APLIKASI TEORI KONTROL DALAM LINIERISASI MODEL PERSAMAAN GERAK SATELIT Swesti Yunita Purwanti, Asep K. Supriatna, Nursanti Anggriani Abstrak Matematika sangat berperan dalam pengembangan ilmu kontrol. Aplikasi sistem kontrol sebagai penolong dalam pengembangan beberapa bidang matematika. Salah satunya adalah aplikasi teori kontrol pada permasalahan satelit. Pada skripsi ini akan ditunjukkan aplikasi teori kontrol dalam linierisasi model persamaan gerak satelit. Sistem kontrol yang digunakan adalah sistem kontrol linier dan gerakan unit massa satelit pada inverse square law force field dipengaruhi oleh suatu pasangan persamaan diferensial orde dua pada jari-jari r dan sudut θ . Selain itu akan dibahas pengertian controllability (keterkontrolan) dan observability (keterobservasian), sehingga apakah model persamaan gerak satelit dapat dikatakan controllable (terkontrol) dan observable (terobservasi).
1. Pendahuluan Gerakan unit massa satelit pada inverse square law force field, yaitu bahwa setiap partikel dari bahan di alam semesta menarik setiap partikel lain dengan gaya yang berbanding lurus dengan hasil kali massa-massa partikel dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak di antara partikel-partikel tersebut dipengaruhi oleh suatu pasangan persamaan diferensial orde dua pada jari-jari r dan sudut θ . Persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial non linier, oleh karena itu diaplikasikan melalui teori kontrol sedemikian sehingga model persamaan gerak satelit dapat dilinierisasi. Dari hasil linierisasi model dapat dihasilkan suatu matriks konstanta yang berpadanan dengan suatu sistem kontrol linier yang diberikan sehingga model persamaan gerak satelit dapat dikatakan controllable dan observable.
2. Model Persamaan Gerak Satelit Perhatikan persamaan gerak masalah dua benda pada gambar 1 di bawah ini.
z
z m
r
M x
y
y x
Gambar 1. Masalah dua benda
Pada (Yusri, 1996), persamaan gerak satelit dapat ditinjau dengan masalah dua benda yang memenuhi persamaan berikut: μ K r = − 2 rˆ r Di mana: K r merupakan vektor satuan sepanjang garis M − m rˆ = r μ = G ( M + m ) ≅ GM karena m < M K K ˆ merupakan vektor kecepatan ˆ + rθθ v = r = rr K K a = r = r − rθ 2 rˆ + rθ + 2rθ θˆ merupakan vektor percepatan
(
) (
)
Persamaan gerak satelit tanpa pengaruh gaya gangguan adalah sebagai berikut:
μ r − rθ 2 = − 2 r rθ + 2rθ = 0 Perhatikan gambar 2 di bawah ini.
(1) (2)
r
θ m
Gambar 2. Masalah pengontrolan titik massa pada inverse square law force field
Gerakan unit massa dipengaruhi oleh suatu pasangan persamaan orde dua pada jari-jari r dan sudut θ . Jika μ = k , maka berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:
μ r − rθ 2 = − 2 r r ( t ) = r ( t ) θ 2 ( t ) −
Dan
k
r (t ) 2
rθ + 2rθ = 0 rθ( t ) = −2r ( t ) θ ( t )
Jika diasumsikan bahwa unit massa (disebut dengan satelit) mempunyai kemampuan sebagai masukan pada arah radial dengan input u1 dan masukan pada arah tangensial dengan input u2 , maka diperoleh: 2
r ( t ) = r ( t ) θ 2 ( t ) −
θ( t ) = −
k r 2 (t )
2θ ( t ) r ( t ) r (t )
+
−
+ u1 ( t )
1 u2 ( t ) r (t )
(3) (4)
Jika u1 ( t ) = u2 ( t ) = 0 dan k = σ 3ω 2 , maka persamaan (3) dan (4) mempunyai solusi khusus:
r (t ) = σ
( σ konstan)
(5)
θ ( t ) = ωt
( ω konstan)
(6)
Hal ini dapat diperlihatkan sebagai berikut: r (t ) = σ θ ( t ) = ωt r ( t ) = 0 θ ( t ) = ω r (t ) = 0
θ( t ) = 0
Subtitusi: r (t ) = σ
θ ( t ) = ωt
r ( t ) = 0
θ ( t ) = ω
ke persamaan (3) dan (4), dengan u1 ( t ) = u2 ( t ) = 0 dan k = σ 3ω 2 Maka diperoleh: k r ( t ) = r ( t ) θ 2 ( t ) − 2 − + u1 ( t ) r (t )
σ 3ω 2 +0 σ2 = σω 2 − σω 2 = 0 = σω 2 −
∴ r (t ) = 0
2θ ( t ) r ( t ) 1 u2 ( t ) θ (t ) = − + r (t ) r (t )
=− ∴θ( t ) = 0
2 (ω )( 0 )
σ
+0=0
Akibatnya, satelit mengorbit dalam bentuk lingkaran.
