UKURAN GEJALA PUSAT (UGP) Pengertian: Rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data. Nilai ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak di tengah-tengah dan memusat ke dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data.
Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan ialah: 1. Mayor Means terdiri dari: ¾ Rata-rata hitung (Arithmetic means) ¾ Median
Quartile
Decile
Percentile
¾ Modus 2. Minor Means, terdiri dari: ¾ Rata-rata ukur (Geometric means) ¾ Rata-rata Harmonis (Harmonic Means) ¾ Rata-rata Tertimbang ¾ Rata-rata Kuadratis ¾ Rata-rata dari Rata-rata (rata-rata gabungan)
Pengukuran nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan data populasi maupun data sampel, dan dari data yang belum dikelompokkan maupun yang sudah dikelompokkan.
1. Rata-rata Hitung 9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai merata atau yang mempunyai nilai dengan sebaran nilai yang relatif kecil 9 Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka. 9 Tidak dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif. 9 Tidak dapat digunakan untuk kelompok data yang mempunyai data ekstrim. 9 Data yang digunakan adalah data yang mempunyai skala pengukuran interval atau rasio.
9 Harganya unik atau hanya mempunyai satu nilai.
2. Rata-rata Tertimbang Apabila dari sebuah populasi berukuran N, diukur variabel yang mempunyai tingkat pengukuran interval/rasio dengan hasil pengukuran X1, X2, …XN. Masing-masing hasil pengukuran mempunyai bobot B1, B2, … BN, maka rata-rata didefinisikan sebagai rata-rata tertimbang.
3. Median 9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai ekstrim. 9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka atau tertutup. 9 Dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.
4. Modus Adalah suatu bilangan atau keterangan yang mempunyai frekuensi tertinggi atau bilangan yang sering muncul. 9 Dapat digunakan untuk data yang mempunyai skala pengukuran minimal adalah nominal. 9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang menunjukkan keadaan yang ‘merajalela’.
Quartile Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama.
Decile Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama.
Percentile Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi seratus bagian yang sama.
Rara-rata Ukur Rata-rata ukur biasanya digunakan untuk mengukur tingkat perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio. Digunakan bila perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap. Skala pengukuran yang digunakan minimal adalah interval
RUMUS-RUMUS UGP A. Ungrouped Data (n ≤ 30)
1. Rata-rata Hitung Populasi
∑ Xi µ= N
Sampel
∑ Xi X= n
Contoh : Nilai ujian dari 5 orang mahasiswa yang diambil sebagai sampel dari sebuah populasi adalah 80, 80, 75, 95, 100. Tentukan rata-rata nilai ujian kelima orang mahasiswa tersebut.
80 + 80 + 75 + 95 + 100 430 x= = = 86 5 5 data di atas merupakan data yang belum dikelompokkan.
2. Rata-rata tertimbang
n
X=
∑X b
i i
i =1 n
∑b
b = timbangan
i
i =1
Contoh : Seorang peneliti ingin memperoleh keterangan berapa persen pada rata-ratanya penduduk dewasa yang buta aksara di desa A, B, C dan D. data untuk keperluan itu, diperoleh dan disajikan pada tabel berikut:
Desa
% Buta Aksara (Xi) 11 8 3 16 38
A B C D
Jumlah Penduduk (Bi) 3843 2100 1968 2940 10851
Xi.Bi (%) 42273 16800 5904 47040 112017
n
X=
∑X b i =1 n
i i
∑b i =1
112017 = = 10,3232% 10851
i
3. Median (Me) Populasi :
Letak Median = ½(N + 1)
Sampel :
Letak Median = ½(n + 1)
Urutkan data dari data terkecil ke terbesar letakkan median pada urutan
½(N + 1).
Contoh: Data: 2, 8, 17, 23, 30, 35, 36, 42
n =8
Letak Median = ½(n + 1) = ½(8 + 1) = 4,5 Besar Median = 23 + ½ (30-23)=23 + 3,5 = 26,5
4. Quartile (Qi)
Qi = i. Letak
i = 1 s/d 3
(n + 1)
5. Decile (Di)
i = 1 s/d 9
Letak
Di = i.
4
(n + 1)
6. Percentile (Pi)
i = 1 s/d 99 Letak
Pi = i.
10
(n + 1) 100
Contoh: Data: 2, 8, 17, 23, 30, 35, 36, 42
n =8
( n + 1) 1. (8 + 1) Letak Q1 = Qi = i. = = 2,25 4
4
Besar Q1 = 8 + ¼ (17-8) = 10,25
Letak Q3 =
Qi
( n + 1) 3. (8 + 1) = i. = = 6,75 4
4
Besar Q3 = 35 + 0,75(36-35) = 35,75 Letak D3 =
Di = i.
