BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL) Setiap penelitian selalu berkenaan dengan sekelompok data. Yang dimaksud kelompok disini adalah: Satu orang mempunyai sekelompok data, atau sekelompok orang mempunyai satu macam data lain. Dalam penelitian, peneliti akan memperoleh sekelompok data variabel tertentu dari sekelompok responden, atau obyek yang diteliti. Misalnya melakukan penelitian tentang motivasi pegawai di yayasan A, maka peneliti akan mendapatkan data tentang motivasi pegawai di yayasan A tersebut. Prinsip dasar dari penjelasan terhadap kelompok yang diteliti adalah bahwa penjelasan yang diberikan harus betul-betul mewakili seluruh kelompok pegawai di yayasan A tersebut. Beberapa teknik untuk menjelaskan kelompok yang diobservasi dengan data kuantitatif, selain dapat dijelaskan dengan menggunakan tabel dan grafik, dapat juga dijelaskan menggunakan teknik statistik yang disebut mean, median, modus, kuartil, desil, maupun persentil. Teknikteknik tersebut termasuk dalam golongan statistik deskriptif. A. Mean (Rata-Rata Hitung) Merupakan teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata-rata dari kelompok tersebut.
Rata-rata (mean) biasanya
disimbolkan dengan X , dan dapat diperoleh dengan cara sesuai dengan bentuk datanya, yaitu: 1. Data mentah yang belum disusun dalam bentuk distribusi frekuensi, dalam mencari rata-ratanya sebagai berikut:
X=
X 1 X 2 X 3 ........... Xn n
dimana:
X = rata-rata hitung yang dicari 57
X1, X2, X3, ....Xn = skor individual n = jumlah subyek data Contoh: Data mentah nilai matematika 45 siswa sebelum disusun dalam tabel 4.1 sebagai berikut.
X=
6 6 7 5 10 9 10 ......6 279 6,2 45 45
2. data distribusi tunggal
X=
fX
dimana:
n
fX = jumlah skor X frekuensi
Sebagai contoh perhatikan tabel berikut ini! Tabel 5.1: penghitungan mean pada distribusi tunggal Frekuensi No
Nilai (X)
(f)
fX
1
4
7
28
2
5
9
45
3
6
14
84
4
7
6
42
5
8
3
24
6
9
4
36
7
10
2
20
Jumlah
45
279
58
X =
fX = n
279 6,2 45
3. data distribusi kelompok Terdapat dua cara penghitungan: Berdasarkan jumlah frekuensi titik tengah, caranya: a. menentukan titik tengah (Xt) tiap kelas interval b. memperlakukan Xt sebagaimana skor (X) pada distribusi tunggal c. rumus: X =
fXt n
, dimana
fXt = jumlah dari titik tengah
X frek d.
Contoh: berdasarkan tabel 5 distribusi kelompok Tabel 5.2: penghitungan mean dari distribusi kelompok TT No
Interval
Frekuensi (f)
(Xt)
fXt
1
75-79
2
77
154
2
70-74
3
72
216
3
65-69
5
67
335
4
60-64
4
62
248
5
55-59
6
57
342
6
50-54
8
52
416
7
45-49
7
47
329
8
40-44
5
42
210
9
35-39
5
37
185
59
10
30-34
3
32
96
11
25-29
2
27
54
Jumlah
X=
50
2585
2585 51,7 50
Berdasarkan rata-rata hitung duga
fd X = X d +i n
dimana:
X d = rata-rata hitung duga i = interval d = deviasi a. X d adalah titik tengah kelas yang letaknya kurang lebih ditengah dan mempunyai frekuensi tertinggi. Dari tabel diatas, adalah 52 (pada interval 50-54 dengan frekuensi 8). b.Menentukan
besarnya
deviasi
(d)
yang
merupakan
penyimpangan dari rata-rata hitung duga. Pada tabel diatas kelas yang titik tengahnya merupakan X d = 0, pada kelas diatasnya berturut-turut +1, +2, +3....dst. Pada kelas bawahnya berturut-turut -1, -2, -3........dst c. Menentukan besarnya interval, yaitu 5
