PENGUJIAN HIPOTESIS BEDA TIGA RATA-RATA ATAU LEBIH Statistik Industri II Teknik Industri Universitas Brawijaya
Pengujian Hipotesis 3 rata-rata atau lebih Dengan teknik ANOVA (Analisis Varians) Pengujian hipotesis 1 arah
Pengujian hipotesis 2 arah
Tanpa interaksi Dengan interaksi
ANALISIS VARIANSI SEARAH Alat uji statistik yang digunakan untuk menguji apakah k populasi yang independen mempunyai rata-rata yang berbeda atau tidak
Menguji homogenitas nilai rata-rata k buah sampel random dari populasi yang berdistribusi normal dan homogen
1 2 ... k 2
2
2
Terdapat : 1 variabel tak bebas (dependen) dengan skala interval atau ratio level Faktor (k buah perlakuan) 1 variabel bebas (independen) dengan skala nominal atau ordinal Faktor
Hipotesis ANOVA 1 Arah • H0 : μ1 μ2 μ3 μk – Seluruh mean populasi adalah sama – Tak ada efek treatment (tak ada keragaman mean dalam grup) •
H A : Tidak seluruhmean populasiadalahsama
– Minimal ada 1 mean populasi yang berbeda – Terdapat sebuah efek treatment
– Tidak seluruh mean populasi berbeda (beberapa pasang mungkin sama)
ANOVA 1 Faktor H0 : μ1 μ2 μ3 μk H A : Tidak seluruh μ i sama Semua mean bernilai sama Hipotesis nol adalah benar (Tak ada efek treatment)
μ1 μ2 μ3
ANOVA 1 Arah H0 : μ1 μ2 μ3 μk H A : Tidak semua μ i sama Minimal ada 1 mean yg berbeda Hipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment)
or
μ1 μ2 μ3
μ1 μ2 μ3
(sambungan)
Hipotesis ANOVA 1 Arah dengan satu faktor yang berpengaruh
Langkah-langkah: 1. Menentukan formulasi hipotesis H0 : 1 = 2 = 3 = ... = k H1 : 1 ≠ 2 ≠ 3 ≠ ... ≠ k
Hipotesis ANOVA 1 Arah Langkah-langkah:
2. Menentukan taraf nyata () beserta F tabel Derajat pembilang (1) = k - 1 Fα (1 ;2)= ... Derajat penyebut (2) = k (n- 1) 3. Menentukan kriteria pengujian
H0 diterima jika F0 ≤ Fα(1 ;2)
Daerah kritis penolakan H0 Daerah penerimaan H0
H0 ditolak jika F0 > Fα(1 ;2) 0
Do not reject H0
Reject H0
Hipotesis ANOVA 1 Arah Langkah-langkah: 4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA Sumber Variasi
Derajat bebas
Jumlah Kuadrat
Rata-rata kolom
(k 1)
JKK
k n 1
JKE
nk 1
JKT
Eror Total
Rata-rata kuadrat
s12 =
JKK (k 1)
s22 =
JKE (n k )
Fhit
s12/s22
Hipotesis ANOVA 1 Arah Langkah-langkah: 4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA k
Untuk ukuran sampel yang sama banyak
JKT
JKE = JKT - JKK
i 1
n
j 1
2
... T xij nk
k = kolom, n = baris
Hipotesis ANOVA 1 Arah Langkah-langkah: 4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA k
Untuk ukuran sampel yang tidak sama banyak
n
JKT
i 1
j 1
k
2
... T xij N 2
... T JKK Ti N i 1 ni JKE = JKT - JKK Derajat bebas error = N – k 2
N = jumlah sampel
Hipotesis ANOVA 1 Arah Langkah-langkah:
5. Membuat kesimpulan Menyimpulkan H0 diterima atau ditolak
langkah ke-4 VS langkah ke-3
Contoh Akan diuji apakah rata-rata jumlah produk yang dihasilkan perminggu dari 3 buah stasiun kerja manual yang paralel adalah homogen? Var independen : produk yg dihasilkan perminggu (ratio)
1. Diambil sampel random dari pengamatan 6 minggu untuk setiap stasiun kerja Hasil pengamatan : Minggu ke
Stasiun kerja 1 (unit)
Stasiun kerja 2 (unit)
Stasiun kerja 3 (unit)
1
76
72
71
2
63
63
54
3
66
65
62
4
83
78
76
5
74
69
65
6
53
49
50
Var dependen : stasiun kerja (nominal)
Penyelesaian: H 0 : 1 2 ... k H1 : tidak semua
i
sama
