PENGUJIAN HIPOTESIS 1.
PENDAHULUAN
• Hipotesis Statistik :
pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi.
• Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis. • Kebenaran (benar atau salahnya ) suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti, kecuali kita memeriksa seluruh populasi. (Memeriksa seluruh populasi? Apa mungkin?) • Lalu apa yang kita lakukan, jika kita tidak mungkin memeriksa seluruh populasi untuk memastikan kebenaran suatu hipotesis? • Kita dapat mengambil sampel acak, dan menggunakan informasi (atau bukti) dari sampel itu untuk menerima atau menolak suatu hipotesis. Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENOLAK hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU BENAR dan Penolakan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENERIMA hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU SALAH. • Landasan penerimaan dan penolakan hipotesis seperti ini, yang menyebabkan para statistikawan atau peneliti mengawali pekerjaan dengan terlebih dahulu membuat hipotesis yang diharapkan ditolak, tetapi dapat membuktikan bahwa pendapatnya dapat diterima. Perhatikan contoh-contoh berikut : Contoh 1. Sebelum tahun 1993, pendaftaran mahasiswa Universtas GD dilakukan dengan pengisian formulir secara manual. Pada tahun 1993, PSA Universitas GD memperkenalkan sistem pendaftaran "ON-LINE". Seorang Staf PSA ingin membuktikan pendapatnya “bahwa rata-rata waktu pendaftaran dengan sistem ON-LINE akan lebih cepat dibanding dengan sistem yang lama” Untuk membuktikan pendapatnya, ia akan membuat hipotesis awal, sebagai berikut :
Hipotesis Awal :
rata-rata waktu pendaftaran SISTEM "ON-LINE" sama saja dengan SISTEM LAMA.
Staf PSA tersebut akan mengambil sampel dan berharap hipotesis awal ini ditolak, sehingga pendapatnya dapat diterima!
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 1 dari 11
Contoh 2 : Manajemen PERUMKA mulai tahun 1992, melakukan pemeriksaan karcis KRL lebih intensif dibanding tahun-tahun sebelumnya, pemeriksaan karcis yang intensif berpengaruh positif terhadap penerimaan PERUMKA. Untuk membuktikan pendapat ini, hipotesis awal yang diajukan adalah : Hipotesis Awal :
TIDAK ADA PERBEDAAN penerimaan SESUDAH maupun SEBELUM dilakukan perubahan sistem pemeriksaan karcis.
Manajemen berharap hipotesis ini ditolak, sehingga membuktikan bahwa pendapat mereka benar!
Contoh 3. (Kerjakan sebagai latihan!!!) Eko Nomia S.E., seorang akuntan memperbaiki sistem pembebanan biaya di perusahaan tempatnya bekerja. Ia berpendapat setelah perbaikan sistem pembebanan biaya pada produk maka rata-rata harga produk turun. Bagaimana ia menyusun hipotesis awal penelitiannya? Hipotesis Awal : .........?
PENJELASAN • Hipotesis Awal yang diharap akan ditolak disebut : Hipotesis Nol ( H0 ) Hipotesis Nol juga sering menyatakan kondisi yang menjadi dasar pembandingan. • Penolakan H0 membawa kita pada penerimaan Hipotesis Alternatif ( H1 ) (beberapa buku menulisnya sebagai H A ) • Nilai Hipotesis Nol ( H0 ) harus menyatakan dengan pasti nilai parameter. H0 → ditulis dalam bentuk persamaan • Sedangkan Nilai Hipotesis Alternatif ( H1 ) dapat memiliki beberapa kemungkinan. H1 → ditulis dalam bentuk pertidaksamaan (< ; > ; ≠) Contoh 4.(lihat Contoh 1.) Pada sistem lama, rata-rata waktu pendaftaran adalah 50 menit Kita akan menguji pendapat Staf PSA tersebut, maka Hipotesis awal dan Alternatif yang dapat kita buat : H0 : µ = 50 menit (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda) H1 : µ ≠ 50 menit (sistem baru tidak sama dengan sistem lama) atau H0 : µ = 50 menit (sistem baru sama dengan sistem lama) H1 : µ < 50 menit ( sistem baru lebih cepat)
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 2 dari 11
Contoh 5 (lihat Contoh 2.) Penerimaan PERUMKA per tahun sebelum intensifikasi pemeriksaan karcis dilakukan = Rp. 3 juta. Maka Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif dapat disusun sebagai berikut :
H0 H1 atau H0 H1
: :
µ = 3 juta (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda) µ ≠ 3 juta (sistem baru tidak sama dengan sistem lama)
: :
µ = 3 juta (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda) µ > 3 juta (sistem baru menyebabkan penerimaan per tahun lebih besar dibanding sistem lama)
PERHATIKAN :
• Penolakan atau Penerimaan Hipotesis dapat membawa kita pada 2 jenis kesalahan (kesalahan= error = galat), yaitu : 1.
