BAB 3
UKURAN TENDENSI SENTRAL
Kompetensi Mampu menjelaskan dan menganalisis konsep dasar ukuran tendensi sentral.
Indikator 1. Menjelaskan dan menganalisis mean. 2. Menjelaskan dan menganalisis median. 3. Menjelaskan dan menganalisis modus.
A. Pendahuluan Ukuran tendensi sentral adalah suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam suatu nilai. Nilai tersebut dianggap sebagai gambaran dari kondisi suatu data (Atmaja, 1997). Beberapa macam ukuran tendensi sentral yang sering dipakai yaitu: 1. Mean 2. Median 3. Modus Dalam pembahasan ini dibedakan antara data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan. Data yang dikelompokkan yaitu data
29
yang sudah disusun ke dalam suatu distribusi frekuensi. Sedangkan data yang tidak dikelompokkan adalah data yang tidak disusun ke dalam suatu distribusi frekuensi.
B. Mean (Rata-Rata Hitung) Mean merupakan angka rata-rata dari sekelompok data. Notasi yang digunakan untuk mean yaitu X (eks bar) untuk rata-rata sampel dan µ (miu) untuk rata-rata populasi. Mean dapat dihitung dari 2 macam, yaitu: 1. Mean Untuk Data Yang Tidak Dikelompokkan
X =
X 1 + X 2 + ....... + X n n
Atau
X =
∑X n
Keterangan:
X = mean / rata − rata X = harga tiap-tiap data N = banyaknya data
30
Contoh: Pendapatan tukang becak di Malioboro yaitu: Tabel 3.1 Pendapatan Tukang Becak Nama
Pendapatan (Rp)
Karjo
15.000
Paijo
12.500
Parto
14.000
Slamet
17.500
Saidun
20.000
Jupri
10.000
Hitunglah rata-rata pendapatan tukang becak di Malioboro Penyelesaian:
X =
∑X n
=
89000 = 14.833 6
2. Mean Untuk Data Yang Dikelompokkan
X=
∑ fX n
Keterangan:
X = mean / rata − rata
31
f = frekuensi masing-masing kelas X = titik tengah masing-masing kelas N = banyaknya data Contoh: Skor TOEFL mahasiswa FE UMY yaitu: Tabel 3.2 Skor TOEFL Skor
Frekuensi
300 - 349
4
350 - 399
10
400 - 449
15
450 - 499
6
500 - 549
8
550 - 599
2
Hitunglah rata-rata skor TOEFL mahasiswa FE Universitas Muhammadiyah Yogyakarta Penyelesaian: Tabel 3.3 Perhitungan Rata- rata Skor TOEFL Skor
Frekuensi
X (Titik Tengah)
fX
300 - 349
4
324,5
1298
350 - 399
10
374,5
3.745
400 - 449
15
424,5
6367,5
450 - 499
6
474,5
2847
500 - 549
8
524,5
4196
550 - 599
2
574,5
1149
Jumlah
45
19.602,5
32
X =
∑ fX n
=
19.602,5 45
= 435,61
C. Median Median adalah nilai yang terletak di tengah suatu data yang telah diurutkan dari nilai terkecil hingga terbesar. Median dapat dihitung dari 2 macam, yaitu: 1. Median Untuk Data Yang Tidak Dikelompokkan Median merupakan harga tengah dari sekelompok data yang sudah disusun ke dalam array data (data yang sudah diurutkan). Contoh: a. Pendapatan tukang becak di Malioboro yaitu:
Tabel 3.4 Pendapatan Tukang Becak Nama
Pendapatan (Rp)
Karjo
15.000
Paijo
12.500
Parto
14.000
Slamet
17.500
Saidun
20.000
Jupri
10.000
Hitunglah median pendapatan tukang becak di Malioboro
33
Penyelesaian: 10.000
Md =
12.500
14.000
15.000
17.500
14.000 + 15.000 =14.500 2
b. Pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro yaitu: Tabel 3.5 Pendapatan Pedagang Kaki Lima
Nama
Pendapatan (Rp)
Karjo
15.000
Paijo
12.500
Parto
14.000
Saidun
20.000
Jupri
10.000
Hitunglah median pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro Penyelesaian: 10.000
12.500
14.000
15.000
Md = 14.000
34
20.000
20.000
2. Median Untuk Data Yang Dikelompokkan
Md = TBK md
n −F 2 +i fmd
Atau
Md = TAK md
n 2 −i fmd F '−
Keterangan: TBKmd
= tepi bawah kelas median
TAKmd
= tepi atas kelas median
N
= banyaknya data = jumlah frekuensi
I
= interval kelas
F
= frekuensi kumulatif dari kelas-kelas di muka kelas median
F’
= frekuensi kumulatif sampai dengan kelas median
Fmd
= frekuensi kelas median
35
Contoh: Skor TOEFL mahasiswa FE UMY yaitu: Tabel 3.6 Skor TOEFL Skor
Frekuensi
300 - 349
4
350 - 399
10
400 - 449
15
450 - 499
6
500 - 549
8
550 - 599
2
