KONSEP DASAR PROBABILITAS OLEH : RIANDY SYARIF
Definisi • Probabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 s/d 1 atau dalam persentase. • Probabilitas bermanfaat bagi pengambilan keputusan yang tepat, karena kejadian tidak dapat dipastikan, dan setiap pengambilan keputusan jarang memiliki informasi yg lengkap sehingga perlu untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi.
3 Unsur penting dalam probabilitas Percobaan (Experiment)
Hasil (Outcome) Peristiwa (Event)
• Percobaan (experiment) : pengamatan terhadap beberapa aktifitas atau proses yg memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yg akan terjadi. • Hasil (outcome) : suatu hasil dari percobaan • Peristiwa (event) : kumpulan dari satu atau lebih hasil yg terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan
Contoh urutan kejadian 1.
Percobaan
Pertandingan sepakbola Real Madrid vs Manchester United
2.
Hasil
a. M.U menang b. M.U kalah c. Seri, M.U tidak menang dan tidak kalah
3.
Peristiwa
M.U menang
Menyatakan probabilitas • Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan antara 0 s/d 1. probabilitas 0 menunjukan peristiwa yg tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukan peristiwa yang pasti terjadi. • Contoh : melihat kesiapan fisik dan mental para pemain M.U dan Real Madrid, maka M.U memiliki probablitais menang 60% : 40% dibanding Real Madrid.
Pendekatan Probabilitas
Klasik
Relatif
Subjektif
Pendekatan Klasik • Pendekatan klasik mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi yg sama besar. • Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil (peristiwa) dengan jumlah total kemungkinan hasil
Contoh pendekatan klasik Experiment
Outcome
Event
Probabi litas
Melempar Uang
1. Muncul gambar Muncul angka 2. Muncul angka
½
Saham
1. Jual saham 2. Beli saham
Jual saham
½
Harga
1. Inflasi 2. Deflasi
Inflasi
½
Tanding Bola
1. Menang 2. Kalah 3. Seri
Seri
1/3
Pendekatan Relatif • Pedekatan yang tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yg dilakukan • Contoh : pada kegiatan jual beli saham di BEI triwulan II Tahun 2016 terdapat 3.000.000 transaksi yang terjadi, terdiri atas 2.455.000 transaksi jual dan 545.000 transaksi beli. • Probabilitas jual = 2.455.000/3.000.000 = 0,82 • Probablitias beli = 545.000/3.000.000 = 0,18
Pendekatan Subjektif • Pendekatan subjektif menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi. • Contoh : pendapat pengamat politik bahwa Bupati Sintang bapak Jarot Winarno akan terpilih dua periode
Hukum Penjumlahan • Hukum penjumlahan mensyaratkan peristiwa yg trjadi saling lepas (mutually exclusive), yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. Contohnya kegiatan kita menjual atau beli saham • Jika kejadian A dan B saling lepas, hukum penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas suatu kejadian atau probabilitas kejadian lain terjadi sama dengan penjumlahan probabilitas masing-masing kejadian • Hukum tersebut dinyatakan : • “P (A atau B) = P(A) + P(B)”
• Contoh : berikut adalah kegiatan perdagangan saham di BEI untuk tiga perusahaan perbankan dengan jumlah total sebanyak 200 transaksi Jenis Transaksi Jual Saham Beli Saham Total transaksi
• • • • •
Volume Transaksi 120 80 200
Dari tabel di atas diketahui bahwa : Probabilitas jual : P(A) = 120/200 = 0,60 Probabilitas beli : P(B) = 80/200 = 0,40 Sehingga probabilitas A atau B : P(A atau B) = P(A) + P(B) =0,60 + 0,40=1,0
• Bila dirincikan, maka saham yg diperjualbelikan terdiri dari 3 jenis bank : No
Bank
Transaksi
1 2 3
BCA BRI BNI
70 80 50 200
• Probabilitas BCA = P(D) = 70/200 = 0,35 • Probabilitas BRI = P (E) = 80/200 = 0,40 • Probabilitas BNI = P (F) = 50/200 = 0,25
Probabilitas Kejadian Bersama (Joint Even) • Dua peristiwa disebut kejadian bersama jika persitiwa tersebut terjadi diwaktu yg bersamaan • Suatu kegiatan jual/beli saham seharusya terdiri dari dua jenis yaitu : (1) kegiatan jual/beli saham dan (2) jenis saham yg dijual/beli
