektor perpindahan pesawat tersebut sebagai vektor a, b,dan c. Vektor perpindahan a memiliki besar 175 km dan komponen-komponen

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

2 ax = a cos (300) = (175 km) (0,866) = 152 km ay = a sin (300) = (175 km) (0,5) = 87,5 km

Vektor perpindahan b memiliki besar 150 km dan komponen-komponen bx = b cos (1100) = (150 km) (-0,342) = -51,3 km by = b sin (1100) = (150 km) (0,94) = 141 km Vektor perpindahan c memiliki besar 190 km dan komponen-komponen cx = c cos (1800) = (190 km) (-1) = -190 km cy = c sin (1800) = (190 km) (0) = 0 km Posisi titik C akhirnya dapat dituliskan sebagai R x = a x + bx + c x = 152 km − 51,3 km − 190 km = −89,7 km Ry = a y + by + c y = 87,5 km + 141 km + 0 km = 228 km Dalam rotasi vektor, posisi titik C dituliskan sebagai R = (-89,7i + 228j) km Artinya, kota C dapat dicapai dari titik awal dengan terbang 89,7 km ke barat kemudian 228 km ke utara. 4.

Sebuah pesawat terbang bergerak dengan kelajuan 720 km/jam dengan arah 530 ke utara dari timur. Dengan mengambil sumbu x arah ke timur dan sumbu y arah ke utara, tentukanlah komponen-komponen kecepatan pesawat dan tuliskan vektor kecepatannya dalam vektor-vektor satuan! Penyelesaian:

Arah kecepatan pesawat dapat dilukiskan pada bidang xy seperti gambar di bawah. Komponen kecepatan pada sumbu-x vx = v cos 530 = 720 x 0,6 = 432 km/jam Komponen kecepatan pada sumbu-y Vy = v sin 530 = 720 x 0,8 = 576 km/jam Vektor kecepatan dapat dituliskan dalam vektor satuan sebagai berikut v = vxi + vyj = (432 I + 576 j) km/jam. 5.

Gambar di atas adalah grafik perpindahan sebuah benda terhadap waktu. Tentukanlah besar kecepatan benda pada saat (a) t = 2 sekon, (b) t = 6 sekon, (c) t = 12 sekon, dan (d) t =18 sekon! Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

3 Penyelesaian:

(a) Sepanjang garis lurus AB, kecepatan sama besar. Pada t = 2 sekon, benda berada pada garis AB, dan besar kecepatan dapat ditentukan dengan menerapkan Persamaan (1.14), yaitu 40 − 0 40 v = tan α AB = = 10 m/s 4−0 4 (b) Saat t = 6 sekon, benda berada pada garis lurus BC. Besar kecepatan benda ditentukan oleh gradien (kemiringan) garis BC, yaitu 50 − 40 10 v = tan α AB = = 2,5 m/s 8−4 4

(c) Saat t = 12 sekon, benda berada pada garis horizontal CD. Besar kecepatan benda adalah 50 − 50 v = tan α BC = 0 16 − 8 (d) Saat t = 18 sekon, benda berada pada garis DE sehingga kecepatan mobil adalah kemiringan garis DE yaitu 0 − 50 12,5 m/s v = tan α DE = 20 − 16 6.

Vektor posisi suatu partikel adalah r (t) = x (t)i + y(t)j, dengan x (t) = at + b dan y(t) = ct2 + d, di mana a = 1 m/s, b = 1 m, c = 1 m/s2, d = 1 m. 8

(a) Hitunglah kecepatan rata-rata selama selang waktu t = 2 detik hingga t = 4 detik dan tentukan besar kecepatan rata-rata tersebut. (b) Tentukanlah kecepatan sesaat partikel tersebut pada t = 2 detik dan juga besar kecepatan tersebut. Penyelesaian:

(a) Vektor posisi partikel tersebut dapat ditulis menjadi r(t) = (at + b)i + (ct2 + d)j = (t + 1)i + ( 1 t2 + 1)j. 8

1 8 1 8

2

Pada saat t = 4 detik: r(4) = (4 + 1)i + ( (4 ) + 1)j = 5i + 3j Pada saat t = 2 detik: r(2) = (2 + 1)i + ( (22) + 1)j = 3i + 1,5j r = r(4) – r(2) = (5 – 3)i + (3 – 1,5)j = 2i + 1,5j Kecepatan rata-rata partikel sesuai dengan Persamaan (1.8) adalah r 2i + 1,5j v= = = (i + 0,75j) m/s. t 4−2 Besar kecepatan rata-rata ini adalah 2