Tingkat signifikansi uji : α %
Rata-rata perlakuan homogen (tidak ada pengaruh perlakukan atau tidak ada pengaruh variabel bebas terhadap variabel tak bebas) Rata-rata perlakuan tidak homogen ( ada pengaruh perlakukan)
Statistik uji yang digunakan :
Fhitung
JKK db JKK (k 1) JKE db JKE k (n 1)
Daerah kritis: Fhitung > F α;(k-1);k(n-1)
~ F (k-1);k(n-1)
Tabel Analisis Variansi ANOVA ANALISIS VARIANSI SEARAH (Analysis of Variance) Sumber Variasi
Derajat bebas
Jumlah Kuadrat
Rata-rata kolom
(k 1)
JKK
k n 1
JKE
nk 1
JKT
Eror Total
Rata-rata kuadrat
s12 =
JKK (k 1)
s22 =
JKE (n k )
Fhit
s12/s22
Minggu ke
Stasiun kerja I
Stasiun kerja II
Stasiun kerja III
76 721 CONTOH
1
71
2
63
63
54
3
66
65
62
4
83
78
76
5
74
69
65
6
53
49
50
Jumlah (Xi)
415
396
378
k
n=6
ni
x i 1 j 1
2
ij
80201
= 762 + 632+ ... + 502 ni
Total
1189 = T
k=3
𝑇2 =(1189)2 / 18 𝑛𝑘
2 T 2 JKT X ij 80201 78540,056 1660,944 nk i 1 j 1 k
CONTOH 1
415 2 396 2 378 2 JKK 78540,056 114,111 6
JKE JKT JKK 1660,944 114,111 1546,833 SUMBER VARIASI
db
Jumlah kuadrat (JK)
Rata-rata kuadrat / kuadrat tengah
3-1=2
114,111
s12 = 57,055
3(6-1)= 15
1546,833
s22
18-1= 17
1660,944
Fhitung
Kelas/perlakuan JKK JKE TOTAL
= 103,122
F = 0,55
CONTOH 1 • Tingkat signifikansi uji : α = 5 % • Statistik uji yang digunakan Fhitung ~ F2;15 • Daerah kritis : Jika Fhitung > F0,05;(2;15)=3,682 • Kesimpulan : Karena Fhitung = 0,55 < F0,05;(2;15)=3,682 maka Ho diterima rata-rata jumlah produk yang dihasilkan ketiga stasiun tiap minggunya homogen (sama) atau tidak ada pengaruh jenis stasiun kerja terhadap jumlah produksi perminggu
ANOVA – 1 Arah dengan MS Excel Contoh 1 EXCEL: tools / data analysis / ANOVA: single factor
19
ANOVA – 1 arah Excel Output Contoh 1 Anova: Single Factor SUMMARY Groups Column 1 Column 2 Column 3
Count 6 6 6
ANOVA Source of Variation Between Groups Within Groups
SS 114.1111 1546.833
Total
1660.944
Sum Average Variance 415 69.16667 114.1667 396 66 97.6 378 63 97.6
df
MS F P-value 2 57.05556 0.553281 0.586358 15 103.1222
F crit 3.68232
17
20
CONTOH 2 Untuk menguji apakah operator yang berbeda akan mempengaruhi waktu proses (dalam menit) untuk membuat suatu komponen produk, dilakukan pengamatan terhadap 4 orang operator (A, B, C, D) yang diamati dalam waktu yang bersamaan. Hasil pengamatannya. Berikut hasil pengamatannya : Waktu proses (dalam menit) Operator A
Operator B
Operator C
Operator D
62
63
68
56
60
67
66
62
63
71
71
60
59
64
67
61
65
68
63
69
68
64 63 59
Tingkat signifikansi uji : α = 5 %
Penyelesaian: H 0 : A B C D
Rata-rata waktu proses keempat operator sama atau tidak ada pengaruh operator terhadap waktu proses
H1 : tidak semua sama
Rata-rata waktu proses keempat operator tidak semua sama atau ada pengaruh operator terhadap waktu proses
• Tingkat signifikansi uji : α = 5 % • Statistik uji yang digunakan Fhitung ~ F3;20 • Daerah kritis : Jika Fhitung > F0,05;(3;20)=3,099 N-k
Operator A
Operator B
Operator C
Operator D
62
63
68
56
60
67
66
62
63
71
71
60
59
64
67
61
65
68
63
69
68
64
CONTOH 2
63 59 ni
4
6
6
8
N = 24
Xi
244
399
408
488
T = 1539
Xi
61
66,5
68
61
Tingkat signifikansi uji : α = 5 %
ni
k
X ij 99049 2
i 1 j 1
k
ni
JKT X ij i 1 j 1
2
T2 99049 98688,38 360,625 N
244 2 399 2 408 2 488 2 98688,38 241,125 JKK 6 6 8 4
JKE JKT JKK 360,625 241,125 119,5 Tabel Anova SUMBER VARIASI
