Ukuran Letak (Fraktil) Oleh : Riandy Syarif
• Ukuran letak (Fraktil) merupakan ukuran yg menunjukan pada bagian mana data tersebut terletak pada suatu data yg telah diurutkan • Ukuran letak terdiri atas :
Kuartil Ukuran Letak
Desil
Persentil
1. Kuartil • Kuartil adalah ukuran letak yg membagi data yg telah diurutkan atau data yg berkelompok menjadi 4 bagian sama besar atau setiap bagian kuartil sebesar 25%
0 0%
K1 25%
K2 50%
K3 75%
N 100%
Untuk mencari letak kuartil maka digunakan rumus sebagai berikut : Rumus Ukuran Letak
Ukuran Letak
Data tunggal
Data Berkelompok
Kuartil 1 (K1)
1(n+1)/4
1n/4
Kuartil 2 (K2)
2(n+1)/4
2n/4
Kuartil 3 (K3)
3(n+1)/4
3n/4
• Berikut ini adalah harga saham 19 perusahaan yg terdaftar di BEI. Carilah K1, K2 dan K3 No
Harga Saham
No
Harga Saham
1
160
11
500
2
285
12
525
3
300
13
550
4
360
14
550
5
370
15
575
6
405
16
600
7
410
17
650
8
450
18
700
9
500
19
875
10
500
• K1 = 1(n+1)/4 = 1(19+1)/4 = 5 • K2 = 2(n+1)/4 = 2(19+1)/4 = 10 • K3 = 3(n+1)/4 = 3(19+1)/4 = 15
0% 25% 50% 75% 100% 160 285 300 360 370 405 410 450 500 500 500 525 550 550 575 600 650 700 875 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
• Jika dari soal di atas ditanyakan : a) Apabila investor ingin membeli saham perusahaan yg termasuk baik yaitu diantara 50% s/d 75% dari perusahaan yg ada, maka berapa nilai saham yg harus dibeli? b) Apabila kita tidak ingin membeli saham perusahaan dari perusahaan yg harga sahamnya termasuk 25% terendah, maka perusahaan apa saja yg disarankan untuk tidak dibeli?
• Penyelesaiannya : a) 50% = K2 yg nilainya 500 dan 75% = K3 yg nilainya 575. jadi harga saham yg bisa dibeli oleh investor berada pada kisaran 500 s/d 575 b) 25% = K1 yang nilainya 370, artinya harga saham yg berada di bawah 370 tidak disarankan untuk dibeli
• Apabila kuartil berupa nilai pecahan atau tidak ada nilai yg pas pada letak tersebut, maka nilai kuartil perlu dihitung dengan rumus berikut : 𝑳𝑲 − 𝑳𝑲𝑩 𝑵𝑲 = 𝑵𝑲𝑩 + × (𝑵𝑲𝑨 − 𝑵𝑲𝑩) 𝑳𝑲𝑨 − 𝑳𝑲𝑩
• Dimana : a) NK : Nilai kuartil b) LK : Letak kuartil c) NKB : Nilai kuartil dibawah LK d) LKB : Letak data kuartil dibawah LK e) LKA : Letak nilai kuartil diatas LK f) NKA : Nilai kuartil diatas LK
K1 K2 K3
N0 1 2
Perusahaan PT Alfa Retailindo PT. Astra Graphia
Laba Bersih 25 65
3 4 5 6 7 8
PT. Aneka Tambang PT. Astra Agro Lestari PT. Bimantara Citra PT. Indosat PT. H.M. Sampoerna PT. Telkom
123 180 392 436 1480 7568
• Berdasarkan data di atas, diketahui nilai kuartil : K1 = 2,25, K2 = 4,50 dan K3 = 6,75 • Letak Kuartil itu pada nomor urut, nilai kuartil pada laba bersih
N0
Perusahaan
Laba Bersih
1
PT Alfa Retailindo
25
2
PT. Astra Graphia
65
3
PT. Aneka Tambang
123
4
PT. Astra Agro Lestari
180
5
PT. Bimantara Citra
392
6
PT. Indosat
436
7
PT. H.M. Sampoerna
1480
8
PT. Telkom
7568
Nilai kuartil untuk letak kuartil 2,25 adalah : 𝐿𝐾 − 𝐿𝐾𝐵 𝑁𝐾 = 𝑁𝐾𝐵 + × (𝑁𝐾𝐴 − 𝑁𝐾𝐵) 𝐿𝐾𝐴 − 𝐿𝐾𝐵 2,25 − 2 𝑁𝐾 = 65 + × 123 − 65 = 79,5 3−2
Nilai kuartil untuk letak kuartil 4,5 adalah : 𝐿𝐾 − 𝐿𝐾𝐵 𝑁𝐾 = 𝑁𝐾𝐵 + × (𝑁𝐾𝐴 − 𝑁𝐾𝐵) 𝐿𝐾𝐴 − 𝐿𝐾𝐵 4,5 − 4 𝑁𝐾 = 180 + × 392 − 180 = 286 5−4 Nilai kuartil untuk letak kuartil 6,75 adalah : 𝐿𝐾 − 𝐿𝐾𝐵 𝑁𝐾 = 𝑁𝐾𝐵 + × (𝑁𝐾𝐴 − 𝑁𝐾𝐵) 𝐿𝐾𝐴 − 𝐿𝐾𝐵 6,75 − 6 𝑁𝐾 = 436 + × 1.480 − 436 = 1.219 7−6
Kuartil Data Berkelompok Untuk menentukan nilai kuartil data berkelompok maka melakukan langkah sebagai berikut : Pertama, Menentukan letak data kuartil untuk data berkelompok
Kedua, Melakukan interpolasi untuk mengetahui nilai kuartil