2

v = v x + v y = (1) 2 + (0,75 2 ) = 1,25 m/s (b) Kecepatan sesaat partikel sebagai fungsi wktu dapat ditentukan dengan menerapkan Persamaan (1.11): dr d 1 v(t ) = = (t + 1)i + ( 8 t 2 + ) j dt dt 1

v(t ) = i + 4 tj Kecepatan pada saat t = 2 detik adalah Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

4 1 4

v(2) = i +

(2)j = (i + 0,5j) m/s

Besar kecepatan sesat tersebut sesuai dengan Persamaan (1.15) adalah

v = v x2 + v 2y = (1) 2 + (0,5) 2 = 1,12 m/s. 7.

Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada saat awal benda berada pada koordinat (2,4) m. Komponen-komponen kecepatan benda memenuhi persamaan vx = 5t dan vy = 4 + 3t2 dengan vx dan vy dalam m/s, t dalam sekon, dan konstanta dalam satuan yang sesuai. (a) Tuliskanlah persamaan umum vektor posisi benda! (b) Tentukan posisi benda pada saat t = 3 sekon Penyelesaian

(a) Posisi awal benda (2,4)m, berarti x0 = 2 m dan y0 = 4 m. Dengan menggunakan Persamaan (1.17) diperoleh t

t 1

x = x 0 + v x dt = 2 + 5t dt = 2 + 5( 2 t 2 ) 0

0 2

x = (2 + 2,5t ) m, t

t 1

y = y 0 + v y dt = 4 + (4 + 3t2 ) dt = 4t + 3( 3 )t 3 0

0 3

y = (4 + 4t + t )m. (b) Posisi benda pada saat t = 3 sekon adalah x = 2 +2,5t2 = 2 + 2,5 (3)2 = 24,5 m, y = 4 + 4t + t3 = 4 + 4(3) + (3)3 = 43 m Jadi pada saat t = 3 sekon vektor posisi benda dapat dituliskan sebagai r = (24,5i + 43j) m. 8.

Sebuah partikel yang semula berada di titik asal, bergerak sesuai dengan persamaan kecepatan v = v0 + at dengan v dan v0 dalam m/s dan t dalam detik. Jika diketahui bahwa konstanta v0 = 4 m/s dan a = 2 m/s2, tentukanlah secara grafik perpindahan partikel setelah setelah 10 detik! Penyelesaian:

Persamaan kecepatan partikel dapat dituliskan menjadi v = 4 + 2t. Kurva v sebagai fungsi waktu t merupakan garis lurus. Untuk menggambarkannya, perhatikanlah tabel berikut. t v = 4 + 2t

0 4

5 10 14 24

15 34

Perpindahan partikel selama 10 detik sama dengan luas daerah yang di arsir. s = luas ABCD + luas DCE 1

= (4 x 10) + ( 2 x 10 x (24 - 4) s = 140 m. Ujilah dengan rumus GLBB. s = v0t + 1 at2 = 4 (10) + 1 (2) (10)2 2

2

s = 140 m (hasilnya sama)


5 9.

Kecepatan sebuah partikel yang bergerak lurus memenuhi persamaan v = 3t2 – 6t – 9 dengan v dalam m/s dan t dalam sekon. Berapa besar perpindahan dan jarak yang ditempuh partikel untuk selang waktu t = 2 dan t = 5 sekon? Penyelesaian:

Untuk menggambarkan grafik dari kecepatan v = 3t2 – 6t – 9 diperlukan perhitungan berikut. •

Titik potong dengan sumbu t diperoleh dari v = 0 v = 3t2 – 6t – 9 = 0 t2 – 2t – 3 =0 (t – 3) (t + 1) = 0 t = 3 atau t = -1

•

Titik puncak grafik ( −b ) 6 x= →t = =1 2a 2(3)

Sehingga v = 3(1)2 – 6(1) – 9 = – 12 Sketsa grafik dari fungsi v = 3t2 – 6t – 9 = 0 adalah sebagai berikut