60
Tabel 5.3: penghitungan mean dari distribusi kelompok Frekuensi No
Interval
(f)
TT
d
fd
fd2
1
75-79
2
77
5
10
50
2
70-74
3
72
4
12
48
3
65-69
5
67
3
15
45
4
60-64
4
62
2
8
16
5
55-59
6
57
1
6
6
6
50-54
8
52
0
0
0
7
45-49
7
47
-1
-7
7
8
40-44
5
42
-2
-10
20
9
35-39
5
37
-3
-15
45
10
30-34
3
32
-4
-12
48
11
25-29
2
27
-5
-10
50
0
-3
335
Jumlah
50
fd 3 X = X d+i = 52 + 5 = 52 + 5 (-0,06) = 51,7 50 n Jika penghitungan menggunakan data kasar (contoh data sebelum dimasukkan tabel 4), maka X = 51,96 Terdapat perbedaan sebesar 51,96-51,7=0,26 51,96 merupakan X yang sesungguhnya
61
Adanya perbedaan tersebut disebabkan oleh grouping error / kesalahan pengelompokan dari data kasar ke dalam distribusi kelompok
B. Modus (Mode) Merupakan teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai yang paling sering muncul dalam kelompok tersebut. Apabila dalam kelompok data tersebut skornya mempunyai frekuensi yang sama, maka data tersebut tidak memiliki modus. Sedangkan jika terdapat dua skor yang frekuensinya sama, maka kedua skor dijumlah kemudian dibagi 2. Pada data distribusi tunggal (contohnya tabel 4), modusnya adalah 6 karena mempunyai frekuensi tertinggi yaitu 14.Sedangkan pada distribusi kelompok, maka
fo f 1 X i fo f 1 fo f _ 1
Mo = B +
dimana:
Mo = modus yang dicari B = Batas bawah dari kelas modus fo = frekuensi kelas modus f1 = frekuensi diatas kelas modus f-1= frekuensi dibawah kelas modus i = interval dari tabel 5, maka modusnya adalah
86 X 5 = 49,5 + (0,667X5) = 52,83 8 6 8 7
Mo = 49,5 +
62
C. Median (Md) Merupakan salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar, atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil
Jika n ganjil, maka Md = (n + 1) : 2 Contoh: data 21, 22, 23, 24, 25, 25, 26 Maka Md = (7 + 1) : 2 = 8 : 2 = 4 Jadi mediannya adalah bilangan ke-4 yaitu 24
Jika n genap, maka Md = n : 2 Contoh: data 21, 22, 23, 24, 25, 25, 26, 27 Maka Md = 8 : 2 = 4 Yang dimaksud adalah bilangan ke-4 dan ke-5 dijumlah dan dibagi 2 Md = (24 + 25) : 2 = 24,5
Jika data berdistribusi kelompok, maka Md = B +
n / 2 fkb Xi fmd
Md = nilai median yang dicari B = batas bawah kelas tempat median berada fkb = jumlah frekuensi di kelas yang terletah di bawahnya. fmd = jumlah frekuensi kelas tempat median berada i = interval Contoh dari tabel 7, maka mediannya adalah:
63
Md = 49,5 +
50 / 2 22 x5 = 49,5 + 1,875 = 51,375 8
D. Kuartil (K) Merupakan bilangan yang membagi data menjadi empat sub kelompok data. Kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3
Untuk data distribusi tunggal, Ki = skor ke i x
n 1 4
Ki = kuartil ke i N = jumlah data Contoh: data 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12
16 1 = skor ke 12 ¾ 4
Maka K3 = skor ke 3 x
= skor ke 12 + ¾ (skor ke-13 – skor ke-12) =
10
=
10
=
10
+¾(
10
-
10
)
+ 0
Untuk data distribusi kelompok Ki = B +
i / 4n fkb xi fd
Ki = kuartil ke i n = jumlah data B = batas bawah pada interval yang mengandung kuartil fkb = frekuensi kumulatif di bawah kelas yang mengandung kuartil 64
fd = frekuensi kelas yang mengandung kuartil i = interval contoh : untuk menghitung K1 Tabel 5.4: distribusi frekuensi kelompok No
Interval
Frekuensi
TT
FK
1
75-79
2
77
50
2
70-74
3
72
