Ukuran gejala pusat
Nugraeni
UKURAN PEMUSATAN Merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat data. Yang termasuk ukuran pemusatan : 1. Rata-rata hitung (Mean) 2. Median (nilai yang letaknya ditengah) 3. Modus (yang paling banyak terjadi) 4. Rata-rata ukur 5. Rata-rata harmonis
1. RATA-RATA HITUNG Rumus umumnya : Jumlah semua nilai data Rata - rata hitung Banyaknya nilai data
1. Untuk data yang tidak mengulang X1 X 2 ... X n X X n n
2. Untuk data yang mengulang dengan frekuensi tertentu X
f1X1 f 2 X 2 ... f n X n fX f1 f 2 ... f n f
kasus Urutan data sbb: a. 61; 63; 63; 63; 68; 70; 72; 75; 76; 76; 80; 80 dan 81 b. 53; 55; 55; 55; 60; 62; 64; 69; 69; 69; 72; 72 dan 75
RATA-RATA HITUNG (lanjutan) 1. Dalam Tabel Distribusi Frekuensi Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
fX
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
15 28 41 54 67 80 93
3 4 4 8 12 23 6
45 112 164 432 804 1840 558
Σf = 60
ΣfX = 3955
fX 3955 X 65,92 f 60
RATA-RATA HITUNG (lanjutan) 2. Dengan Memakai Kode (U) Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
U
Frekuensi
fU
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
15 28 41 54 67 80 93
-3 -2 -1 0 1 2 3
3 4 4 8 12 23 6
-9 -8 -4 0 12 46 18
Σf = 60
ΣfU = 55
fU 55 X X0 c 54 13 65,92 f 60
RATA-RATA HITUNG (lanjutan) 3. Dengan pembobotan Masing-masing data diberi bobot. Misal A memperoleh nilai 65 untuk tugas, 76 untuk mid dan 70 untuk ujian akhir. Bila nilai tugas diberi bobot 2, Mid 3 dan Ujian Akhir 4, maka rata-rata hitungnya adalah :
(2)65 (3)76 (4)70 X 70,89 23 4
2. MEDIAN Untuk data berkelompok n -F M ed L 0 c 2 f L 0 batas bawah kelas median F jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas yang mengandung median f frekuensi kelas median
MEDIAN (lanjutan) Contoh : Interval Kelas
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60
Letak median ada pada data ke 30, yaitu pada interval 6173, sehingga : L0 = 60,5 F = 19 f = 12
60 - 19 72,42 M ed 60,5 13 2 12
3. MODUS Untuk data berkelompok b1 M od L 0 c b1 b 2 L 0 batas bawah kelas modus b1 selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus b 2 selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus
MODUS (lanjutan) Contoh : Interval Kelas
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60
Data yang paling sering muncul adalah pada interval 74-86, sehingga : L0 = 73,5 b1 = 23-12 = 11 b2 = 23-6 =17 11 Mod 73,5 13 78,61 11 17
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data : 1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri. 2) Jika Mod<Med
HUBUNGAN RATA-RATA – MEDIAN - MODUS 1. = Md= Mo
80 7
66 3
d= M o
R
t= M
51 9
37 5
12 10 8 6 4 2 0
2. Mo < Md <
15 10 5 0 231
3.