5

•

5 5

v dt = (3t 2 − 6t − 9) dt = (t 3 − 3t 2 − 9t ) 2

Perpindahan = 2

2

= (53 – 3 (52) – 9 (5)) – (23 – 3(22) – 9(2)) = 27 m 3

•

5

Jarak = − v dt + v dt 2 3

3 5

= − (3t 2 − 6t − 9) dt + (3t 2 − 6t − 9) dt 2

[

3

3

2

3

][

5

= − (t − 3t − 9t ) 2 + (t 3 − 3t 2 − 9t ) 3

]

= − [(33 − 3(3 2 ) − 9(3)) − (2 3 − 3( 2 2 ) − 9( 2)] + [(53 − 3(5 2 ) − 9(5)) − (33 − 3(3 2 ) − 9(3)] = −35 m Tanda negatif menunjukkan posisi benda berada di sumbu x negatif 10.

Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan v(t) = at3 + bt2 + c dengan v dalam m/s dan t dalam sekon. Jika konstanta a = 2 m/s4, b = -3 m/s3, dan c = 10 m/s, tentukanlah a. Percepatan rata-rata partikel untuk selang waktu t=2 sekon sampai t = 6 sekon b. Percepatan awal partikel Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

6 c.

Percepatan partikel pada saat t = 6 sekon

Penyelesaian:

(a) Berdasarkan persamaan (1.22) untuk menghitung percepatan rata-rata harus ditentukan lebih dahulu v dan t . menurut soal persamaan umum kecepatan adalah v(t) =2t3 – 3 3t2 + 10 sehingga untuk t2 = 6 sekon, v2 = 2(6)3 – 3(6)2 + 10 = 334 m/s untuk t1 = 2 sekon, v1 = 2(2)3 – 3(2)2 + 10 = 14 m/s ∆v v 2 − v1 a= = ∆t t 2 − t1 =

334 − 14 = 80 m/s 2 6−2

(b) Persamaan umum percepatan diperoleh dengan menerapkan Persamaan (1.26), yaitu d a = ( 2t 3 − 3t 3 + 10) dt = 6t 2 − 6t. Percepatan awal partikel adalah percepatan pada t = 0 sehingga a = 6( 0) 2 − 6( 0) =0 (c) Percepatan partikel pada saat t = 6 sekon adalah a = 6(6) 2 − 6(6)

= 180 m/s 2 11.

Persamaan kecepatan sebuah partikel adalah v = (vxi + vyj) m/s dengan vx = 4t m/s dan vy = (5 + 6t2) m/s. (a) Tentukan percepatan rata-rata dalam selang waktu t = 0 sampai t = 2 sekon! (b) Tentukan persamaan umum vektor percepatan sebagai fungsi waktu. (c) Pada saat t = 2 sekon, tentukanlah koordinat posisi partikel (posisi awal benda adalah pusat koordinat), persamaan vektor percepatan serta besar dan arahnya. Penyelesaian:

(a) Vektor kecepatan sesaat partikel tersebut adalah: v = (4ti + (5 + 6t2)j) m/s, sehingga untuk t2 = 2 sekon, v2 = 4(2)i + (5 + 6(2)2)j = 8i + 29j untuk t1 = 0, v1 = 4(0)i + (5 + 6(0)2)j = 5j v − v1 (8i + 29 j) − 5 j 8i + 24 j a= 2 = = t2 − t2 2-0 2 a = (4i + 12 j) m/s 2 (b) Percepatan sesaat adalah turunan pertama dari persamaan kecepatan, dv d a= = ( 4ti + (5 + 6t 2 ) j) dt dt a = ( 4i + 12t j) m/s 2


7 (c) Persamaan posisi partikel diperoleh sebagai berikut. t t 1 x = x 0 + v x dt = 0 + 4t dt = 4( )t 2 = 2t 2 2 0 0 t

t 1

y = y 0 + v y dt = 0 + (5 + 6t 2 ) dt = 5t + 6( 3 )t 3 =5t + 2t 3 0

0

Vektor posisi partikel dapat dituliskan menjadi r = 2t2i + (5t + 2t3)j Pada saat t = 2 sekon, x = 2t2 = 2(2)2 = 8 m dan y = 5t + 2t3 = 5(2) + 2(2)3 = 26 m sehingga koordinat partikel adalah (8,26) m. Pada butir (b) telah ditentukan vektor percepatan sebagai a = (4i + 12tj) m/s2, sehingga pada saat t = 2 sekon diperoleh a = 4i + 12(2)j = (4i + 24j) m/s2 Besar percepatannya adalah a = a x2 + a 2y = 4 2 + 24 2 = 592 = 24,33 m/s 2 Arah percepatan ditentukan sebagai berikut a y 24 tan θ = = = 6 atau θ = 80,530 terhadap sumbu - x ax 4 12.

