Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai contoh, derivative dari fungsi

berturut-turut diberikan oleh dst

Dimana

dan

seterusnya.

Kita

juga

telah

diperkenalkan dengan aturan dan metode mendiferensialkan fungsi dari dua variable atau lebih. Derivatifnya disebut derivative parsial. Persamaan yang memuat derivative parsial disebut persamaan diferensial parsial. Misalkan , derivatifnya terhadap x dan y berturut-turut diberikan oleh

Pengertian: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan fungsi yang tidak di ketahui dan turunan-turunannya. Definisi : Misalkan interval [

mendefinisikan sebuah fungsi dari x pada suatu

]

yang memuat derivative dari Contoh :

∫

∫

. Persamaan diferensial adalah persamaan .


∫

∫

B. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Contoh PDB adalah sebagai berikut:

Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Misalkan :   BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA : di mana solusi atau penyelesaian dari PD tersebut merupakan suatu fungsi eksplisit

.

Bentuk PDB orde n :

Bentuk Persamaan diferensial orde satu :


Bentuk persamaan diferensial orde 2 : Masalah Nilai awal Misalkan kita akan mencari penyelesaian dari y=y(x) dari PDB orde satu Yang memenuhi Contoh : a. b.

Pertemuan 3 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Pada bagian ini, kita akan membahas teknik-teknik penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde satu. Untuk PDB orde satu yang berbentuk , dimana mengintegralkan

fungsi kontinu dari satu peubah bebas x, maka kita dapat secara

langsung

kedua

ruas

untuk

memperoleh

penyelesainnya. Selanjutnya akan dicari penyelesaian PDB order satu Bentuk umum : ............(1) Dimana

fungsi kontinu dari dua peubah bebas x dan y. Penyelesainnya tidak

dapat diperoleh dengan mengintegralkan secara langsung. Untuk meyelesaikan PDB orde satu ada beberapa langkah :


1. PD dengan peubah terpisah Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan (1), terlebih dahulu kita pisahkan peubah x dan y, sehingga kita peroleh fungsi Persamaan (1) berubah menjadi

Atau dapat di tulis

Sehingga ∫

∫

maka akan ditemukan solusi umum PD tersebut

Contoh : Selesaikan Penyelesaian :dengan memisahkan peubahnya Integralkan kedua ruas: ∫

∫

+C

Sehingga kita peroleh penyelesaian umumnya adalah

latihan

Selesaikan soal berikut dengan pemisah peubah. a. b. c. d. e. 2. Masalah Syarat Awal dan Eksistensi Solusi Persamaan Diferensial Orde Satu Definisi 2.1. Misal Persamaan diferensial orde satu dengan bentuk derivatif


(2.1) dengan

f kontinu pada domain

penyelesaian

dan

. Masalah mencari

yang terdefinisi pada interval I yang memuat

dari persamaan

(2.1) dan memenuhi syarat awal

disebut masalah syarat awal dan ditulis sebagai berikut :

Contoh : Selesaikan masalah syarat awal berikut :

Penyelesaian : Persamaan diferensial tersebut mempunyai solusi umum Dengan memberikat syarat y(3)=4 pada penyelesaian umum, maka diperoleh atau c2= 25. Jadi diperoleh penyelesaian masalah syarat awalnya

Teorema 2.1. Jika persamaan diferensial (2.2) memenuhi : a. Fungsi f kontinu pada domain b.

Derivatif partial

dan

kontinu pada domain D.

, maka terdapat penyelesaian tunggal

yang terdefinisi pada suatu interval [ memenuhi syarat

.

Contoh : Pandang masalah syarat awal

dari persamaan (2.2)

] dimana h cukup kecil dan


Dari masalah ini diperoleh

dan

domain

berarti titikl (1,3) pasti termuat

Karena syarat awal

kontinu pada

pada domain D tadi. Dengan teorema 2.1 diperoleh suatu penyelesaian tunggal dari persamaan diferensial

yang terdefinisi pada interval [1-h, 1+h]

dan memenuhi LATIHAN

Selesaikan masalah MNA berikut: a. b. c.

