Model dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri
Nomor random >> angka muncul secara acak (random/tidak terurut) dengan probabilitas untuk muncul yang sama.
Probabilitas/Peluang merupakan ukuran kecenderungan atas munculnya/terjadinya suatu peristiwa/event/kejadian.
Event >> peristiwa/kejadian atau segala sesuatu yang bisa/mungkin terjadi pada suatu percobaan. ◦ Contoh: Munculnya sisi angka atau gambar pada pelemparan uang logam. Munculnya angka 1/2/3/4/5/6 ketika pelemparan dadu.
Ruang sampel >> himpunan seluruh kejadian yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. ◦ Contoh: Ruang sampel untuk pelemparan koin = {sisi angka, sisi gambar} Ruang sampel untuk pelemparan dadu = {1,2,3,4,5,6}
1.
AUB (A union B)
if A dan B = bagian dari ruang sampel S then AUB = seluruh event A dan B.
2.
Peluang AUB atau P(AUB)
P(AUB) = P(A+B) = P(A) + P(B)
3.
Irisan (Intersection) P(A ∩B) atau P(A dan B) = seluruh event irisan yang merupakan anggota A sekaligus juga anggota B. P (A ∩B) = P(A) + P(B) – P(A+B) Contoh: Dalam Permainan kartu ada ruang sampel 52, event As = 4/52, P(hati) = 13/52, P(As+Hati) = 1/52. P(As ∩ Hati) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52.
Contoh kejadian pelemparan dadu 2 kali. Peluang munculnya angka 1 pada lemparan pertama tidak mempengaruhi munculnya angka 1 lagi pada lemparan ke-2. Dalam peluang, bila dua event A dan B saling bebas (independent), maka: P(A dan B) = P(A) x P(B)
Contoh percobaan lempar dadu 2 kali, peluang P(1 dan 2) = P(1) x P(2) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Kejadian tidak bebas >> munculnya suatu event mempengaruhi munculnya kejadian lainnya.
Contoh: permainan kartu, dengan ambil 2 kartu secara berurutan (tanpa mengembalikan kartu yang sudah diambil), munculnya kartu 1 bergambar hati, akan menentukan peluang munculnya kartu bergambar hati pada pengambilan ke 2.
Bila kejadian tidak bebas: P(A dan B) = P(A) x P(B|A) P(B|A) = yaitu peluang B muncul bila peluang A sudah terjadi. Contoh: P(Hati dan Hati) = 13/52 x 12/51 = 1/17
Distribusi probabilitas >> suatu gambaran lengkap seluruh event/kejadian yang mungkin dari suatu percobaan, lengkap dengan peluang kejadiannya. ◦ Contoh: Distribusi probabilitas lempar 1 dadu EVENT (x)
Probabilitas P(x)
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
Distribusi Kumulatif F(x) = P(x<= x) Contoh : melempar 2 dadu Peluang probabilitas munculnya total angka 4: P(4) = P(1+3) + P(2+2) + P(3+1) = 1/36 + 1/36 +1/36 = 3/36
Contoh:
Distribusi Bernoulli
◦ Distribusi Bernoulli ◦ Distribusi Binomial ◦ Distribusi Poisson
Percobaan Bernoulli >> Hanya terdapat satu kali percobaan dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1-p.
Contoh: Uji lempar koin, ada 2 ruang sampel. Peluncuran produk baru, ada 2 ruang sampel (gagal, sukses) Notasi: Peluang sukses P(x) = p untuk x=1 sukses, Peluang gagal P(x)= 1-p, x =0 gagal. Nilai harapan Bernoulli untuk suatu random variabel x E(x)= 1.P(x=1) + 0. P(x=0) = p
Distribusi Binomial Percobaan binomial >> Percobaan diskrit, dalam percobaan ada 2 ruang sampel, dengan percobaan yang dilakukan berulang-ulang.
Contoh: Melempar koin 5 kali. rumus distribusi Binomial P(x) = nCx .px (1-p)n-x dimana x = 0,1,2,3,..n (jumlah sukses) nC = kombinasi x dari n! = n!/x!(n-x)! x 1-p = peluang gagal
Contoh: Melempar koin 5 kali. Berapakah peluang untuk muncul kepala sebanyak 3 kali? ◦ Jawab: ◦ P(x) = nCx .px (1-p)n-x = 10. (½) 3. (1/2) 2 =10
x (½) 5 =31.25%
Distribusi Poisson >> distribusi teoritis yang memakai variabel random diskrit, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu. Ciri-ciri dari distribusi Poisson : (1) Banyaknya hasil percobaan yang satu tidak tergantung dari banyaknya hasil percobaan yang lain. (2) Probabilitas hasil percobaan sebanding dengan panjang interval waktu. (3) Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.
Contoh penggunaan distribusi poisson: ◦ Untuk menghitung banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku, banyaknya mobil yang lewat selama 3 menit di sebuah ruas jalan.
Contoh:
1.
Distribusi eksponensial >> distribusi yang menggambarkan interval antara dua kejadian. Contoh: Toko CD “ BEAT THE HITS” tengah mengadakan diskon besar-besaran sehingga kedatangan pengunjung yang berdistribusi eksponensial meningkat dari biasanya menjadi 8,4 per 35 menit. berapa probabilitas kedatangan pengunjung dalam selang waktu 8 menit atau lebih? Jawab: Diketahui: Xo = 8 menit / 35menit = 0,228 λ = 8,4 Ditanyakan: P(X ≥ 8 menit)? P(X ≥ 0,5) = e ^ (-8,4*0,228) = 0,14734 atau 14,734%
3. Distribusi Uniform >> Situasi ini digambarkan untuk
semua event yang mempunyai peluang sama di antara kejadian A dan B. Notasi: Fungsi densitas: f(x) = 1/ (B-A), bila A < x < B f(x) = 0, untuk selain didalam A < x < B Peluang: P(A<x
Contoh: Dalam program komputer simulasi terdapat subrutin pembangkit bilangan random uniform dalam interval [0,10]. Sebuah proses simulasi akan berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah bilangan random [3/2 , 7/2]. Jika dilakukan replikasi pembangkitan bilanganrandom, berapa ke mungkinan proses tersebut akan berhenti (terminate)? Jawab: Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan fungsi f(x)=1/10 untuk [1,10], dengan demikian probabilitas bahwa proses simulasi akan berhen ti adalah P(3/2<x<7/2)=0,2.