48
3
65-69
5
67
45
4
60-64
4
62
40
5
55-59
6
57
36
6
50-54
8
52
30
7
45-49
7
47
22
8
40-44
5
42
15
9
35-39
5
37
10
10
30-34
3
32
5
11
25-29
2
27
2
Jumlah
50
Dari tabel di atas diketahui: ¼n
= ¼ x 50 = 12,5 (terletak pada FK 15, interval 40-44)
fd
=5 65
fkb
= 10
B
= 39,5
i
=5
Maka harga K1 = 39,5 +
12,5 10 x 5 = 42 5
Dengan perhitungan yang sama, maka K2 = 51,375, K3 = 61. Sehingga apabila dibuat norma pengukuran berdasarkan nilai kuartil adalah sebagai berikut: Jenis kuartil
Nilai
Kategori Baik Sekali
K3
61
Baik
K2
51,375
Sedang
K3
42 Tidak Baik
66
E. Desil Merupakan bilangan yang membagi data menjadi sepuluh sub kelompok data. Sehingga terdapat D1 sampai D9
Untuk data distribusi tunggal, Di = skor ke i x
n 1 10
Di = desil ke i n = jumlah data Contoh: data 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12 Maka D4 = skor ke 4 x
16 1 = skor ke 6,8 10
= skor ke 6 + 0,8 (skor ke-7 – skor ke-6) =
7
=
7
=
7
+ 0,8 (
7
-
7
)
+ 0
Untuk data distribusi kelompok Di = B +
i / 10n fkb xi fd
Di = desil ke i n = jumlah data B = batas bawah pada interval yang mengandung kuartil fkb = frekuensi kumulatif di bawah kelas yang mengandung kuartil fd = frekuensi kelas yang mengandung kuartil i = interval 67
Berdasarkan tabel 11, untuk mencari D6, diketahui: 6/10 n = 6/10 x 50 = 30 (terletak pada FK 30, interval 50-54) fd
=8
fkb
= 22
B
= 49,5
i
=5
Maka harga D6 = 49,5 +
30 22 x 5 = 54,5 8
F. Persentil Merupakan bilangan yang membagi data menjadi seratus sub kelompok data. Sehingga terdapat P1 sampai P99
n 1 100
Untuk data distribusi tunggal, Pi = skor ke i x Pi = desil ke i n = jumlah data
Contoh: data 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12 Maka P60 = skor ke 60 x
16 1 = skor ke 10,2 100
= skor ke 10 + 0,2 (skor ke-11 – skor ke-10) =
9
=
9
=
9,2
+ 0,2 (
10
+ 0,2
68
-
9
)
Untuk data distribusi kelompok Pi = B +
i / 100n fkb xi fd
Pi = persentil ke i n = jumlah data B = batas bawah pada interval yang mengandung kuartil fkb = frekuensi kumulatif di bawah kelas yang mengandung kuartil fd = frekuensi kelas yang mengandung kuartil i = interval Berdasarkan tabel 11, untuk mencari P75, diketahui: 75/100 n
= 75/100 x 50 = 37,5 (terletak pada FK 40, interval 60-
64) fd
=4
fkb
= 36
B
= 59,5
i
=5
Maka harga P75 = 59,5 +
37,5 36 x 5 = 61,375 4
G. Variabilitas Variabilitas adalah ukuran tentang derajat penyebaran nilai-nilai variabel (variasi) dari suatu tendensi sentral dalam sebuah distribusi. Untuk mengetahui tingkat variasi kelompok data dapat dilakukan dengan melihat rentang data (range), varians, standar deviasi atau simpangan baku dari kelompok data yang telah diketahui tersebut. 69
1. Rentang data (Range) Digunakan untuk mengetahui tingkat homogenitas suatu data Range = (Nilai tertinggi – Nilai terendah) +1 Contoh: Tabel 5.5: homogenitas data Data A
Data B
24, 24, 25, 25, 25, 26, 26
X=
16, 19, 22, 25, 28, 30, 35
X = 175 25 n
X = 175 25
X=
7
n
7
Range = (26-24)+1 = 3
Range = (35-16)+1 = 20
Distribusi lebih homogen
Distribusi lebih heterogen
2. Varians Varians merupakan jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual terhadap rata-rata kelompok. Contoh menghitung dan tabel penolong untuk varians pada data kelompok diberikan pada tabel 14.