Hitunglah median skor TOEFL mahasiswa FE UMY Penyelesaian: a. Menentukan letak kelas media Letak kelas median =
n 45 = = 22,5 2 2
Frekuensi Kelas 1 = 4
kurang 18,5
Frekuensi Kelas 2 = 10
kurang 8,5
Frekuensi Kelas 3 = 10
letak kelas median
b. Menghitung nilai median
Md = TBK md
TBK md =
n −F 2 +i fmd
399 + 400 = 399,5 2
36
I = 50 F = 4 + 10 =14 Fmd = 15
Md = TBK md
n 45 −F − 14 2 2 +i = 399,5 + 50 = 427,83 fmd 15
Atau
Md = TAK md
TAK md =
n 2 −i fmd F '−
449 + 450 = 449,5 2
F’ = 4 +10 +15 = 29
Md = TAK md
n 45 29 − 2 = 449,5 − 50 2 = 427,83 −i fmd 15 F '−
37
D. Modus Modus Merupakan angka yang sering muncul. Modus dapat dihitung dari 2 macam, yaitu: 1. Modus Untuk Data Yang Tidak Dikelompokkan Contoh: a. Pendapatan tukang becak di Malioboro yaitu:
Tabel 3.7 Pendapatan Tukang Becak Nama
Pendapatan (Rp)
Karjo
15.000
Paijo
12.500
Parto
14.000
Slamet
17.500
Saidun
20.000
Jupri
10.000
Hitunglah modus pendapatan tukang becak di Malioboro Penyelesaian: Tidak ada modusnya karena tidak ada tukang becak yang mempunyai pendapatan yang sama.
38
b. Pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro yaitu: Tabel 3.8 Pendapatan Tukang Becak Nama
Pendapatan (Rp)
Karjo
15.000
Paijo
12.500
Parto
15.000
Saidun
15.000
Jupri
10.000
Hitunglah modus pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro Penyelesaian: Mo = 15.000
c. Pendapatan pedagang souvenir di Malioboro yaitu: Tabel 3.9 Pendapatan Tukang Becak Nama
Pendapatan (Rp)
Karjo
15.000
Paijo
12.500
Parto
15.000
Saidun
12.500
Jupri
10.000
39
Hitunglah modus pendapatan pedagang souvenir di Malioboro Penyelesaian: Mo = 12.500 dan 15.000
2. Modus Untuk Data Yang Dikelompokkan Mo = X mo +
⎤ f 1 − f −1 i⎡ ⎢ 2 ⎣ 2 fmo − f 1 − f −1 ⎥⎦
Atau
⎛ d1 ⎞ Mo = TBK mo + i ⎜ ⎟ ⎝ d1 + d 2 ⎠ Keterangan: Xmo
= titik tengah kelas modus
fmo
= frekuensi kelas modus
TBKmo
= tepi bawah kelas modus
f1
= frekuensi dari kelas sesudah kelas modus
f-1
= frekuensi dari kelas sebelum kelas modus
d1
= selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (fmo-f-1)
d2
= selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (fmo-f1)
40
Contoh: Skor TOEFL mahasiswa FE UMY yaitu: Tabel 3.10 Pendapatan Tukang Becak Skor
Frekuensi
300 - 349
4
350 - 399
10
400 - 449
15
450 - 499
6
500 - 549
8
550 - 599
2
Hitunglah modus skor TOEFL mahasiswa FE UMY Penyelesaian: a. Menentukan letak kelas modus Letak kelas modus yaitu pada kelas yang memiliki frekuensi paling banyak. Dalam soal ini letak kelas modus pada kelas ke -3. b. Menghitung nilai modus Mo = X mo +
X mo =
⎤ f 1 − f −1 i⎡ ⎢ 2 ⎣ 2 fmo − f 1 − f −1 ⎥⎦
400 + 449 = 424,5 2
i = 50 f1 = 6 f −1 = 10
41
fmo = 15
Mo = 424,5 +
⎤ 50 ⎡ 6 − 10 = 417,36 ⎢ 2 ⎣ (2 x15) − 6 − 10 ⎥⎦
Atau
⎛ d1 ⎞ Mo = TBK mo + i ⎜ ⎟ ⎝ d1 + d 2 ⎠ TBK md =
399 + 400 = 399,5 2
d1 = 15 – 10 = 5 d2 = 15 – 6 = 9
⎛ 5 ⎞ Mo = 399,5 + 50⎜ ⎟ = 417,36 ⎝5+9⎠
E. Perhitungan Mean, Median, Dan Modus Menggunakan SPSS Perhitungan mean, median, dan modus menggunakan spss, dilakukan dengan contoh berikut ini: Data nilai mahasiswa yang mengambil matakuliah metoda penelitian bisnis pada program studi manajemen FE UMY yaitu: 20
75
80
90
80
20
35
60
60
40
65
60
5
100
65
25
90
45
60
70
45
70
30
100
55
45
28
90
60
60
90
5
100
10
90
70
45
90
45
10
70
55
75
20
82
85
75
72
68
67
Berdasarkan data tersebut carilah nilai mean, median, dan modus Penyelesaian menggunakan SPSS diperoleh output sebagai berikut:
42
Statistics NILAI N
Valid Missing
Mean Median Mode
50 0 59.04 62.50 60a
a. Multiple modes exist. The smallest value is shown
Analisis: Berdasarkan output di atas diperoleh hasil: N merupakan jumlah data yaitu 50. Nilai mean sebesar 59,04. Nilai median sebesar 62,50. Nilai modus sebesar 60. F. Kuartil, Desil, Persentil 1. Kuartil Kuartil adalah suatu harga yang membagi histogram frekuensi menjadi empat bagian yang sama.
