Ukuran Nilai Sentral
Nilai Sentral ` `
`
`
Pengertian Nilai Sentral Nilai sentral suatu rangkaian data adalah nilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili data tersebut. Suatu rangkaian data biasanya memiliki tendensi (kecenderungan) untuk memusat pada nilai sentral ini. Dari sekumpulan data (distribusi), ada beberapa harga/nilai yang dapat kita anggap sebagai wakil dari kelompok data tersebut. Nilai-nilai yang biasa digunakan untuk mewakili data tersebut adalah mean dan modus disebut sebagai nilai tengah (central tendency)
Macam Nilai Sentral
UKURAN TENDENSI SENTRAL (CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT) 2. Median
Merupakan suatu nilai yang terletak di tengahtengah sekelompok data setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar.
Suatu nilai yang membagi sekelompok data dengan jumlah yang sama besar.
Untuk data ganjil, median merupakan nilai yang terletak di tengah sekumpulan data, yaitu di urutan ke
Untuk data genap, median merupakan rata-rata nilai yang terletak pada urutan ke- dan
UKURAN TENDENSI SENTRAL (CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT) 2. Median – (Lanjutan)
Jika datanya berkelompok, maka median dapat dicari dengan rumus berikut: − f kum< Median = LB + .I f median n 2
Dimana LB = Lower Boundary (tepi bawah kelas median) n = banyaknya observasi fkum< = frekuensi kumulatif kurang dari kelas median fmedian = frekuensi kelas median I = interval kelas
UKURAN TENDENSI SENTRAL (CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT) 3. Modus
Merupakan suatu nilai yang paling sering muncul (nilai dengan frekuensi muncul terbesar)
Jika data memiliki dua modus, disebut bimodal
Jika data memiliki modus lebih dari 2, disebut multimodal
UKURAN TENDENSI SENTRAL (CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT) 3. Modus – (Lanjutan)
Jika data berkelompok, modus dapat dicari dengan rumus berikut: fa Modus = LB + .I f a + fb Dimana LB = Lower Boundary (tepi bawah kelas dengan frekuensi terbesar/kelas modus) fa = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya fb = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya I = interval kelas
UKURAN TENDENSI SENTRAL (Contoh Penghitungan) DATA TIDAK BERKELOMPOK Berikut adalah data sampel tentang nilai sewa bulanan untuk satu kamar apartemen ($). Berikut adalah data yang berasal dari 70 apartemen di suatu kota tertentu: 425 440 450 465 480 510 575
430 440 450 470 485 515 575
430 440 450 470 490 525 580
435 445 450 472 490 525 590
435 445 450 475 490 525 600
435 445 460 475 500 535 600
435 445 460 475 500 549 600
435 445 460 480 500 550 600
440 450 465 480 500 570 615
440 450 465 480 510 570 615
UKURAN TENDENSI SENTRAL (Contoh Penghitungan)
Rata-rata Hitung (Mean) xi 34.356 ∑ x = = = 490,80 n 70
Median Karena banyaknya data genap (70), maka median merupakan rata-rata nilai ke-35 dan ke-36, yaitu (475 + 475)/2 = 475
Modus = 450 (muncul sebanyak 7 kali)
UKURAN TENDENSI SENTRAL (Contoh Penghitungan) DATA BERKELOMPOK Dari contoh Bengkel Hudson Auto Biaya ($)
Frekuensi (fi)
xi
Frekuensi kumulatif
Lower Boundary
fixi
50 – 59
2
54,5
2
49,5
109,0
60 – 69
13
64,5
15
59,5
838,5
70 – 79
16
74,5
31
69,5
1192,0
80 – 89
7
84,5
38
79,5
591,5
90 – 99
7
94,5
45
89,5
661,5
100 – 109
5
104,5
50
99,5
522,5
Total
50
3915,0
UKURAN TENDENSI SENTRAL (Contoh Penghitungan) DATA BERKELOMPOK (L) Rata-rata Hitung (Mean) fx ∑ x= ∑f
i i i
3915,0 = 78,3 50
Median Median = 69,5 +
=
50 2
− 15 .10 = 75,75 16
Modus Modus = 69,5 +
3 .10 = 72 3+9
KELEBIHAN & KEKURANGAN RATA-RATA , MEDIAN & MODUS
Rata-rata Hitung (Mean)
Kelebihan:
Melibatkan seluruh observasi Tidak peka dengan adanya penambahan data Contoh dari data : 3 4 5 9 11 Rata-rata = 6,4 3 4 5 9 10 11 Rata-rata = 7
Kekurangan: Sangat peka dengan adanya nilai ekstrim (outlier) Contoh: Dari 2 kelompok data berikut Kel. I : 3 4 5 9 11 Rata-rata = 6,4 Kel. II : 3 4 5 9 30 Rata-rata = 10,2
