PENGUJIAN HIPOTESIS RATARATA Oleh : Riandy Syarif
Definisi • Pengujian hipotesis tentang rata-rata adalah pengujian hipotesis mengenai rata-rata populasi yg didasarkan atas informasi sampelnya. • Pengujian rata-rata terdiri dari : Satu rata-rata, beda dua rata-rata dan beda lebih dari dua rata-rata
PENGUJIAN HIPOTESIS SATU RATA-RATA
1. Pengujian Hipotesis satu Rata-rata
Sampel Besar
Sampel Kecil
n > 30
n < 30
Uji Statistik : Distribusi Z
Uji statistik : Distribusi t
LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN SAMPEL BESAR (n > 30)
LANGKAH 1 : FORMULASI HIPOTESIS/KRITERIA PENGUJIAN 1) Ho : µ = µ0 H1 : µ > µ0 Uji satu arah (arah kanan) 2) Ho : µ = µ0 H1 : µ < µ0 Uji satu arah (arah kiri) 3) Ho : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 Uji dua arah
Kriteria Pengujian A. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ > µ0 yakni: • Ho diterima jika Zo ≤ Z α • Ho ditolak jika Zo > Z α
Zα
B. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ < µ0 yakni: • Ho diterima jika Zo ≥ - Z α • Ho ditolak jika Zo < -Z α
Zα
C. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ ≠ µ0 yakni: • Ho diterima jika -Z α/2 ≤ Zo ≤ Z α/2 • Ho ditolak jika Zo > Z α/2 atau Zo < -Z α/2
Langkah 2 : Taraf Nyata/menentukan nilai Z Tabel • Mencari nilai Z tabel menggunakan Tabel distribusi “Z”. • Misal dicari taraf nyata 5%, maka dapat diketahui dengan mencari nilai “0,05” atau nilai terdekatnya pada tabel distribusi “Z” • Nilai Z hitung adalah Z0,05 = 1,645
• Maka Z0,05 =1,6 + 0,045 menjadi 1,645
1,645
Menentukan nilai Z tabel pengujian dua arah
0,025
0,025
Langkah 3 : Uji Statistik/”Z” hitung • Untuk Simpangan baku populasi (σ) diketahui: • Zo =
=
• Simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui: • Zo = • • • • •
=
Keterangan: S = simpangan baku sampel µo = nilai pendugaan Ho X = Rata-rata Sampel σ = Simpangan baku Populasi
n = Jumlah sampel Zo = Z hitung
Langkah 4 : Menarik kesimpulan “Z” Tabel
Membandingkan antara nilai “Z” Tabel : “Z” hitung dan kriteria pengujian apakah Ho diterima atau ditolak
Contoh soal • Pimpinan bagian mutu barang pabrik susu merk SUSU WOW ingin mengetahui apakah rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang diproduksi dan dipasarkan masih tetap 400 gram atau sudah lebih kecil dari itu. Dari data sebelumnya diketahui bahwa simpangan baku/ standar deviasi bersih perkaleng sama dengan 125 gram. Dari sampel 100 kaleng yg diteliti, diperoleh rata-rata berat bersih 375 gram. Dapatkah diterima bahwa berat bersih rata-rata yang dipasarkan tetap 400 gram? Ujilah dengan taraf nyata 5%!
Penyelesaian Diketahui : n=100 ; X = 375 ; σ = 125 ; µo = 400 a. Formulasi hipotesis : Ho ; µ = 400 H1 ; µ < 400 b. Taraf nyata dan nilai Z tabelnya : α = 5% = 0,05 Z 0,05 = -1,645 (Pengujian sisi kiri)
c. Kriteria pengujian
Ho diterima jika Zo ≥ -1,64 Ho ditolak jika Zo < -1,64
d. Uji Statistik 𝑋 − 𝜇0 𝑍0 = 𝜎 𝑛 375 − 400 𝑍0 = = −0,22 125 100 e. Kesimpulan Karena Zo = -0,22 ≥ -1,64, maka Ho diterima. Jadi berat bersih rata-rata susu bubuk merk SUSU WOW per kaleng dipasarkan sama dengan 400 gram
Sampel Kecil (n<30) • Untuk pengujian satu rata-rata dengan sampel kecil (n<30), uji statistiknya menggunakan distribusi t.