n −F K 1 = TBK k 1 + i 4 fk1
K 2 = TBK k 2
2n −F 4 +i fk 2
K 3 = TBK k 3
3n −F 4 +i fk 3
43
2. Desil Desil merupakan harga-harga yang membagi histogram menjadi 10 bagian yang sama besar.
D1 =
n 2n 3n , D2 = , D3 = dst 10 10 10
3. Persentil Persentil merupakan harga-harga yang membagi histogram menjadi 100 bagian yang sama besar.
P1 =
n 2n 3n , P2 = , P3 = dst 100 100 100
G. Kedudukan Mean, Median, dan Modus Hubungan mean, median, dan modus, dapat digambarkan sebagai berikut: 1. Apabila nilai mean > median > modus, maka kurvanya menceng ke kanan (ekor kurva ada di sebelah kanan)
Mo Md X Gambar 3.1 Bentuk menceng kanan/positif
44
2. Apabila nilai mean = median = modus, maka kurvanya simetris
X =Mo=Md Gambar 3.2 Bentuk simetris
3. Apabila nilai mean < median < modus, maka kurvanya menceng ke kiri (ekor kurva ada di sebelah kiri)
X Md Mo Gambar 3.3 Bentuk menceng kiri/negatif
H. Rangkuman Ukuran tendensi sentral adalah suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam suatu nilai. Beberapa macam ukuran tendensi sentral yang sering dipakai yaitu mean, median, dan modus.
45
Mean merupakan angka rata-rata dari sekelompok data. Median adalah nilai yang terletak di tengah suatu data yang telah diurutkan dari nilai terkecil hingga terbesar. Modus merupakan angka yang paling sering muncul dalam sekelompok data.
I. Latihan Soal 1. Data Keuntungan per hari pedagang di Pasar Beringharjo yaitu: Tabel 3.11 Keuntungan Pedagang di Pasar Beringharjo Keuntungan Per Hari
Jumlah Pedagang
(000) 5– 9
15
10 – 14
21
15 – 19
17
20 – 24
29
25 – 29
24
30 – 34
19
35 – 39
30
40 – 45
20
Berdasarkan data tersebut, hitunglah mean, median, modus.
2. Data di bawah ini menunjukkan distribusi pendapatan per minggu karyawan di PT”KATLYA”, dengan gaji minimum Rp120.000
46
Tabel 3.12 Pendapatan Karyawan GAJI (000)
JUMLAH KARYAWAN
Kurang dari 120
0
Kurang dari 135
6
Kurang dari 150
17
Kurang dari 165
31
Kurang dari 180
49
Kurang dari 195
59
Kurang dari 210
66
Kurang dari 225
75
Berdasarkan data tersebut, hitunglah mean, median, modus.
3. Data jumlah produksi karyawan PT”DENDRO” yaitu: Tabel 3.13 Jumlah Produksi Poduksi
Jumlah Karyawan
50 atau lebih
92
65 atau lebih
76
80 atau lebih
62
95 atau lebih
32
110 atau lebih
24
125 atau lebih
8
140 atau lebih
0
Berdasarkan data tersebut, hitunglah mean, median, modus.
47
4. Data lama bekerja karyawan PT”HANG-HANG” yaitu: Tabel 3.14 Lama Bekerja Karyawan PT”HANG-HANG” Lama Bekerja
Jumlah Karyawan
2-5
5
6-9
9
10 - 13
8
14 - 17
11
18 - 21
7
22 - 25
15
26 - 29
4
Berdasarkan data tersebut, hitunglah mean, median, modus. 5. Nilai ujian Statistika I Jurusan Manajemen FE UMY ditunjukkan dalam table 3.15 di bawah ini: Tabel 3.15 Niali Ujian Statistika I Nilai
Jumlah Mahasiswa
Kurang dari 20
0
Kurang dari 40
5
Kurang dari 60
27
Kurang dari 80
49
Kurang dari 100
60
Berdasarkan data tersebut, hitunglah mean, median, modus.
48
