MINGGU KE- III: UKURAN NILAI SENTRAL Tujuan Instruksinal Umum : 1. Mahasiswa memahami apa yang dimaksud dengan nilai sentral 2. Mahasiswa memahami guna dari perhitungan nilai sentral 3. Mahasiswa dapat memahami berbagai jenis cara perhitungan nilai sentral atau ukuran pemusatan 4. Mahasiswa dapat memahami perbedaan ukuran nilai sentral untuk data yang dikelompokkan dan untuk data yang tidak dikelompokkan
Tujuan Instruksional Khusus: 1. Mahasiswa dapat menghitung nilai rata-rata data yang dikelompokkan maupun data yang tidak dikelompokkan 2. Mahasiswa mampu menghitung nilai median untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan 3. Mahasiswa mampu menghitung nilai modus untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan 4. Mahasiswa mampu membedakan rata-rata aritmatika, rata-rata harmoni dan rata-rata geometrik serta rata-rata kuadrat. 5. mahasiswa mampu menggunakan aplikasi komputer untuk menghitung berbagai ukuran nilai sentral
MACAM NILAI SENTRAL 1. Rata-rata 2. Median 3. Mode 4. Rata-rata ukur (geometric mean) 5. Rata-rata harmoni 6. Rata-rata Kuadrat
A. RATA-RATA HITUNG (ARITMETHIC MEAN) Rata-rata meruakan hasil bagi dari sejumlah nilai dengan banyaknya responden atau sample. Perhitungan mean merupakan perhitungan yang sederhan, karena hanya membutuhkan jumlah nilai dan jumlah responden (n). Jika sebaran nilai berdistribusi normal, maka rata-rata nilai meruoakan nilai tengah dari distribusi frekuensi nilai tersebut. Rata-rata dalam suatu rangkaian data adalah jumlah seluruh data dibagi dengan seluruh kejadian.
Secara matematis dirumuskan sebagai berikut :
X
X N
Dimana ; X = X bar yang merupakan notasi rata-rata
= Sigma = jumlah
X = nilai dari keseluruhan data N = jumlah data
Contoh : Berikut ini adalah jumlah saudara kandung dari 5 mahasiswa yang dipilih secara acak, yaitu ; 2; 4; 6; 8; 10. Maka rata-rata jumlah saudara kandung ke-5 mahasiswa tersebut adalah
X
2 4 6 8 10 6 5
Apabila data yang ada sudah dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi, maka cara perhitungan adalah sebagai berikut : 1. Cari Nilai tengah untuk setiap kelas 2. Kalikan nilai tengah dengan frekuensi 3. Hitung rata-rata dengan menggunakan rumus X
f .Xi N
Gaji Jumlah Karyawan karyawan (frekuensi) (kelas)
Nilai Tengah (Xi)
Frekuensi x Nilai tengah
30 – 39
4
34,5
138
40 – 49
6
44,5
267
50 – 59
8
54,5
436
60 – 69
12
64,5
774
70 – 79
9
74,5
670,5
80 – 89
7
84,5
591,5
90 - 99
4
94,5
378
N = 50
Dari hasil diatas didapat :
X
3255 65,1 50
f.Xi = 3255
B. MEDIAN Median merupakan skor yang membagi distribusi frekuensi menjadi dua sama besar ( 50% obyek yang diteliti terletak dibawah median dan 50% sisanyaterletak diatas median)
a. Untuk data tidak dikelompokkan Langkah yang dilakukan adalah dengan cara :
Urutkan data dari nilai yang terkecil
Cari letak median, dengan rumus :
N 1 2
Cari nilai median pada susunan tersebut
Apabila datanya genap, maka untuk mencari median yang terletak diantara 2 nilai, harus dicari rata-rata nya.
b. Untuk data dikelompokkan
Siapkan table sebagai berikut
Gaji Jumlah Karyawan karyawan
Tepi Kelas Bawah
Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’ 4
30 – 39
4
29,5
40 – 49
6
39,5
10
50 – 59
8
49,5
18
60 – 69
12
59,5
30
70 – 79
9
69,5
39
80 – 89
7
79,5
46
90 - 99
4
89,5
50
99,5
Tentukan letak median, letak median ditentukan dengan N/2 Maka didapat median adalah pada data yang ke-25. Data yang ke-25 terletak pada kelompok kelas ke-4 (60-69).
