Bab 2. Magnetohidrodinamika. 2.1 Persamaan Gerak Plasma

Bab 2 Magnetohidrodinamika Pada bab ini akan dibahas secara umum persamaan gerak dari plasma yang dinyatakan oleh persamaan momen dan secara singkat tentang quark dan plasma quark-gluon.

2.1

Persamaan Gerak Plasma

Plasma didefinisikan sebagai gas yang terdiri dari partikel-partikel bermuatan listrik yang bergerak bebas yaitu elektron dan ion. Plasma terbentuk pada temperatur tinggi ketika elektron-elektron terpisah dari atom netral. Plasma merupakan fase keempat dari materi karena memiliki sifat yang berbeda dengan zat padat, dan fluida ( zat cair dan gas ). Magnetohidrodinamika merupakan cabang ilmu fisika yang mempelajari interaksi antara plasma dengan medan elektromagnetik. Persamaan magnetohidrodinamika dinyatakan dengan persamaan momen yang diturunkan dari persamaan Boltzmann-Vlasov [10]. Untuk plasma yang terdiri dari satu spesies persamaan momennya didefinisikan : ∂n + ∇ · (~un) = 0 ∂t dan ρ

3 X ∂~u ∂pij ~ ~ ~ + (~u · ∇)~u = ρq E + j × B − ∂t ∂xj j=1

(2.1)

(2.2)

dimana n, ρ, dan ρq adalah rapat partikel, rapat massa, dan rapat muatan. ~u ~ dan B ~ adalah adalah kecepatan fluida rata-rata dan ~j adalah rapat arus. E medan elektromagnetik total yaitu dari sumber luar dan dari sumber ρq dan 4 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

~j. Suku terakhir pada persamaan kedua adalah tensor gradien tekanan, dimana untuk kasus fluida homogen dan isotropik [9] berbentuk : −

3 X ∂pij j=1

∂xj

=

−∂p η ∂∇ · ~u + + η∇2 ui ∂xi 3 ∂i

(2.3)

dimana p adalah tekanan skalar, ~u adalah kecepatan medan dan η adalah koefisien viskositas. Dengan menganggap fluida inkompresibel maka ∇ · ~u = 0 sehingga persamaan gerak fluidanya menjadi : 1 ~ ~ ~ ∂~u + (~u · ∇)~u = ρq E + j × B − ∇p − η∇2~u ∂t ρ

(2.4)

Untuk plasma yang terdiri dari dua spesies, misalkan ion dan elektron maka persamaan momen dinyatakan dengan : ∂ne + ∇ · (ne u~e ) = 0 ∂t

(2.5)

∂nI + ∇ · (nI u~I ) = 0 ∂t

(2.6)

yang merupakan persamaan kekekalan jumlah partikel, dimana elektron bermuatan -q bermassa m dan ion bermuatan q bermassa M. Dengan mengabaikan koefisien viskositas maka persamaan gerak masing-masing fluida dapat dituliskan :

∂ u~e 1 ~ − qne u~e × B ~ − ∇pe + (u~e · ∇)u~e = −qne E (2.7) ∂t mne ∂ u~I 1 ~ + qnI u~I × B ~ − ∇pI (2.8) + (u~I · ∇)u~I = qnI E ∂t MnI ~ dan B ~ ditentukan dari persamaan maxwell dengan medan elektromagnetik E rapat muatan ρq dan rapat arus ~j diyatakan dengan : ρq = q(nI − ne ) ~j = q(nI u~I − ne u~e )

2.2

(2.9) (2.10)

Quark dan Plasma Quark-Gluon

Quark Quark merupakan partikel fundamental penyusun materi. Di alam, quark tidak 5 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

pernah teramati sebagai partikel bebas tetapi selalu terikat bersama dengan quark yang lain atau dengan antiquark melalui suatu potensial pengikat membentuk suatu materi yang disebut Hadron. Terdapat dua kombinasi quark yaitu Baryon dengan kombinasi 3 quark QQQ yaitu proton, netron dan Meson dengan kombi¯ yaitu meson. Terdapat 6 jenis quark yaitu u (up), d (down), c (charm), nasi QQ s (strange), t (top), dan b (bottom). Untuk mematuhi larangan pauli [3], maka harus terdapat bilangan kuantum tambahan yaitu warna. Muatan warna pada quark dibedakan menjadi 3 yaitu, r (red ), g (green), dan b (blue), sedangkan anti-quark membawa anti-warna. Seperti halnya interaksi elektromagnetik, interaksi kuat antar quark juga dimediasi oleh suatu partikel boson, partikel ini disebut gluon yang masing-masing memiliki warna dan anti-warna. State yang mungkin dari gluon adalah : r¯b, r¯ g, b¯ g , b¯ r , g¯ r, g¯b, √12 (r¯ r − b¯b), √16 (r¯ r + b¯b − 2g¯ g ), √13 (r¯ r + g¯ g + b¯b) Berbeda dengan foton yang tidak memiliki muatan, gluon memiliki muatan warna sehingga dapat berinteraksi secara kuat dengan sesama gluon. Karena adanya interaksi kuat antar gluon ini maka seperti halnya kombinasi quark pada hadron, gluon dapat juga membentuk kombinasi colour singlet, GG dan GGG. Gluon dalam kondisi ini disebut Glueball . Plasma Quark-Gluon Plasma quark-gluon terbentuk pada tumbukan ultrarelativistik antar ion berat seperti ion Au atau ion Sn dalam relativistic heavy ion collider di Brokhave national laboratory. Plasma quark-gluon adalah fase dari Quantum Cromodynamics (QCD) yang muncul pada suhu dan kerapatan yang sangat tinggi (dalam orde Tc = 170 MeV, atau sekitar 1013 K). Plasma quark-gluon terdiri dari quark dan gluon seperti halnya pada hadron. Perbedaan kedua fase QCD ini adalah sebagai berikut : pada hadron setiap quark dalam keadaan terikat dengan quark lain atau dengan anti-quark (confined). Sedangkan pada plasma quark-gluon quark dan anti quark tidak terikat membentuk hadron (de-confined) dan bergerak bebas pada suatu volume bersuhu tinggi yang disebut fireball. Kenapa disebut plasma ? Telah dijelaskan sebelumnya bahwa plasma adalah fluida yang terdiri dari partikelpartikel bermuatan listrik yang saling berinteraksi satu sama lain dan bergerak 6 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

bebas di seluruh volume fluida. Pada plasma quark-gluon, quark dan gluon memiliki muatan yaitu warna, dan dapat bergerak bebas di seluruh volume fireball. Perbedaan keduanya adalah muatan quark merupakan muatan non-Abelian sedangkan muatan listrik merupakan muatan abelian.