Formulasi Hipotesis 1) Ho : µ = µ0 H1 : µ > µ0 Uji satu pihak (pihak kanan) 2) Ho : µ = µ0 H1 : µ < µ0 Uji satu pihak (pihak kiri) 3) Ho : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 Uji dua pihak
Penentuan taraf nyata (α) dan nilai t tabel • Menentukan nilai α sesuai, kemudian menentukan nilai db (derajat bebas) /df (degree of freedom) yaitu db=n-1 • Lalu menentukan nilai t α ; n-1 (Uji Satu Arah) atau t α/2 ; n-1 (Uji Dua Arah) ditentukan melalui tabel distribusi “t”
Kriteria Pengujian A. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ > µ0 yakni: • Ho diterima jika to ≤ tα • Ho ditolak jika to > tα
B. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ < µ0 yakni: • Ho diterima jika to ≥ - tα • Ho ditolak jika to < -tα
C. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ ≠ µ0 yakni: • Ho diterima jika -tα/2 ≤ to ≤ tα/2 • Ho ditolak jika to > tα/2 atau to < -tα/2
Menentukan nilai “t” tabel • Contoh : jika jumlah sampel sebanyak 15 dan taraf nyata 5% atau 0,05. Maka nilai tα adalah
Uji Statistik • Untuk Simpangan baku populasi (σ) diketahui: • to =
=
• Simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui: • to = • • • • •
=
Keterangan: S = simpangan baku sampel µo = nilai µ sesuai dengan Ho X = Rata-rata Sampel σ = Simpaangan baku Populasi
n = Jumlah sampel to = t hitung
• Contoh soal : Sebuah sampel terdiri atas 15 kaleng cat, memiliki rata-rata isi berat kotor sebesar 1,208 dan simpangan baku sampel sebesar 0,02 Kg. Jika digunakan taraf nyata 1 %, dapatkah kita meyakini bahwa populasi cat dalam kaleng rata-rata memiliki berat kotor 1,2 Kg?
Diketahui: n = 15 µo = 1,2 S = 0,02 1. Formulasi Hipotesis : Ho : µ = 1,2 H1 : µ ≠ 1,2
α = 1% = 0,01 db = 15-1 =14
3. Taraf nyata dan nilai t tabel : α = 1% = 0,01 α/2 = 0,005 db (derajat bebas) : 15-1 = 14 t 0,005;14 = 2,977 4. Kriteria Pengujian • Ho diterima jika -2,977≤ to ≤ 2,977 • Ho ditolak jika -2,977>to > 2,977
5. Uji Statistik : to =
1,208 - 1,2 = 0,02 √15
= 1,52 6. Kesimpulan -2,977 < 1,52 <2,977 Ho diterima
PENGUJIAN HIPOTESIS BEDA DUA RATA-RATA
• Dalam praktek seringkali ingin diketahui apakah ada perbedaan yg berarti dari dua rata-rata. Misalnya apakah ada perbedaan rata-rata dari : 1. Harga beras per kilo di pasar inpres dan pasar sui durian 2. Gaji karyawan CU Keling Kumang dengan Bank Kalbar 3. Kecepatan mengerjakan suatu tugas bagi Mahasiswa dan mahasiswi Univ. Muhammadiyah
Perumusan hipotesa • Ho : µ1 = µ2 H1 : µ1 > µ2 • Ho : µ1 = µ2 H1 : µ1 < µ2 • Ho : µ1 = µ2 H1 : µ1 ≠ µ2
Uji Statistik Sampel besar (n>30) • Jika Simpangan baku populasi diketahui :
• Jika Simpangan baku sampel diketahui :
Contoh Soal : • Seseorang berpendapat bahwa rata-rata jam kerja buruh di Kab. Melawi dan Kab. Sintang sama dengan alternative Melawi lebih besar dari pada Sintang. Untuk itu, diambil sampel di kedua daerah, masing 100 orang dan 70 orang dengan rata-rata dan simpangan baku 38 dan 9 jam per minggu serta 35 dan 7 jam per minggu. Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 5%!