Sebuah roket mainan bergerak pada bidang xy. Sumbu koordinat y adalah arah vertikal, sedangkan sumbu-x, adalah arah horizontal. Percepatan roket memiliki komponen ax = 3t2 m/s2 dan ay = (10 – 4t) m/s2 dengan t dalam sekon. Pada saat t = 0 roket berada di titik pusat koordinat (0,0) dengan komponen kecepatan awal v0x = 3 m/s, sehingga secara vektor dituliskan v0 = (3i + 4j) m/s. (a) Nyatakanlah vektor kecepatan dan posisi sebagai fungsi waktu! (b) Berapa ketinggian maksimum yang dicapai roket? (c) Tentukanlah perpindahan horizontal roket ketika roket kembali ke y = 0! Penyelesaian:

(a) Vektor kecepatan sesuai dengan Persamaan (1.30) ditentukan sebagai berikut. t

t 1

v x = v 0 x = a x dt = 3 + 3t 3 dt = 3 + 3( 3 )t 3 = (3 + t 3 ) m/s 0

0

t

t 4

v y = v 0 y + a y dt = 4 + (10 − 4t ) dt = 4 + 10t − 2 t 2 0

0 2

= (4 + 10t − 2t ) m/s. v = v x i + v y j = [(3 + t 3 ) i + (4 + 10t − 2t 2 ) j ] m/s Vektor posisi dapat ditentukan berdasarkan Persamaan (1.17) sebagai berikut. t

t 1

x = x 0 + v x dt = 0 + (3 − t 3 ) dt = (3t + 4 t 4 ) m 0

0

t

t 1

1

y = y 0 + v y dt = 0 + (4 − 10t − 2t 2 ) dt = 4t + 10( 2 )t 2 − 2( 3 )t 3 0

0 2

y = (4t + 5t 2 − 3 t 2 ) m 1

2

r = x i + y j = [(3t 3 + 4 t 4 ) i + (4t + 5t 2 − 3 t 3 ) j ] meter Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

8 (b) Ketinggian maksimum terjadi pada saat vy = 0, sehingga 4 + 10t – 2t2 = 0 atau 2 + 5t – t2 = 0 Dengan perhitungan matematis akan diperoleh 2 nilai t yaitu t1 = 0,44 sekon dan t2 = 4,56 sekon. Dengan metode substitusi akan diperoleh bahwa Untuk t1 = 0,44 sekon, y1 = 4 (0,44) + 5 (0,44)2 – (0,44)3 y1 = 1,76 + 0,968 – 0,057 = 2,671 m untuk t2 = 4,56 sekon, y2 = 4 (4,56) + 5 (4,56)2 –

2 3

(4,56)3

y2 = 18,24 + 103,968 – 63,212 = 59 m. Karena y2 > y1, maka tinggi maksimum yang dicapai roket adalah 59 meter. (c)

Roket kembali ke y = 0 ditunjukkan oleh persamaan y = 4ti + 5t2 - 2 t3 = 0 t (4 + 5t –

3 2 2 t 3

=0

Untuk mencari nilai t penyebab y = 0 (selain t = 0), persamaan tersebut disederhanakan menjadi 12 + 15t – 2t2 = 0 Dengan perhitungan matematis diperoleh bahwa t1 = 8,23 sekon dan t2 = -0,73 sekon. Secara fisik, waktu yang memenuhi adalah yang bernilai positif sehingga y = 0 pada saat t = 8,23 sekon. Nilai x pada saat tersebut adalah x = pada saat tersebut adalah x= 3t + 14 t4 = 3 (8,23) + 14 (8,23)4 = 1171,6 meter Jadi, ketika roket kembali ke y = 0, perpindahan horizontalnya 1172,6 m. 13.