Xi X
2
Rumus varians populasi:
Rumus varians sampel: s
2
2
n
Xi X
2
n 1
3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan
suatu
ukuran
untuk
mengetahui
seberapa
besar
penyimpangan dalam sebuah distribusi atau disebut juga sebagai akar varians. Contoh menghitung dan tabel penolong untuk standar deviasi data kelompok diberikan pada tabel 14. 70
Xi X
2
Rumus simpangan baku populasi:
n
Xi X
2
Rumus simpangan baku sampel: s
n 1
a Penghitungan standar deviasi dari penyimpangan skor individual Dari tabel 5.5, dapat disusun tabel kerja sebagai berikut: Tabel 5.6: simpangan baku skor individual X
x =X- X
x2
X
x =X- X
x2
24
-1
1
16
-9
81
24
-1
1
19
-6
36
25
0
0
22
-3
9
25
0
0
25
0
0
25
0
0
28
3
9
26
1
1
30
5
25
26
1
1
35
10
100
jumlah
0
4
jumlah
0
260
s=
s=
x
2
s=
n
4 7
s=
s = 0,75
x n 260 7
s = 6,09 71
2
b Penghitungan standar deviasi untuk data distribusi tunggal Tabel 5.7: simpangan baku skor individual Frekuensi No
Nilai (X)
(f)
fX
fX2
1
4
7
28
112
2
5
9
45
225
3
6
14
84
504
4
7
6
42
294
5
8
3
24
192
6
9
4
36
324
7
10
2
20
200
Jumlah
45
279
1851
s=
fX
2
fX
2
n
279 2 45 = 45
1851 =
n
121,2 = 1,64 45
c Penghitungan standar deviasi untuk data distribusi kelompok
dengan cara frekuensi titik tengah
f Xt X
2
s=
n 1
dimana:
f = frekuensi Xt = titik tengah
72
X = rata-rata hitung Berdasarkan tabel 10 diketahui bahwa X = 51,7, maka untuk menghitung simpangan baku disusun tabel kerja sebagai berikut: Tabel 5.8: menghitung simpangan baku Frekuensi
TT
(Xi- X
No
Interval
(f)
(Xt)
1
75-79
2
77
25.3
640.09
1280.18
2
70-74
3
72
20.3
412.09
1236.27
3
65-69
5
67
15.3
234.09
1170.45
4
60-64
4
62
10.3
106.09
424.36
5
55-59
6
57
5.3
28.09
168.54
6
50-54
8
52
0.3
0.09
0.72
7
45-49
7
47
-4.7
22.09
154.63
8
40-44
5
42
-9.7
94.09
470.45
9
35-39
5
37
-14.7
216.09
1080.45
10
30-34
3
32
-19.7
388.09
1164.27
11
25-29
2
27
-24.7
610.09
1220.18
Jumlah
s=
50
(Xi- X )
)2
f (Xi- X )2
8370.5
8370,5 = 13,07 50 1
73
dengan cara rata-rata hitung duga Tabel 5.9: menghitung rata-rata duga
Frekuensi No
Interval
(f)
TT
d
fd
fd2
1
75-79
2
77
5
10
50
2
70-74
3
72
4
12
48
3
65-69
5
67
3
15
45
4
60-64
4
62
2
8
16
5
55-59
6
57
1
6
6
6
50-54
8
52
0
0
0
7
45-49
7
47
-1
-7
7
8
40-44
5
42
-2
-10
20
9
35-39
5
37
-3
-15
45
10
30-34
3
32
-4
-12
48
11
25-29
2
27
-5
-10
50
0
-3
335
Jumlah
s=i
fd
50
fd
2
2
n
n 74
2 3 335
s=5
50
50
= 12,939
75