• Dari tabel di bawah hitunglah probabilitas Jual saham BCA P(AD) dan beli saham BCA P(BD) Perusahaan Kegiatan
Jumlah
BCA (D)
BRI (E)
BNI (F)
Jual (A)
30
50
40
120
Beli (B)
40
30
10
80
Jumlah
70
80
50
200
• Kegiatan jual saham BCA ada 30 transaksi dan beli saham BCA ada 40 transaksi, sehingga : • P(BD) : 40/200 = 0,20 • P(AD) : 30/200 = 0,15
• Diagram Venn
A
AD
D
• Diagram venn terlihat adanya perhitungan ganda, yaitu kejadian AD yang dihitung pada kejadian A dan juga kejadian D, sehingga rumus nya : • P(A atau D) = P(A) + P(D) –P(AD)
• Dimana : • P(A atau D) : probabilitas terjadinya A atau D atau A dan D bersama-sama • P(A) : probabilitas terjadinya A • P(D) : probabilitas terjadinya D • P(AD) : probabilitas terjadinya A dan D bersama-sama • Probabilitas jual saham atau saham BCA : P(A atau D) = P(A) + P(D) –P(AD) (0,6 + 0,35 0,15=0,80)
Probabilitas Saling Lepas (Mutually Exclusive) • Terjadinya satu peristiwa dari dua atau lebih peristiwa yg dapat terjadi, sehingga tidak didapati peristiwa kejadian bersama dalam suatu percobaan, Dan dinyatakan dengan : • P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB) • Diagram Venn
A
B
Perusahaan Kegiatan
Jumlah
BCA (D)
BRI (E)
BNI (F)
Jual (A)
30
50
40
120
Beli (B)
40
30
10
80
Jumlah
70
80
50
200
• Dari tabel di atas, hitung probabilitas jual dan beli saham P(AB) dan probabilitas saham BCA, BRI dan BNI P(DEF) • Penyelesaian : Probabilitas kejadian A dan B/ P(AB) = 0, karena kejadian A dan B tidak terkait, dimana pada satu waktu yg sama aktifitas yg dilakukan hanya satu, beli atau jual.
• P(A) : 120/200 = 0,6 dan P(B) : 80/200 = 0,4 • P(A dan B) : P(A) + P(B) - P(AB) • P(A dan B) : 0,6 + 0,4 – 0 = 1
Hukum Perkalian • Hukum perkalian mensyaratkan setiap peristiwa yg terjadi independen yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi terjadinya peristiwa lain. • Contoh : kegiatan melempar uang koin, dimana setiap lemparan yg dilakukan tidak saling mempengaruhi. • Hukum perkalian probabilitas dinyatakan sebagai berikut : P(A dan B) = P(A) x P(B)
Prinsip menghitung dalam probabilitas
Faktorial
Permutasi
Kombinasi
Faktorial (!) • Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yg mungkin digunakan dalam mengatur sesuatu. • Contoh : jika kita memiliki tiga buku yaitu : Buku Statistik (STS), Buku Makroekonomi (MAK) dan Buku Mikroekonomi (MIK), ada berapa cara menyususn urutan ketiga buku tersebut? Urutan ketiga buku : STS,MAK,MIK
MAK,MIK,STS
MIK,STS,MAK
STS,MIK,MAK
MIK,MAK,STS
MAK,STS,MIK
• Dengan tiga buku, maka kita dapat mengurutkan dengan 6 cara, bagaimana jika ada 100 buku ? Maka cara termudah menggunakan Faktorial (!) • Dengan rumus : n! = n (n-1) (n-2)…x 2 x 1, dimana 0 didefiniskan dengan 1. • Untuk menyusun 3 buku maka dapat dihitung : 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Menghitung faktorial melalui excel
Permutasi (P) • Adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu. • Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C & D akan dipilih akan dipilih seorang Direktur, seorang sekretaris dan bendahara. Berapa formasi yang mungkin disusun? • Penyelesaian : permutasi dapat dihitung dengan rumus :
• Dimana “n” banyaknya objek yg dapat dipilih dan “r” adalah jumlah yg harus dipilih
n = 4 dan r =3, maka 𝒏! 𝒏𝑷𝒓 = (𝒏 ≥ 𝒓) 𝒏−𝒓 ! 𝟒! 𝟒𝑷𝟑 = 𝟒−𝟑 ! 𝟒×𝟑×𝟐×𝟏 𝟒𝑷𝟑 = = 𝟐𝟒 𝟏 • Kemungkinan susunannya adalah sbb : ABC, ABD, ACB, ADB, ADC, ACD, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB
Kombinasi (C) • Kombinasi dipergunakan apabila kita tertarik pada beberapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutanya • Kombinasi dirumuskan sbb : • Contoh : ada 5 UKM mengajukan kredit ke Bank Kalbar Sintang, namun Bank Kalbar sintang hanya akan mencairkan kredit untuk dua UKM saja, berapa kombinasi UKM yg dapat dipilih?