Seorang siswa mengendarai sepeda motor dan bergerak 3 km ke arah timu, kemudian 4 km ke utara. Berapakah resultan perpindahannya? Penyelesaian: Perpindahan dan resultan perpindahan dapat dilukiskan pada gambar di samping. Karena ketiga vektor ini membentuk segitiga siku-siku, maka dengan rumus Pythagoras dapat kita hitung: C 2 = A2 + B 2

= (3 km) 2 + (4 km) 2 C 2 = 25 km C = 5 km Arah perpindahan C dihitung dengan B 4 km tan θ = = = 1,33 A 3 km θ = 53 0 14.

Seorang siswa mengendarai sepeda motor yang bergerak 3 km ke timur dan kemudian 4 km ke arah 600 ke utara terhadap arah timur. Berapakah resultan perpindahannya? Penyelesaian:

Pertama kita lukiskan perpindahannya. Kita nytakan perpindahan A dan B dalam komponen-komponen vektor. Ax = 3 km Ay = 0 Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

9 Bx = (4 km) cos 600 Bx = (4 km) (0,5) Bx = (4 km) 2 km

By = (4 km) sin 600 By = (4 km) (0,866) By = 3,46 km

Jadi, komponen resultan perpindahannya adalah Cx = Ax + Bx = 3 km + 2 km = 5 km dan Cy = Ay + By = 0 + 3,46 km = 3,46 km Besar resultan perpintahan C dihitung dengan dalil Pythagoras: C 2 = C x2 + C y2 = (5 km) 2 + (3,46 km) 2

C 2 = 37,0 km 2 C = 6,1 km Sudut antara C dan sumbu x dihitung dari C y 3,46 km tan θ = = = 0,692 Cx 5 km

θ = 34,7 0 15.

Sebuah perahu akan digunakan untuk menyeberangi sebuah sungai yang lebarnya 48 m. Perahu tersebut dapat melaju dengan kelajuan sebesar 8 m/s. Arus air sungai pada saat itu sebesar 4 m/s. Jika perahu bergerak ke arah yang tegak lurus sungai (tegak lurus arus air sungai), (a) berapakah kelajuan perahu terhadap seorang pengamat yang diam di pinggir sungai di tempat perahu mulai bergerak? (b) Berapa lama waktu yang diperlukan perahu itu untuk menyeberangi sungai? (c) Berapakah jarak yang telah ditempuh perahu setelah berhasil menyeberangi tersebut? Penyelesaian:

Perhatikan skema dari soal di atas berikut ini. (a) Dari gambar kita dapatkan bahwa

v = (8) 2 + ( 4) 2 v = 80 = 8,94 m/s Arah v adalah , di mana 8 tan θ = = 2 4 θ = 63,4 0 (b) Waktu yang diperlukan perahu tersebut untuk sampai di seberang sungai dapat langsung dihitung berdasarkan kelajuan perahu yang tegak lurus terhadap arus sungai. s 48 m t= = = 6s t ⊥ 8 m/s Perlu dicatat bahwa jika kita menggunakan kelajuan realtif perahu terhadap pengamat yang diam di tepi sungai, maka jarak yang kita gunakan adalah jarak yang sebenarnya ditempuh perahu, seperti yang akan kita hitung di (c) berikut.


10 (c) Jarak yang ditempuh perahu kita hitung dari persamaan x = vt = (8,94) (6) x = 53,6 meter Jadi, jarak yang telah ditempuh perahu adalah 53,6 meter, sekitar 5,6 meter lebih panjang dari jarak yang ditempuh perahu seandainya air sungai tidak mengalir. 16.

Sebuah bola bilyar sedang menggelinding ke suatu arah tertentu dengan kecepatan 3 m/s. Tiba-tiba, dari arah yang tegak lurus dengan arah gerak bola bilyar tersebut, seorang pemain menyodokkan tongkat bilyarnya pada bola bilyar tersebut dengan kecepata 2 m/s. Ke manakah arah gerak bola bilyar itu sekarang, dan berapa kecepatannya? Penyelesaian:

Persoalan ini dapat kita gambarkan dengan skema vektor kecepatan seperti di samping. Kita pilih arah bola bilyar mula-mula dalam sumbu-x, sehingga arah kecepatan yang dihasilkan dari sodokan bola adalah dalam sumbu-y positif. Kita anggap bahwa kecepatan yang dihasilkan oleh sodokan tongkat bilyar pada bola bilyar menghasilkan kecepatan yang sama dengan kecepatan sodokan, yaitu 2 m/s. Dari gambar ini dapat kita hitung besarnya sudut , yaitu arah bola bilyar setelah disodok. v 2 m/s tan α = P = = 0,67 v B 3 m/s

α = 33,7 0 Kecepatan bola dapat kita hitung sebagai vektor resultan dari vP dan vB, yaitu

v = v P2 + v B2 = ( 2) 2 + (3) 2 = 13 m/s 17.