Pertemuan 4 dan 5 PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK DAN FAKTOR INTEGRASI a. Persamaan Diferensial Eksak Definisi : Misalkan F fungsi dua variabel yang mempunyai derivatif partial orde satu kontinu pada Domain D. Diferensial total dF dari fungsi F di definisikan :

𝒅𝑭 𝒙 𝒚

𝝏𝑭 𝒙 𝒚 𝒅𝒙 𝝏𝒙

Untuk setiap Contoh : Misal F fungsi dua variabel dengan rumus :

𝝏𝑭 𝒙 𝒚 𝒅𝒚 𝝏𝒚


Maka mempunyai diferensial total : Bentuk persamaan diferensial eksak :

𝑴 𝒙 𝒚 𝒅𝒙

𝑵 𝒙 𝒚 𝒅𝒚

Disebut diferensial eksak pada domain D jika terdapat fungsi dua variabel F sehingga diferensial diatas merupakan diferensial total F untuk setiap . Dengan kata lain terdapat fungsi F sehingga

dan

. Jika

merupakan diferensial eksak maka persamaan diferensial

orde satu

disebut persamaan diferensial eksak.

Teorema 3.1. misalkan persamaan diferensial (2.3) mempunyai derivatif parsial orde satu kontinu pada D. Persamaan diferensial (2.3) eksak pada D jika dan hanya jika

𝝏𝑴 𝒙 𝒚 𝝏𝒚

𝝏𝑵 𝒙 𝒚 𝝏𝒙

Contoh : Persamaan Diferensial (1.1) Merupakan persamaan diferensial eksak karena diperoleh (

(

))

( Sehingga

)

PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd Karena

maka Persamaan diferensial (1.1) memenuhi persamaan diferensial eksak Teorema 3.2. Misalkan persamaan diferensial

eksak pada D

dan

fungsi dua variabel F memenuhi :

untuk setiap

, maka penyelesaian umum persamaan diferensial eksak tersebut adalah dan C konstanta sembarang. ∫ Sehingga

Dan harus memenuhi di peroleh fungsi Sehingga solusi umum penyelesaian persamaan diferensial eksak adalah

Contoh : 1. Persamaan diferensial

Apakah merupakan persamaan diferensial eksak? Jika ya, maka selesaikan persamaan diferensial tersebut 2. Selesaikan persamaan diferensial 3. Selesaikan masalah syarat awal : dengan y(0) = 2 Latihan : 1. 2. Tentukan masalah syarat awal berikut:

, y(0) = 1 b. Persamaan Diferensial Non Eksak Dalam persamaan diferensial bentuk

PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd ...........(1) yang memenuhi persamaan diferensial eksak. Apabila syarat awal persamaan

diferensial eksak tidak terpenuhi, dimana

𝑴 𝒙 𝒚 𝒅𝒚

𝑵 𝒙 𝒚 𝒅𝒙

Maka perlu adanya faktor tambahan yang biasa di sebut dengan faktor integrasi

𝒆∫ 𝑷 𝒙

𝝁 𝒙

𝒅𝒙

, dimana 𝑷 𝒙

atau 𝑷 𝒙

𝟏

𝝏𝑵 𝒙 𝒚

𝝏𝑴 𝒙 𝒚

𝑴 𝒙𝒚

𝝏𝒙

𝝏𝒚

𝟏

𝝏𝑴 𝒙 𝒚

𝝏𝑵 𝒙 𝒚

𝑵 𝒙𝒚

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Sehingga bentuk persamaan (1) akan berubah menjadi:

Untuk langkah mencari solusi umumnya sama dengan PD eksak. Contoh 1 : Selesaikan persamaan diferensial berikut .........(1) Answer: Jika dilihat dari bentuk persamaan diferensial tersebut mengarah ke persamaan diferensial eksak bentuk: Tetapi untuk menguji persamaan diatas eksak atau bukan harus memnuhi syarat awal

1 dan

2 karena ∫

maka perlu adanya faktor integrasi sehingga ubah menjadi:

∫

dimana sehingga persamaan (1) di


Setelah menemukan faktor integrasi lakukan uji ulang untuk membuktikan eksak atau bukan. (bukti sebagai latihan mahasiswa) Contoh 2 Selesaikan persamaan diferensial

Apakah merupakan Persamaan Diferensial Eksak? a. Jika ya tentukan solusi umumnya b. Jika tidak carilah faktor integrasinya. c. Tentukan solusi umum dari PD di atas. Jawab : dan

karena ∫

maka perlu adanya faktor integrasi (lanjutan di kerjakan oleh mahasiswa) Latihan soal i.

Kerjakan nomor 10 untuk x> 0

ii.