7 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

Gambar 2.1: Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama dengan quark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk hadron

Gambar 2.2: Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak berikatan membentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball (deconfined). Fireball terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV, atau sekitar 1013 K . 8 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

Bab 3 Unifikasi Magnetofluida dengan prinsip Gauge Pada bab ini dijelaskan unifikasi antara medan fluida dan elektromagnetik untuk kasus Abelian dan non-Abelian dengan menggunakan teori gauge. Dari unifikasi ini kita akan menurunkan persamaan gerak medan fluida yang berinteraksi dengan materi dan medan elektromagnetik dalam limit non-relativistik seperti persamaan gerak pada plasma. Unifikasi dilakukan pada medan fluida Abelian dan diperluas untuk medan fluida non-Abelian. Prosedur yang dilakukan untuk menyatukan kedua interaksi adalah dengan mengerjakan simetri grup U(1)F D ⊗ U(1)G dan G(n)F D ⊗ G(n)G pada medan materi (boson dan fermion).

3.1

Unifikasi Magnetofluida dengan TeoriGauge Abelian

Pada fisika partikel teori unifikasi dilakukan dengan menggunakan prinsip pertama ( first principle) yaitu dengan menggunakan pendekatan Lagrangian. Prosedurnya adalah melakukan transformasi oleh grup tertentu pada medan materi. Lagrangian dari materi harus invarian terhadap transformasi ini, sebagai konsekuensinya maka pada lagrangian akan muncul suku-suku baru yang menunjukkan interaksi antara materi dengan medan gauge atau interaksi antara sesama medan gauge.


Lagrangian density Medan boson Lagrangian density untuk medan boson dinyatakan dengan : L = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ

(3.1)

Untuk mengunifikasi medan materi dan medan gauge maka dikerjakan transformasi gauge lokal : U(1)F D ⊗ U(1)G : pada medan materi. Lagrangian materi harus invarian terhadap transformasi ini : Φ (x) → U (x)F Φ (x) Φ′ (x) → U (x)EM Φ′ (x) dimana : U (x)F = e−iα(x) U (x)EM = e−iβ(x) dengan α (x) dan β (x) merupakan sembarang fungsi real . Untuk kasus infinitesimal transformation e−iα(x) ≈ (1−iα (x)). Pada kasus transformasi gauge global ∂ µ Φ (x) ditransformasikan seperti Φ (x) , tetapi bila dikerjakan transformasi gauge lokal maka akan terdapat suku-suku tambahan : δΦ = −i (α + β) Φ

(3.2)

δΦ∗ = i (α + β) Φ∗

(3.3)

δ∂ µ Φ = −i∂ µ αΦ − i∂ µ βΦ − i (α + β) ∂ µ Φ

(3.4)

δ∂ µ Φ∗ = i∂ µ αΦ∗ + i∂ µ βΦ∗ + i (α + β) ∂ µ Φ∗

(3.5)

Karena terdapat suku tambahan pada bentuk derivatif maka lagrangian L (Φ, ∂µ Φ) menjadi tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal. Untuk mengatasi hal ini kita harus menyusun bentuk derivatif yang memiliki sifat transformasi seperti Φ(x). δL =

∂L ∗ ∂L ∂L ∂L δΦ + δΦ + δ (∂ Φ) + δ (∂ µ Φ∗ ) µ ∂Φ ∂Φ∗ ∂ (∂µ Φ) ∂ (∂ µ Φ∗ )

(3.6)

δL = (∂µ α + ∂µ β) i (Φ∗ ∂ µ Φ − Φ∂ µ Φ∗ )

(3.7)

δL = (∂µ α + ∂µ β) J µ

(3.8)


dimana J µ adalah vektor arus empat materi. Untuk membuat lagrangian invarian terhadap transformasi gauge, maka kita harus menambah beberapa suku pada lagrangian density. • L1 = − (eAµ + gBµ ) J µ dimana Aµ dan Bµ merupakan medan gauge ( medan elektromagnetik dan medan fluida ) yang ditransformasikan oleh transformasi gauge sebagai : 1 Aµ (x) −→ Aµ (x) + ∂µ α e 1 Bµ (x) −→ Bµ (x) + ∂µ β g dengan e dan g merupakan konstanta kopling yang menentukan kekuatan interaksi antara medan materi dengan medan gauge. Dengan tambahan suku ini maka akan didapatkan : δL1 = − (∂µ α + ∂µ β) J µ − (eAµ + gBµ ) δJ µ δL + δL1 = − (eAµ + gBµ ) δJ µ

(3.9)

δJµ = 2Φ∗ Φ (∂ µ α + ∂ µ β) δL + δL1 = −2Φ∗ Φ (eAµ ∂ µ α + eAµ ∂ µ β + gBµ ∂ µ α + gBµ ∂ µ β) Suku kedua yang harus ditambahkan adalah : • L2 = (e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ ) Φ∗ Φ δL2 = (2eAµ ∂ µ + 2gBµ ∂ µ + 2gBµ ∂ µ + 2eAµ ∂ µ ) Φ∗ Φ

(3.10)

Jadi kita dapatkan : δL + δL1 + δL2 = 0 L = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − (eAµ + gBµ ) J µ + e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ∗ Φ agar memiliki arti fisis maka harus ditambahkan bentuk yang mengandung kuadratik dari ∂ ν Aµ dan ∂ ν B µ sebagai suku kinetik dari medan gauge. Bentuk skalar


yang memenuhi dan invarian terhadap transformasi gauge ataupun Lorentz adalah sebanding dengan F µν Fµν dan S µν Sµν . Dengan : F µν (x) = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ

(3.11)

S µν (x) = ∂ µ B ν − ∂ ν B µ

(3.12)

merupakan tensor kuat medan (field strength tensor ). Kita telah mendapatkan Lagrangian density total yang invarian terhadap transformasi gauge lokal : Ltotal = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − (eAµ + gBµ ) J µ + e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ∗ Φ 1 1 − F µν Fµν − S µν Sµν 4 4

(3.13)

Suku-suku pada lagrangian ini menyatakan interaksi dari masing-masing medan. Untuk mendapatkan bentuk derivatif yang kovarian terhadap transformasi maka kita definisikan derivatif kovarian : Dµ Φ = ∂µ Φ + ieAµ Φ + igBµ Φ

(3.14)

sehingga : Dµ Φ (x) −→ U (x) Dµ Φ (x) dengan derivatif kovarian maka Lagrangian density total dapat dituliskan : 1 1 Ltotal = Dµ ΦD µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − F µν Fµν − S µν Sµν 4 4

(3.15)

Persamaan Gerak Berdasarkan prinsip aksi minimum δS = 0, dengan S = roleh persamaan Euler - Lagrange : ∂µ

R

d4 xL dapat dipe-

∂L ∂L − =0 ∂ (∂µ Φ) ∂Φ

(3.16)

dengan Φ adalah sembarang medan. • Persamaan Gerak Medan Boson dengan subtitusi Lagrangian density total ke persamaan ( 3.16 ) dan Φ = Φ∗ maka akan didapat persamaan gerak : ∂µ ∂ µ + 2ieAµ ∂µ + 2igB µ ∂µ + ie∂µ Aµ + ig∂µ B µ + m2 Φ − e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ = 0 12

Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

(3.17)

• Persamaan Gerak Medan Elektromagnetik Persamaan gerak Medan elektromagnetik didapatkan dengan mensubtitusi persamaan ( 3.13 ) ke dalam persamaan ( 3.16 ) dengan Φ = Aν , maka akan didapatkan : ∂µ F µν = ie (Φ∗ ∂ ν − Φ∂ ν Φ∗ ) − 2e2 Aν + 2egB ν Φ∗ Φ

Dengan menggunakan derivatif kovarian maka bentuk di atas dapat dituliskan : ∂µ F µν = eJ ν

(3.18)

dengan : J = i (Φ∗ D ν Φ − ΦD ν Φ∗ ) Persamaan di atas analog dengan persamaan Maxwell inhomogen pada elektrodinamika klasik. Persamaan diatas juga menjelaskan bahwa medan elektromagnetik digenerasi oleh interaksi kedua partikel yang memiliki muatan e, tanpa kehadiran partikel maka medan elektromagnetik tidak akan muncul. Karena sifat F µν yang antisimetrik maka akan diperoleh : ∂µ J µ = 0

(3.19)

yang berarti J merupakan besaran yang kekal bila terdapat medan elektromagnetik. • Persamaan Gerak Medan Fluida Dengan cara yang sama kita dapat menurunkan persamaan gerak fluida yang analog dengan persamaan skalar Maxwell. ∂µ S µν = gJ ν

(3.20)

dan J = (ρ, J) Vektor-vektor yang ekuivalen dengan medan listrik dan medan magnetik adalah vektor R dan vektor Q. S io = Qi

(3.21)

S ij = −εijk Rk

(3.22)

dan : Q = −

~ B + ∇B o ∂t

~ R = ∇×B 13 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

!

(3.23) (3.24)

Lagrangian density Medan Fermion Lagrangian untuk medan fermion adalah : ¯ µ ψ − mψψ ¯ L = −i∂µ ψγ

(3.25)

dimana ψ adalah vektor 4 × 1 γ µ adalah matrix 4 × 4 , γ µ = (β, β~ α), matrix α ~ dan β~ didefinisikan : α ~=

0 ~σ ~σ 0

, β~ =

I 0 0 −I

I adalah matrix satuan 2 × 2 dan σ adalah matriks Pauli : 0 1 0 −i 1 0 σ~1 = , σ~2 = , σ~3 = 1 0 i 0 0 −1

(3.26)

(3.27)

Prosedur yang sama kita lakukan seperti pada materi boson yaitu mengerjakan transformasi gauge lokal pada lagrangian density, maka kita akan memperoleh: δψ = −i (α + β) δ ψ¯ = i (α + β) δ∂µ ψ¯ = i (α + β) ∂µ ψ¯ + i (∂µ α + ∂µ β)

δL =

∂L ∂L ∂L δψ + δ ψ¯ ¯ + δ ∂µ ψ¯ ∂ψ ∂ψ ∂ ∂µ ψ¯

(3.28)

Lagrangian ini tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal karena ada tam¯ µ ψ merupakan vektor arus bahan suku δL = (∂µ α + ∂µ β) J µ dimana J µ = ψγ empat untuk medan fermion. Untuk itu harus ditambahkan suku : • L1 = − (eAµ + gBµ ) J µ δL1 = − (∂µ α + ∂µ β) J µ − (eAµ + gBµ ) δJ µ δL + δL1 = − (eAµ + gBµ ) δJ µ

(3.29)

Karena pada vektor arus empatnya tidak mengandung bentuk derifatif maka vektor arus empat ini invarian terhadap transformasi gauge lokal, atau δJ µ = 0.


