BAB V UKURAN LETAK Selain ukuran pemusatan terdapat pula ukuran letak. Salah satu dari ukuran letak adalah median yang menunjukkan nilai skor tengah dalam susunan skor yang diurutkan mulai dari yang terkecil ke yang terbesar. Dengan demikian median terletak di tengah-tengah data yang telah diurutkan dan dapat dianggap bahwa median membagi data yang telah diurutkan itu menjadi dua sub kelompok yang sama banyak. Selain median yang telah kita pelajari sebelum ini ada ukuran letak lainnya yakni Kuartil, Desil, dan Persentil yang akan kita pelajari berikut.
5.1 Pengertian Kuartil, Desil, dan Persentil. • Kuartil Kuartil adalah bilangan yang 'dapat dianggap' membagi data yang telah diurutkan menurut besarnya, dari yang terkecil ke yang terbesar, menjadi empat sub kelompok yang sama banyak. Ada 3 macam kuartil yakni: -
Kuartil pertama (Q1)
-
Kuartil kedua (Q2) yang juga merupakan median, dan
-
Kuartil ketiga (Q3)
Nilai kuartil tidak harus terdapat pada data. • Desil Desil ialah bilangan yang 'dapat dianggap' membagi data yang telah diurutkan menurut besarnya, dari yang terkecil ke yang terbesar, menjadi sepuluh sub kelompok yang sama banyak. Dengan demikian terdapat 9 macam desil yakni mulai dari desil pertama (D1) sampai dengan desil kesembilan (D9).
• Persentil Persentil ialah bilangan yang 'dapat dianggap' membagi data yang telah diurutkan menurut besarnya, dari yang terkecil ke yang terbesar, menjadi 100 sub kelompok yang sama banyak. Dengan demikian terdapat 99 macam persentil yakni mulai dari persentil pertama (P1) sampai dengan persentil ke sembilan puluh sembilan (P99). Mudah dipahami bahwa Median = Q2 = D5 = P50
Statistika-Handout 5
26
5.2 Cara Menghitung Kuartil, Desil, dan Persentil Data Tunggal (Tak Terkelompok)
Kuartil Kuartil ke-i ialah bilangan yang 'dapat dianggap' sebagai data (skor) yang urutan i n 1 , i = 1, 2, 3 sehingga kuartil ke-i yang dilambangkan 4
besarnya bernomor
dengan Qi ditentukan oleh: Qi = skor ke
i n 1 , dengan i = 1, 2, 3 4
Contoh 5.1. a. Berikut data berat badan (dalam satuan kilogram) dari 11 orang siswa: 49, 44, 62, 54, 38, 40, 53, 46, 45, 36, 42. Tentukan Q1, Q2, dan Q3. b. Dari 11 siswa yang diukur tinggi badannya (dalam satuan sentimeter), diperoleh data sebagai berikut: 170, 162, 157, 158, 165, 173, 160, 159, 171, 168, 175, 175, 180. Tentukan Q1, Q2, dan Q3. c. Selama 12 hari dilakukan pengamatan terhadap jumlah pengunjung sebuah supermarket yang baru dibuka sehingga diperoleh data: 96, 70, 82, 50, 84, 71, 28, 64, 72, 68, 72, 50. Tentukan Q1, Q2, dan Q3.
Jawab: a. Data diurutkan sehingga diperoleh: 36 38 40 42 44 45 46 49 53 54 62
(n = 11)
Selanjutnya, Q1, Q2, dan Q3 ditentukan sebagai berikut:
• Q1 = skor ke
111 1 12 = skor ke = skor ke 3 = 40. Jadi, Q1 = 40 4 4
• Q2 = skor ke
211 1 24 = skor ke = skor ke 6 = 45. Jadi, Q2 = 45 4 4
Statistika-Handout 5
27
• Q3 = skor ke
311 1 36 = skor ke = skor ke 9 = 53. Jadi, Q3 = 53 4 4
36 38 40 42 44 45 46 49 53 54 62 ↓
↓
↓
Q1
Q2
Q3
b. Data diurutkan sehingga diperoleh: 157 158 159 160 162 165 168 170 171 173 175 175 180 (n = 13) Selanjutnya, Q1, Q2, dan Q3 ditentukan sebagai berikut:
• Q1 = skor ke
113 1 14 1 = skor ke = skor ke 3 2 4 4
Jadi, Q1 terletak di antara skor ke-3 dan skor ke 4, dan nilainya adalah: Q1 =
1 (159 + 160) = 159,5 2
• Q2 = skor ke
213 1 28 = = 7. 4 4
Jadi, Q2 adalah skor ke-7 = 168
• Q3 = skor ke
313 1 42 1 = = 10 . 4 4 2
Jadi, Q3 terletak di antara skor ke-10 dan skor ke-11 Q3 =
1 (173 + 175) = 174 2
157 158 159 160 162 165 168 170 171 173 175 175 180 ↓ Q1 = 159,5
↓
↓
Q2 = 168
Q3 = 174
Pada contoh ini, nilai Q1 dan Q3 tidak terdapat pada data tetapi dapat ditentukan dari rataan dua skor yang mengapitnya..