Hitung median dengan rumus ; N 50 Fk 18 25 18 Me Tepikelas 2 59,5 2 59,5 65,3 f 12 12
C. MODE Mode adalah skor yang mempunyai frekuensi terbanyak dalam sekumpulan distribusi nilai. Dengan kata lain Mode atau Modus dianggap sebagai nilai yang menunjukkan nilai-nilai yang terkonsentrasi dari sekumpulan data.
Mode atau modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam data. Cara perhitungan Modus adalah sebagai berikut : a. Untuk data yang tidak dikelompokkan
Cari Nilai yang paling sering muncul dari kumpulan data
NIlai yang paling sering muncul itu adalah modus
b. Untuk data yang dikelompokkan
Tampilkan table berikut Gaji Jumlah Karyawan karyawan
Tepi Kelas Bawah
29,5
30 – 39
4
39,5
40 – 49
6
49,5
50 – 59
8
59,5
60 – 69
12
69,5
70 – 79
9
79,5
80 – 89
7
89,5
90 - 99
4
99,5
Cari kelompok yang memiliki frekuensi tertinggi, dalam hal ini kelas ke4 memiliki frekuensi tertinggi yaitu 12.
Hitung Modus dengan rumus :
Mo Li
d1 ci , dimana: d1 d 2
Li = Batas kelas modus D1 = selisih frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya D2 = selisih frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya Ci = interval.
Maka ; Mo 59,5
(12 8) 40 10 59,5 65,2 (12 8) (12 9) 7
D. RATA-RATA UKUR
Rata-rata ukur adalah akar pangkat n dari hasil perkalian datanya Mg n X 1 X 2 ......... X n E. RATA-RATA HARMONI
Rata-rata harmoni adalah kebalikan dari rata-rata hitung Mh
N 1
X
F. RATA-RATA KUADRAT
Rata-rataadalah akar pangkat dua dari kuadrat nilai rata-ratanya Mq
X N
2
G. PERBANDINGAN MODE, MEDIAN DAN MEAN
Mode merupakan kalukali yang paling sederhana dan paling fleksibel, karena dapat digunakan untuk seluruh skala pengukuran. Perhitungan Mean akan lebih baik jika disertai
dnegan
perhitungan
Mode.
Perbedaan
nilai
mean
dan
mode
akan
menggambarkan kondisi penyebaran data yang dihadapi.
Median memiliki kelebihan dibandingkan Mean jika data yang dianalisa terdapat skor atau nilai yang ekstrem, atau terdapat perbedaan yang sangat jauh antara data yang tertinggi dengan data yang terendah.
Latihan Soal :
MINGGU KE- Iv:
UKURAN LETAK Tujuan Instruksional Umum :
1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan ukuran letak 2. Mahasiswa mampu memahami berbagai macam mengukur nilai ukuran letak sekelompok data 3. Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari mencari nilai ukuran letak 4. Mahasiswa mampu memahami perbedaaan cara melakukan pengukuran letak untuk data yang dikelompokkan dengan data yang tidak dikelompokkan.
Tujuan Instruksional Khusus :
1. Mahasiswa mampu menghitung letak dan nilai kuartil untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan 2. Mahasiswa mampu menghitung letak dan nilai desil untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan 3. Mahasisa mampu menghitung letak dan nilao prosentil untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan 4. Mahasiswa mampu menggunakan aplikasi komputer untuk mencari nilai Ukuran letak : kuartil, desil dan prosentil.