Nomor 19 dimana

pada buku Elementary Differential Equations & boundary value Problems hal 100.(Dikumpulkan)


Petemuan 5 dan 6 PERSAMAAN DIFERENSIAL SEPARABEL DAN HOMOGEN A. Persamaan Diferensial Separabel Definisi. Persamaan diferensial dengan bentuk: 𝐹 𝑥 𝐺 𝑦 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 𝑑𝑦

disebut persamaan separabel.

.....................persamaan (4.1)


Secara umum persamaan diferensial separabel tidak eksak, tetapi mempunyai faktor integrasi yang jelas yaitu:

sehingga persamaan (4.1) menjadi ..................................(4.2) Persamaan (4.2) merupakan persamaan diferensial eksak karena (

)

(

)

Persamaan (4.2) terlihat bahwa variabel-variabel x dan y dapat dipisahkan sehingga mengelompok. Oleh karena itu penyelesaian persamaan diferensial (4.1) adalah ∫

∫

.......................................(4.3)

Contoh : Selesaikan persamaan diferensial Penyelesaian : Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel dengan membagi

diperoleh

Dengan mengintegralkan diperoleh penyelesaian umum

Latihan. Selesaikan persamaan dengan syarat awal Penyelesaian : Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel karena dengan membagi

diperoleh


Dengan mengintegralkan diperoleh

Sehingga solusi umum persamaan diferensialnya adalah Dengan memberikan

dan

diperoleh C= 2. Jadi penyelesaian masalah

syarat awalnya

Latihan soal a. Selesaikan masalah syarat awal

,

b. Selesaikan masalah syarat awal

,

B. Persamaan Diferensial Homogen. Definisi. Persamaan diferensial

disebut homogen jika

dapat ditulis dalam bentuk derivatif sehingga

, maka terdapat fungsi g

.

Contoh 1. Persamaan diferensial

=0 homogen, karena apabila

ditulis dalam bentuk derivatif

( ) Yang ruas kanan berbentuk fungsi Contoh 2.

.


Persamaan diferensial

homogen, karena apabila

ditulis dalam bentuk derivatif (

√

)

√ √ √ Yang ruas kanan berbentuk fungsi Teorema. Jika persamaan diferensial ......................................(5.1) Homogen, maka dengan memisalkan y=vx persamaan diferensial (5.1) berubah menjadi persamaan diferensial separabel. Contoh 3. Selesaikan persamaan diferensial =0 Penyelesaian Telah ditunjukkan bahwa persamaan tersebut homogen dan dapat ditulis dalam bentuk derivatif ( ) Misalkan

, di peroleh

dan ( (

sehingga

) )

(

)

Merupakan persamaan diferensial separabel dan diintegralkan diperoleh


Di kembalikan ke variabel semula diperoleh

Jika

dapat ditulis menjadi

Contoh : Selesaikan persamaan diferensial

√

Dengan syarat awal Penyelesaian : √

√

√ Misalkan y=vx, sehingga diperoleh

√ √

√ Merupakan persamaan diferensial separabel dan diintegralkan diperoleh √ √ Dikembalikan ke variabel semula diperoleh √ √


Jika syarat awal y = 0 untuk x = 1, maka diperoleh c = 1. Jadi penyelesaian masalah syarat awal adalah

3. Persamaan Teorema 6. Misal persamaan diferensial ................................(6.1) Dengan a. Jika

konstanta di R , maka dengan transformasi

Dimana (h,k)merupakan penyelesaian dari sistem:

Persamaan (6.1) menjadi persamaan homogen dalam variabel u dan v sebagai berikut:

b. Jika

, maka dengan transformazi

persamaan

(6.1) menjadi persamaan separabel dalam variabel x dan z c. Jika

, maka persamaan (6.1) merupakan persamaan

diferensial dengan penyelesaian

, untuk sembarang konstanta C.

Contoh: Selesaikan persamaan diferensial ..........................(6.2) Penyelesaian Dari persamaan diferensial (6.2) diperoleh

Sehingga merupakan kasus 1 dari teorema 6. Penyelesaian dari sistem

Adalah

PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd |

| |

,

|

|

| |

|

dengan transformasi

persamaan (6.2) menjadi persamaan homogen dalam variabel u dan v sebagai berikut Persamaan tersebut dapat di tulis dalam bentuk derivatif menjadi

Misalkan v = wu (mahasiswa yang melanjutkan) Latihan Selesaikan persamaan diferensial Dengan syarat awal y(-2) = 2

Pertemuan 7 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU Definisi 7.1. Persamaan diferensial linier orde satu dengan variabel tak bebas y dan variabel bebas x, dapat di tulis dalam bentuk :