Sebuah bola yang berada id tanah ditendang oleh seorang pemain sepakbola dengan sudut sebesar 300 dari permukaan tanah. Kecepatan awal gerakan bola hasil tendangan pemain tersebut adalah v0 = 20 m/s. Hitung jangkauan tendangan bola dan tinggi maksimum yang dicapai bola. (g = 10 m/s2) Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita langsung saja menggunakan persamaan-persamaan yang telah kita peroleh sebelumnya, yaitu Persamaan (1.44) dan Persamaan (1.38). v 2 sin 2θ R= 0 g (20) 2 sin 2(30 0 ) 10 400 sin 60 0 = 10 R = 34,6 meter =


11 Jadi, tendangan pemain tersebut kembali berhasil mencapai jarak 34,6 meter. v 2 sin 2 θ y maks = 0 2g = =

(20) 2 (sin 30 0 ) 2 2(10) (400)( 12 ) 2

20 y maks = 5 meter Jadi, ketinggian maksimum bola adalah 5 meter. 18.

Dari sebuah bukit yang memiliki ketinggian 100 m, sebuah batu di lempar secara horizontal. Ternyata, batu tersebut jatuh di tanah pada jarak 80 m dari tempat pelemparan seperti terlihat pad gambar. Pada kecepatan berapakah batu tersebut dilemparkan? Penyelesaian:

Karena batu tersebut dilemparkan secar ahorizontal, maka berarti = 0. Dengan demikian, dapat dituliskan v0x = v0 v0y = 0 Pada sumbu-y berlaku (ambil arah ke atas positif): 1 y = v 0 y t − 2 gt 2 1

y = − 2 gt 2

Karena h berarah ke bawah, maka nilai h adalah h = -100m. 1 h = − 2 gt 2 1

− 100 m = − 2 (9,8)t 2 t = 4,5 s Ini adalah waktu yang diperlukan batu untuk sampai ke tanah. Waktu ini sama dengan waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak jangkauan R, yaitu sebesar 80 m. Dengan demikian, x = v0 x t

= v0 t 80 m = v 0 (4,5) v 0 = 17,8 19.

Dari atap sebuah gedung yang tingginya 16 meter, sebuah bola dilempar pada sudut 300 di atas horizontal dengan kecepatan 21 m/s seperti tampak pada gambar. Hitunglah (a) total waktu bola itu berada di udara, (b) jarak jangkauan R, (c) ketinggian maksimum bola diukur dari permukaan tanah, (d) sudut yang dibentuk oleh kecepatan bola ketika bola menumbuk tanah (g = 9,8 m/s2), (e) kecepatan bola pada saat menyentuh tanah.


12 Penyelesaian:

Dari soal diketahui v 0 x = v 0 cos 30 0 v 0 x = 18,2 m/s v oy = v 0 sin 30 0 v 0 y = 10,5 m/s Kita pilih titik asal, yaitu titik (0,0) berada di permukaan tanah, tepat di dinding bangunan, sehingga ketinggian awal bola adalah y0 = 16 m. Pada sumbu-x berlaku persamaan x = v ox t x = 18,2 t ………… (i) Pada sumbu-y berlaku persamaan 1 y = y 0 + v 0 y t − 2 gt 2

y = 16 + 10,5t − 4,9t 2

………… (ii)

(a) Total waktu bola berada di udara sama dengan total waktu yang ditempuh bola untuk mencapai ketinggian y = 0 (bola kembali ke tanah). y = 16 + 10,5 t – 4,9 t2 0 = 16 + 10,5 t – 4,9 t2 Ini merupakan persamaan kuadrat, yang jika kita selesaikan atau kita cari akarakarnya, akan diperoleh hasil t = 3,17 s dan t = -1,03 s. Karena waktu tidak mungkin bernilai negatif, maka nilai t yang kita gunakan adalah t = 3,17 s. Jadi, bola berada di udara selam 3,17 sekon. (b) Dengan menggunakan Persamaan (i) untuk t = 3,17 s, maka akan kita peroleh nilai R. x = 18,2 t R = 18,2 (3,17) R = 57,7 m Jadi, bola menumbuk tanah pada jarak 57,7 meter dari dinding bangunan (c) Ketinggian maksimum dihitung dari atap bangunan dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan (1.44) yaitu v 2 sin 2 θ h= 0 2g (21) 2 sin 2 30 0 2(9,8) h = 5,6 meter =