Pengertian
Ukuran letak adalah rangkaian ukuran yang didasarkan letak dari suatu distribusi data.
MACAM UKURAN LETAK A. KUARTIL
Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 4 bagian yang sama. Cara perhitungan Kuartil : a. Untuk data yang tidak dikelompokkan i. Susun data diurutkan dari yang memiliki nilai terkecil ii. Cari letak kuartil, dengan rumus : 1. Kuartil 1 K1
1( N 1) 4
2. Kuartil 2 K2
2( N 1) 4
3. Kuartil 3 K3
3( N 1) 4
iii. Cari nilai kuartil pada susunan data tersebut
Contoh ; Carilah nilai kuartil pada rangkaian data berikut ini ; 2
4
3
3
6
5
7
Susunan data : 1
3
3
4
5
Langkah :
Letak kuartil : * K1
1(7 1) 2 , terletak pada data yang ke-2 4
6
7
* K2
2(7 1) 4 , Terletak pada data yang ke-4 4
* K3
3(7 1) 6 , terletak pada data yang ke-6 4
Maka nilai K1 adalah 3, nilai K2 adalah 4 dan nilai K3 adalah 6.
b. Untuk data yang dikelompokkan i. Susun data seperti table berikut Gaji Jumlah Karyawan karyawan
Tepi Kelas Bawah
Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’ 4
30 – 39
4
29,5
40 – 49
6
39,5
10
50 – 59
8
49,5
18
60 – 69
12
59,5
30
70 – 79
9
69,5
39
80 – 89
7
79,5
46
90 - 99
4
89,5
50
99,5
ii. Cari letak kuartil, dengan rumus : 1. Kuartil 1 K1
1N 50 12,5 , kuartil satu terletak pada data yang ke-12,5 4 4
yaitu pada kelompok kelas ke-3 2. Kuartil 2 K2
2 N 2 50 25 , kuartil dua terletak pada data yang ke-25, 4 4
yaitu pada kelompok kelas ke-4 3. Kuartil 3 K3
3 N 3 50 37,5 , kuartil ketiga terletak pada data yang ke 4 4
37,5 yaitu pada kelompok kelas ke-5
iii. Cari nilai kuartil dengan rumus 1. Nilai Kuartil 1 N Fk 4 Ci f 12,5 10 Q1 49,5 10 52,625 8 Q1 li
2. Nilai Kuartil 2 2 N Fk 4 Ci f 25 18 Q2 59,5 10 65,3 12 Q2 li
3. Nilai Kuartil 3 3N Fk 4 Q3 li Ci f 37,5 30 Q3 69,5 10 77,8 9
Dimana Li = Batas bawah letak kuartil N = Jumlah data Fk = Frekuensi kumulatif sebelum letak kuartil F = frekuensi pada letak kuartil B. DESIL
Desil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi data menjadi sepuluh (10) bagian sama besar. Cara perhitungan Desil: c. Untuk data yang tidak dikelompokkan i. Susun data diurutkan dari yang memiliki nilai terkecil ii. Cari letak desil, dengan rumus : 1. Desil 1
D1
1( N 1) 10
2. Desil 5 D5
5( N 1) 10
3. Desil 9 D9
9( N 1) 10
iii. Cari nilai desil pada susunan data tersebut
Contoh ; Carilah nilai kuartil pada rangkaian data berikut ini ; 2
4
3
3
6
5
7
Susunan data : 1
3
3
4
5
Langkah : 6
7
Letak desil : * D1
1(7 1) 0,8 , terletak pada data yang ke-2 10
* D5
5(7 1) 4 , Terletak pada data yang ke-4 10
* D9
9(7 1) 7,2 , terletak pada data yang ke-7 10
Maka nilai D1 adalah 2, nilai D5 adalah 4 dan nilai D9 adalah 7.