3. Linierisasi Model Misalkan: x1 = r − σ x2 = r
(7)
x3 = σ (θ − ωt )
(
x4 = σ θ − ω
)
σ =1
3
x1 = r Maka diperoleh: x2 = r =0
= 3ω 2 (σ − σ ) + 2ωσ (ω − ω ) + u1 ( t )
(
)
= 3ω 2 ( r − σ ) + 2ωσ θ − ω + u1 ( t )
(
x3 = σ θ − ω x = σθ
)
(8)
4
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (8), diperoleh: ⎛ −2θr + u2 ⎞ x4 = σ ⎜ ⎟ r ⎝ ⎠ −2σθ r + σ u2 −2σω r + σ u2 = = = −2ω r + u2 r σ Sehingga dapat ditulis: r ⎤ ⎡ x1 ( t ) ⎤ ⎡ ⎢ ⎢ ⎥ 3ω 2 ( r − σ ) + 2ωσ θ − ω + u ⎥ x t 1⎥ ( ) ⎢ 2 ⎥=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ( t ) ⎥ σ θ − ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x t ( ) ⎣⎢ 4 ⎦⎥ ⎣ −2rω + u2 ⎦ ⎡ x1 ( t ) ⎤ ⎡ 0 1 0 0 ⎤ ⎡ r −σ ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ r 0 0 2ω ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u1 ( t ) ⎥ ⎢ x2 ( t ) ⎥ = ⎢3ω + ⎢ x3 ( t ) ⎥ ⎢ 0 0 0 1 ⎥ ⎢σ (θ − ωt ) ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢⎣ x4 ( t ) ⎥⎦ ⎣ 0 −2ω 0 0 ⎦ ⎢⎣ σ θ − ω ⎥⎦ ⎣u2 ( t ) ⎦
(
( )
)
(
⎡ x1 ( t ) ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎢ x2 ( t ) ⎥ = ⎢3ω ⎢ x3 ( t ) ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ x4 ( t ) ⎥⎦ ⎣ 0
)
0 0 ⎤ ⎡ x1 ( t ) ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 2ω ⎥⎥ ⎢ x2 ( t ) ⎥ ⎢ u1 ( t ) ⎥ + 0 1 ⎥ ⎢ x3 ( t ) ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ −2ω 0 0 ⎦ ⎢⎣ x4 ( t ) ⎥⎦ ⎣u2 ( t ) ⎦ 1 0 0
Maka dapat diperlihatkan bahwa persamaan (3) dan (4) yang dilinierisasi di sekitar solusi pada persamaan (5) dan (6) adalah: ⎡ x1 ( t ) ⎤ ⎡ 0 1 0 0 ⎤ ⎡ x1 ( t ) ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎥ 0 0 2ω ⎥⎥ ⎢ x2 ( t ) ⎥ ⎢⎢1 0 ⎥⎥ ⎡ u1 ( t ) ⎤ ⎢ x2 ( t ) ⎥ = ⎢3ω + ⎢ ⎥ ⎢ x3 ( t ) ⎥ ⎢ 0 0 0 1 ⎥ ⎢ x3 ( t ) ⎥ ⎢0 0 ⎥ ⎣u2 ( t ) ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎣⎢ x4 ( t ) ⎦⎥ ⎣ 0 −2ω 0 0 ⎦ ⎣⎢ x4 ( t ) ⎦⎥ ⎣0 1 ⎦
Pandang suatu sistem kontrol linier berikut: x ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) Sehingga dapat disimpulkan bahwa:
4
⎡ 0 ⎢3ω 2 A=⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
1 0 0 −2ω
0 0⎤ 0 2ω ⎥⎥ 0 1 ⎥ ⎥ 0 0⎦
dan
⎡0 ⎢1 B=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
