BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Definisi Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabelvariabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial:
Persamaan diferensial (disingkat PD) dibagi dalam dua kelas yaitu biasa dan parsial. Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu variabel bebas. Jika diambil y(x) sebagai suatu fungsi satu variabel, dengan x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa (disingkat PDB) dapat dinyatakan dalam bentuk:
Persamaan diferensial parsial (disingkat PDP) adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel bebas. Jadi persamaan (1), (2), (3) adalah PDB sedangkan (4) adalah PDP. Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut, contoh: adalah PDB orde satu
adalah PDB orde dua
adalah PDB orde tiga
Definisi Linieritas dan Homogenitas. Persamaan differensial biasa order n dikatakan linier bila dapat dinyatakan dalam bentuk. (A linear differential equation is any differential equation that can be written in the following form.)
a0 ( x) y ( n )
a1 ( x) y ( n 1) ...... an 1 ( x) y' an ( x) y
F ( x)
dengan
a0 ( x) 0
. 1. Jika tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier. 2. Jika koefisien
a0 ( x), a1 ( x),.....,an ( x)
konstan maka disebut persamaan
differensial linier dengan koefisien konstan, jika persamaan differensial linier dengan koefisien variable. 3. Jika jika
F (x) 0 , maka disebut persamaan F (x) 0 disebut tidak homogen.
tidak
disebut
differensial linier homogen,
Solusi (Penyelesaian) PDB. Definisi: Tinjau suatu PDB
dy dny F x, y, ,..., n dx dx dy dny x, y, ,...., n . dx dx 1. Jika
dengan F fungsi real dengan (n+2) argumen
adalah fungsi real yang terdefinisi untuk semua
f
interval real Fungsi
0
I
x
dalam
dan mempunyai derivative ke-n untuk semua
x I.
I jika memenuhi F x, f ( x), f ' ( x),..., f ( n ) ( x) terdefinisi untuk semua x I , dan
f
disebut solusi eksplisit PDB di atas pada
F x, f ( x), f ' ( x),..., f ( n ) ( x) 2. Suatu relasi
g ( x, y) 0
0
untuk semua
x I
disebut solusi implisit dari PDB di atas jika
dapat ditransformasi ke minimal satu fungsi
f
dengan variable
g x I
sedemikian sehingga
f
merupakan solusi eksplisit dari PDB pada
interval tersebut. 3. Kedua penyelesaian yaitu penyelesaian implicit dan penyelesaian eksplisit biasanya secara singkat disebut penyelesaian PDB. Secara umum kedua solusi tersebut masih dikategorikan lagi dalam tiga jenis solusi yaitu: 1. Solusi
Umum
mengandung
(Penyelesaian konstanta
Umum):
solusi
C atau c . 3x C .
misalnya
mempunyai penyelesaian umum
y
PDB
yang
Contoh:
masih
y' 3
2. Solusi Khusus/Partikulir (Penyelesaian Khusus/Partikulir): solusi yang tidak mengandung konstanta karena adanya syarat awal pada suatu PDB. Contoh:
y ' 3 dengan khususnya adalah y 3x 1
syarat
y(0) 1,
maka penyelesaian
3. Solusi Singular (Penyelesaian Singular): solusi yang tidak diperoleh dari hasil mensubstitusikan suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya. Contoh:
( y' ) 2
xy' y ,
y Cx C 2
adalah solusi umum dari PDB
namun demikian disisi lain PDB tersebut mempunyai
penyelesaian singular
y
1 2 x . 4
Metode Penyelesaian. Metoda yang digunakan untuk mencari solusi (menyelesaikan) Persamaan Differensial antara lain: 1. Metoda Analitik: Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk eksplisit dan implicit yang dicari melalui teknik deduktif analogis dengan menggunakan konsep-konsep matematik. Kelebihannya dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup fleksibel untuk masalah-masalah yang komplek. Dengan komputer dapat diselesaikan dengan software MATLAB atau MAPLE_ Prosedur dalam MATLAB ditulis sebagai berikut: %Menggunakan fungsi dsolve >>dsolve(‘Dy = 3*y + 1, y(0)=1’)
