Pertemuan Ke-1 BAB I PROBABILITAS 1.1 Arti dan Pentingnya Probabilitas Probabilitas merupakan suatu nilai untuk mengukur besarnya tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang acak. Kejadian Acak atau random event ialah suatu kejadian yang tak dapat ditentukan dengan pasti sebelumnya. Probabilitas merupakan suatu frekuensi relatif dari suatu sukses yang diperoleh jika suatu percobaan dilakukan berulang-ulang sampai tak terbatas didalam situasi dan kondisi yang sama.
Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara, maka probabilitas kejadian A adalah : P (A) = n(A)/n(S) = m/n Perumusan ini harus memenuhi ketentuan : Probabilitas A harus merupakan bilangan non-negatif atau bukan bernilai negatif, yaitu : P (A) ≥ 0 . Nilai probabilitas suatu peristiwa berkisar antara : 0 ≤ P (A) ≤ 1 Jumlah probabilitas A ditambah A (bukan A) harus sama dengan 1. Atau : P (A) + P (A) = 1 → P (A) = 1 – P (A)
Contoh : Sebuah dadu yang seimbang memiliki enam sisi. Lima dari keenam sisi tersebut dicat biru sedangkan satu sisi selebihnya dicat hijau.bila dadu tersebut dilempar sebanyak satu kali, berapa : a. probabilitas timbulnya sisi yang bercat biru b. probabilitas timbulnya sisi yang bercat hijau Jawab : a. P (Biru) = 5/6 b. P (Hijau) = 1/6
1.2 Peristiwa (event) dan Notasi Himpunan Ruang sampel adalah kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan. Keseluruhan dari titik sampel dinamakan Ruang sampel dan dilambangkan dengan S. Contoh : S = { 1,2,3,4,5,6} ruang vektor Kejadian yang dapat terjadi di dalam suatu eksperimen (percobaan) dan biasanya dilakukan berulang kali dinamakan Titik Sampel. A = { 2 } titik sampel dimana A ⊆ S Peristiwa/kejadian (event) Kumpulan (himpunan) dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik.
Peristiwa A atau B dinotasikan dengan A ∪ B Peristiwa A dan B dinotasikan dengan A ∩ B Peristiwa A dan B merupakan peristiwa yang saling lepas, A ∩ B =0 1.3 Probabilitas Suatu Peristiwa Peristiwa yang saling lepas (Mutually Exclusive) Bila A dan B dua kejadian sembarang pada S dan berlaku A ∩ B =Ø, maka A dan B dikatakan dua kejadian saling lepas atau saling terpisah. Secara matematis dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau terpisah (disjoint) jika dan hanya jika mereka tidak memiliki unsur yang sama dan A ∩ B = 0 ( himpunan kosong ).
Gambar peristiwa saling lepas Kejadian A,B dan C tidak mungkin terjadi secara bersamaan
A
C
B
Bila A dan B saling lepas dan merupakan peristiwa dalam sebuah ruang sampel yang terbatas , maka : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Dimana : A ∩ B = 0 dan P (A ∩ B) = 0. Contoh : Bila sebuah dadu dilempar sekali , berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 atau 3 ? Jawab : Jika A = peristiwa timbulnya mata dadu 1 B = peristiwa timbulnya mata dadu 3 P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/6 A dan B merupakan dua peristiwa yang saling lepas. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 • Dua peristiwa dikatakan tidak saling lepas bila kedua peristiwa tersebut tidak usah terpisah.
Kejadian Majemuk Bila A dan B peristiwa sembarang pada ruang sampel S, maka gabungan kejadian A dan B ditulis A ∪ B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada kedua-duanya. Kejadian A ∪ B disebut kejadian majemuk, dan A ∩ B yaitu kumpulan titik sampel yang ada pada A dan B disebut kejadian majemuk. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Gambar peristiwa tidak saling lepas
A
•Peristiwa yang saling bebas (independen) Dua peristiwa dikatakan independen jika dan hanya jika terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi peristiwa kedua.