Dengan penambahan suku kinetik dari kedua medan gauge maka akan didapatkan lagrangian density total untuk medan fermion : ¯ µ ψ − mψψ ¯ − (eAµ + gBµ ) ψγ ¯ µ ψ − 1 F µν Fµν − 1 S µν Sµν L = −i∂µ ψγ 4 4

(3.30)

Derifatif kovariannya dituliskan : Dµ ψ = (∂µ + ieAµ + igBµ ) ψ

(3.31)

dalam bentuk derifatif kovarian lagrangian totalnya dapat dituliskan : ¯ µ ψ − mψψ ¯ − 1 Fµν F µν − 1 S µν Sµν L = −iDµ ψγ 4 4

(3.32)

perbedaan utama dengan lagrangian density medan boson adalah tidak adanya suku interaksi antara medan elektromagnetik dengan medan fluida. Persamaan Gerak Dengan mensubtitusi Lagrangian ke persamaan Euler-Lagrange maka kita akan memperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan adalah: [i∂ / − (eA / + gB /) − m]ψ = 0

3.2

(3.33)

∂µ F µν = eJ ν

(3.34)

∂µ S µν = gJ ν

(3.35)

Persamaan Maxwell Magnetofluida

Dari persamaan ( 3.23 ) dan ( 3.24 ) didapatkan : ∇.R = 0 ∂R ∇×Q = − ∂t

(3.36) (3.37)

dari persamaan arus kovarian, j ν = gJ ν dan persamaan gerak magnetofluidanya ambil ν = 0 akan didapatkan : ∂1 S 10 + ∂2 S 20 + ∂3 S 30 = ρ sehingga : ∇.Q = ρ 15 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

(3.38)

bila kita ambil ν = 1 : ∂0 S 01 + ∂2 S 21 + ∂3 S 31 = j 1 ∂Q1 ∂R3 ∂R2 − = j1 − + ∂t ∂x2 x3 Persamaan Maxwell yang keempat adalah : ∂Q ∇×R− =j ∂t

3.3

(3.39)

Persamaan Gerak Magnetofluida untuk limit non-Relativistik

Dari persamaan gerak untuk magnetofluida ∂µ S µν = gJ ν dengan arus kovarian ¯ µ ψ untuk fermion, : J ν = i (Φ∗ D ν Φ − ΦD ν Φ∗ ) untuk materi boson dan J ν = ψγ akan didapatkan : ∂o S oν + ∂i S iν = gJ ν untuk ν = j akan diperoleh : ∂o S oj + ∂i S ij = gJ j ∂o S oj + ∂i ∂ i B j − ∂ j B i = gJ j

medan fluida yang digunakan berbentuk :

B i = φU i

(3.40)

φ adalah besaran pelengkap dimensi yang merepresentasikan distribusi fluida pa ~ da sistem dan hanya bergantung oleh temperature , S oj = −Qj = ∂φ∂tU + ∇φγ

dan U i = γv i . Dimana untuk plasma relativistik : φ ≃ 1 + γ ≃1+

v2 2

5T 2m

[5]. Nilai γ :

. Dalam bentuk vektor persamaan diatas dapat dituliskan : ~ − ∇2 B ~ + ∇ ∇.B ~ = g J~ −∂o Q

Dengan menggunakan identitas vektor : ∇ × ~ +∇× ∇×B ~ −∂o Q ! ~ ∂ ∂δ U ~ + ∇φγ + ∇ × R ∂t ∂t ! ~ ∂ ∂U φ + ∇φγ ∂t ∂t


~ = ∇ ∇.B ~ − ∇2 B ~ ∇×B = g J~

= g J~ ~ = g J~ − ∇ × R

Untuk kasus non-relativistik nilai γ → 1 dan φ → 1, kecuali pada suku ∇φγ., kita akan dapatkan : v2 5 T ∇φγ = ∇ + 2 2m 2 ∂ ∂~v v 5T = g J~ − ∇ × ~ω +∇ + ∂t ∂t 2 2m

dengan ~ω = ∇ × ~v adalah vortisitas. ∂ ∂~v v2 5T = g J~ − ∇ × ~ω +∇ +∇ ∂t ∂t 2 2m Z ∂~v v2 5T ~ +∇ +∇ = g J − ∇ × ~ω dt ∂t 2 2m dengan menggunakan identitas vektor :

1 ∇v 2 2

= (~v .∇) + ~v × (∇ × ~v ) kita akan

mendapatkan : ∂~v 5T + (~v .∇) ~v + ~v × ~ω + ∇ = ∂t 2m

Z

g J~ − ∇ × ~ω dt

(3.41)

untuk kasus fluida irotasional ∇ × ~v = 0 maka akan diperoleh : ∂~v 5T + (~v .∇) ~v + ∇ = g J~˜ ∂t 2m

(3.42)

R dengan : J~˜ = J~dt

Bila dianggap T tetap, maka kita akan mendapatkan 2 persamaan gerak magnetofluida yang ekuivalen dengan persamaan gerak plasma pada persamaan (2.1) dan (2.2) :

3.4

∂J o + ∇J~ = 0 ∂t ∂~v + (~v .∇) ~v = g J~˜ ∂t

(3.43) (3.44)

Model Magnetofluida dengan medan gauge non-Abelian

Secara umum lagrangian density dari materi dapat dinyatakan dengan : 1 L = (∂µ Φ)† ∂ µ Φ + mΦ Φ† Φ + iψ¯ (γµ ∂ µ − mψ ) ψ + V (Φ) 2

(3.45)

2 dengan V (Φ) adalah potensial, misalkan pada teori Φ4 , V (Φ) = 41 λ Φ† Φ dan

γµ adalah matriks Dirac.


Interaksi antara fluida non-Abelian dengan medan gauge non-Abelian dinyatakan dengan transformasi gauge lokal : G (n)F ⊗ G (n)G . Maka medan materi akan ditransformasikan sebagai : Φ → Φ′ = exp [−i (α + β)] Φ

(3.46)

ψ → ψ ′ = exp [−i (α + β)] ψ

(3.47)

dengan : α = αa Ta dan β = βa Ta . Medan materi merupakan multiplet n × 1 dengan jumlah elemen n untuk grup Lie dengan dimensi n seperti SU(n), O(n+1) dll. Ta adalah generator dari grup Lie yang merupakan matriks Hermitian dan traceless Ta† = Ta dan T rTa = 0. Generator-generator ini memenuhi relasi komutasi tertutup : [Ta , Tb ] = iCabc Tc