2. Metoda Kualitatif: Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB. Dengan mengamati pola grafik gradien “field” (direction field) maka dapat diestimasi solusi PDB itu. Keunggulannya dapat memahami secara mudah kelakuan solusi suatu PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui dan juga kurang fleksibel untuk kasus yang komplek 3. Metoda Numerik. Pada saat sekarang metoda ini merupa-kan metoda yang fleksibel. Metoda ini berkembang sesuai dengan perkembangan computer, dan dapat menyelesaikan PDB dari level yang mudah sampai pada level yang kompleks. Meskipun fungsi tidak solusi tidak diketahui secara eksplisit maupun implicit namun data yang diberikan dapat divisualisir dalam bentuk grafik sehingga dapat dianalisis dengan baik. Metoda ini berdasarkan prinsip-prinsip pendekatan (aproksimasi) sehingga solusi yang diperoleh adalah solusi hampiran (solusi pendekatan). Pembentukan Persamaan Diferensial Secara matematis, persamaan diferensial muncul jika ada konstanta sembarang dieliminasikan dari suatu fungsi tertentu yang diberikan, lihat contoh berikut: Bentuklah persamaan diferensial dari fungsi berikut:
Penyelesaian:
dari fungsi yang diberikan (soal) konstanta sembarang A adalah:
sehingga
Satu contoh lagi, bentuklah persamaan diferensial untuk:
Penyelesaian:
substitusikan konstanta A ke:
sehingga
dengan mensubstitusikan A dan B pada persamaan:
kita dapatkan:
hasil akhir penyelesaian di atas adalah persamaan diferensial orde dua. Jadi fungsi dengan satu konstanta sembarang menghasilkan persamaan diferensial orde satu, sedangkan fungsi dengan dua konstanta sembarang menghasilkan persamaan diferensial orde dua. Sehingga berlaku kaidah: Persamaan Diferensial orde ke n diturunkan dari fungsi yang mempunyai n buah konstanta sembarang.
Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu Penyelesaian Persamaan Diferensial adalah pencarian fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tersebuat dengan cara manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y. Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung Jika persamaan dapat disusun dalam bentuk
, maka
persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana. Contoh1:
maka
Contoh2:
maka
sehingga
Nilai c tidak dapat ditentukan kecuali jika dalam persamaan di atas diberi keterangan syarat (sebuah nilai y untuk x tertentu). Solusi dengan nilai konstanta sembarang atau c disebut solusi umum/primitif, sedangkan solusi disebut khusus jika nilai c dapat dihitung. Contoh3: Tentukan solusi khusus persamaan berikut jika y=3 untuk x=0:
Penyelesaian
maka
dengan mengetahui y=3 untuk x=0 dapat dihitung nilai c yaitu
sehingga solusi khusus adalah:
Metode 2: Pemisahan variabel Jika persamaan diferensial berbentuk
, yaitu persamaan yang
ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y, maka penyelesaian PD dengan cara memisahkan variabelnya sehingga faktor‟y‟ bisa kita kumpulkan dengan „dy‟ dan faktor‟x‟ dengan „dx‟. contoh: selesaikan PD berikut
maka jika kita pisahkan berdasarkan variabelnya menjadi:
jika kita integrasikan kedua ruas menjadi:
Metode 3: Persamaan Homogen substitusi y=vx tinjau persamaan diferensial berikut:
persamaan di atas tidak dapat diselesaikan dengan cara memisahkan variabelnya. Dalam hal ini kita lakukan substitusi y =vx, dengan v adalah fungsi x. Sehingga penyelesaiannya:
dari y = vx dideferensialkan menjadi
sehingga
Persamaan sekarang menjadi:
kedua ruas diintegrasikan menjadi:
substitusi v=y/x didapatkan