Statistika-Handout 5
28
c. Data diurutkan sehingga diperoleh: 28 50 50 64 68 70 71 72 72 82 84 96 (n = 12) Selanjutnya, Q1, Q2, dan Q3 ditentukan sebagai berikut: • Q1 = skor ke
112 1 13 1 = skor ke = skor ke 3 . 4 4 4
Jadi, diperoleh: Q1 = skor ke-3 +
= 50 +
• Q2 = skor ke
1 (14) = 50 + 3,5 = 53,5 4
212 1 26 1 = skor ke = skor ke 6 . 4 4 2
Jadi, diperoleh: Q2 = skor ke-6 +
= 70 + • Q3 = skor ke
1 (skor ke-4 – skor ke-3) 4
1 (skor ke-7 – skor ke-6) 2
1 (1) = 70 + 0,5 = 70,5 2
312 1 39 3 = skor ke = skor ke 9 . 4 4 4
Jadi, diperoleh: Q3 = skor ke-9 + = 72 +
3 (skor ke-10 – skor ke-9) 4
3 (82 - 72) = 72 + 7,5 = 79,5 4
28 50 50 64 68 70 71 72 72 82 84 96 ↓
↓
Q1 = 53,5
Q2 = 70,5
↓ Q3 = 79,5
Desil Desil ke-i ialah bilangan yang 'dapat dianggap' sebagai data (skor) yang urutan besarnya bernomor
in 1 , i = 1 ,2 ,3 , … , 9 sehingga desil ke-i yang dilambangkan 10
dengan Di ditentukan oleh:
Statistika-Handout 5
29
Di = skor ke
i n 1 dengan i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10
Sebagaimana kuartil, nilai desil juga tidak harus terdapat pada data.
Contoh 5.2 Tentukan nilai D6 dari data pengamatan terhadap jumlah pengunjung sebuah toko buku yang baru dibuka sebagai berikut: 9, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47. Jawab: Data sudah diurutkan yakni: 9, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47. ( n= 20) Selanjutnya D6 ditentukan sebagai berikut:
D6 = skor ke
620 1 126 = skor ke = skor ke 12,6 10 10
D6 = skor ke 12 + 0,6 ( skor ke-13 – skor ke-12) = 25 + 0,6 ( 27 – 25) = 25 + 1,2 = 26,2
Persentil
Serupa dengan cara menghitung kuartil dan desil di atas, persentil ke-i ialah bilangan yang 'dapat dianggap' sebagai data (skor) yang urutan besarnya bernomor
in 1 , 100
dengan i = 1, 2, 3, … , 99 sehingga persentil ke-i yang dilambangkan dengan Pi ditentukan oleh:
Statistika-Handout 5
30
Pi = skor ke
in 1 dengan i = 1, 2, 3, … , 99 100
Sebagaimana kuartil dan desil, nilai persentil juga tidak harus terdapat pada data.
5.3 Cara menghitung Kuartil, Desil, dan Persentil Data dalam Daftar Distribusi Frekuensi Berkelompok
Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi berkelompok, kuartil dihitung dengan rumus sebagai berikut. in 4 F Qi = Bb + p , dengan i = 1, 2, 3 f
dengan Qi : kuartil ke-i Bb : Batas bawah kelas Qi yaitu kelas interval yang memuat Qi p : panjang kelas Qi F : Jumlah semua frekuensi kelas sebelum kelas Qi f
: frekuensi kelas Qi
Contoh 5.3. Tentukan kuartil pertama, kedua, dan ketiga dari data Nilai Ujian Matematika siswa SMP X berikut. Nilai 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 Jumlah
f 2 3 5 13 25 20 12 80
Jawab: Untuk memudahkan perhitungan, pada tabel tersebut dapat ditambahkan kolom frekuensi kumulatif (fkum ) seperti berikut ini.