d. Untuk data yang dikelompokkan i. Susun data seperti table berikut
Gaji Jumlah Karyawan karyawan
Tepi Kelas Bawah
Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’ 4
30 – 39
4
29,5
40 – 49
6
39,5
10
50 – 59
8
49,5
18
60 – 69
12
59,5
30
70 – 79
9
69,5
39
80 – 89
7
79,5
46
90 - 99
4
89,5
50
99,5
ii. Cari letak desil, dengan rumus : 1. Desil 1 D1
1N 50 5 , kuartil satu terletak pada data yang ke-5 yaitu 10 10
pada kelompok kelas ke-2 2. Desil 5 D5
5 N 5 50 25 , kuartil dua terletak pada data yang ke-25, 10 10
yaitu pada kelompok kelas ke-4 3. Desil 9 D9
9 N 9 50 45 , kuartil ketiga terletak pada data yang ke 10 10
45 yaitu pada kelompok kelas ke-7
iii. Cari nilai desil dengan rumus 1. Nilai Desil 1 Fk 10 Ci f 54 D1 39,5 10 41,2 6
D1 li
N
2. Nilai Desil 5
Fk 10 Ci f 25 18 D5 59,5 10 65,3 12
D5 li
5N
3. Nilai Desil 9 Fk 10 Ci f 45 39 D9 79,5 10 88,1 7 D9 li
9N
Dimana Li = Batas bawah letak desil N = Jumlah data Fk = Frekuensi kumulatif sebelum letak desil F = frekuensi pada letak desil
C. PROSENTIL
Desil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus (100) bagian sama besar Cara perhitungan Desil: e. Untuk data yang tidak dikelompokkan i. Susun data diurutkan dari yang memiliki nilai terkecil ii. Cari letak Prosentil, dengan rumus : 1. Prosentil 1 P1
1( N 1) 100
2. Prosentil 50 P50
50( N 1) 100
3. Prosentil 99 P99
99( N 1) 100
iii. Cari nilai prosentil pada susunan data tersebut
Contoh ; Carilah nilai prosentil pada rangkaian data berikut ini ; 2
4
3
3
6
5
7
Susunan data : 1
3
3
4
5
Langkah : 6
7
Letak prosentil : * P50
50(7 1) 4 , Terletak pada data yang ke-4 100
Maka nilai P5 adalah 4. f. Untuk data yang dikelompokkan
i. Susun data seperti table berikut Gaji Jumlah Karyawan karyawan
Tepi Kelas Bawah
Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’ 4
30 – 39
4
29,5
40 – 49
6
39,5
10
50 – 59
8
49,5
18
60 – 69
12
59,5
30
70 – 79
9
69,5
39
80 – 89
7
79,5
46
90 - 99
4
89,5
50
99,5
ii. Cari letak Prosentil, dengan rumus : 1. Prosentil 1 P1
1N 50 0,5 , kuartil satu terletak pada data yang ke-0,5 100 100
yaitu pada kelompok kelas ke-1
2. Prosentil 50 P50
50 N 50 50 25 , kuartil dua terletak pada data yang ke100 100
25, yaitu pada kelompok kelas ke-4 3. Prosentil 99 P99
99 N 99 50 49,5 , kuartil ketiga terletak pada data yang 100 100
ke 49,5 yaitu pada kelompok kelas ke-7 iii. Cari nilai Prosentil dengan rumus 1. Nilai Prosentil 1 Fk 100 Ci f 0,5 0 P1 29,5 10 30,75 4
P1 li
N
2. Nilai Prosentil 50 Fk 100 Ci f 25 18 P50 59,5 10 65,3 12 P50 li
50 N
3. Nilai Prosentil 99 Fk 100 Ci f 49,5 46 P99 89,5 10 98,25 4 P99 li
99 N
Dimana Li = Batas bawah letak desil N = Jumlah data Fk = Frekuensi kumulatif sebelum letak prosentil F = frekuensi pada letak prosentil