4. Controllability (keterkontrolan) dan observability (keterobservasian) Definisi 1
Sistem kontrol linier berdimensi-n yang berbentuk: x ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) y (t ) = C (t ) x (t )
dikatakan controllable atau terkontrol jika matriks ⎡⎣ B, AB," , A n−1B ⎤⎦ mempunyai rank n(Roger W. Brockett, 1970:80).
Definisi 2
Sistem kontrol linier berdimensi-n yang berbentuk: x ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) y (t ) = C (t ) x (t )
dikatakan observable atau terobservasi jika matriks ⎡⎣C; CA;...; CA n−1 ⎤⎦ mempunyai rank n(Roger W. Brockett, 1970:90).
4.1 Keterkontrolan Pada Model Persamaan Gerak Satelit Pandang suatu sistem kontrol linier berikut: x ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) Pada permasalahan satelit, diketahui bahwa: 1 0 0⎤ ⎡ 0 ⎡0 0 ⎤ ⎢3ω 2 ⎥ ⎢1 0 ⎥ 0 0 2ω ⎥ ⎥ A=⎢ B=⎢ ; ⎢ 0 ⎢0 0 ⎥ 0 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 −2ω 0 0 ⎦ ⎣0 1 ⎦ Maka diperoleh: 0⎤ ⎡ 3ω 2 ⎡ 1 ⎢ ⎢ 0 2ω ⎥⎥ 0 2 ⎢ AB = ; A =⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 3 ⎢⎣ −6ω ⎣ −2ω 0 ⎦ 2ω ⎤ ⎡ 0 ⎢ −ω 2 0 ⎥⎥ 2 ⎢ A B= ; ⎢ −2ω 0 ⎥ ⎢ ⎥ −4ω 2 ⎦ ⎣ 0
⎡ 0 ⎢ −3ω 4 3 A =⎢ ⎢ −6ω 3 ⎢ ⎢⎣ 0
0 2ω ⎤ ⎥ −ω 2 0 0 ⎥ ; 0 ⎥ −2ω 0 ⎥ 0 0 −4ω 2 ⎥⎦ 0
−ω 2 0 0 2ω 3
0 0 ⎤ ⎥ 0 −2ω 3 ⎥ ; 0 −4ω 2 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥⎦
5
⎡ −ω 2 ⎢ 0 3 A B=⎢ ⎢ 0 ⎢ 3 ⎢⎣ 2ω
0 ⎤ ⎥ −2ω 3 ⎥ −4ω 2 ⎥ ⎥ 0 ⎥⎦
Maka: ⎡0 0 1 0 0 2ω −ω 2 0 ⎤ ⎢ ⎥ −2ω 3 ⎥ 1 0 0 2ω −ω 2 0 0 2 3 ⎢ ⎡⎣ B, AB, A B, A B ⎤⎦ = ⎢0 0 −4ω 2 ⎥ 0 1 −2ω 0 0 ⎢ ⎥ −4ω 2 2ω 3 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 −2ω 0 Matriks ⎡⎣ B, AB, A 2 B, A 3B ⎤⎦ mempunyai rank 4 sehingga sistem persamaan gerak
satelit dikatakan controllable (terkontrol). Akan dibuktikan bahwa sistem persamaan gerak satelit dikatakan terkontrol, jika salah satu input tidak operatif ( u1 = 0 atau u2 = 0). Bukti: T Jika u2 = 0 ( u2 tidak operatif), mengakibatkan B menjadi B1 = [ 0,1, 0, 0] , maka: ⎡0 1 ⎢ 1 0 ⎡⎣ B1 , AB1 , A 2 B1 , A 2 B1 ⎤⎦ = ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢⎣0 −2ω
0 −ω 2 −2ω 0
−ω 2 ⎤ ⎥ 0 ⎥ mempunyai rank 3. 0 ⎥ ⎥ 2ω 3 ⎥⎦
Jika u1 = 0 ( u1 tidak operatif), mengakibatkan B menjadi B 2 = [ 0, 0, 0,1] , maka: T