Penyelesaian • Diketahui : • .n1 = 100 • .n2 = 70 • • • • • •
X1 = 38 X2 = 35
s1 = 9 s2 = 7
Formulasi hipotesis : Ho : µ1 = µ2 H1 : µ1 > µ2 Taraf nyata dan nilai Z tabel : α = 5% = 0,05 Z 0,05 = 1,64
• Kriteria pengujian : • Ho diterima jika Zo ≤ 1,64 • H1 ditolak jika Zo > 1,64
UJI STATISTIK
Kesimpulan : Zo = 2,44 > 1,64, Ho ditolak, rata-rata jam kerja buruh di Melawi tidak sama dengan di Sintang
Uji statistik untuk sampel kecil (n<30) 𝑋1 − 𝑋2
𝑡0=
n1 − 1 s12 + n2 − 1 s22 𝑛1 + 𝑛2 − 2
1 1 𝑛1 + 𝑛2
Atau
𝑡0=
𝑋1 − 𝑋2 n1 − 1 s12 + n2 − 1 s22
𝑛1 𝑛2 (𝑛1 + 𝑛2 − 2) 𝑛1 + 𝑛2
Contoh • Sebuah perusahaan mengadakan pelatihan teknik pemasaran. Sampel sebanyak 12 orang dengan metode biasa dan 10 orang dengan terprogram. Pada akhir pelatihan diberikan evaluasi dengan materi yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 80 dengan simpangan baku 4 dan kelas kedua nilai rata-rata 75 dengan simpangan baku 4,5. Ujilah hipotesis kedua metode pelatihan, dengan alternatif kedua tidak sama. Gunakan taraf nyata 10%, asumsikan kedua populasi menghampiri distribusi normal dengan varians yang sama.
Penyelesaiannya Diketahui : n1 = 12 n2 = 10 𝑋 1= 80 𝑋 2= 75 s1 = 4 s2 = 4,5 Formulasi Hipotesis : H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 ≠ µ2 Taraf nyata dan nilai t tabelnya : α = 10% α/2 = 0,05 db = 12 + 10 -2 = 20 t0,05:20 = 1,725
Langkah 1
Kriteria pengujian : -1,725 ≤ t0 ≤ 1,725 1,725 > t0 > 1,725 Uji statistic :
𝑡0=
𝑋1 − 𝑋2 n1 − 1 s12 + n2 − 1 s22 𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑡0=
1 1 + 𝑛1 𝑛2
80 − 75 12 − 1 42 + 10 − 1 4,52 12 + 10 − 2
1 1 + 12 10
𝑡0=
𝑡0=
𝑡0=
𝑡0=
5 11 16 + 9 20,25 10 + 12 20 120 5 176 + 182,25 0,183 20 5 358,25 0,183 20 5 3,278
5 𝑡0= 1,810 To = 2,762 2,79 > t 0,05;20= 1,725, Ho ditolak, jadi kedua metode yg digunakan dalam pelatihan tidak sama hasilnya
LANGKAH 2 𝑡0= 𝑡0=
𝑡0=
𝑋1 − 𝑋2 n1 − 1 s12 + n2 − 1 s22
𝑛1 𝑛2 (𝑛1 + 𝑛2 − 2) 𝑛1 + 𝑛2
80 − 75 12 − 1 42 + 10 − 1 4,52 5 11 16 + 9 20,25
𝑡0=
5
2400 22
176 + 182,25 5 𝑡0= 109,091 358,25 5 𝑡0= 10,445 18,927 to = 2,759
120 (22) 22
12(10) (12 + 10 − 2) 12 + 10