DISTRIBUSI PROBABILITAS
• Distribusi probabilitas menunjukan hasil yg diharapkan terjadi dari suatu percobaan atau kegiatan dengan nilai probabilitas masingmasing hasil tersebut. • Ilustrasi : ada tiga orang nasabah yg akan menabung di bank. Di pasar inspres sintang terdapat 2 bank, yaitu BNI dan BRI. Ketiga orang tersebut bebas memilih bank tempatnya akan menabung, bisa di BNI semua atau di BNI dan BRI atau BRI semua. Berikut adalah kemungkinan dari pilihan ketiga orang tersebut :
Kemungkinan Pilihan
Nasabah 1
2
3
1
BRI
BRI
BRI
0
2
BRI
BRI
BNI
1
3
BRI
BNI
BRI
1
4
BRI
BNI
BNI
2
5
BNI
BRI
BRI
1
6
BNI
BRI
BNI
2
7
BNI
BNI
BRI
2
8
BNI
BNI
BNI
3
Pilihan BNI
• Kemungkinan bank pilihan nasabah : BNI tidak dipilih sama sekali ada 1 kejadian, BNI dipilih 1 oleh salah satu nasabah ada 3 kejadian, dan ketiga nasabah memilih BNI ada 1 kejadian. Dari 8 kemungkinan tersebut, dapat disusun distribusi probabilitas sbb :
BNI yg dipilih
Frekuensi
0
1
1 2 3
Total Kemungkin an 8
3 8 3 8 1 8 Total Distribusi Probabilitas
Distribusi Probabilitas P(r) 1/8
0,125
3/8 3/8 1/8
0,375 0,375 0,125 1,000
• Distribusi probabilitas hasil P(r) memudahkan kita untuk mengetahui probabilitas dari kejadian. • Jadi Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yg disertai dengan nilai probabilitas masingmasing hasil
Distribusi Probabilitas Binomial • Distribusi probabilitas binomial menggambar kan data yg dihasilkan oleh suatu percobaan yg dinamakan percobaan Bernoulli. • Jacob Bernoulli hidup pada tahun 1654-1705, selama 20 tahun mempelajari probabilitas, dan hasil penemuannya diterbitkan dalam buku berjudul “Ars Conjectandi”
Contoh Percobaan Bernoulli Percobaan
Melempar uang koin Transasksi di Bursa
Perubahan harga Kelahiran anak Melamar wanita
Hasil
1. 2. 1. 2. 1. 2. 1. 2. 1. 2.