Statistika-Handout 5
31
Nilai 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 Jumlah
Q1 terletak pada skor ke
f 2 3 5 13 25 20 12 80
fkum 2 5 10 23 48 68 80 -
1.n 1.80 = skor ke = skor ke 20. 4 4
sehingga Q1 terletak pada kelas keempat yaitu kelas [61 – 70] diperoleh: batas bawah = Bb = 61 – 0,5 = 60,5 panjang kelas = p = 10 F = 10 (fkum sebelum kelas Q1) f = 13 (frekuensi kelas Q1) Jadi, n 4 F 20 10 10 Q1 = Bb + p = 60,5 + 10 = 60,5 + 7,69 = 68,19 = 60,5 + 10 13 13 f
• Q2 terletak pada skor ke
2.n 2.80 = skor ke = skor ke 40 4 4
sehingga Q2 terletak pada kelas kelima yaitu kelas [71 – 80] diperoleh: Batas bawah = Bb = 71 – 0,5 = 70,5 panjang kelas = p = 10 F = 23 (fkum sebelum kelas Q2) f = 25 (frekuensi kelas Q2)
Statistika-Handout 5
32
Jadi, 2.n 4 F 40 23 17 Q2 = Bb + p = 70,5 + 10 = 70,5 + 6,8 = 77,3 = 70,5 + 10 25 25 f
• Q3 terletak pada data ke
3.n 3.80 = skor ke = skor ke 60. 4 4
sehingga Q3 terletak pada kelas keenam yaitu kelas [81 – 90] diperoleh: Batas bawah = Bb = 81 – 0,5 = 80,5 panjang kelas = p = 10 F = 48 (fkum sebelum kelas Q3) f = 20 (frekuensi kelas Q3) Jadi, 3.n 4 F 60 48 12 Q3 = Bb + p = 80,5 + 10 = 80,5 + 6 = 86,5 = 80,5 + 10 20 20 f
Secara serupa dengan cara menghitung kuartil dari data dalam tabel distribusi frekuensi terkelompok di atas, untuk desil dari data dalam daftar distribusi frekuensi berkelompok ditentukan oleh:
in 10 F Di = Bb + p , dengan i = 1, 2, 3, … , 9 f dengan Di : Desil ke-i Bb : Batas bawah kelas Di yaitu kelas interval yang memuat Di p : panjang kelas Di F : Jumlah semua frekuensi kelas sebelum kelas Di f
: frekuensi kelas Di
Statistika-Handout 5
33
Sedangkan untuk persentil dari data dalam daftar distribusi frekuensi berkelompok ditentukan oleh:
in 100 F Pi = Bb + p , dengan i = 1, 2, 3, … , 99 f dengan Pi : Persentil ke-i Bb : Batas bawah kelas Pi yaitu kelas interval yang memuat Pi p : panjang kelas Pi F : Jumlah semua frekuensi kelas sebelum kelas Pi f
: frekuensi kelas Pi
Latihan: 1. Tentukan Q1 dan D4 dari data berikut: a. 83, 53, 54, 78, 78, 57, 59, 65, 62, 69, 75, 72, 69, 71 b. Nilai Frekuensi
3 3
4 5
5 12
6 17
7 14
8 6
9 3
2. Berikut adalah skor tes ujian masuk SMP X: Tabel 1. Skor Tes Ujian Masuk SMP X Nilai F 11,1 – 20,0 2 20,1 – 30,0 5 30,1 – 40,0 8 40,1 – 50,0 17 50,1 – 60,0 25 60,1 – 70,0 20 70,1 – 80,0 15 80,1 – 90,0 12 90,1 – 100,0 8 Jumlah 112 a. Hitunglah Q3, D7, dan P53 dari data tersebut. b. Bilamana akan diterima 65% dari pendaftar, berapa nilai minimal yang akan diterima?
Statistika-Handout 5
34