(3.48)

dengan Cabc adalah konstanta struktur antisimetrik dengan Cabc = −Cbac . Jumlah generator dan medan gauge ditentukan oleh dimensi dari grup. Untuk grup SU(n) atau O(n + 1) memiliki generator sebanyak n2 − 1 dan index a = 1, 2, ....n2 − 1. Lagrangian yang invarian terhadap transformasi gauge lokal diatas dapat diperoleh dengan memasukkan suku yang mengandung medan gauge Aµa dan medan fluida non-Abelian Bµa dengan sifat transformasi : 1 ∂µ αa + Cabc αb Aµc gG 1 ≡ Bµa + ∂µ βa + Cabc βb Bµc gF

Aµa → A′µa ≡ Aµa +

(3.49)

′ Bµa → Bµa

(3.50)

dengan gF adalah muatan untuk fluida dan gG adalah muatan gauge. Secara umum lagrangian density materi yang invarian terhadap simetri gauge adalah : L = Lmateri + Lkinetik + Linteraksi dengan : 1 1 Lkinetik = − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν 4 4 µν µ ν ν µ Sa = ∂ Ba − ∂ Ba + gF Cabc Bbµ Bcν Faµν = ∂ µ Aνa − ∂ ν Aµa + gG Cabc Aµb Aνc Sedangkan suku-suku interaksi pada Lagrangian density nya adalah : 18 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

(3.51)

• untuk Boson : µ µ 2 µ Aa Aµb Φ† TaG TbG Φ + Lint = −gF Bµa JaF − gG Aµa JaG + gG

gF2 Baµ Bµb Φ† TaF TbF Φ + gF gG Aµa Bµb Φ† (TaG TbF + TbF TaG ) Φ • untuk fermion : µ µ Lint = −gF Bµa JaF − gG Aµa JaG

(3.52)

dengan Jaµ adalah arus materi untuk materi boson dan fermion. dimana untuk boson dan fermion : µ Jaboson = −i ∂µ Φ† TaX Φ − Φ† TaX ∂µ Φ

µ ¯ Jaf ermion = ψγµ TaX ψ

dengan : X = F, G dan ψ¯ = ψ † γo. Untuk kasus simetri SUF (n) ⊗ SUG (n) atau OF (n + 1) ⊗ OG (n + 1), maka TF a = TGa contohnya untuk kasus SU(2) ⊗ SU(2) maka : TF a = TGa =

τa 2

dimana τa adalah matriks pauli, untuk kasus SU(n)F ⊗

U(1)G generator kedua grup adalah : TaG = 1, TaF =

τa 2

dengan τa adalah matriks

pauli dan a = 1, 2, 3 untuk n = 2 atau untuk n = 3, TaF =

λa 2

dengan λa adalah

matriks Gellman dan a = 1, 2....8. Lagrangian density untuk materi dapat juga ditulis dalam bentuk derifatif kovarian sebagai : 1 1 L = (D µ Φ)† Dµ Φ + ψ¯ (iγ µ Dµ − m) ψ − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν + V (Φ) (3.53) 4 4 derifatif kovariannya adalah : Dµ Φ = ∂µ Φ + igG Aµb TbG Φ + igF Bµb TbF Φ

(3.54)

Dengan Lagrangian density total ini maka kita akan dapat mempelajari dinamika fluida non-Abelian beserta interaksinya dengan medan gauge non-Abelian. Persamaan Gerak Magnetofluida Persamaan gerak medan magnetofluida dapat diperoleh dari persamaan EulerLagrange dalam bentuk medan Bνa : ∂µ

∂L ∂L − =0 ∂ (∂µ Bνa ) ∂Bνa 19


Dengan mensubtitusi Lagrangian density total ke persamaan Euler-Lagrange di atas maka akan didapatkan persamaan gerak : Dµ S µν = gF JFν

(3.55)

dengan : S µν = Saµν Ta dan JFν = JFν Ta Dµ adalah derifatif kovarian non-Abelian diperumum yang dapat dinyatakan dengan representasi adjoint : Dµ = ∂µ + igG [Aµ , ..] + igF [Bµ , ..]

(3.56)

Arus kovarian dari materi boson dan fermion didefinisikan sebagai :

3.5

Jaν = −i[(D ν Φ)† TaF Φ − Φ† TaF D ν Φ]

(3.57)

¯ ν TaF ψ Jaν = ψγ

(3.58)

Persamaan Gerak Magnetofluida non-Abelian untuk limit non-Relatisvistik

Dari persamaan (3.55) dan dengan menggunakan kovarian derifatif (3.56), dan untuk ν = j maka akan didapatkan : ∂µ Saµν − gG Cabc Aµb Scµν − gF Cabc Bµb Scµν = gF Jaν (3.59) gG gG oj ij j oj ij oj ij ∂o Sa +∂i Sa = gF Ja + Cabc Bob Sc + Cabc Bib Sa + Cabc Aob Sc + Cabc Aib Sc gF gF ~ a dan R ~a : didefinisikan medan Q

Qk = S ko 1 Rk = − εkij S ij 2 S ij = εijk Rk

(3.60) (3.61) (3.62)

~ : dalam bentuk B µ = B o , B

~ ~ a = −∇B o − ∂ Ba − gF Cabc B ~ bBo Q a c ∂t ~b × B ~c ~a = ∇ × B ~ a + 1 gF Cabc B R 2 20


(3.63) (3.64)

medan fluida didefinisikan sebagai : ~a Baµ = φγa , φU

(3.65)

Uai adalah kecepatan relativistik dari medan fluida (Uai = γa vai ) dan γa ≡ (1 − 1

va2 )− 2 adalah faktor relativistik, sedangkan ~va adalah kecepatan spasial. Besaran φ adalah medan tambahan berdimensi 1 yang ditambahkan untuk melengkapi dimensi dan merepresentasikan distribusi dari fluida pada sistem, dan hanya bergantung pada temperatur [5]. Indeks a,b,c menunjukkan aliran fluida pada ruang internal. Model fluida yang dibuat dinyatakan oleh suku kinematik dan fungsi distribusi yang terpisah. dalam bentuk vektor persamaan geraknya dapat dituliskan : −