Muncul Gambar Muncul Angka Beli Saham Jual Saham Inflasi Deflasi Laki-laki Perempuan Diterima Ditolak
• •
• • •
• • •
Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan : 1. jumlah percobaan atau kegiatan dan 2. probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal Distribusi probabilitas binomial dinyatakan sebagai berikut : P(r) : Nilai probabilitas binomial p : Probabilitas sukses setiap percobaan r : Banyaknya peristiwa sukses untuk keseluruhan percobaan n : Jumlah total percobaan q : Probabilitas gagal suatu kejadian yg diperoleh dari q=1-p ! : faktorial
• Contoh : PT. Riandy Syarif mengirim buah semangka ke Hypermart Pontianak, dengan jaminan kualitas baik, maka 90% semangka yang dikirim lolos seleksi oleh Hypermart Pontianak. PT. Riandy Syarif setiap hari mengirim 15 buah semangka dengan berat antara 5 s/d 6 Kg. Pertanyaannya : a) Berapa probabilitas 15 buah diterima? b) Berapa probabilitas 13 buah diterima? c) Berapa probabilitas 10 buah diterima?
Cara 1 : Menggunakan rumus Probabilitas 15 buah diterima semua n = 15 r = 15 p = 0,9 q = 0,1 𝒏! 𝑷𝒓 = 𝒑𝒓 . 𝒒𝒏−𝒓 𝒓! 𝒏 − 𝒓 ! 𝟏𝟓! 𝑷 𝟏𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟏𝟓 . 𝟎, 𝟏𝟏𝟓−𝟏𝟓 𝟏𝟓! 𝟏𝟓 − 𝟏𝟓 ! 𝟏𝟓! 𝑷 𝟏𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟏𝟓 . 𝟎, 𝟏𝟏𝟓−𝟏𝟓 𝟏𝟓! 𝟎 ! 𝑷 𝟏𝟓 = 𝟏 × 𝟎, 𝟐𝟎𝟔 × 𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟔
Probabilitas 2 ditolak atau 13 buah diterima n = 15 r = 13 p = 0,9 q = 0,1 𝒏! 𝑷𝒓 = 𝒑𝒓 . 𝒒𝒏−𝒓 𝒓! 𝒏 − 𝒓 ! 𝟏𝟓! 𝑷 𝟏𝟑 = 𝟎, 𝟗𝟏𝟑 . 𝟎, 𝟏𝟏𝟓−𝟏𝟑 𝟏𝟑! 𝟏𝟓 − 𝟏𝟑 ! 𝟏𝟓! 𝑷 𝟏𝟑 = 𝟎, 𝟗𝟏𝟑 . 𝟎, 𝟏𝟐 𝟏𝟑! 𝟐 ! 𝑷 𝟏𝟑 = 𝟏𝟎𝟓 × 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟕
Probabilitas 10 buah diterima n = 15 r = 10 p = 0,9 q = 0,1 𝒏! 𝑷𝒓 = 𝒑𝒓 . 𝒒𝒏−𝒓 𝒓! 𝒏 − 𝒓 ! 𝟏𝟓! 𝑷 𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟗𝟏𝟎 . 𝟎, 𝟏𝟏𝟓−𝟏𝟎 𝟏𝟎! 𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 ! 𝟏𝟓! 𝑷 𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟗𝟏𝟎 . 𝟎, 𝟏𝟓 𝟏𝟎! 𝟓 ! 𝑷 𝟏𝟎 = 𝟑. 𝟎𝟎𝟑 × 𝟎, 𝟑𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟎
Cara 2 : Menggunakan Tabel Binomial • Jika n = 15
r = 15
p = 0,9
q = 0,1
Cara 3 : menggunakan excel
Distribusi Poisson • Distribusi Poisson dikembangkan oleh Simon Poisson pada tahun 1837. • Distribusi Poisson sebagai pelengkap dari distribusi Binomial, dimana untuk suatu kejadian yang nilai “n” sangat besar (lebih besar dari 50) dan nilai probabilitas sukses nya “p” sangat kecil seperti 0,1, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. • Sebagai contoh misalkan emiten saham di BEI (n) = 330 sedangkan, probabilitas harga saham naik dalam kondisi krisis ekonomi hanya 0,1. jika ditanya berapa probabilitas 5 harga sahamnya meningkat ?
• Maka • Sulitnya menghitung nilai 330! atau 0,9 pangkat 325 ini dipermudah dengan rumus distribusi poisson :
• Dimana : • P(X) ; nilai probabilitas distribusi Poisson • µ ; rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses, dimana µ = n.p • e ; bilangan konstan = 2,71828 • X ; jumlah nilai sukses • p ; probabilitas sukses suau kejadian