Galat Jenis 1 → Penolakan Hipotesis Nol ( H0 ) yang benar Galat Jenis 1 dinotasikan sebagai α α juga disebut → taraf nyata uji Catatan : konsep α dalam Pengujian Hipotesis sama dengan konsep konsep α pada Selang Kepercayaan
2.
Galat Jenis 2 → Penerimaan Hipotesis Nol ( H0 ) yang salah Galat Jenis 2 dinotasikan sebagai β
• Prinsip pengujian hipotesis yang baik adalah meminimalkan nilai α dan β • Dalam perhitungan, nilai α dapat dihitung sedangkan nilai β hanya bisa dihitung jika nilai hipotesis alternatif sangat spesifik. • Pada pengujian hipotesis, kita lebih sering berhubungan dengan nilai α. Dengan asumsi, nilai α yang kecil juga mencerminkan nilai β yang juga kecil. Catt : keterangan terperinci mengenai nilai α dan β, dapat anda temukan dalam bab 10, Pengantar Statistika, R. E. Walpole) • Prinsip pengujian hipotesa adalah perbandingan nilai statistik uji (z hitung atau t hitung) dengan nilai titik kritis (Nilai z tabel atau t Tabel) • Titik Kritis adalah nilai yang menjadi batas daerah penerimaan dan penolakan hipotesis. • Nilai α pada z atau t tergantung dari arah pengujian yang dilakukan.
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 3 dari 11
2.
ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS
• Pengujian Hipotesis dapat dilakukan secara :
1. 2.
Uji Satu Arah Uji Dua Arah
2.1
Ö UJI SATU ARAH Õ
0
Pengajuan H0 dan H1 dalam uji satu arah adalah sebagai berikut:
H0 H1
: ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =) : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)
Contoh 6. Contoh Uji Satu Arah H0 a. : µ = 50 menit H1 : µ < 50 menit
b.
H0 H1
: :
µ = 3 juta µ < 3 juta
0 Nilai α tidak dibagi dua, karena seluruh α diletakkan hanya di salah satu sisi selang misalkan : µ = µ 0 *) H0 :
H1
:
Wilayah Kritis **)
:
*) **)
µ < µ0
z < − zα
atau
t <
µ 0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0 Penggunaan z atau t tergantung ukuran sampel sampel besar menggunakan z; sampel kecil menggunakan t.
luas daerah terarsir ini = α
-z α atau - t(db;α)
0
daerah yang diarsir →
daerah tak diarsir →
daerah penolakan hipotesis daerah penerimaan hipotesis
misalkan : H0
µ = µ 0 *)
:
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 4 dari 11
− t( db ;α )
H1
:
Wilayah Kritis **)
:
µ > µ0 z > zα
atau
t > t( db ,α )
luas daerah terarsir ini = α
z α atau t (db;α)
0 daerah terarsir →
daerah tak terarsir →
daerah penolakan hipotesis daerah penerimaan hipotesis
2.2
Ù UJI DUA ARAH Ù
0
Pengajuan H0 dan H1 dalam uji dua arah adalah sebagai berikut :
H0 H1
: ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =) : ditulis dengan menggunakan tanda ≠
Contoh 7. Contoh Uji Dua Arah H0 a. : µ = 50 menit H1 : µ ≠ 50 menit 0
a.
H0 H1
: :
Nilai α dibagi dua, karena α diletakkan di kedua sisi selang
misalkan :
H0
:
H1
:
Wilayah Kritis **)
:
µ = µ 0 *) µ ≠ µ0 z < − zα dan
z > zα
2
atau
t < − t( db ,α
*) **)
2)
dan
2
t > t ( db;α
2)
µ 0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0 Penggunaan z atau t tergantung ukuran sampel sampel besar menggunakan z; sampel kecil menggunakan t.
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 5 dari 11
µ = 3 juta µ ≠ 3 juta
luas daerah terarsir ini = α/2 = 0.5%
luas daerah terarsir ini = α/2 = 0.5%
-z α/2 atau -t(db;α/2) daerah terarsir →
daerah tak terarsir →
0
z α/2 atau t(db;α/2)
daerah penolakan hipotesis daerah penerimaan hipotesis
3.
PENGERJAAN UJI HIPOTESIS
3.1
Tujuh (7) Langkah Pengerjaan Uji Hipotesis
1. 2* 3* 4* 5. 6. 7.