~a ∂Q ~ a = gF (J~a −Cabc Bob Q ~ c +Cabc B ~ b ×R ~ c − gG Cabc Aob Q ~ c + gG Cabc A ~ b ×R ~ c) +∇×R ∂t gF gF

~ dan R ~ : dengan mensubtitusi medan Q ~a ∂ ∂B ~ b B o ) + ∇ × (∇ × B ~ a + 1 gF Cabc B ~b × B ~ c ) = (3.66) ( + ∇Bao + gF Cabc B c ∂t ∂t 2 ~c ∂B ~ lBo ) + gF (J~a + Cabc Bob (∇Bco + + gF Cclm B m ∂t ~ b × (∇ × B ~ c + 1 gF Cclm B ~l × B ~ m ) + gG Cabc Aob (∇B o + Cabc B c 2 gF ~c ∂B ~ l B o ) + gG Cabc A ~ b × (∇ × B ~ c + 1 gF Cclm B ~l × B ~ m )) + gF Cclm B m ∂t gF 2 Dengan mensubtitusi medan fluida pada ( 3.65 ) dan pada limit non-relativistik h 2 i va nilai γ → 1, φ → 1, kecuali pada suku :∇φγa = ∇ 2 + φ maka kita akan dapatkan bentuk vektor dari persamaan gerak non-relativistik Magnetofluida nonAbelian : ∂ ∂~va ∇va2 1 + + ∇φ + gF Cabc~vb + ∇ × (∇ × ~va + gF Cabc~vb × ~vc ) = ∂t ∂t 2 2 2 ∇v ∂~vc gF (J~a + Cabc ( c + ∇φ + + gF Cclm~vl ) + 2 ∂t 1 gG ∇v 2 Cabc~vb × (∇ × ~vc + gF Cclm~vl × ~vm ) + Cabc Aob ( c + ∇φ + 2 gF 2 gG ∂~vc ~ b × (∇ × ~vc + 1 gF Cclm~vl × ~vm )) + gF Cclm~vl ) + Cabc A ∂t gF 2 21 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

dengan identitas vector : 12 ∇va2 = (~va .∇) ~va +~va ×(∇ × ~va ) kita akan dapatkan : ∂ ∂t

∂~va + (~va · ∇)~va + ~va × ~ωa + ∇φ + gF Cabc~vb + ∂t h i ∇ × ~ωa = gF J~a + F~a

(3.67)

dengan vektor F~a adalah :

∂~vc F~a = Cabc [((~vc · ∇)~vc + ~vc × ωc + ∇φ + gF Cclm~vl ) + ~vb × (~ωc + ∂t 1 gG ∂~vc gF Cclm~vl × ~vm ) + Aob ((~vc · ∇)~vc + ~vc × ωc + ∇φ + + 2 gF ∂t gG ~ 1 1 ωc + gF Cclm~vl × ~vm − ∇ × (~vb × ~v c))] gF Cclm~vl ) + A b × (~ gF 2 2 dimana : ~ωa = ∇ × ~va adalah vortisitas. Untuk fluida irotasional ~ωa = 0, ~ωc = 0 , sehingga persamaan gerak magnetofluida non-Abelian menjadi : Z h i ∂~va ~ ~ + (~va · ∇)~va + ∇φ + gF Cabc~vb = gF dt J + Fa |irotasional (3.68) ∂t Persamaan (3.68) yang telah kita dapatkan adalah persamaan umum untuk fluida relativistik tak berotasi. Arus J~a muncul akibat adanya materi yang dikelilingi dan berinteraksi dengan fluida, sedangkan F~a merupakan kontribusi dari interaksi antar medan fluida atau interaksi medan fluida dengan medan gauge (Aµa ). Jadi lagrangian pada persamaan (3.53) dengan medan fluida yang memiliki bentuk seperti persamaan (3.65) dapat mendeskripsikan sistem umum yang terdiri dari fluida relativistik yang berinteraksi dengan medan gauge dan materi. Untuk kasus non-Abelian maka semua konstanta struktur bernilai nol, dan indeks internal a,b,c dapat dihilangkan. Sehingga untuk kasus non-Abelian nilai F~a = 0 dan persamaan geraknya menjadi : Z ∂~v + (~v .∇) ~v + ∇φ = gF dtJ~ (3.69) ∂t seperti pada persamaan (3.42) yang telah kita dapatkan.

3.6

Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian pada Plasma Quark-Gluon

Plasma quark-gluon terdiri dari quark-dan anti quark yang berinteraksi dengan gluon-gluon dan medan elektromagnetik. Lagrangian sistem ini dinyatakan de22 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

ngan simetri gauge SU(3)F ⊗ U(1)G : ¯ f /∂Qf − mf Q ¯ f Qf − 1 S µν Sµνa − 1 F µν Fµν − gF JµaQ B µ − qjµ Aµ (3.70) L = iQ a 4 a 4 dimana gG diganti dengan q yang merupakan muatan quark. indeks f menunjukkan index flavor dari quark yaitu u,d,c,s,t,b. Generator TF a merupakan matriks Gell-Mann yang dinyatakan dengan representasi fundamental

λa 2

(a = 1, 2, 3.....8)

dengan normalisasi : T r(λa λb ) = 2δab

(3.71)

Persamaan gerak yang diperoleh dari lagrangian QCD di atas adalah : Dµ F µν = gF JQµ

(3.72)

µ µ ∂µFaµν = gF JaQ + gF JaG

(3.73)

atau dapat dituliskan : µ ¯ µ λa Q merupakan matrix arus dari materi quark, sedangkan J µ dengan JaQ = Qγ aG 2

adalah arus dari gluon. µ JaG = Cabc Bµb Scµν

(3.74)

