KONSEP DASAR PROBABILITAS PERTEMUAN VIII
|EvanRamdan
PROBABILITAS Dalam menentukan banyaknya anggota kejadian, kadangkala kita tidak selalu dapat mendaftar semua titik sampel dalam percobaan tersebut. Untuk percobaan yang demikian kita dapat memanfaatkan aturan perkalian atau rumus kombinasi.
Peluang Kejadian Menentukan peluang suatu kejadian sama halnya dengan menentukan besar kemungkinan munculnya kejadian tersebut. Peluang kejadian K, dinotasikan dengan P(K) adalah banyak anggota kejadian K dibanding dengan banyaknya anggota ruang sampel.
P( K )
n( K ) n( S )
0 P(K) 1 berarti peluang suatu kejadian bernilai antara 0 dan 1 Jika P(K) = 0 berarti K adalah kejadian yang mustahil terjadi Jika P(K) = 1 berarti K adalah kejadian yang pasti terjadi
Contoh 1: Pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali, berapakah peluang munculnya mata dadu ganjil? Jawab : Ruang Sampel n(S) =6 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} K = Kejadian muncul mata dadu ganjil n(K) =3 K = {1, 3, 5} P( K )
n( K ) 3 1 n( S ) 6 2
Jadi Peluang kejadian muncul mata dadu ganjil adalah ½
Contoh 2: Dari seperangkat kartu bridge diambil tiga kartu sekaligus secara acak. Tentukan peluang mendapatkan 3 kartu berwarna hitam. Jawab : Menentukan n(K) Banyak kartu hitam yang diambil = 3 Kartu hitam yang tersedia = 26 26! 26 C = 2600 Banyaknya kejadian K yang mungkin = n(K) = 3 (26 3)!3! Menentukan n(S) Banyak kartu hitam yang diambil =3 Total kartu yang tersedia = 52 Ruang sampel K = n(S) =C352 P( K )
52! = 22100 (52 3)!3!
n( K ) 2600 2 n( S ) 22100 17
Jadi Peluang kejadian terambil 3 kartu hitam adalah
2 17
KAIDAH PENCACAHAN Frekuensi Harapan Jika percobaan dilakukan secara terus menerus secara berulangulang maka frekuensi harapan muncul suatu kejadian akan semakin besar. Frekuensi harapan kejadian K dinotasikan dengan Fh (K) Misalkan pada suatu percobaan yang diulang sebanyak m kali dan peluang kejadian K adalah P(K), frekuensi harapan kejadian K adalah Fh (K) = m.P(K)
Peluang Kejadian Saling Lepas Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali. K1 adalah kejadian muncul mata dadu prima dan K2 adalah kejadian muncul mata dadu kelipatan 3. Menentukan peluang munculnya K1 atau K2 dilakukan dengan menggunakan rumus peluang kejadian majemuk. Kejadian majemuk terdiri dari : • kejadian Bersama (Joint Event) • kejadian saling lepas (Mutually Exclusive) • kejadian saling bebas (Independent) • kejadian bersyarat
1. KEJADIAN BERSAMA Dua kejadian K1 dan K2 yang dapat terjadi secara bersamaan disebut kejadian Bersama. Hal ini terjadi jika K1 K2 Misalkan pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali. • K1 : kejadian munculnya mata dadu prima
K1 = {2, 3, 5}
• K2 : kejadian muncul mata dadu kelipatan 3. K2 = {3, 6}
K1 K2 = 3
Peluang kejadian K1 atau K2 dinotasikan dengan P(K1 K2) Pada kejadian berasama berlaku : P(K1 K2) = P(K1) + P(K2) – P(K1 K2) n( K1 ) n( K 2 ) n( K1 K 2 ) n( S ) n( S ) n( S )
Contoh : Pada percobaan melempar sebuah dadu, K1 adalah kejadian muncul mata dadu prima dan K2 adalah kejadian munculnya mata dadu kelipatan 3. Tentukan: a. Peluang munculnya K1 atau K2 jika percobaan dilakukan sebanyak satu
kali. b. Ekspektasi munculnya K1 atau K2 jika percobaan diulang sebanyak 90 kali
Jawab :
a. Peluang muncul K1 atau K2 untuk 1 kali percobaan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) =6 K1 = {2, 3, 5} n(K1) =3 K2 = {3, 6} n(K2) =2 K1 K2 = {3} n(K1 K2) 1 P(K1 K2) = P(K1) + P(K2) – P(K1 K2) n( K1 ) n( K 2 ) n( K1 K 2 ) n( S ) n( S ) n( S ) 3 2 1 6 6 6 2 3
b. Frekuensi Harapan jika percobaan diulang 90 kali
=
Fh(K1 K2) = m.P(K1 K2) 2 90 3 = 60
2. KEJADIAN SALING LEPAS Dua kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan disebut kejadian saling lepas (Mutually Exclusive). Misalkan pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali. • K1 : kejadian munculnya mata dadu genap
K1 = {2, 4, 6}
• K2 : kejadian muncul mata dadu 5.
K2 = {5}
K1 K2 =
Peluang kejadian K1 atau K2 dinotasikan dengan P(K1 K2) Pada kejadian saling lepas berlaku : P(K1 K2) = P(K1) + P(K2) n( K1 ) n( K 2 ) n( S ) n( S )
Contoh :
Dari seperangkat kartu bridge akan diambil satu kartu secara acak. Tentukan: a. Peluang terambilnya kartu bergambar atau kartu As. b. Ekspektasi jika percobaan dilakukan sebanyak 65 kali.