(n + 1) = 3 (8 + 1) 10
Besar D3 = 8 + 0,7 (17-8) = 14,3
10
= 2,7
Letak P25 =
Pi = i.
(n + 1) = 25 (8 + 1) 100
100
= 2,25
Besar P25 = 8 + 0,25 (17-8) = 10,25
7. Modus (Mo) Bilangan yang sering terjadi (sering muncul) dalam suatu deretan bilangan data. Contoh : Status Perkawinan Tidak Kawin Kawin Janda / duda Cerai Maka modus status perkawinan adalah :
Daerah A B 1341 906 692 2934 118 131 98 102
Daerah A adalah Tidak Kawin Daerah B adalah Kawin
8. Rata-rata Ukur (Mg)
Mg = n X 1. X 2 ... X n
Atau
log Mg =
∑ log
Xi dimana
n
mg = rata-rata ukur
Dari 6 buah bilangan : 12,0 23,2 48,1 95,0 200 394,2
Rata-rata ukur :
mg = 6 (12 )(23,2 )(48,1)(95)(200 )(394,2 ) = logMg =
68,163
log(12) + ...+ log(394,2) 11,0012845 3 = = 1,83354742 1 6 6
mg = 68,163
9. Rata-rata pertumbuhan penduduk
Pt = Po(1 + r )
t
Po Pt t r
dan
r=t
Pt −1 Po
= Kuantitas pada periode 0 (periode awal) = Kuantitas pada periode ke t = Periode = Pertumbuhan
Contoh: Catatan di suatu daerah, jumlah penduduk berdasarkan perubahan: Tahun 1985 1986 1987 1988 1989
Pertumbuhan (%) 2 1,5 -1 1,3 -0,2
Pertanyaan : Berdasarkan data di atas, berapa perkiraan jumlah penduduk tahun 1990 bila pada tahun 1985 terdapat satu juta orang? Jawab :
mg = 5 (1,02)(1,015)(0,99)(1,013)(0,998) = 1,007 atau 0,7% maka, dik: Po
= 1.000.000
r
= 0,007
t
=5
Pt = Po(1 + r ) = 1000000(1 + 0,007 ) t
atau 1.035.493 orang
5 =1.035.493,4
10. Rata-rata Gabungan
n
χ gab =
∑n x i =1 n
i i
∑n i =1
i
Contoh: Sebuah sampel yang berukuran 200 telah dibagi menjadi 3 bagian: Bagian I terdiri dari 60 objek : rata-ratanya 40,8 Bagian II terdiri dari 105 objek : rata-ratanya 36,7 Bagian III terdiri dari 35 objek : rata-ratanya 29,9 Tentukan rata-rata gabungan dari 3 bagian di atas Dik:
x = 40,8
n1 = 60
n2 = 105
x = 36,7
n3= 35
x = 29,9
n
χgab
∑n x (60x40,8) +(105x36,7) +(35x29,9) = = = 30,63 60+105+35 n ∑ i=1 n
i=1
i i
i
11. Rata-rata Harmonis
H=
n ⎛ 1 Σ⎜⎜ ⎝ Xi
⎞ ⎟⎟ ⎠
Contoh (Lihat Buku Sudjana “Metoda Statistika” hal 75)
B Grouped Data (n > 30 data dalam DF)
1. Rata-rata Hitung
n
∑fX X= ∑f i
i =1
Cara panjang
i
dengan Xi = nilai tengah kelas.
