Laborato ri um Eko no mi Pertani an
BAB 3 Teori Probabilitas A. HIMPUNAN a. Penulisan Hipunan Cara Pendaftaran Cara Pencirian Contoh: Contoh: 1) A = {a,i,u,e,o} 1) A = {X: x huruf vokal } 2) B = {1,2,3,4,5} menghasilkan data diskrit 2) B = {X: 1≤x≤2} menghasilkan data kontinyu b. Macam Himpunan Macam Uraian Himpunan Semesta Himpunan kosong Himpunan bagian
Himpunan Komplemen
c.
Contoh : 1) S = U = {a,b,c…….} 2) S = U = {X: x bilangan prima} Dilambangkan dengan atau { } Dilambagkan dengan Contoh : B A (A memuat semua unsur B) Jika A = {1,2,3} Jumlah himpunan bagian = 2n = 23 = 8 Yaitu { }, {1}, {2}, {3},{1,2}, {1,3), {2,3} dan {1,2,3} Dilambangkan dengan Ac atau A’ atau A merupakan himpunan di luar unsur himpunan tertentu (misal: A) Contoh: S = {1,2,3,4,5,6,7} A= {2,4,6} Ac= {1,3,5,7}
Operasi Himpunan Jenis Operasi Gabungan (union) Irisan (intersection) Selisih
Uraian Dituliskan: A B = {X: x A, x B atau x A B} Dituliskan: A B atau AB = {X: x A, dan x B} Dituliskan: A - B atau A Bc = {X: x A, dan x B} atau {X:
x A, dan x Bc} d. Aturan dalam Himpunan No Naman Aturan (Hukum) 1 Hukum Komutatif 2
Hukum Asosiatif
3.
Hukum Distributif
4.
Hukum Identitas
5.
Hukum Komplementasi
6.
Jumlah anggota himpunan
Uraian
AB=BA AB=BA (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) AS =A A = A A Ac = A Ac = S n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) n(A C) - n(B C) – n (A B C) dimana : n(A) = jumlah anggota himpunan A
11
Laborato ri um Eko no mi Pertani an B. PERMUTASI dan KOMBINASI Prinsip dasar membilang Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n1 cara dan kejadian kedua dalam n2 cara dan seterusnya sampai kejadian k sama dengan nk cara, seluruh kejadian menjadi : n1 x n2 x……x nk Faktorial Perkalian semua bilangan positif berurut mulai dari bilangan 1 s/d bilangan yang bersangkutan. Jika n = 1, 2………… maka n! = n x (n-1) x (n-2)x ……..x 2 x 1
Catatan: 1! = 1 1.
dan 0! = 1
PERMUTASI Adalah penyusunan beberapa obyek ke dalam suatu urutan tertentu. Misalnya : Terdapat 3 obyek ABC. Pengaturan obyek tersebut adalah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA disebut sebagai permutasi. Rumus-Rumus Permutasi Permutasi n obyek tanpa pengembalian a) Permutasi n obyek seluruhnya
nPn = n! b)
Permutasi sebanyak r dari n obyek
nPr c)
n! (n r )!
nr
Permutasi melingkar
Pmelingkar= (n-1)! Permutasi n obyek dengan pengembalian
nPr n r Permutasi n obyek yang sama
nPn1 , n2 , n3 ,.......
n! n1 !.n2 !.n3 !.........
Contoh permutasikan kata “TAMAT”. 2. KOMBINASI Penyusunan beberapa obyek tanpa memandang urutan obyek tersebut (urutan obyek tidak menjadi bahan pertimbangan). Contoh: 4 obyek A, B, C, D kombinasi 3 (huruf) dari obyek tersebut adalah ABC, ABD, ACD, dan BCD (tidak satupun dari kombinasi tersebut yang semua unsurnya sama ). Rumus- rumus Kombinasi 1) Kombinasi r dari n obyek yang berbeda
Crn
n! nr r !(n r )!