2ω 0 ⎤ ⎡0 0 ⎢0 2ω 0 −2ω 3 ⎥⎥ 2 3 ⎢ ⎡⎣ B 2 , AB 2 , A B 2 , A B 2 ⎤⎦ = mempunyai rank 4. ⎢0 1 0 −4ω 2 ⎥ ⎢ ⎥ 2 0 ⎦ ⎣1 0 −4ω Karena u1 radial, u2 tangensial, dan jika suatu input radial tidak operatif maka sistem dikatakan terkontrol. Sebaliknya, jika suatu input tangensial tidak operatif maka sistem dikatakan tidak terkontrol. 4.2 Keterobservasian pada model persamaan gerak satelit Andaikan bahwa jarak antara pusat force field dan sudut dapat diukur, sehingga x1 = r − σ dan x3 = σ (θ − ωt ) dapat diukur. Dengan y1 sebagai pengukuran jarak dan y2 sebagai pengukuran sudut. Maka diperoleh: ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ y1 ⎤ ⎡1 0 0 0 ⎤ ⎢ x2 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 0 1 0⎥ ⎢ x ⎥ ⎦ 3 ⎣ 2⎦ ⎣ ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦ Pandang suatu sistem kontrol linier berikut: x ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t )
6
y (t ) = C (t ) x (t ) + D (t ) u (t )
Diketahui bahwa: 1 ⎡ 0 ⎢3ω 2 0 A=⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎣ 0 −2ω Maka diperoleh:
0 0⎤ 0 2ω ⎥⎥ ; 0 1 ⎥ ⎥ 0 0⎦
⎡0 1 0 0⎤ CA = ⎢ ⎥; ⎣0 0 0 1 ⎦ ⎡ −3ω 2 CA 2 = ⎢ ⎣ 0 ⎡ 0 ⎢ −3ω 4 A3 = ⎢ ⎢ −6ω 3 ⎢ ⎣⎢ 0 Dengan y1 sebagai
⎡1 0 0 0 ⎤ C=⎢ ⎥ ⎣0 0 1 0 ⎦
⎡ 3ω 2 ⎢ 0 A2 = ⎢ ⎢ 0 ⎢ 3 ⎣⎢ −6ω
2ω ⎤ ⎥ 0 ⎥ −ω ; −2ω 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 −4ω 2 ⎦⎥ 0
2
0 0
0 2ω ⎤ ⎥; −2ω 0 0 ⎦ −ω 2 0 0 ⎤ ⎥ ⎡ 0 −ω 2 0 0 ⎤ 0 0 −2ω 3 ⎥ 3 ; CA = ⎢ ⎥ 3 0 0 −4ω 2 ⎦ 0 0 −4ω 2 ⎥ ⎣ −6ω ⎥ 2ω 3 0 0 ⎦⎥ pengukuran radial dan y2 sebagai pengukuran sudut, maka 0
0 0 0 ⎤ ⎡ 1 ⎢ 0 0 1 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 0 1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 1 ⎥ 2 3 ⎢ ⎡⎣C; CA; CA ; CA ⎤⎦ = matriks: ⎢ 3ω 2 0 0 2ω ⎥ ⎢ ⎥ −2ω 0 0 ⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎥ −ω 2 0 ⎢ ⎥ 3 0 0 −4ω 2 ⎥⎦ ⎢⎣ −6ω mempunyai rank 4, maka sistem dikatakan observable (terobservasi). Untuk meminimumkan pengukuran maka y2 tidak diukur, sehingga C1 = [1, 0, 0, 0] , maka diperoleh: 0 0 0⎤ ⎡ 1 ⎢ 0 1 0 0 ⎥⎥ 2 3 ⎢ ⎡⎣C1 ; C1A; C1A ; C1A ⎤⎦ = ⎢3ω 2 0 0 2ω ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎣ 0 −ω 0 0 ⎦ matriks ⎡⎣C1 ; C1A; C1A 2 ; C1A 3 ⎤⎦ mempunyai rank 3.