¯ µ λa Q dan J µ = Qγ ¯ µ Q. dengan JFµ a = Qγ G 2 Bentuk non-linier pada (3.74) dalam persamaan (3.73) menunjukkan bahwa medan gluon bertindak sebagai sumber, atau dengan kata lain quanta dari medan gluon membawa muatan warna tersendiri sehingga tanpa adanya materi dapat menjadi sumber bagi medannya sendiri. Secara makroskopik model ini menggambarkan sistem yang terdiri dari fluida non-Abelian yang disusun oleh sekumpulan gluon ( gluon cloud ) dengan kerapatan yang besar dan mengelilingi materi ( quark dan anti-quark ) dalam medan elektromagnetik. Model ini menjelaskan hasil eksperimen dari PHENIX collaboration pada BNL menggunakan RHIC yang menyatakan quark-gluon pada fireball bersifat seperti fluida. Model ini sangat berbeda dengan model hybridmagnetofluid [2, 5] yang memodelkan QGP sebagai aliran fluida yang disusun oleh quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan medan gluon. ¯ γ λa Q. Dengan persamaan ( 3.73 Komponen spasial arus fermion adalah : J~a = Q~ 2

) persamaan gerak relativistik QGP adalah : ∂(φγa~va ) + ∇(φγa ) + gF Cabc φ2 γb γc~vb = gF ∂t 23 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

Z

dt[J~ + F~a ]

(3.75)

Nilai gF ditentukan oleh nilai fine structure dari interaksi kuat gF2 = 4παs , dimana nilai αs bergantung dengan skala energi yang dipakai, contohnya pada T= 200 MeV maka nilai αs diantara 0,2 dan 0,5 dengan gF = 1, 5 − 2, 5. Berdasarkan hasil eksperimen QGP memiliki kerapatan besar dan viskositas kecil seperti fluida ideal ( ωa = 0 ). Jika kita lihat pada lagrangian QGP, fluida yang disusun oleh gluon tidak berinteraksi dengan medan elektromagnetik, tetapi quark dan antiquark berinteraksi dengan medan elektromagnetik dinyatakan oleh suku terakhir pada lagrangian. Pada persamaan gerak ( 3.75 ), kontribusi medan elektromagnetik terdapat pada pα F~a yang dinyatakan dengan faktor gqF ≈ ≈ O(10−1), dimana nilai muatαs pα . Jadi dapat disimpulkan an quark ekuivalen dengan muatan listrik e = 4π kontribusi gaya elektromagnetik sangat kecil sehingga dapat diabaikan.


Bab 4 Perhitungan Energi Magnetofluida berbasis Teori Gauge Pada bab ini kita akan menurunkan tensor energi-momentum untuk kasus umum yaitu dari lagrangian dengan medan non-Abelian. Dengan tensor energi-momentum tersebut kita dapat memperoleh energi total dan momentum dari sistem magnetofluida. Tensor energi-momentum dapat diperoleh dari prinsip variasi, yaitu dari variasi aksi : ∂L ∂L δS = [ − ∂µ [ ]]δΦd4 x + ∂Φ ∂(∂ Φ) µ R Z

∂L [δΦ + [∂ν ]δxv ] ∂(∂ Φ) µ ∂R ∂L −[ ∂ν − δνµ Lδxν ]] ∂(∂µ Φ)

Z

[

Suku pertama pada suku integral permukaan merupakan variasi total dari Φ (δΦ), sedangkan suku kedua didefinisikan sebagai tensor energi-momentum θνµ : θνµ =

∂L ∂ν Φ − δνµ L ∂ (∂µ Φ)

(4.1)

θµν =

∂L ∂ ν Φ − g µν L ∂ (∂µ Φ)

(4.2)

atau :

4.1

Energi Plasma non-Abelian

Materi boson Lagrangian umum dari materi boson dengan interaksi medan gauge dan medan 25 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

fluida non-Abelian adalah : 1 1 L = (D µ Φ)† Dµ Φ − Sαβa Saαβ − Fαβa Faαβ − V (Φ) 4 4

(4.3)

dengan mensubtitusi lagrangian ini ke (4.2) akan didapatkan : ν θµν = (∂ µ Φ)† ∂ ν Φ + (∂ ν Φ)† ∂ µ Φ − gF Baµ JaF −

(4.4)

µ µ ν k o o k gG Aµa JaG − Sak ∂ Ba − Fak ∂ Aa − g µν L

Energi dari sistem adalah komponen ke-00 : o o θoo = (∂ o Φ)† ∂ o Φ + (∂ o Φ)† ∂ o Φ − gF Bao JaF − gG Aoa JaG − o o k o o k Sak ∂ Ba − Fak ∂ Aa − L

sehingga : θoo = (∂ o Φ)† ∂ o Φ + igF Bao (∂ o Φ† Ta Φ − Φ† Ta ∂ o Φ) + igG Aoa (∂ o Φ† Ta Φ − 2 o Φ† Ta ∂ o Φ) + gG Aoa Jao + gF Boa Jao − gG Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ†

Ta Tb Φ − gF gG Aao Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta )Φ + (Di Φ)† (Di Φ) + V (Φ) 1 1 −Fio ∂ o Aia − Sio ∂ o Bai + Fαβa Faαβ + Sαβa Saαβ 4 4 dengan : Di = ∂i − igG Aia TaG − igF Bai TaF

(4.5)

bila suku-sukunya dipisahkan : oo θmateri+interaksi = (∂ o Φ)† ∂ o Φ + igG Aoa ∂o Φ† Ta Φ − igG Aoa Φ† Ta ∂o Φ −

igG Aoa ∂o Φ† Ta Φ + igG Aoa Φ† Ta ∂o Φ + igF Bao ∂o Φ† Ta Φ − igF Bao Φ† Ta ∂o Φ − 2 o igF Boa ∂o Φ† Ta Φ + igF Boa Φ† Ta ∂o Φ − gG Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob

Φ† Ta Tb Φ − gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta )Φ + (Di Φ)† (Di Φ) + V (Φ) dengan menambahkan suku-suku berikut pada persamaan diatas maka bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk kovarian derifatif : 2 o 2 o gG Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gG Aa Aob Φ† Ta Tb Φ + gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ +

gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta )Φ − gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta )Φ 26 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

oo maka suku θmateri+interaksi dapat dituliskan sebagai :

atau :

oo θmateri+interaksi = D o Φ† D oΦ + igG Aoa Φ† Ta D o Φ − D o Φ† Ta Φ + igF Boa Φ† Ta D o Φ − D o Φ† Ta Φ + (Di Φ)† (Di Φ)

oo θmateri+interaksi = D o Φ† D o Φ + gG Aoa Jao + gF Boa Jao + (Di Φ)† (Di Φ)