2) Hubungan Permutasi dan kombinasi
P r !C n r
n r
C. PROBABILITAS
P( A)
X n
atau
Prn C r! n r
Dimana P(A) = probabilitas kejadian A X = persitiwa yang dimaksud n = banyaknya peristiwa yang mungkin
14
Laborato ri um Eko no mi Pertani an Contoh: Dua buah dadu dilempar keatas secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya jumlah 5 (lima). Peristiwa yang dimaksud (X) = 4 yaitu (1,4), (4,1), (2,3) dan (3,2) Hasil yang mungkin (n) = 6 x 6 = 36
P( jumlah 5)
4 0,11 36
Percobaan, Ruang Sampel, Titik Sampel dan Peristiwa 1) Percobaan : Proses Pelaksanaan Observasi Contoh: Pelemparan 2 mata uang logam 2) Ruang Sampel : himpunan semua hasil yang mungkin pada percobaan Contoh : {A,G}, {A,A}, {G,A}, {G,G} 3) Titik Sampel: Seluruh anggota dari ruang sampel Contoh: G (gambar), A (angka) 4) Peristiwa : himpunan bagian dari ruang sample pada suatu percobaan atau hasil dari percobaan Contoh: A dengan A, A dengan G dan G dengan G Probabilitas Beberapa Peristiwa a. Peristiwa Saling Lepas (mutually exclusive) Jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan P (A atau B) = P(A) + P (B) atau P (A B) = P(A) + P (B) b. Peristiwa Tidak Saling Lepas (non exclusive) Jika kedua atau lebih peristiwa itu dapat terjadi pada saat yang bersamaan. P (A atau B) = P(A) + P (B) – P (A dan B) atau P (A B) = P(A) + P (B) – P (AB) Jika 3 peristiwa maka: P (A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P (A B) – P (A C) – P (B C) – P (A B C) c. Peristiwa Saling Bebas (independent) Bila peristwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain.
1) Probabilitas marginal atau tidak bersyarat Probabilitas terjadinya peristiwa yang satu yang tidak memiliki hubungan dengan peristiwa yang lain Contoh: Pelemparan mata uang, berapa pun banyak pelimparan P (A) = 0,5 dan P (G) = 0,5
2) Probabilitas gabungan peristiwa saling bebas P (A dan B) = P (A B) = P(A) x P (B) Untuk 3 peristiwa digabung : P (A B C) = P(A) x P (B) x P (C) Contoh : Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya G pada mata uang dan mata 4 pada dadu. P (A B) = P(A) x P (B) = 1/2 x 1/6 = 1/12
3) Probabilitas bersyarat peristiwa saling bebas Probabilitas suatu peristiwa dengan syarat peristiwa yang lain harus terjadi. P (B/A) = P(B)
15
d.
Laborato ri um Eko no mi Pertani an Contoh:Sebuah mata uang logam dilempar 2 kali. Jika pelemparan pertama menghasilkan angka (A) tentukan probabilitas menghasilkan angka pada lemparan kedua. Karena keduanya bebas atau peristiwa satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain, maka : P(B/A) = P(B) = 0,5 Peristiwa Tidak Saling Bebas (Dependent) 1) Probabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas Probabilitas terjadinya jika suatu peristiwa dengan syarat peristiwa yang lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa yang lain tersebut saling mempengaruhi P( B A) P( B / A) P( A) Contoh : Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan ciri: 5 bola putih bertanda + 1 bola putih bertanda – 3 bola kuning bertanda + 2 bola kuning bertanda – Jika seseorang mengambil sebuah bola kuning dari kotak, berapakah probabilitas bola bertanda + ? Jawab: A = Probabilitas bola kuning B+ = Probabilitas Bertanda + Maka : P (A) = 5/11 P(B+ A) = 3/11 Maka :
P( B / A)
P( B A) P( A)
3 11 5 11
3 5
2) Probabilitas gabungan peristiwa tidak saling bebas Probabilitas terjadinya 2 atau lebih peristiwa secara berurutan dan peristiwa-peristiwa tsb saling mempengaruhi. P (A dan B) = P (A B) = P (A) x P(B/A) 3) Probabilitas marginal peristiwa tidak saling bebas Probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan peristiwa yang lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi. P(A) = P (B A) = P(Ai) x P(B/Ai), i= 1,2,3, …… Probabilitas Beberapa Peristiwa dengan Pendekatan Kombinasi Rumus Kombinasi n! Crn nr r !(n r )!
Contoh : Dari sejumlah kartu bridge diambil 5 kartu secara acak, tentukan probabilitas terpilih 4 kartu queen dan 1 kartu lainnya.