Jika y1 tidak diukur maka C2 = ( 0, 0,1, 0 ) , maka diperoleh:
7
0 1 0 ⎤ ⎡ 0 ⎢ 0 0 0 1 ⎥⎥ ⎡⎣C2 ; C2 A; C2 A 2 ; C2 A 3 ⎤⎦ = ⎢ ⎢ 0 0 ⎥ −2ω 0 ⎢ ⎥ 3 0 0 −4ω 2 ⎦ ⎣ −6ω matriks ⎡⎣C2 ; C2 A; C2 A 2 ; C2 A 3 ⎤⎦ mempunyai rank 4. Dapat disimpulkan bahwa apabila pengukuran sudut tidak diukur maka sistem persamaan gerak satelit tidak observable, sebaliknya apabila pengukuran radial tidak diukur maka sistem persamaan gerak satelit dikatakan observable.
5. Kesimpulan 1. Model persamaan gerak satelit dipengaruhi oleh suatu pasangan persamaan diferensial orde dua: k r ( t ) = r ( t ) θ 2 ( t ) − 2 − + u1 ( t ) r (t ) 2θ ( t ) r ( t ) 1 + θ( t ) = − u2 ( t ) r (t ) r (t ) persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial non linier, melalui teori kontrol model persamaan gerak satelit dapat dilinierisasi. Dari hasil linierisasi model dapat dihasilkan suatu matriks konstanta yang berpadanan dengan suatu sistem kontrol linier yang diberikan. Matriks-matriks tersebut controllability (keterkontrolan) dan observability digunakan untuk (keterobservasian) pada model persamaan gerak satelit. Sehingga model persamaan gerak satelit dikatakan controllable (terkontrol) dan observable (terobservasi). 2. Model persamaan gerak satelit dikatakan terkontrol karena matriks ⎡⎣ B, AB, A 2 B, A 3B ⎤⎦ mempunyai rank 4. Untuk matriks A dan B yang diberikan. 3. Model persamaan gerak satelit dikatakan terobservasi karena matriks ⎡⎣C; CA; CA 2 ; CA 3 ⎤⎦ mempunyai rank 4. Untuk matriks A dan C yang diberikan. 6. Daftar Pustaka Anton, H. & Rorres, C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga. Arifin, Z. 1983. Metoda Transformasi Laplace. Kappa Majalah Ilmiah Populer (hlm.120-136).Surabaya : FMIPA ITS SURABAYA. Brockett, R.W. 1970. Finite Dimensional Linear Systems. New York:John Wiley and Sons, Inc. Masten, M.K. & Coburn, B. (Eds.). 1995. Modern Control Systems. New York: The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc. Ogata. K. 1997. Modern Control Engineering. (3rd ed.). New York: Prentice Hall. Yusri, E.E. 1996. Analisis Perubahan Setengah Sumbu Panjang dan Eksentrisitas Orbit Satelit Rendah Akibat Gaya Hambatan Atmosfer Bumi. Skripsi tidak diterbitkan. Bandung: Program Sarjana ITB BANDUNG.
8