db
Jumlah kuadrat (JK)
Rata-rata kuadrat / kuadrat tengah
JKK
k-1= 3
241,125
s12 = 80,375
JKE
N-k= 20
119,5
s22= 5,975
23
360,625
Fhitung
Kelas/perlakuan
TOTAL
13,452
CONTOH 2 • Kesimpulan : Karena Fhitung = 13,452 > F0,05;(3;20)=3,099 • maka Ho ditolak
rata-rata waktu proses keempat operator tidak semua sama atau ada pengaruh operator terhadap waktu proses
ANOVA – 1 Arah dengan MS Excel Contoh 2 EXCEL: tools / data analysis / ANOVA: single factor
26
ANOVA – 1 arah Excel Output Contoh 2 Anova: Single Factor SUMMARY Groups Column 1 Column 2 Column 3 Column 4
Count 4 6 6 8
ANOVA Source of Variation Between Groups Within Groups
SS 241.125 119.5
Total
360.625
Sum Average Variance 244 61 3.333333 399 66.5 9.5 408 68 2.8 488 61 6.857143
df 3 20
MS F P-value F crit 80.375 13.45188 4.94E-05 3.098391 5.975
23 27
KEKUATAN HUBUNGAN ANTARA VARIABEL BEBAS DAN TAK BEBAS Kekuatan hubungan / asosiasi antara variabel x (perlakuan) dengan variabel y dalam sampel dinyatakan dalam ρ = JKK/JKT (ρ/100)% variasi yang terjasi dalam variabel y dari data sampel disebabkan oleh pengaruh variabel x (perlakuan) Contoh : untuk contoh 1 (sebelumnya)
JKK 114,111 0,0687 6,87% JKT 1660,944
Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan 2 faktor yang berpengaruh
Interaksi ditiadakan
Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi
Langkah-langkah: 1. Menentukan formulasi hipotesis a. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = 0 (pengaruh baris nol) H1 : sekurang-kurangnya satu i tidak sama dengan nol b. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = 0 (pengaruh kolom nol) H1 : sekurang-kurangnya satu j tidak sama dengan nol
Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi Langkah-langkah: 2. Menentukan taraf nyata () beserta F tabel a. Untuk baris: (1) = b – 1 (2) = (k-1)(b-1) b. Untuk kolom: (1) = k – 1 (2) = (k-1)(b-1) Fα (1 ;2)= ... 3. Menentukan kriteria pengujian
H0 diterima jika F0 ≤ Fα(1 ;2)
Daerah kritis penolakan H0 Daerah penerimaan H0
H0 ditolak jika F0 > Fα(1 ;2) 0
Do not reject H0
Reject H0
Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi
Langkah-langkah: 4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA
Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi
Langkah-langkah: 4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA k
JKT i 1
n
j 1
2
... T xij kb T j 2 T 2 415 2 JKK = ∑ = kb j =1 b k
JKE = JKT - JKB - JKK 5. Membuat kesimpulan
CONTOH 3. ANALISIS VARIANSI DUA ARAH Dari contoh 1 apabila minggu yang berbeda dicurigai akan memberi jumlah atau hasil produksi yang berbeda unit eksperimen dalam tiap stasiun kerja dibagi dalam minggu Minggu ke
Stasiun kerja I
Stasiun kerja II
Stasiun kerja III
Total
1 2
76 63
72 63
71 54
219 180
3 4
66 83
65 78
62 76
193 237
5 6
74 53
69 49
65 50
208 152
Jumlah (Xi)
415
396
378
1189 = Y
CONTOH 3. ANALISIS VARIANSI DUA ARAH
UJI HIPOTESIS
H 0 : 1 2 3
Rata-rata jumlah produk yang dihasilkan perminggu homogen
H1 : tidak semua sama
Tidak homogen
• Tingkat signifikansi uji : α = 5 % • Daerah kritis : Jika Fhitung > F0,05;(2;10)=4,103 k
ni
xij 80201 2
T 2 1189 2 78540,06 kb 18
N = 18
i 1 j 1
ni
T2 JKT xij 80201 78540,06 1660,94 kb i 1 j 1 k
2
k
T .j
j 1
b
JKK
2
T 2 415 2 396 2 378 2 78540 ,06 114,11 kb 6