< Md < Mo
Mo
Md
Rt
663
375
Rt
Md
Mo
807
15 10 5 0 231
807
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS (lanjutan) Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat hubungan : Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)
X - Mod 3 X Med
4. RATA-RATA UKUR Digunakan apabila nilai data satu dengan yang lain berkelipatan. n
G X1.X 2 ....X n
Untuk data tidak berkelompok log X G antilog n
Untuk data berkelompok f log X G antilog f
RATA-RATA UKUR (lanjutan) Contoh : Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
log X
f log X
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
15 28 41 54 67 80 93
3 4 4 8 12 23 6
1,18 1,45 1,61 1,73 1,83 1,90 1,97
3,54 5,8 6,44 13,84 21,96 43,7 11,82
Σf = 60
107,1 G antilog 60,95 60
Σf log X = 107,1
5. RATA-RATA HARMONIS Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk pecahan atau desimal. n RH 1 Untuk data tidak berkelompok X
Untuk data berkelompok
f RH f X
RATA-RATA HARMONIS (lanjutan) Contoh : Interval Kelas 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
Nilai Tengah Frekuensi (X) 15 28 41 54 67 80 93
60 RH 53,52 1,121
f/X
3 4 4 8 12 23 6
0,2 0,143 0,098 0,148 0,179 0,288 0,065
Σf = 60
Σf / X = 1,121
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL 1. Kuartil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar. Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas.
UKURAN LETAK: KUARTIL Definisi:
Kuartil adalah ukuran letak yang membagi 4 bagian yang sama. K1 sampai 25% data, K2 sampai 50% dan K3 sampai 75%. Rumus letak kuartil: DATA TIDAK BERKELOMPOK K1 = [1(n + 1)]/4 K2 = [2(n + 1)]/4 K3 = [3(n + 1)]/4
DATA BERKELOMPOK 1n/4 2n/4 3n/4
0
K1
K2
K3
n
0%
25%
50%
75%
100%
KUARTIL (lanjutan) Untuk data tidak berkelompok Qi nilai ke -
in 1 , i 1,2,3 4
Untuk data berkelompok in -F , i 1,2,3 Qi L 0 c 4 f
L0 = batas bawah kelas kuartil F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Qi f = frekuensi kelas kuartil Qi
KUARTIL (lanjutan) Contoh : Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
15 28 41 54 67 80 93
3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60
Q1 membagi data menjadi 25 % Q2 membagi data menjadi 50 % Q3 membagi data menjadi 75 % Sehingga : Q1 terletak pada 48-60 Q2 terletak pada 61-73 Q3 terletak pada 74-86
KUARTIL (lanjutan) Untuk Q1, maka :
1.60 - 11 54 Q1 47,5 13 4 8
Untuk Q2, maka :
2.60 - 19 72,42 Q 2 60,5 13 4 12
Untuk Q3, maka :
3.60 - 31 81,41 Q3 73,5 13 4 23
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL (lanjutan) 2. Desil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.
DESIL (lanjutan) Untuk data tidak berkelompok Di nilai ke -
in 1 , i 1,2,3,...,9 10
Untuk data berkelompok in
-F L0 = batas bawah kelas desil Di 10 Di L 0 c , i 1,2,3,...,9 F = jumlah frekuensi semua f kelas sebelum kelas desil Di f = frekuensi kelas desil Di
DESIL (lanjutan) Contoh : Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
15 28 41 54 67 80 93
3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60
D3 membagi data 30% D7 membagi data 70% Sehingga : D3 berada pada 48-60 D7 berada pada 74-86
DESIL (lanjutan) 3.60 - 11 58,875 D3 47,5 13 10 8 7.60 31 79,72 D 7 73,5 13 10 23
GRAFIK LETAK DESIL
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0
D2
D4
D6
D'8
n
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL (lanjutan) 3. Persentil Untuk data tidak berkelompok in 1 Pi nilai ke -
100
, i 1,2,3,...,99
in Untuk data berkelompok -F Pi L 0 c 100 f
, i 1,2,3,...,99
UKURAN LETAK PERSENTIL
1%
3%
…
…
…
99%
P1
P3
…
…
…
P99
SOAL LATIHAN Carilah nilai mean, median dan modus dari data berikut: Jawaban dikirim lewat email ke alamat :
[email protected], paling lambat kamis 27 November 2014 jam 21.00 Interval kelas
Frekuensi
50 – 55
1
56 – 61
2
62 – 67
17
68 – 73
13
74 – 79
24
80 – 85
9
86 – 91
7
92 - 97
7