Rumus Interpolasi Kuartil Data Berkelompok (𝒊 × 𝒏) − 𝑪 𝒇 𝟒 𝑵𝑲𝒊 = 𝑳 + × 𝑪𝒊 𝑭𝒌 NKi = Nilai kuartil ke i dimana i = 1, 2, 3 L = Tepi Kelas n = Jumlah data Cf= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil Fk = Frekuensi pada kelas kuartil Ci = Interval kelas kuartil
INTERVAL
FREKUENSI
TEPI KELAS
160 – 303 304 – 447 448 – 591
2 5 9
159,5 303,5 447,5
592 – 735
3
736 – 878
1
591,5 735,5 878,5
• Letak kuartil a) K1 = (1 x 20)/4 = 5 b) K2 = (2 x 20)/4 = 10 c) K3 = (3 x 20)/4 = 15
INTERVAL
FREKUENSI
Frek. Kumulatif
TEPI KELAS
160 – 303
2
0
159,5
304 – 447
5
2
303,5
448 – 591
9
7
447,5
592 – 735
3
16
591,5
19
735,5
20
878,5
736 – 878
1
(𝑖 × 𝑛) − 𝐶𝑓 4 𝑁𝐾𝑖 = 𝐿 + × 𝐶𝑖 𝐹𝑘 (1 × 20) − 2 4 𝑁𝐾1 = 303,5 + × 143 = 389,3 5 (2 × 20) − 7 4 𝑁𝐾2 = 447,5 + × 143 = 495,17 9 (3 × 20) − 7 4 𝑁𝐾2 = 447,5 + × 143 = 574,61 9
2. Desil • Desil adalah ukuran letak yg membagi data yg telah diurutkan menjadi 10 bagian sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 10% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 N Ukuran Letak
Rumus Ukuran Letak Data tunggal
Data Berkelompok
Desil 1 (D1)
1(n+1)/10
1n/10
Desil 2 (D2)
2(n+1)/10
2n/10
…
…
…
Desil 9 (D9)
9(n+1)/10
9n/10
• Jika letak desil dalam bentuk pecahan maka dihitung dengan rumus : 𝑳𝑫 − 𝑳𝑫𝑩 𝑵𝑫 = 𝑵𝑫𝑩 + × (𝑵𝑫𝑨 − 𝑵𝑫𝑩) 𝑳𝑫𝑨 − 𝑳𝑫𝑩 Keterangan : a) ND : Nilai desil b) LD : Letak desil c) NDB : Nilai desil dibawah LD d) LDB : Letak data desil dibawah LD e) LDA : Letak nilai desil diatas LD f) NDA : Nilai desil diatas LD Rumus Interpolasi Desil Data Berkelompok : (𝒊 × 𝒏) − 𝑪𝒇 𝟏𝟎 𝑵𝑫𝒊 = 𝑳 + × 𝑪𝒊 𝑭𝒌
3. Persentil • Persentil ukuran letak yg membagi data yg telah diurutkan menjadi 100 bagian yg sama besar, atau setiap bagian sebesar 1% 0% 0
1% P1
2% P2
3% P3
….. …..
99% 100% P99 N
• Apabila Bapepam ingin No mengetahui 15% perusahaan yg harga 1 sahamnya terendah, harga 2 seham berapa yg masuk 3 kelompok itu? 4 • Jika Bapepam ingin memberi penghargaan 5 pada 5% perusahaan dgn 6 nilai tertinggi, maka 7 perusahaan dgn harga saham berap yg masuk 8 kategori itu? 9 • Apabila Bank ingin 10 memeberikan kredit kepada 50% perusahaan yg harga sahamnya berkisar antara 25% - 75%, maka perusahaan yg mana ?
Harga Saham
No
Harga Saham
160
11
500
285
12
525
300
13
550
360
14
550
370
15
575
405
16
600
410
17
650
450
18
700
500
19
875
500
• Pengertian 15% perusahaan dgn harga saham terendah, dalam bahasa persentil adalah P15. maka Letak P15 = 15(19+1)/100 =3 • Pengertian 5% perusahaan dengan harga saham tertinggi adalah P95 atau 95%, hasil dari 100%-5%. Maka P95 = 95(19+1)/100=19 • Pengertian kisaran harga 25% - 75% adalah P25 sampai P75, maka • P25 = 25(19+1)/100=5 • P75 = 75(19+1)/100=15
P15
P25
No
Harga Saham
No
Harga Saham
1
160
11
500
2
285
12
525
3
300
13
550
4
360
14
550
5
370
15
575
6
405
16
600
7
410
17
650
8
450
18
700
9
500
19
875
10
500
P75
P95
• Saham yg termasuk 15% terendah ada di P15 dengan harga saham 300 • Perusahaan yg termasuk 5% persen terbaik ada pada P95 dengan harga saham 875 • Perusahaan yg mendapat kredit ada pada kisaran P25 sampai P75, dengan harga saham pada kisaran 370 – 575, ada sekitar 10 perusahaan yg bisa memperoleh kredit.
𝑳𝑷 − 𝑳𝑷𝑩 𝑵𝑷 = 𝑵𝑷𝑩 + × (𝑵𝑷𝑨 − 𝑵𝑷𝑩) 𝑳𝑷𝑨 − 𝑳𝑷𝑩 Keterangan : a) NP : Nilai Persentil b) LP : Letak Persentil c) NPB : Nilai Persentil dibawah LP d) LPB : Letak data Persentil dibawah LP e) LPA : Letak nilai Persentil diatas LP f) NPA : Nilai Persentil diatas LP Rumus Interpolasi Persentil Data Berkelompok : (𝒊 × 𝒏) − 𝑪𝒇 𝟏𝟎𝟎 𝑵𝑷𝒊 = 𝑳 + × 𝑪𝒊 𝑭𝒌