i
n
X = X0
Cara Pendek
∑fu + ∑f
i i
i =1
Ci
i
Digunakan untuk mempermudah perhitungan. Caranya: ¾ Membuat transformasi di salah satu kelas = 0. Dengan cara:
ui = Bisa diambil pada nilai frekuensi yang terbesar. Atau ¾ Ci adalah interval kelas ¾ X0 adalah titik tengah kelas dimana ui = 0 Contoh : Nilai Ujian 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89
Xi 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5
fi 5 8 15 37 25 10 100
fi.Xi 172,5 356,0 817,5 2386,5 1862,5 845,0 6440,0
n
∑f X X= ∑f i =1
Cara Panjang :
i
i
i
=
6440 = 64,40 100
Xi − X0 Ci
Nilai Ujian 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89
Xi 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5
fi 5 8 15 37 25 10 100
ui -3 -2 -1 0 1 2
ui.fi -15 -16 -15 0 25 20 -1
Cara Pendek
n
X = X0
∑f u −1 + C = 64,5 + .10= 64,5 − 0,1= 64,4 100 ∑f i=1
i i
i
i
2. Median Letak Me = ½ n menunjukkan kelas median
i N −F Me = Li + 2 Ci f L
= Tepi batas bawah kelas Median
N
= Jumlah Data
C
= Panjang Kelas Me
F
= Jumlah Frekuensi sebelum frekuensi kelas median
f
= Frekuensi kelas Me
Contoh : Nilai ujian untuk 100 orang mahasiswa statistika adalah : Nilai Ujian 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89
Xi 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5
fi 5 8 15 37 25 10 100
f kumulatif 5 13 28 65 90 100
Letak kelas Me adalah = 100/2 = 50 ada pada kelas ke-4 (60-69)
i N −F 50 − 28 Me = Li + 2 Ci = 59,5 + .10 = 65.44595 f 37 3. Quartile
i N −F Qi = LQi + 4 CiQi f Qi 4. Decile
i
Di = LDi + 10
N −F f Di
CiDi
5. Percentile
N −F 100 Pi = LPi + CiPi f Pi i
Contoh untuk Q, D dan P (dari contoh Me):
Kuartil Pertama (Q1) : Letak kelas Q1 adalah = 100/4 = 25 ada pada kelas ke-3 (50-59)
1 N −F 25 − 13 Q1 = LQ1 + 4 C1Q1 = 49,5 + .10 = 57,5 f Q1 15 Desil keenam (D6) : Letak kelas D6 adalah = 100(6/10)= 60 ada pada kelas ke-4 (60-69)
6
D6 = LD 6 + 10
N−F f D6
CD 6 = 69,5 +
60 − 28 .10 = 68,14865 37
Persentil 10 (P10) : Letak kelas P10 adalah = 100(10/100)= 10 ada pada kelas ke-2 (40-49)
6. Modus
P10 = L p10 +
10
N −F 10 − 5 100 C p10 = 39,5 + .10 = 45,75 f p10 8
b1 C Mo = Li + b1 + b2 L
= Tepi batas bawah kelas modus. Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi terbanyak
C
= Panjang kelas/interval kelas
b1
= beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelumnya
b2
= beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi sesudahnya
Contoh : Data berikut adalah nilai ujian statistika dari 100 orang mahasiswa
Nilai Ujian 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89
fi 5 8 15 37 25 10 100
Xi 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5
fi.Xi 172,5 356,0 817,5 2386,5 1862,5 845,0 6440
Modus dari nilai ujian ke 100 orang mahasiswa tersebut adalah:
Mo = Li +
(37 − 15) b1 C = 59,5 + .10 = 65,97 (37 − 15) + (37 − 25) b1 + b2
7. Rata-rata ukur
Mg = X 1 . X 2 ... X n n
f1
f2
Nilai Ujian 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89
f ∑ log Mg = mg = 63,02
Xi 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5
i
fn atau fi
log X i
Σf i
5 8 15 37 25 10 100
log Mg =
∑f
log Xi 1,537819 1,64836 1,736397 1,80956 1,872156 1,926857
i
log X i
Σf i fi log Xi 7,689095 13,18688 26,04595 66,95371 46,80391 19,26857 179,9481
179,9481 = = 1,799481 100
8. Rata-rata Harmonis
H=
Σf i ⎛ fi Σ⎜⎜ ⎝ Xi
⎞ ⎟⎟ ⎠
Contoh (Lihat Buku Sudjana “Metoda Statistika” hal 76)
Soal Satu Pengawas kualitas di perusahaan industri batere memilih 21 buah batere secara acak guna diuji daya tahannya. Hasil pengujian tersebut dinyatakan dalam jam sebagai berikut: 158 242 127 184 213 135 140 220 193 131 281 242 242 281 192 200 130 111 160 217 217 Pertanyaan: a. Carilah rata-rata hitung, median, modus dari daya tahan batere tersebut. b. Kesimpulan apakah yang bisa saudara tarik dari ketiga rata-rata tersebut. Soal Dua Umur Banyaknya Mahasiswa 18-20 50 21-25 750 26-30 100 jumlah 900 Hitung rata-rata hitungnya dengan metoda UGP yang paling tepat. Soal Tiga Suatu penelitian dilakukan terhadap 100 peti barang dalam rangka meneliti barang rusak dalam tiap peti. Didapat data sebagai berikut: Tabel XX Barang yang Rusak Banyaknya barang rusak Banyaknya peti Dalam tiap peti Kurang dari 4 20 5–9 39 10 – 14 23 15 – 19 11 20 – 24 7 Sumber: Fiktif Pertanyaan:
a. b.