𝒅𝒚 𝒅𝒙

𝑷 𝒙 𝒚

𝑸 𝒙


Contoh : persamaan

Dapat ditulis menjadi (

)

Persamaan diferensial linier orde satu dapat ditulis dalam bentuk diferensial menjadi (

)

Sehingga di peroleh Maka

Jadi persamaan diferensial linier orde satu bukan persamaan diferensial eksak dan karena pada persamaan terakhir memuat hanya variabel x saja, maka dapat diasumsikan mempunyai faktor integral yang hanya tergantung x saja, misalkan (

, maka diperoleh )

Dengan mengingat definisi faktor integral diperoleh [

(

)]

Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel yang penyelesaiannya adalah ∫

Jelas

, sehingga

merupakan faktor integral dari persamaan

diferensial linier orde satu sehingga ∫

(

)

∫

PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd ∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Dari uraian diatas dapat disimpulkan dalam suatu teorema berikut : Teorema. Persamaan diferensial linier orde satu

Mempunyai faktor integral ∫

Penyelesaian umum persamaan diferensialnya

Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Linier Orde satu adalah sebagai berikut : Langkah 1 : tuliskan bentuk Persamaan Diferensial linier orde satu tersebut dalam bentuk standar

Langkah 2. Tentukan faktor integralnya. ∫

Langkah 3. Kalikan Q(x) dengan

dan integralkan

∫ Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum ∫ Atau


∫

Contoh : Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial

Penyelesaiannya : Dari persamaan diferensial tersebut diperoleh

Dan bentuk persamaan diferensialnya (

)

Sehingga dengan teorema diatas faktor integralnya ∫

∫

Cara I : Kalikan

dengan

dan integralkan, sehingga diperoleh

∫

∫ =∫

Jadi penyelesaian umumnya adalah ∫

atau Cara II : Diperoleh persamaan diferensial eksaknya

Yang mempunyai penyelesaian umum dengan metode pengelompokkan


Latihan : Selesaikan Persamaan diferensial linier orde satu berikut a. b. c.

.

Selesaikan Masalah Nilai Awal berikut a. b. c.

Pertemuan 8 dan 9 PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNAULLI DAN RICCATI A. Persamaan Diferensial Bernaulli Definisi 8.1. Persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk

Disebut persamaan diferensial bernaulli. Teorema. 8.1. Apabila

, maka dengan transformasi

bernaulli berubah menjadi PD linier tingkat satu

persamaan


Dengan penyelesaian umum berbentuk ∫

∫

∫ ∫

∫

∫

Contoh : Selesaikan

Penyelesaian Dengan substitusi

diperoleh

Sehingga penyelesaian umumnya adalah . (

Latihan : a. b. c. d. e.

B. Persamaan Diferensial Riccati

)


Pertemuan 10 dan 11 PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN 1. Persamaan Diferensial Homogen Banyak Permasalahan di bidang teknik, Fisika, pemodelan matematika yang melibatkan Persamaan Diferensial Homogen Orde 2. Oleh sebab itu mengetahui mekanisme pemecahan masalah Persamaan Diferensial Homogen Orde 2


sangatlah membantu kita untuk mencari solusinya. Salah satu bentuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 adalah

pertama mari kita misalkan f(x) = 0, dengan nilai a, b, dan c konstan, maka Pers.1 menjadi

Persamaan (2) adalah bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dimana ruas kanannya sama dengan 0. Apabila ruas kanan tidak sama dengan 0 maka, persamaan itu dikatakan Persamaan diferensial inhomogen orde 2. Misalkan y = u dan y = v (dimana u dan v adalah fungsi x yang menjadi dua solusi dari persaman

dan

tambahkan Persamaan (3) dan (4) (

)

dimana

dan

jadi dapat ditulis

maka substitusikan (gantikan) y = u+v

(

)


dan y = u+v jika a = 0, maka Pers. 1 menjadi Pers differential liniar orde satu (PDL01) 

dimana k = c/b integralkan persamaan diatas ∫

∫

kita dapatkan Ln y = -kx +c

kita gantikan -k dengan m, maka

Pers.(5) tidak hanya solusi untuk PDL01 tetapi juga bisa menjadi solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dimana


Pers.2 dapat ditulis

bagi dengan

kita dapat .........(6)

yang merupakan persamaan kuadrat, yang akar-akar kuadratnya m = m1 dan m = m2 dimana kita sudah lihat jika y = u dan y = v adalah dua solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dan juga y = u+v. Jika dan

,

maka solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dapat ditulis +

.........(7)

persamaan kuadrat ini dikatakan persamaan tambahan (Auxiliary Equation) solusi Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 sangat tergantung dari jenis akarakar persamaan tambahan. Ada tiga jenis solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2, yaitu : a.