KELEBIHAN & KEKURANGAN RATA-RATA , MEDIAN & MODUS
Median
Kelebihan:
Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim Contoh: Dari 2 kelompok data berikut Kel. I : 3 4 5 13 14 Kel. II : 3 4 5 13 30 Median I = Median II = 5
Kekurangan: Sangat peka dengan adanya penambahan data (sangat dipengaruhi oleh banyaknya data) Contoh: Jika ada satu observasi baru masuk ke dalam kelompok I, maka median = 9
KELEBIHAN & KEKURANGAN RATA-RATA , MEDIAN & MODUS
Modus
Kelebihan:
Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim Contoh: Dari 2 kelompok data berikut Kel. I : 3 3 4 7 8 9 Kel. II : 3 3 4 7 8 35 Modus I = Modus II = 3
Kekurangan: Peka terhadap penambahan jumlah data Cohtoh: Pada data 3 3 4 7 8 9 Modus = 3 3 3 4 7 7 7 8 9 Modus = 7
DISTRIBUSI FREKUENSI : mengelompokkan data interval/rasio dan menghitung banyaknya data dalam satu kelompok/klasifikasi USIA
FREKUENSI
Membuat distribusi frekuensi : 1. Mencari sebaran (range) yakni selisih antara data paling besar dengan data paling kecil) Æ 35 – 20 = 15 2. Menentukan banyak kelas dengan rumus k = 1 + 3,322 log n Æ8 1. Menentukan panjang kelas dengan rumus p = sebaran / banyak kelas Æ 15/8 = 2
20
5
21
6
22
13
23
4
24
7
25
7
KELOMPOK USIA
26
7
20 – 21
11
27
5
22 – 23
17
28
3
24 – 25
14
29
4
26 – 27
12
30
15
28 – 29
7
31
3
30 – 31
18
33
5
32 - 33
5
35
1
34 - 35
1
FREKUENSI
Menghitung Data Bergolong Contoh data hasil Test kemampuan managerial terhadap 100 pegawai di kantor X dengan distribusi sbb DISTRIBUSI NILAI KEMAMPUAN MANAGERIAL 100 PEGAWAI DIKANTOR X
INTERVAL NILAI KEMAMPUAN 21 - 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 - 100
FREKUENSI / JUMLAH 2 6 18 30 20 10 8 8
jumlah
100
a. Modus ( data bergolong ) Rumus MO = b+p ( bi
)
bi + b2 MO = Modus b
= batas bawah klas interval dengan frekuensi terbanyak
p
= panjang klas interval
b1
= frekuensi pada klas modus (frekuensi pada klas interval terbanyak) dikurangi frekuensi klas interval terdekat sebelumnya
b2
= frekuensi klas modus dikurangi frekuensi klas interval berikutnya
Hitungannya sbb ; a.
Klas modus adalah klas ke 4 , frekuensinya = ( f, 30 )
b.
b = 51 – 0,5 = 50,5
c.
b1 = 30 –18 = 12
d.
b2 = 30 – 20 = 10
MO = 50,5 + 10 (
12
) = 55, 95
12 + 10 b. Menghitung Median Rumus
Md = b + p ( ½n –F ) f
Md = Median
n = jumlah smpel/data
b. = batas bawah dimana median akan terletak F = jumlah semua frekuensi sebelum klas median f
= frekuensi klas median
Cara menghitung ½ n : ½ x 100 = 50 klas median akan terletak pada interval ke 4 b : batas bawah adalah 51 – 0,5 = 50,5 p : panjang klas = 10 F : 2 + 6 + 18 = 26 f : frekuensi klas median = 30 Jadi Median = 50,5 + 10 ( 50 – 26 ) = 58,5 30 C.Menghitung Mean a Rumus x = Σf N t n Ket : x = rata-rata Σ = jumlah f = frekuensi Nt = nilai tengah klas n = jml data
Contoh Berat Badan Penderita TBC no Berat Badan 1 2 3 4 5 6 7 8
f
-- 45 46 -- 50 51 -- 55 56 -- 60 61 -- 65 66 -- 70 71 -- 75 76 -- 80
4 4 1 2 5 7 5 2
41
jumlah
Nt
f Nt
43 48 53 58 63 68 73 78
172 192 53 116 315 476 365 156
30
1.845 jadi
x = 1845 = 61,5 kg 30
Contoh Modus No Kelas
Kelas Interval
Frekwensi (f)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 100
1 6 9 31 42 32 17 10 2
Jumlah :
150
Berdasarkan tabel tersebut : • • • • •
Modus : kelas ke 5 (f-nya terbesar = 42) p (panjang kelas) = 10 b = 50 – 0,5 = 49,5 b1 = 42 – 31 = 11 b2 = 42 – 32 = 10 11 Modus = 49,5 + 10( ) = 54,738 11+10
Contoh Median No Kelas
Kelas Interval
Frekwensi (f)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 100
1 6 9 31 42 32 17 10 2
Jumlah :
150
Diketahui : • n = 150 • 1/2n = 150/2 = 75 • Jadi median akan terletak di interval ke 5,karena sampel ke 75 terletak di interval ke 5 • b = 51 – 0,5 = 50,5 • p = 10 • f = 42 • F = 1 + 6 + 9 + 31 = 47 75 - 47 • Median = 50,5 + 10 ( ) = 57,16 42