CONTOH 3. ANALISIS VARIANSI DUA ARAH Ti T 2 219 2 180 2 1932 237 2 2082 152 2 JKB 78540,06 1508,94 kb 3 i 1 k 2
b
JKE JKT JKB JKK 1660,94 1508,94 114,11 37,89
SUMBER VARIASI - Rata-rata baris - Rata-rata kolom
- Kesalahan / error TOTAL
db
2 5 10 17
Jumlah kuadrat (JK) 114,11 1508,94 37,89 1660,944
KT
Fhitung
57,055 301,788 3,789
f1= 15,058 f2= 79,4
CONTOH 3 • Kesimpulan : Karena Fhitung = 15,06 > F0,05;(2;10)= 4,103 maka Ho ditolak ratarata jumlah produk yang dihasilkan ketiga stasiun kerja tiap minggunya tidak homogen (tidak sama) • Kesimpulan : Karena Fhitung = 79,44 > F0,05;(5;10)= 3,326 maka Ho ditolak ratarata jumlah produk yang dihasilkan ketiga stasiun kerja tiap minggunya tidak homogen (tidak sama)
ANOVA – 2 Arah dengan MS Excel Contoh 3 EXCEL: tools / data analysis / ANOVA: two factor without replication
38
ANOVA – 2 arah Excel Output Contoh 3 Anova: Two-Factor Without Replication SUMMARY Row 1 Row 2 Row 3 Row 4 Row 5 Row 6 Column 1 Column 2 Column 3
Count 3 3 3 3 3 3 6 6 6
ANOVA Source of Variation SS Rows 1508.944 Columns 114.1111 Error 37.88889 Total
Sum 219 180 193 237 208 152
1660.944
Average 73 60 64.33333 79 69.33333 50.66667
Variance 7 27 4.333333 13 20.33333 4.333333
415 69.16667 114.1667 396 66 97.6 378 63 97.6
df
MS F P-value F crit 5 301.7889 79.65103 1E-07 3.325835 2 57.05556 15.05865 0.000962 4.102821 10 3.788889 17
39
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan 2 faktor yang berpengaruh
Pengaruh interaksi kedua faktor tersebut diperhitungkan
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi Langkah-langkah: 1. Menentukan formulasi hipotesis
a. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = b = 0 H1 : sekurang-kurangnya satu i tidak sama dengan nol b. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = b = 0 H1 : sekurang-kurangnya satu j tidak sama dengan nol c. H0 : ()11 = ()12 = ()13 = ... = ()bk = 0 H1 : sekurang-kurangnya satu ()ij tidak sama dengan nol
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi Langkah-langkah:
2. Menentukan taraf nyata () beserta F tabel a. Untuk baris: (1) = b – 1 (2) = (kb)(n-1) b. Untuk kolom: (1) = k – 1 (2) = (kb)(n-1) c. Untuk interaksi: (1) = (k – 1)(b-1) (2) = (kb)(n-1) Fα (1 ;2)= ...
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi Langkah-langkah: 3. Menentukan kriteria pengujian a. Untuk baris, kolom dan untuk interaksi
H0 diterima jika F0 ≤ Fα(1 ;2) H0 ditolak jika F0 > Fα(1 ;2) Daerah kritis penolakan H0 Daerah penerimaan H0
0
Do not reject H0
Reject H0
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi Langkah-langkah: 4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi
Langkah-langkah: 4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA b
JKT i 1
k
j 1
n
2
... T 2 x ijc bkn c 1
JKE = JKT - JKB - JKK - JKI 5. Membuat kesimpulan
n = ulangan percobaan
CONTOH 4. ANALISIS VARIANSI DUA ARAH DGN INTERAKSI
• Empat varietas padi hendak dibandingkan hasilnya dengan memberikan pupuk. Percobaan dilakukan dengan menggunakan 8 petak yang seragam, masing-masing di 4 lokasi yang berbeda. Di setiap lokasi, dicobakan pada 2 petak yang ditentukan secara acak. Hasilnya (dalam kg) per petak adalah sbb:
Tabel hubungan antara jenis pupuk, varietas padi dan hasil panen
penyelesaian
penyelesaian
penyelesaian
penyelesaian
penyelesaian