Akar real dan berbeda (Determinan > 0)

b.

Akar real dan sama (Determinan = 0)

c.

Akar kompleks (Determinan < 0) Dimana 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝐷

𝑏

𝑎𝑐

jadi solusi untuk persamaan diferensial homogen orde 2 kita adalah + a. Akar real dan Berbeda.


Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah

+ Contoh :

persamaan tambahannya adalah faktorkan persamaan diatas m = -2 dan m = -3 maka akarnya real dan berbeda. Jadi

solusi untuk persamaan diferensial

homogen orde 2 kita adalah + b. Akar real dan sama Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah

+ Contoh :

persamaan tambahannya adalah faktorkan persamaan diatas m = -3 dan m = -3 maka akarnya sama atau kembar jadi solusi untuk persamaan diferensial homogen orde 2 kita adalah + atau


c. Akar kompleks/imaginer Rumus untuk akar kompleks atau imaginer adalah

akar kompleks adalah akar yang didalamnya terdapat tanda negativ. Untuk lebih jelasnya lihat contoh dibawah ini.

Persamaan tambahannya adalah persamaan kuadrat diatas tidak bisa diselesaikan dengan pemfaktoran. Maka digunakan rumus ABC sebagai solusinya √ √ √ √ √ √ √

maka α=-2 dan β=√ maka solusinya adalah √

√

coba kerjakan contoh ini sebagai latihan

di samping 3 bentuk akar diatas, ada beberapa bentuk khusus Persamaan Diferensial

Homogen

Orde

2.

Ada

dua

bentuk

khusus

yaitu


maka solusinya y = A Cosh nx + B Sinh nx

maka solusinya y = A Cos nx + B Sin nx Contoh :

maka n2= -16 , n = + j4 solusinya y = A Cos 4x + B Sin 4x Latihan soal

1. 2. 3. 4. 5.

Pertemuan 12 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2 NON HOMOGEN Definisi : Persamaan Diferensial Orde 2 Non Homogen


Jika

maka substitusi

+

akan membuat sisi kiri diatas

sama dengan nol. Maka : +

, X = fungsi tambahan.

+

fungsi komplementer

 integral khusus Contoh : Selesaikan persamaan diferensial

Penyelesaian : -

Fungsi komplemen sehingga f(x) = 0

Maka akar-akar karakteristiknya : m = 2 dan m = 3 Sehingga -

Integral khusus  fungsi derajat dua Misal

Substitusikan ke persamaan

   Penyelesaian Umum = fungsi komplemen + Integral Khusus


= Menentukan nilai-nilai konstanta Jika

Asumsikan

atau atau

Latihan soal

1. Selesaikan persamaan diferensial

2. Tentukan nilai A dan B jika

dan

Pertemuan 13 dan 14 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN.


Bentuk Persamaan diferensial orde dua (

)

Dimana f adalah suatu fungsi, sehingga persamaan diferensial (1) merupakan persamaan diferensial linier orde dua 1. Metode Penyelesaian a. Metode Koefisien tak tentu b. Metode Variasi Parameter.

C. PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI Pada Bab ini, dibicarakan beberapa tipe persamaan diferensial linier orde tinggi dan beberapa metode untuk menyelesaikannya. Hal-hal yang dibahas adalah reduksi order, persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan, metode variasi parameter, dan persamaan Cauchy- Euler. Untuk membahas ini


semua diperlukan beberapa teori dasar tentang persamaan diferensial linier orde tinggi, yang akan disajikan tanpa disertai bukti. D. PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL. E. TRANSFORMASI LAPLACE.

KONTRAK BELAJAR NO

KOMPONEN

PERSENTASE (%)

1

Kehadiran

10

KETERANGAN


Sifat ujian close book dilakukan 2 kali 2

Ujian Sisipan

10

(1 kali sebelum UTS dan 1 kali sesudah UTS)

3

Tugas

25

4 kali (pertemuan ke 4, 6, 10, 12)

4

UTS

25

Sifat ujian close book

5

UAS

30

Sifat ujian open book

Jumlah

100

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Recommend Documents