Tentukan H0 dan H1 Tentukan statistik uji [ z atau t] Tentukan arah pengujian [1 atau 2] Taraf Nyata Pengujian [α atau α/2] Tentukan nilai titik kritis atau daerah penerimaan-penolakan H0 Cari nilai Statistik Hitung Tentukan Kesimpulan [terima atau tolak H0 ]
*) Urutan pengerjaan langkah ke2, 3 dan 4 dapat saling dipertukarkan! 0
Beberapa Nilai z yang penting
z5% = z0.05 =1.645 z1% = z0.01 = 2.33
3.2
z2.5% = z0.025 =1.96 z0.5% = z0.005 = 2.575
Rumus-rumus Penghitungan Statistik Uji
1. Rata-rata dari Sampel Besar 2. Rata-rata dari Sampel Kecil 3. Beda 2 Rata-rata dari Sampel Besar 4. Beda 2 Rata-rata dari Sampel Kecil
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 6 dari 11
H0
Nilai Uji Statistik
H1
1. µ = µ 0
x − µ0 z= σ / n
µ < µ0
→
z < − zα
µ > µ0
→
z > zα
µ ≠ µ0
→
z < − zα
sampel besar n ≥ 30
2. µ = µ 0
σ dapat diganti dengan s
t=
Wilayah Kritis
z > zα
x − µ0 s / n
sampel kecil n<30
dan 2
2
µ < µ0
→
t < − t( db;α )
µ > µ0
→
t > t( db ,α )
µ ≠ µ0
→
t < − t( db ,α t > t ( db;α
2)
dan
2)
db = n-1
3. µ1 − µ2 = d 0
sampel-sampel besar n1 ≥ 30 n2 ≥ 30
H0 4. µ1 − µ2 = d 0 sampel -sampel kecil n1 < 30 n2 < 30
z=
x1 − x2 − d 0 (σ12 / n1 ) + (σ 22 / n2 )
tidak Jika σ dan σ 2 diketahui → gunakan 2 2 s1 dan s2 2 1
z < − zα
µ1 − µ2 > d 0 →
z > zα
µ1 − µ2 ≠ d0 →
z < − zα
2
Nilai Uji Statistik
t=
µ1 − µ2 < d 0 →
x1 − x2 − d 0 ( s12 / n1 ) + (s22 / n2 )
z > zα
dan 2
2
H1
Wilayah Kritis
µ1 − µ2 < d 0 →
t < − tα
µ1 − µ2 > d 0 →
µ1 − µ2 ≠ d0 →
t > tα
t < − t( db ,α
2)
dan t > t ( db;α
2)
db = n1 + n2 − 2
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 7 dari 11
3.2.1
Uji Hipotesis Rata-rata Sampel Besar
Contoh 8 : Dari 100 nasabah bank rata-rata melakukan penarikan $495 per bulan melalui ATM, dengan simpangan baku = $45. Dengan taraf nyata 1% , ujilah :
a) apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM kurang dari $500 per bulan ? b} apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM tidak sama dengan $500 per bulan ? (Uji 2 arah, α/2 = 0.5%, statistik uji=z)
Jawab : Diketahui: a)
1. 2* 3* 4* 5. 6.
z=
7.
x = 495
s = 45
n=100
µ 0 =500
α=1%
H0 : µ = 500 H1 : µ < 500 statistik uji : z → karena sampel besar arah pengujian : 1 arah Taraf Nyata Pengujian = α = 1% = 0.01 Titik kritis → z < - z 0.01 → z < - 2.33 Statistik Hitung
x − µ0 495 − 500 − 5 = = = -1.11 σ / n 45 / 100 4.5
Kesimpulan : z hitung = -1.11 ada di daerah penerimaan H0
H0 diterima, rata-rata pengambilan uang di ATM masih = $ 500 Daerah penolakan H0 = luas daerah terarsir ini = α = 1% Daerah penerimaan H0
-2.33
0
b) Coba anda kerjakan sebagai latihan ! ( H1 : µ≠ 500; Uji 2 arah, α/2 = 0.5%, statistik uji=z)
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 8 dari 11
3.2.2. Uji Hipotesis Rata-rata Sampel Kecil Contoh 9 : job-specialist menguji 25 karyawan dan mendapatkan bahwa rata-rata Seorang penguasaan pekerjaan kesekretarisan adalah 22 bulan dengan simpangan baku = 4 bulan. Dengan taraf nyata 5% , ujilah : a) Apakah rata-rata penguasaan kerja kesekretarisan lebih dari 20 bulan? b) Apakah rata-rata penguasaan kerja kesekretarisan tidak sama dengan 20 bulan?
