Konsep Dasar Probabilitas

Konsep Dasar Probabilitas

Random Events • Sample space : collection of all possible events arising from a conceptual experiment or from an operation that involves chance.

• Reservoir storage: amount of water in a reservoir varies in time from 0 to c. • Reservoir capacity make up from combination of inflows and outflows. • Sample space: Ω={S:0S
Event • Event is a collection of sample points in the sample space Ω of an experiment. • Event consists of a single point  simple event • Event consists of a two or more points  compound event.

• Sample space: Ω  Ai, dimana I = 1,2,…., k • Ai  S: (i-1)c/kS
Null Event, Intersection and Union • Hubungan antar event: – Dua Event A1, A2, mutually exclusive atau disjoint jika kejadiannya tidak bersamaan satu sama lain. A1, A2 adalah null event. A1 A2 = A1  A2 = . – Contoh: A  {S: 3c/4S
• Intersection jika kedua event memiliki kesamaan sample point. A1 A2 = A1  A2  . Contoh A  Bc adalah {S: 3c/4S
Diagram Venn and Event Space • Collection of sample points in sample space = sets • Set operations = union, intersection, complement, etc. • All possible combinations of event = event space.

Event Space • A • Jika A  A, maka Ac  A • Jika A1  A dan A2  A, maka A2 + A1 dan  A • Jika A1  A dan A1  A, maka A1 A2  A • Jika   A, maka Ac  A

• Associative (A + B) + C = A + (B + C)  (AB)C = A(B  C) (AB)C = A(BC)  (AB)C = A (B C)

• Compound events (A+B) C = AC + BC  (AB) C = (AC)  (B C) AB + C = (A+C)(B+C)  (AB)C = (AC)(BC)

Probabilitas • Prior Probability berdasarkan asumsi, tidak memerlukan verifikasi. Misalnya probability ace pada kartu adalah 1/13 • Posterior Probability, memerlukan observasi dan pengukuran. Misalnya kuat tekan beton pada saat failure/rupture (beban kritis). Beban kritis pada kubus beton yg ditest bervariasi, dan unpredictable. Pengukuran dan observasi diperlukan untuk mengetahui probability beban kritis tsb.

Contoh

Multidimensional observation • Bidang keteknikan banyak melakukan joint observasi. • Misalnya teknik lingkungan, Dissolved Oxygen (DO) dan Biological Oxygen Demand (BOD) diukur pada air yang diteliti untuk menyelidiki polusi pada suatu sungai. • Teknik sipil, pengukuran compressive strength dan density beton. • Intesitas dan durasi hujan, kecepatan dan arah angin, periode dan tinggi gelombang, dll.

Jumlah hari dan total curah hujan

• Petani di Castle Park Milan mengetahui jika jumlah hari hujan lebih empat hari, dan total curahhujan lebih dari 20 mm, irigasi tidak diperlukan.

Mengukur Probabilitas • Fungsi Probabilitas, Pr adalah fungsi yang memetakan event space A pada sebuah random experiment dalam interval 0,1 – – –

Pr A  0 untuk A  A Pr  = 1 jika A1  A, A2  A dan A1 A2 =  maka Pr A1 + A2 = PrA1 + Pr A2

Kasus Reservoir/Bendungan • Ai S: (i-1)c/kS
Kasus Reservoir • Jika C = A2  {S: c/4 S
C terjadi 15 kali dalam 36 thn D terjadi 10 + 6 = 16 kali.

• PrC = 15/36 dan Pr D=16/36 • C + D = A2 + A3 + A4 – Pr C+D = Pr A2 + A3 + A4  = (15+10+6)/36 = 31/36 = Pr  C+ Pr  D

Additional Rule • PrA1 + A2 + … + Ak = PrA1 + PrA2 + … + Pr  Ak  • Pr  A1  = 1 – Pr  A  • Pr A  B   Pr A + B  = PrA + Pr B -PrAB 

Contoh • Kejadian banjir pada sungai Bisagno di Genoa Italia dicatat sejak tahun 1931 – 1995. 6 kejadian banjir yaitu 1945, 1951(2 kali), 1953, 1970, 1992. • Jika N adalah kejadian banjir per tahun maka kita dapat mendefenisikan   {N: N>0} dan A  {N: N=0}. Kejadian banjir minimal sekali dalam setahun maka Ac  {N: N>0}, PrAc=5/36 = 0.077 dan PrA= 1 – 0.077 = 0.923 yang merupalan probabilitas kejadian tanpa banjir dalam setahun. Sementara PrAc = 0.077 adalah resiko banjir yang akan terjadi.

Plotting Data • Jika Dc  {S:0S
Probability of Null Event, Contained event and Boole’s inequality • Null event Pr = 0

• Contained event PrA  Pr PrB jika A  B

• Boole’s inequality PrA1+A2+…+An  PrA1+Pr A2+…+PrAn

Contoh • Dua kejadian akan menyebabkan kegagalan bendungan di daerah rawan gempa. – Banjir besar dengan muka air sangat tinggi (A) – Gempa bumi (B)

• • • • • •

Pr A = a Pr B = b Pr A+B = Pr A + Pr B - PrAB Kejadian AB sangat kecil kemungkinannnya, Pr A+B  Pr A + Pr B Pr A+B = a + b Jika a = 0.02 dan b = 0.01 maka Pr A+B = 0.02+0.01 =0.03

Conditional Probability • Jika A dan B adalah dua events pada sample space  dan Pr B > 0 maka probability event A ketika B sudah terjadi adalah: • Pr A|B = Pr AB / Pr B

• • • • • •

Pr B  0

Contoh: pengetesan kubus beton 40 sample A  {2440 < c < 2460 kg/m3} B  {55 < c < 65 kg/m3} PrA = 19/40 Pr B = 26/40 Intersection event Pr AB = 16/40 Probabilitas kubus beton dengan densitas 2440 – 2460 kg/m3 yang memiliki kompressif streghtn 55 -65 N/mm2 adalah • Pr A|B = Pr AB/PrB = (16/40) / (26/40) = 16/26