P
C44 C148 1 52 C5 54.155
Peristiwa Komplementer P (A) + P (B) = 1 16
Laborato ri um Eko no mi Pertani an
atau P(A) = 1 – P(B) atau P(B) = 1 – P(A) D. KAIDAH BAYES (TEOREMA BAYES) Kaidah ini digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.Kaidah Bayes menyatakan jika dalam suatu ruang sample (S) terdapat beberapa peristiwa (mutually exclusive) misalnya A1, A2, A3, ….. An yang memiliki probabilitas tidak sama dengan nol dan apabila peristiwa lain (misalkan X) yang mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A1, A2, A3,….. An dengan diketahui peristiwa X tersebut, maka:
P( Ai ) P( X i / Ai ) R R P( Ai ) P( X i / Ai )
P( Ai / X i )
Pada kaidah ini terdapat beberapa bentuk probabilitas: 1. Probabilitas awal, P(Ai) 2. Probabilitas bersyarat, P (Xi /Ai) 3. Peristiwa ganda { P(Ai). P (Xi /Ai)} 4. Probabilitas posterior, probabilitas yang diperbaiki karena adanya info tambahan P (A i /Xi) E. HARAPAN MATEMATIKA (Nilai harapan) Nilai harapan adalah jumlah dari semua hasil perkalian antara nilai variable random dengan probabilitasnya. E(X) = X. P(X) Contoh: Suatu kotak berisi 8 bola merah (8M), 3 putih (3P), dan 9 biru (9B). Apabila 3 bola dipilih secara acak, hitunglah probabilitas bahwa: a. Ketiga-tiganya merah (M1M2M3) b. Ketiga-tiganya putih (P1P2P3) Jawab: a. cara Pertama P(M1,M2,M3 ) = P(M1)P(M2/M1)P(M3/M1M2) = 8/20 . 7/19 . 6/18 = 14/285 Cara kedua P(M1,M2,M3 ) = = 8C3 / 20C3 = 14/285 b. P(P1P2P3) = P(P1)P(P2/P1)P(P3/P1P2) = = 1 / 1.140 Atau =3C3 / 20C3 = 1 / 1.140
17
Laborato ri um Eko no mi Pertani an
Latihan 1.
Sebuah kotak berisi 7 bola merah, 5 bola putih, 4 bola hijau, 2 bola biru. Semua bola sama bentuk, besar, dan bobotnya. Dengan mata tertutup diambil bola dari kotak itu: a. Berapa probabilitasnya bahwa bola yang terambil berwarna merah atau berwarna hijau ? b. Jika terambil 2 bola berapa probabilitasnya bahwa bola yang terambil keduanya berwarna merah?
2. Sebuah lembaga bimbingan belajar yang mempunyai 100 murid, diketahui bahwa 78 murid belajar matematika, 66 murid belajar fisika, dan 46 murid belajar baik matematika maupun fisika. Bila seorang murid dipilih secara random, hitunglah probabilitasnya dari kejadian berikut ! a. Murid tersebut mengambil matematika atau fisika b. Murid tersebut tidak mengambil matematika ataupun fisika c. Murid tersebut mengambil fisika tetapi tidak mengambil matematika 3. Bank “Mondar-Mandir “memberikan pinjaman kepada para mahasiswa Universitas Jember untuk membayar SPP selama mereka masih belajar dan berjanji akan mengembalikannya setelah mereka selesai belajar dan mendapatkan pekerjaan. Setelah para mahasiswa itu selesai studi dan memperoleh pekerjaan, ternyata sebagian dari mahasiswa ada yang mengembalikan tetapi ada juga yang tidak mau membayar kembali hutang mereka. Data Bank Mondar-Mandir adalah sebagai berikut : Status pengembalian Tidak Kembali Jumlah Jenis Kelamin Kembali Pria 132 251 383 Wanita 160 286 446 Jumlah 292 Hitunglah probabilitas dari kejadian berikut ! a. Mahasiswa pria yang mengembalikan pinjaman b. Mahasiswa wanita yang mengembalikan pinjaman
537
829
4. Pelamar-pelamar pekerjaan pada perusahaan X terdiri dari 25% laki-laki berpengalaman kerja, 15% wanita berpengalaman kerja, 35% laki-laki tidak berpengalaman kerja, dan 25% wanita tidak berpengalaman kerja. Bila direktur perusahaan tersebut memilih seorang pelamar secara random/acak untuk diangkat sebagai karyawan pada perusahaan tersebut. Berapa probabilitasnya bahwa pilihannya adalah pelamar berpengalaman kerja? 5. Dua buah mata dadu yaitu dadu kuning dan dadu hijau dilempar secara bersama-sama. Berapa probabilitas keluarnya mata dadu kuning <4 dan mata dadu hijau ≥2 ? 6. Seorang mahasiswa mengambil mata kuliah di tingkat sarjana, yaitu mata kuliah A, B dan C. Probabilitas lulus untuk ketiga mata kuliah, masing-masing 0,45; 0,75; dan 0,60. Hitunglah probabilitas dari kejadian berikut ! a. Mahasiswa lulus dalam 3 mata kuliah tersebut. b. Mahasiswa tidak lulus dalam mata kuliah A dan C. c. Mahasiswa tidak lulus paling sedikit 1 mata kuliah.
32
