Pertemuan 1
KONSEP DASAR PROBABILITAS
Pengantar Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang
sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang. Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.
Konsep dan Definisi Dasar Definisi Probabilitas adalah peluang suatu kejadian Manfaat: Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna. Contoh: • Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham • Peluang produk yang diluncurkan perusahaan (sukses atau tidak), dan lain-lain.
Percobaan/ Eksperimen Sembarang proses yang menghasilkan data. Contoh :
lemparan sebuah mata uang logam peluncuran rudal dan pengamatan kecepatannya pada saat-saat tertentu jajak pendapat tentang rencana diberlakukannya undang-undang tertentu.
Ruang Sampel Himpunan
percobaan.
semua
hasil
yg
mungkin
dari
Hasil suatu percobaan bisa dinyatakan lebih dari
satu ruang sampel.
Contoh :
- Pelemparan sebuah uang logam, S = {G, A} - Percobaan melemparkan sebuah dadu. Jika yang diselidiki adalah nomor yang muncul di sebelah atas, maka ruang sampelnya S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika yang diselidiki adalah nomor genap atau ganjil yang muncul, maka ruang sampelnya adalah S2 = {ganjil, genap}.
MENENTUKAN RUANG SAMPEL SUATU PERCOBAAN
Penentuan ruang sampel suatu percobaan, dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu dengan cara mendaftar, membuat tabel, & diagram pohon.
CONTOH PENENTUAN RUANG SAMPEL • Percobaan : pengguliran sepasang dadu. • Cara mendaftar Ruang sampelnya terdiri dari 36 titik sampel, yaitu : S = {(i,j) | i,j = 1,2,3,4,5,6} S= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2, 4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5 ,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
• Cara membuat tabel
• Cara diagram pohon
TITIK SAMPEL : Setiap unsur / elemen / anggota dari ruang sampel.
KEJADIAN/ PERISTIWA : Hasil dr suatu percobaan yg punya sifat tertentu. Himpunan bagian dari ruang sampel (E S). Contoh :
- Sebuah dadu digulirkan. Ingin diketahui
mengenai kejadian A bahwa hasil guliran dadu tersebut dapat dibagi tiga. A = {3, 6}. - Bila diketahui ruang sampel S = {t | t ≥ 0}, dengan t menyatakan usia (thn) komponen mesin tertentu, maka kejadian A bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun kelima adalah A = {t | 0 ≤ t < 5}.
Contoh Dilakukan percobaan, yaitu diperiksa 3 buah sikring satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik dan R untuk sikring yang rusak.
Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang sampel S adalah n(S) = 23 = 8. Jika A menyatakan kejadian diperoleh satu sikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.
Latihan Soal 1. Dua buah uang logam dilemparkan. Tentukan yang dimaksud dengan percobaan, ruang sampel, dan titik sampelnya ! Serta berikan contoh tentang kejadian !
2. Misalkan empat produk diambil secara acak dari suatu proses produksi di pabrik. Kemudian setiap produk tersebut diperiksa dan dapat digolongkan sebagai cacat (C) dan tidak cacat (B). Tentukan yang dimaksud dengan percobaan, ruang sampel, dan titik sampelnya ! Serta beri contoh kejadian !
Definisi probabilitas • Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :
n( A) m P( A) n( S ) n
Sifat-sifat probabilitas kejadian A : • 0 P(A) 1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1 • P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi. • P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi. • Komplemen: Peristiwa A tidak terjadi, ditulis A' P( A' ) 1 P( A)
Contoh : Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka? Jawab : Misal M = Muka , B = Belakang Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB} Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A = {MM, MB, BM} Jadi, Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah P( A)
n( A) 3 n( S ) 4
Contoh: Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan mint. Jawab : Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat Probabilitas mendapatkan mint P( M )
n( M ) 6 n( S ) 13
Pendekatan Perhitungan Probabilitas a) Pendekatan Klasik • Diasumsikan seluruh hasil experimen memiliki kemungkinan yang sama. • Kejadian A dapat terjadi sebanyak n(A) cara dari seluruh n(S) cara • Kejadian A sukses
• Kejadian A gagal
Contoh : peristiwa A merupakan peristiwa munculnya mata dadu genap dari pelemparan sebuah dadu, berapakah peluang terjadinya peristiwa A ?
PENDEKATAN KLASIK Percobaan Kegiatan uang
melempar
Hasil
Probabilitas
1. Muncul gambar 2. Muncul angka
2
½
Kegiatan perdagangan saham
1. Menjual saham 2. Membeli saham
2
½
Perubahan harga
1. Inflasi (harga naik) 2. Deflasi (harga turun)
2
½
Mahasiswa belajar
1. Lulus memuaskan 2. Lulus sangat memuaskan 3. Lulus terpuji
3
1/3
Latihan Soal: 1. Sebuah dadu bermata 6 dilemparkan. Tentukan probabilitas muncul mata 2. 2. Hitunglah probabilitas memperoleh kartu hati jika sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge yang lengkap 3. Hitunglah probabilitas diperolehnya bola merah jika sebuah bola diambil dari suatu kotak yang berisi 10 bola merah dan 10 bola putih.
b) Pendekatan Frekuensi Relatif Contoh : penelitian yang dilakukan terhadap 50 mahasiswa terhadap nilai mata kuliah ALPRO. Berapakah besarnya peluang mahasiswa mendapatkan nilai 50 dan 70 ? Jawab Nilai (x)
f
40
8
50
4
60
11
70
15
80
7
90
5
Latihan Soal: 1. Pada suatu percobaan statistik, yaitu pelemparan sebuah dadu yang diulang sebanyak 𝑛 = 1000 kali, frekuensi munculnya mata X adalah seperti pada tabel Mata Dadu (X) 1 2 3 4 5 6 Frekuensi (f)
164
165
169
169
166
167
Tentukan probabilitas munculnya mata 3. 2. Dari 100 mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika, distribusi frekuensi nilai mahasiswa adalah seperti tabel Nilai (X) 45 55 65 75 85 95 Frekuensi (f)
10
15
30
25
15
5
22
c) Pendekatan Subjektif – Didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan – Biasanya dalam bentuk opini atau pendapat
Latihan Soal 1.
Tentukan ruang sampel dari percobaan-percobaan berikut ini : a) Pelemparan sebuah dadu dan selanjutnya uang logam b) Pelemparan 3 uang logam c) Pelemparan dua keping uang logam dan sebuah dadu
2. Pada percobaan pelemparan dua buah dadu, tulislah anggota-anggota kejadian : a) jumlah kedua mata dadu 4 b) hasil kali kedua mata dadu 6 atau 8 3. Sebuah dadu dilempar sekali, tentukan peluang: a) muncul angka prima b) muncul angka genap atau prima
5. Dua buah dadu dilempar sekali bersama-sama, tentukan peluang bahwa: a) jumlah kedua angka kurang dari 6 b) jumlah kedua angka lebih dari 8 6. Dua buah dadu dilempar sekali bersama-sama. Tentukan peluang bahwa: a) dua mata dadu muncul angka tidak sama b) dua mata dadu muncul angka sama 7. Dari seperangkat kartu bridge diambil 1 kartu, tentukan peluang kejadian kartu yang terambil a) kartu AS b) kartu merah (berwarna merah) 8. Dari seperangkat kartu bridge diambil 4 kartu, tentukan peluang kejadian kartu yang terambil! a) kartu AS b) kartu kuning