Berapa rata-rata banyaknya barang rusak dalam tiap peti (gunakan metoda UGP yang paling tepat) Jika dinyatakan, setiap peti diijinkan keluar gudang jika hanya berisi barang rusak paling banyak 12 barang, berapa jumlah peti yang memenuhi syarat tersebut?
Soal Empat PT. ABCDEF melaksanakan penarikan pegawai baru sebanyak 50 orang. Suatu tes mata pelajaran Matematik telah dilaksanakan dan didapat hasil sebagai berikut:
Nilai Jumlah 52-58 3 59-65 7 66-72 9 73-79 18 80-86 7 87-93 6 Untuk diterima sebagai pegawai ditentukan nilai tes matematik tertinggi paling sedikit 66. Berapa orang calon pegawai yang dapat diterima dan berapa yang tidak dapat diterima.
Soal Lima Jumlah uang saku yang diterima sekelompok pelajar perbulannnya, tersaji dalam distribusi frekuensi berikut : (dalam ribuan Rupiah) Besarnya uang Jumlah mahasiswa saku < 30 8 30 – 39 15 40 – 49 22 50 – 59 25 60 – 69 15 70 – 79 10 > 79 5 TOTAL 100 a) Berapa rata-rata uang saku yang diberikan oleh para orang tua mereka dalam setiap bulannya ? b) Bila ditetapkan 15% dari kelompok pelajar tersebut dianggap kurang mampu dan akan mendapat beasiswa dari POMA, maka tentukanlah batas maksimal uang saku perbulan yang diterima kelompok tersebut agar berhak menerima beasiswa itu. c) Selanjutnya Poma sepakat memungut sumbangan untuk membantu pendirian Lab Komputer dari 25% kelompok pelajar yang dianggap lebih mampu. Berapakah jumlah minimal uang saku yang diterima oleh mereka
yang termasuk dalam kelompok orang tuanya lebih mampu? Berapakah rata-rata uang saku yang sebagian besar diterima oleh kelompok pelajar tersebut di atas? Soal Enam Berikut ini data mengenai nilai ekspor Indonesia tahun 1981 s/d 1986 pada sektor industri yang didapatkan dari BPS dalam jutaan US. Tahun Nilai Eks
1981 2.598
1982 2.800
1983 3.141,4
1984 3.896,5
1985 4.164,8
1986 4.419,3
A. Hitunglah rata-rata nilai ekspor Indonesia tiap tahunnya pada periode 1983 – 1986 B. Berapa rata-rata tingkat pertambahan ekspor Indonesia tiap tahunnya menurut data di atas. C. Bila rata-rata tingkat pertambahan dianggap tetap, dalam berapa tahunkah nilai ekspor berjumlah dua kali lipat dari nilai ekspor tahun 1981. Distribusi Frekuensi untuk Interval Kelas Berbeda:
Untuk menggunakan formulasi kodding u, digunakan formulasi : ui =
Xi − X0 I
dimana : XI
: titik tengah kelas interval ke-i
X0
: titik tengah kelas interval dimana uI dihargakan nol.
I
: panjang kelas interval yang dibuat standar
Contoh: Nilai Ujian
fi
Xi
30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89
5 8 15 37 25 10
34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5
ui =
X i − 64,5 10
-3 -2 -1 0 1 2
fi ui -15 -16 -15 0 25 20
34,5 − 64,5 = −3 10 44,5 − 64,5 = = −2 10 54,5 − 64,5 = = −1 10 84,5 − 64,5 = =2 10
ui =
Contoh lainnya : Dengan menggunakan I = 25 dan dan X0 = 174,5 Kelas 100 125 150 200 300
fi -124 -149 -199 -299 -324
Xi 15 20 35 18 12 100
ui =
112 137 174,5 249,5 312
X i − 174 ,5 25
-2,5 -1,5 0 3 5,5
fi ui
Ci
-37,5 -30 0 54 66 52,5
25 25 50 100 25
n
∑f u 52,5 X=X + C =174,5 + .25=174,5+13,125 f 100 ∑ i=1
i i
0
i
i
=187,625 Dengan menggunakan I = 50 dan X0 = 174,5 Kelas
100 125 150 200 300
fi
-124 -149 -199 -299 -324
Xi
15 20 35 18 12 100
112 137 174,5 249,5 312
ui =
X i − 174 ,5 50
-1,25 -0,75 0 1,5 2,75
fi ui
-18,75 -15 0 27 33 26,25
Ci
25 25 50 100 25
n
∑f u 26,25 X =X + C =174,5+ .50=174,5+13,125 100 ∑f i=1
i i
0
i
i
=187,625