B
Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas, maka berlaku rumus : P (A ∩ B ) = P (A) . P (B)
Contoh Soal 1. Kita ambil satu kartu secara acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A = kejadian terpilihnya kartu as dan B = kejadian terpilihnya kartu wajik, Hitung peluang P( A Υ B) ! P( A Ι B) = 1 / 52 jawab: P(A) = 4 /52; P(B) = 13/52; maka
P(AΥB) = P(A) + P(B) − P(AΙ B) = 4/ 52+13/ 52−1/ 52=16/ 52= 4/13 2. Jika diketahui dua kejadian A dan B saling bebas dengan P(A)= 0,3 dan P(B)= 0,4 maka berlaku:
P ( A Ι B ) = P ( A).P ( B ) = (0,3)( 0,4) = 0,12
3. Sebuah kotak berisi 3 bola merah, 4 bola putih dan 3 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak dengan syarat: a. Setelah diambil bola dikembalikan lagi, tentukanlah probabilitas terpilihnya: bola merah, bola putih, bola biru, tidak merah, merah atau putih. jawab: banyaknya bola dalam kotak n = 3+4+3 = 10 - P(bola merah) = 3/10 - P(bola putih) = 4/10 - P(bola biru) = 3/10 - P(tidak merah)= 1- P(bola merah)=1-3/10 = 6/10 = 3/5 - P(merah atau putih) = 3/10 + 4/10 = 7/10
b.
Setelah diambil bola tidak dikembalikan, tentukan probabilitas terpilih: merah, putih, biru, merah atau putih, merah dan biru. jawab: P(merah) = 3/10 P(putih) = 4/9 P(biru) = 3/8 P( merah atau putih) = 3/10 + 4/9 = 67/90 P(merah dan biru) = 3/10 . 3/8 = 9/80
Latihan soal: 1. Pada pelemparan dua buah dadu, tentukanlah: a. ruang sampel S b. Bila A menyatakan kejadian munculnya dua dadu dengan muka sama, hitung P(A)! c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu kurang dari 5, hitunglah P(B)!
Latihan soal: 2. Peluang seorang mahasiswa lulus kalkulus adalah 2/3 dan peluang ia lulus bahasa Inggris adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah itu? 3. Pada pelemparan dua buah mata dadu, tentukanlah probabilitas munculnya muka dua dadu dengan jumlah 5 atau 11! 4. Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama! 5. Pada pelemparan dua dadu, apakah kejadian munculnya muka X ≤ 3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y ≥ 5 dadu II saling bebas ?
SOAL – SOAL LATIHAN
01. Dari pernyataan berikut di bawah ini yang benar, kecuali : a. P(A) ≥ 0 c. 0 ≤ P(A) ≤ 1 b. -1 ≤ P(A) ≤ 1 d. P(A) + P(A’) = 1
02. Keseluruhan dari titik sampel pada sebuah percobaan disebut : a. ruang sampel c. probabilitas b. sampel d. event
02. Keseluruhan dari titik sampel pada sebuah percobaan disebut : a. ruang sampel c. probabilitas b. sampel d. event
03. Sebuah dadu dilempar sebanyak satu kali maka probabilitas dadu menunjukkan angka 5 atau lebih : a. 4/6 c. 2/6 b. 3/6 d. 1/6
03. Sebuah dadu dilempar sebanyak satu kali maka probabilitas dadu menunjukkan angka 5 atau lebih : a. 4/6 c. 2/6 b. 3/6 d. 1/6
04. Tentukan peluang sisi “Gambar” atau “Angka” jika sebuah uang logam dilempar sebanyak satu kali : a. 1 c. ¼ b. ½ d. 0
04. Tentukan peluang sisi “Gambar” atau “Angka” jika sebuah uang logam dilempar sebanyak satu kali : a. 1 c. ¼ b. ½ d. 0 05. Sebuah kaleng berisi 20 kelereng terdiri dari 5 warna merah, 8 warna hijau, dan sisanya bewarna biru. Jika A adalah kejadian munculnya kelerang merah B adalah kejadian munculnya kelerang hijau, dan C adalah kejadian munculnya kelereng biru. Tentukan P(A U C) =…. a.13/20 c. 12/20 b.15/20 d. 7/20
05. Sebuah kaleng berisi 20 kelereng terdiri dari 5 warna merah, 8 warna hijau, dan sisanya bewarna biru. Jika A adalah kejadian munculnya kelerang merah B adalah kejadian munculnya kelerang hijau, Dan C adalah kejadian munculnya kelereng biru. Tentukan P(A U C) =…. a.13/20 c. 12/20 b.15/20 d. 7/20 01. Dari pernyataan berikut di bawah ini yang benar, kecuali : a. P(A) ≥ 0 c. 0 ≤ P(A) ≤ 1 b. -1 ≤ P(A) ≤ 1 d. P(A) + P(A’) = 1