(4.6)

suku untuk medan gauge dan fluidanya adalah : 1 1 θgauge+f luida = −Fio ∂ o Aia + Fαβa Faαβ − Sio ∂ o Bai + Sαβa Saαβ 4 4 ~ ∂ A~a 1 ~a · ∂ Ba + 1 Ra · Ra − Q ~a · Q ~a = −E~a · + Ba · Ba − E~a · E~a − Q ∂t 2 ∂t 2

dengan Ba adalah medan magnet non-Abelian. dari persamaan (3.63) :

~a ∂B o o ~ ~ ~ = Qa · Qa + ∇Ba + gF Cabc Bb Bc −Qa · ∂t ~a · Q ~a + ∇ · Q ~ aBo − ∇ · Q ~ a B o + gF Cabc Q ~a · B ~ b Bo =Q a a c

komponen-00 dari tensor energi-momentum dapat dinyatakan : † 1 † oo o o ~ ~ ~ ~ θ = (D Φ) D Φ + DΦ · DΦ + Ba · Ba + Ea · Ea + 2 1 ~ ~ Ra · Ra + Qa · Qa + V (Φ) + X 2

(4.7)

dengan :

~ a Ao ) − (∇ · E ~ a )Ao + gG Cabc (E ~a · A ~ b )Ao + ∇ · (Q ~ aB o ) X = ∇ · (E a a c a ~ a )B o + gF Cabc (Q ~a · B ~ b )B o + gG Aoa J o + gF Boa J o −(∇ · Q a c a a dari persamaan gerak : ~ a + gG Cabc A ~b · E ~ c = gG J o ∇·E a

(4.8)

~ a + gF Cabc B ~b · Q ~ c = gF J o ∇·Q a

(4.9)

bila kita subtitusi ke dalam X maka suku-sukunya saling meniadakan kecuali suku berikut : ~ a Ao + ∇ · Q ~ aBo X =∇· E a a 27 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

Dengan memilih gauge yang menyatakan Aoa = 0 dan Bao = 0 ketika tidak ada medan materi, maka integral X terhadap seluruh ruang dapat diabaikan, sehingga kita akan mendapatkan hamiltonian density yang invarian terhadap transformasi gauge lokal : H= dimana :

Z

dV H

1 ~ † · (DΦ) ~ ~a · E ~ a) + H = (D o Φ)† D o Φ + (DΦ) + (Ba · Ba + E 2 1 ~ ~ ~a · Q ~ a ) + V (Φ) (Ra · Ra + Q 2

(4.10)

~ = ∇ − igG A ~ a TaG − igF B ~ a TaF Dengan : D Materi Fermion Lagrangian density untuk fermion yang berinteraksi dengan medan fluida dan medan gauge non-Abelian secara umum dapat dinyatakan sebagai : ¯ µ Dµ ψ − mψψ ¯ − 1 F αβ Faαβ − 1 Sαβa S αβ L = iψγ a 4 a 4

(4.11)

Energi-momentum tensornya berbentuk : ¯ µ ∂ ν ψ − F µ ∂ ν Ak − S µ ∂ ν B k − g µν L θµν = iψγ a a ak ak

(4.12)

komponen ke-00 merupakan Hamiltonian dari sistem dapat dihitung dengan cara yang sama seperti kasus pada boson, kita akan dapatkan : ¯ α · Dψ ¯ + 1 (Ba · Ba + E ~ + mψψ ~a · E ~ a ) + 1 (R ~a · R ~a + Q ~a · Q ~ a ) (4.13) H = −iψβ~ 2 2

4.2

Energi density QGP

Sistem magnetofluida quark-gluon terdiri dari quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan gluon. Secara umum rapat energinya dinyatakan dengan : H = Hquark + Hinteraksi + Hgluon dimana energi quark dinyatakan dengan : ~ + mQ QQ ¯ α · ∂Q ¯ Hquark = −iQβ~ 28 Dinamika Magnetofluida..., Andrias Fajarudin, FMIPA UI, 2008

(4.14)

Suku energi interaksi dan energi gluon tergantung oleh kecepatan gluon. Pada kecepatan gluon yang tinggi suku energi quark memiliki kontribusi yang kecil pada energi sistem sehingga dapat diabaikan. Pada kecepatan gluon yang tinggi akan terbentuk QGP, sehingga rapat energi sistem QGP adalah : 1 ~ ~ ~ ~ H = gF Jaµ Bµa + (R (4.15) a · Ra + Qa · Qa ) 2 R Energi total QGP adalah H = dV H , dimana V adalah volume dari fireball. ~ a dan Q ~ a didefinisikan : dengan kondisi ~ωa = 0 , maka R ~ a = 1 gF Cabc φ2 γb γc~vb × ~vc R 2 ~ a = −∇(φγa ) − φγa ∂~va − gF Cabc φ2 γb γc~vb Q ∂t suku pertama merupakan energi interaksi antara quark dan gluon sedangkan suku kedua merupakan energi dari gluon. Jaµ adalah arus empat non-Abelian materi yang dapat dinyatakan dengan : ¯ µ Jaµ = Qγ sehingga :

λa Q 2

1 ~ ~ ~ ~ H = gF φ(ρq − ~va · J~a ) + (R a · Ra + Qa · Qa ) 2

(4.16)

(4.17)

dengan a = 1, ....8. Kita asumsikan quark dan gluon mengalir hanya pada sumbu z dengan kecepatan konstan pada fireball, ~va = (0, 0, va ) dan J~a = (0, 0, Ja). ~ a , suku pertama, dan suku kedua dari Q ~ a pada suku Dengan asumsi ini, nilai R energi gluon dapat diabaikan.


Bab 2. Magnetohidrodinamika. 2.1 Persamaan Gerak Plasma

Recommend Documents