Jawab: Diketahui :
x = 22
s=4
α = 5%
µ 0 = 20
n = 25
a) Ditinggalkan sebagai latihan ( H1 : µ > 20; uji 1 arah, α=5%, statistik uji = t, db = 24) H0 : µ = 20 H1 : µ ≠ 20 b) 1. 2* statistik uji : t → karena sampel kecil 3* arah pengujian : 2 arah 4* Taraf Nyata Pengujian = α = 5% = 0.05 α/2 = 2.5% = 0.025 5. Titik kritis db = n-1 = 25-1 = 24 t > t ( db;α ) Titik kritis → t < − t( db ,α ) dan 2
2
t < -t (24; 2.5%) → t < -2.064 t > t (24; 2.5%) → t > 2.064
6.
Statistik Hitung
t= 7.
x − µ0 22 − 20 2 = = = 2.5 s / n 4 / 25 0.8
Kesimpulan : t hitung = -2.5 ada di daerah penolakan H0 H0 ditolak, H1 diterima , rata-rata penguasaan pekerjaan kesekretarisan ≠ 20 bulan
Daerah penolakan H0 = luas daerah terarsir ini = α/2 = 2.5%
Daerah penolakan H0 = luas daerah terarsir ini = α/2 = 0.5% Daerah penerimaan H0
-2.064 3.2.3
dan
0
2.064
Uji Hipotesis Beda 2 Rata-rata Sampel Besar
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 9 dari 11
Contoh 10 :
Berikut adalah data nilai prestasi kerja karyawan yang mendapat training dengan yang tidak mendapat training.
rata-rata nilai prestasi ragam ukuran sampel
DGN TRAINING x1 = 300
TANPA TRAINING x2 = 302
s12 = 4 n1 = 40
s22 = 4.5 n2 = 30
Dengan taraf nyata 5 % ujilah : a.
Apakah perbedaan rata-rata nilai prestasi kerja µ1 − µ2 > 0?
b.
Apakah ada perbedaan rata-rata prestasi kerja µ1 − µ2 ≠ 0?
Jawab : α = 5 % a)
d0 = 0
1. 2* 3* 4* 5.
H0 : µ1 − µ2 = 0 H1 : µ1 − µ2 > 0 statistik uji : z → karena sampel besar arah pengujian : 1 arah Taraf Nyata Pengujian = α = 5% Titik kritis → z > z5% → z > 1.645
6.
Statistik Hitung
z=
x1 − x2 − d 0 ( s / n1 ) + ( s / n2 ) 2 1
2 2
=
300 − 302 − 0 = (4 / 40) + (4.5 / 30)
2 = 0.1 + 0.15
2 2 = = 0.25 0.5
4 7.
Kesimpulan : z hitung = 4 ada di daerah penolakan H0 H0 ditolak, H1 diterima → beda rata-rata prestasi kerja > 0
b) Coba anda kerjakan sebagai latihan statistik uji=z)
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 10 dari 11
( H1 : µ1 − µ2 ≠ 0; Uji 2 arah, α/2 = 2.5%,
3.2.4
Uji Hipotesis Beda 2 Rata-rata Sampel Kecil
Contoh 11 :
Berikut adalah data kerusakan produk yang dibuat oleh karyawan shift malam dan siang.
rata-rata kerusakan ragam ukuran sampel
SHIFT MALAM x1 = 20
SHIFT SIANG x2 = 12
s12 = 3.9 n1 = 13
s22 = 0.72 n2 = 12
Dengan taraf nyata 1 % ujilah : a)
Apakah perbedaan rata-rata kerusakan µ1 − µ2 < 10?
b)
Apakah ada perbedaan rata-rata kerusakan µ1 − µ2 ≠ 10?
Jawab : α = 1 %
d 0 = 10
a) Coba kerjakan sendiri ! ( H1 : µ1 − µ2 < 10; uji 1 arah, α=1%, statistik uji = t, db = 13 + 12 - 2 = 23)
b)
1. 2* 3* 4* 5.
H0 : µ1 − µ2 = 10 H1 : µ1 − µ2 ≠ 10 statistik uji : t → karena sampel kecil arah pengujian : 2 arah Taraf Nyata Pengujian = α = 1% = 0.01 α/2 = 0.5% = 0.005 Titik kritis db = n1 + n2 - 2 = 13+ 12 - 2 = 23 t > t ( db;α dan Titik kritis → t < − t( db ,α ) 2
t < -t (23; 0.5%) → t < -2.807 t > t (23; 0.5%) → t > 2.807
6.
t=
( s / n1 ) + (s / n2 ) 7.
dan
Statistik Hitung
x1 − x2 − d 0 2 1
2)
2 2
=
20 -12 − 10 = (3.9 / 13) + (0.72 / 12)
8 − 10 −2 −2 = = = -3.33 0.30 + 0.06 0.36 0.60
Kesimpulan : t hitung = -3.3 ada di daerah penolakan H0 H0 ditolak, H1 diterima , rata-rata kerusakan ≠ 10. ±± ±±
Uji Hipotesis / thomas yuni gunarto / hal 11 dari 11