Dengan demikian, ketinggian maksimum yang dicapai bola dihitung dari tanah adalah 5,6 m + 16 m = 21,6 meter. (d) Ketika menumbuk tanah, komponen kecepatan dalam sumbu-x sama dengan vx = v0 cos = 18,2 m/s; sedangkan komponen kecepatan dalam sumbu-y sama dengan vy, di mana vy = v0y – gt


13 Nilai t yang kita masukkan adalah t pada saat bola mencapai tanah, yiatu t = 3,17 s. Dengan demikian, vy = 10,5 – (9,8) (3,17) vy = -20,6 m/s Tanda minus menunjukkan bahwa kecepatan bola dalam sumbu-y berarah ke bawah. Besar sudut kita hitung berdasarkan vy tan α = vx

− 20,6 18,2 tan α = 1,13

=

α = 48,5 0 di bawah sumbu-x Jadi, sudut yang dibentuk oleh kecepatan bola ketika menumbuk tanah adalah 48,50 di bawah sumbu-x. (e) Kecepatan bola pada saat menyentuh tanah dapat dihitung sebagai berikut v = v x2 + v 2y = (18,2) 2 + (−20,6) 2 = 27,49 m/s Jadi, kecepatan bola pada saat mencapai tanah adalah 27,49 m/s. 20.

Sebuah roda gila berputar sedemikian sehingga suatu titik pada roda gila tersebut mempunyai posisi sudut yang berubah terhadap waktu sesuai dengan persamaan (t) = 4t + 2t2 dengan dalam radian dan t dalam sekon. Tentukan posisi sudut titik tersebut untuk (a) t = 0, (b) t = 1 s, dan (c) t = 2 s! Penyelesaian:

(a) t = 0 (b) t = 1 s (c) t = 2 s 21.

(0) = 4 (0) + 2 (0)2 = 0 (1) = 4 (1) + 2 (1)2 = 6 rad. (2) = 4 (2) + 2 (2)2 = 16 rad.

Posisi sudut suatu titik pada roda dinyatakan oleh =(3t2 – 8t + 10) rad dengan t dalam sekon. Tentukanlah (a) posisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 sekon, (b) kecepatan sudut rata-rata selama 10 sekon pertama, dan (c) kecepatan sudut titik pada saat t = 10 sekon! Penyelesaian:

(a) Posisi sudut titik pada saat t = 2 sekon adalah θ = 3t 2 − 8t + 10 = 3(2) 2 − 8(2) + 10 = 6 rad. (b) Kita tentukan lebih dahulu posisi sudut titik pada saat t = 0 dan t = 10 s. t = 10 s = 3(10)2 – 8(2) + 10 = 6 rad. t=0 = 3(0)2 – 8(0) + 10 = 10 rad. = 230 – 10 = 220 rad. Untuk selang waktu t = 10 sekon, kecepatan sudut rata-rata adalah ∆θ 220 ω= = = 22 rad/s. ∆t 10


14 (c) Kecepatan sudut sebagai fungsi waktu ditentukan berdasarkan Persamaan (1.50) dθ d ω= = (3t 2 − 8t + 10) = 6t − 8. dt dt Kecepatan sudut sesaat titik pada t = 10 s adalah = 6t – 8 = 6(10) – 8 = 52 m/s. 22.

Sebuah roda berputar terhadap sumbunya dengan kecepatan sudut yang berubah terhadap waktu sesuai dengan persamaan = (4 + 3t2) rad/s, dengan t dalam sekon. (a) Tulis persamaan posisi sudut jika 0 = 4 rad! (b) Hitunglah posisi pada saat t = 3 sekon! Penyelesaian:

(a) Dengan menggunakan Persamaan (1.52) diperoleh t

t

θ = θ 0 + ω dt = 4 + (4 + 3t 2 ) dt = 4 + 4t + t 3 0

0

(b) Posisi sudut titik pada saat t = 3 sekon adalah = 4 + 4t + t3 = 4 + 4(3) + (3)3 = 43 rad 23.

