1
KONSEP DASAR PROBABILITAS
Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri
Pengantar : 2
Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang. Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.
Konsep dan definisi dasar 3
Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh. Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S). Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel.
Contoh : 4
Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikring satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik dan R untuk sikring yang rusak. Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang sampel S adalah n(S) = 23 = 8. Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.
Definisi probabilitas 5
Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :
n( A) m P( A) n( S ) n
Sifat-sifat probabilitas kejadian A : 6
0 P(A) 1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1 P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi. P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi. Komplemen: Peristiwa A tidak terjadi, ditulis A' P( A' ) 1 P( A)
Contoh (1): 7
Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka? Jawab : Misal M = Muka , B = Belakang Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB} Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A = {MM, MB, BM} Jadi, Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah
P ( A)
n( A) 3 n( S ) 4
Contoh (2): 8
Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat. Jawab : Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat n( M ) 6 P ( M ) (a). Probabilitas mendapatkan mint =
n( S )
13
(b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat = P(C T )
n(C T ) n(C ) n(T ) n(C T ) 4 3 0 7 n( S ) n( S ) 13 13
Pendekatan Perhitungan Probabilitas a) Pendekatan Klasik Diasumsikan
seluruh hasil experimen memiliki keungkinan yang sama. Kejadian A dapat terjadi sebanyak n(A) cara dari seluruh n(S) cara Kejadian A sukses
Kejadian
A gagal
Contoh : peristiwa A merupakan peristiwa munculnya mata dadu genap dari pelemparan sebuah dadu, berapakah peluang terjadinya peristiwa A ?
10
Pendekatan Perhitungan Probabilitas b) Pendekatan Frekuensi Relatif
Contoh : penelitian yang dilakukan terhadap 50 mahasiswa terhadap nilai mata kuliah ALPRO. Berapakah besarnya peluang mahasiswa mendapatkan nilai 50 dan 70 ? Jawab Nilai (x) 40 50 60 70 80 90
f 8 4 11 15 7 5
Pendekatan Perhitungan Probabilitas c) Pendekatan Subjektif Didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan Biasanya dalam bentuk opini atau pendapat
HIMPUNAN
Penulisan Himpunan 1. Cara pendaftaran Unsur himpunan ditulis satu persatu / didaftar. Contoh : A = {a,i,u,e,o} 2. Cara pencirian Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat atau ciri-ciri unsur tersebut. Contoh : A = { x|x huruf vokal }
Macam – Macam Himpunan 1.Himpunan Semesta Lambang : S atau U Himpunan yang memuat pembicaraan.
seluruh
2.Himpunan kosong Lambang : { } atau Ø Himpunan yang tidak memiliki anggota.
objek
3. Himpunan Bagian Lambang : ⊂ Rumus : Menghitung banyak himpunan bagian dari suatu himpunan sebesar n adalah 2n. 4. Himpunan Komplemen Lambang : Ac, A’ Himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan.
Operasi Himpunan
1. Operasi Gabungan (union) Lambang : A U B Gabungan dari himpunan A atau B adalah semua unsur yang terdapat di A atau B sekaligus. Contoh:
Operasi Himpunan 2.Operasi Irisan (intersection) Lambang : A ∩ B Irisan dari himpunan A dan B adalah semua unsur sama di dalam A dan B.
Contoh:
yang
Operasi Himpunan 3.Operasi Jumlah Lambang : A + B Jumlah antara dua himpunan A dan B ádalah himpunan unsur-unsur himpunan yang menjadi anggota A atau B dan bukan anggota sekutu A dan B. Contoh:
Operasi Himpunan 4.Operasi Selisih Lambang : A – B Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk di dalam B. Contoh:
Beberapa Aturan dalam Himpunan 1. Hukum Komutatif
AUB=BUA A∩B=B∩A 2. Hukum Asosiatif
(A U B) U C = A U (B U C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. Hukum Distributif
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
4.
Hukum Identitas A∩S=A A∩Ø=Ø
5.
Hukum Komplementasi A ∩ Ac = Ø A U Ac = S
6.
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) n(AUBUC)
= n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)
n(A) = jumlah anggota himpunan A
LATIHAN