Jawab : a. Peluang terambil kartu bergambar atau kartu As Banyak ruang sampel
n(S) =C152 = 52 Misal K1 : Kejadian terambil kartu bergambar
n(K1) = C112
= 12
Misal K2 : Kejadian terambil kartu As
n(K2) = C14 = 4 Peluang muncul K1 atau K2
P(K1 K2) = P(K1) + P(K2)
4 n( K1 ) n( K 2 ) 12 4 n( S ) n( S ) 52 52 13
b. Frekuensi Harapan jika percobaan diulang 65 kali
Fh(K1 K2) = m.P(K1 K2) 4 65 13 = 20
3. KEJADIAN SALING BEBAS Dua kejadian yang tidak saling bergantung/mempengaruhi disebut kejadian saling bebas (Independent). Misalkan pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu secara bersamaan sebanyak satu kali. • K1 : kejadian muncul sisi gambar pada uang logam • K2 : kejadian muncul mata dadu genap.
Perhatikan bahwa munculnya sisi gambar pada uang logam tidak mempengaruhi munculnya mata dadu genap, sehingga K1 dengan K2 disebut Kejadian Saling Bebas (Independent) Peluang kejadian saling bebas K1 dan K2 dinotasikan dengan P(K1 K2) P(K1 K2) = P(K1) . P(K2) n( K1 ) n( K 2 ) n( S1 ) n( S 2 )
Contoh : Dalam sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 4 bola biru, akan diambil 2 bola satu demi satu secara acak tanpa pengembalian. Tentukan: a. Peluang terambil bola pertama berwarna merah dan bola kedua biru, b. Peluang terambil bola keduanya biru. Jawab : a. Peluang terambil bola pertama berwarna merah dan bola kedua biru K1 : Kejadian terambil bola merah
K2 : Kejadian terambil bola biru
n(K1) = C15 = 5
n(K2) = C14 = 4
Ruang sampel pengambilan pertama
Ruang sampel pengambilan kedua
n(S1) = C19 = 9
n(S2) = C18 = 8
Peluang pertama K1 dan kedua K2 adalah : P(K1 K2) = P(K1) . P(K2) =
n( K1 ) n( K 2 ) 5 4 20 n( S1 ) n( S 2 ) 9 8 72
b. Peluang terambil keduanya biru K3 : Kejadian terambil bola biru
K4 : Kejadian terambil bola biru
n(K3) = C14 = 4
n(K4) = C13 = 3
Banyak ruang sampel pengambilan
Banyak ruang sampel pengambilan
n(S) = C19 = 9
n(S) = C18 = 8
Peluang pertama K3 dan kedua K4 adalah : n( K1 ) n( K 2 ) 4 3 12 P(K1 K2) = P(K1) . n( S ) n ( S ) 9 8 72 P(K2)
4. PELUANG KOMPLEMEN KEJADIAN Misalkan K adalah suatu kejadian. Peluang kejadian bukan K, dinotasikan dengan P(Kc) atau P(K’) adalah banyaknya anggota kejadian bukan K dibagi dengan banyaknya anggota ruang sampel. Peluang kejadian bukan K disebut juga peluang komplemen kejadian. n( K c ) P( K ) n( S ) c
Selain dengan menggunakan banyknya anggota kejadian bukan K, peluang komplemen K dapat juga ditentukan dengan menggunakan banyaknya anggota kejadian K. P( K c ) 1 P( K )
Contoh : Pada seperangkat kartu bridge diambil satu kartu. Jika peluang terambilnya kartu As adalah
bukan As !
1 , tentukan peluang terambilnya kartu 13
Jawab : Misal K : Kejadian terambil kartu As. Peluang terambil bukan kartu As adalah P( K c ) 1 P( K ) 1
12 1 13 13
5. PELUANG KEJADIAN BERSYARAT Kejadian bersyarat adalah dua kejadian pada suatu percobaan, kejadian yang satu terjadi dengan syarat kejadian yang lainnya telah terjadi. Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah P( A B) P( A / B) P( B)
Contoh : Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery. Misal
W = Wanita L = Pria
S = Suka pasta gigi strawberri J = Suka pasta gigi jeruk
a. Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery? Peluang menyukai pasta gigi rasa strawberri dengan syarat ia seorang pria. 40 P(SL) = 100 0,4
P(L) =
60 0,6 100
P ( S | L)
P ( S L) 0,4 0,67 0,6 P ( L)
b. Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk? Peluang ia menyukai pasta gigi rasa jeruk dengan syarat ia seorang wanita. P(JW) = P(W) =
30 0,3 100
40 0,4 100
P( J | W )
P( J W ) 0,3 0,75 0,4 P(W )
b. Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia seorang pria... Peluang ia seorang pria dengan syarat menyukai pasta gigi rasa jeruk P(LJ) =
20 0,2 100
P(J) =
50 0,5 100
P( L | J )
P( L J ) 0,2 0,4 0,5 P( J )
LATIHAN LAGI...... 1. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya bola : a. Merah b. Tidak biru c. Merah atau putih 2. Empat bola diambil sekaligus dari kantong yang berisi 8 bola merah dan 6 bola putih. Hitunglah peluang yang terambil adalah: a. Keempatnya bola putih. b. Tiga bola merah dan satu bola putih. c. Paling banyak tiga bola putih. 3. Tiga keping mata uang logam dilemparkan secara bersamaan sebanyak 160 kali. Hitunglah frekuensi harapan untuk kejadiankejadian berikut: a. Kejadian munculnya tiga sisi gambar. b. Kejadian munculnya tiga sisi angka. c. Kejadian munculnya satu sisi gambar dan dua sisi angka.