Sebuah piringan hitam berputar dengan percepatan sudut = (10 -4t) rad/s2 dengan t dalam sekon. Pada saat t = 0 sebuah titik berada pada sudut 0 = 00 dengan kecepatan sudut awal 0 = 4 rad/s. Nyatakan (a) kecepatan sudut dan (b) posisi sudut fungsi waktu! Penyelesaian:

(a) Kecepatan sudut dihitung dengan Persamaan (1.57). t

t

ω = ω 0 + α dt = 4 + (10 − 4t ) dt = (4 + 10t − 2r 2 ) rad/s, 0

0

(b) Posisi sudut dapat ditentukan dengan menggunakan Persamaan (1.52) t

t

θ = θ 0 + ω dt = 0 + (4 + 10t − 2t 2 ) dt = (4t + 5t 2 − 23 t 2 ) rad. 0

24.

0

Sebuah turbin pada suatu pusat pembangkit listrik berotasi 300 rpm (rotasi per menit). Pada saat listrik mati, turbin tersebut berputar perlahan sampai akhirnya berhenti berputar dalam waktu 590 sekon. Jika percepatan sudut konstan, berapa kali turbin berputar sebelum berhenti? Penyelesaian:

Karena kecepatan sudut semakin kecil, maka percepatan sudut 590 menggunakan t = 590 s = menit = 9,8 menit, maka 60 ω − ω1 0 − 300 α= 2 = = −30,6 rotasi per menit 2 . ∆t 9,8

bertand negatif. Dengan

Jumlah putaran dihitung dengan Persamaan (1.59). θ − θ 0 = ω 0 t + 12 αt 2 = 300 (9,8) + 12 (-30,6) (9,8) 2

θ − θ 0 = 1470,6 putaran. 25.

Sebuah roda yang berotasi menglaami perlambatan 0,21 rad/s2. Berapakah kecepatan sudut awalnya apabila roda berhenti tepat setelah berotasi satu putaran?


15 Penyelesaian: Di sini akhir = 0 dan ω 2 = ω 02 + 2αθ

0

= 0. Dari Persamaan (1.60) diperoleh

Untuk 1 Putaran, = 2 . 0 = ω 02 + 2( −0,21) (2π ) → ω 02 = 0,84π

ω 0 = 0,84 x π = 1,6 rad/s Jadi, kecepatan sudut awal roda adalah 1,6 rad/s. 26.

Sebuah piringan hitam semula berotasi 33 putaran/menit dan berhenti 20 sekon kemudian. (a) Berapakah percepatan sudutnya? (b) Berapa kali piringan berputar penuh sebelum berhenti? (c) Jika radius piringan 14 cm, berapakah besar percepatan tangensial dan percepatan sentripetal sebuah titik di tepi piringan pada saat t = 0? (d) Berapa percepatan totalnya? Penyelesaian:

(a) Kecepatan sudut awal adalah putaran 2π rad ω 0 = 33 = 33 x = 3,46 rad/s menit 60 s Dari hubungan = 0 + t dan data bahwa = 0 pada t =- 20 s, maka − 3,46 0 = 3,46 + (20) atau α= = −0,173 rad/s 2 . 20 Tanda negatif menunjukkan bahwa putara piringan hitam diperlambat. (b) Perpindahan sudut selama waktu t = 20 s dihitung dengan menerapkan Persamaan (1.59), yaitu 1 ∆θ = θ − θ 0 = ω 0t = 2 (−,173)(20) 2 ∆θ = 34,6 rad atau

3,46 x 1 putaran 2π 1

= 5,50 putaran (5 2 putaran) (c) Percepatan tangensial at sebuah titik yang terletak pada jarak r = 14 cm dari pusat rotasi dihitung dengan Persamaan (1.63) at = r = 14 (-0,173) = 2,24 cm/s2 (diperlambat). Percepatan sentripetal as dihitung dengan menggunakan Persamaan (1.64) a s = r ω 02 = (14)(3,46) 2 = 168 cm/s 2 (d) Percepatan total dihitung dengan persamaan (1.65)

a = a t2 + a s2 = (2,42) 2 + (168) 2 = 168,02 cm/s 2 .


BAB I PERSAMAAN GERAK

Recommend Documents