2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 1

Variabel Random

3

Pengantar Variabel Random Variabel Random Diskrit Nilai Ekspektasi dan Variansi Variabel Random Diskrit Variabel Random Kontinyu Kovariansi dan Korelasi Distribusi Bivariat Moment Generating Function Fungsi Transformasi The Law of Large Number

10/7/2004

TI-2131 Teori Probabilitas - DI

1

3-1 Pengantar Output sebuah proses dapat dikategorikan defect (B) dan baik (G). Dari 4 produk berurutan akan ada 2*2*2*2=24 = 16 kemungkinan kemunculan, sehingga membentuk ruang sample: BBBB BBBG BBGB BBGG

BGBB BGBG BGGB BGGG

GBBB GBBG GBGB GBGG

GGBB GGBG GGGB GGGG

Jika kemunculan defect dan baik sama (equally likely) [P(G)=P(B) = 1/2], dan sebuah kemunculan independen dengan kemunculan berikutnya, maka probabilitas dari setiap kemunculan: (1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16. 10/7/2004


2

3-2 Variabel Random (1) Jumlah produk baik (G) dari 4 kemunculan adalah: BBBB BBBG BBGB BBGG

(0) (1) (1) (2)

BGBB BGBG BGGB BGGG

(1) (2) (2) (3)

GBBB GBBG GBGB GBGG

(1) (2) (2) (3)

GGBB GGBG GGGB GGGG

(2) (3) (3) (4)

Setiap kemunculan dinyatakan dengan sebuah nilai numerik Semua kemunculan diberikan nilai numerik Nilai yang diberikan berbeda untuk setiap kejadian urutan Jumlah produk baik (G) adalah sebuah variabel random: Variabel Random adalah sebuah fungsi yang memberikan nilai numerik tunggal (tetapi variabel) pada setiap elemen dalam ruang sample. 10/7/2004


3

Variabel Random (2) Karena variabel random X = 3 terjadi dengan 4 urutan BGGG, GBGG, GGBG, atau GGGB, P(X = 3) = P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB) = 4/16

Distribusi probabilitas dari sebuah variabel random membentuk tabel semua nilai variabel random dan probabilitasnya. P(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 16/16=1

PDistribusi ro b ab ilityprobabilitas D is trib utio dari n o f variabel the N um b e r o f jumlah G irls inproduk F o ur B irths random baik 0 .4

0 .3 7 5 0

0 .3

P(x)

x 0 1 2 3 4

0 .2 5 0 0

0 .2 5 0 0

0 .2

0 .1 0 .0 6 2 5 0

0 .0 6 2 5 1

2

3

4

N um b e r o f g irls , x

Jumlah produk baik

10/7/2004


4

Variabel Random (3) Percobaan melempar dua buah dadu, ada 36 hasil. Variabel random X menyatakan jumlah angka sisi dadu:

2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

10/7/2004

4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

7 8 9 10 11 12

P(x)* 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

Probability Distribution of Sum of Two Dice 0.17

0.12

p(x)

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.07

0.02 2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

x

* Fungsi: P( x) = (6 − (7 − x)2 ) / 36


5

Variabel Random Diskrit-Kontinyu Sebuah variabel variabel random random diskrit: diskrit: Sebuah Memiliki jumlah jumlah nilai nilai yang yang terhitung terhitung zz Memiliki z Memiliki ruang di antara nilai yang berurutan berurutan z Memiliki ruang di antara nilai yang Memiliki ukuran ukuran probabilitas probabilitas untuk untuk setiap setiap nilai nilai individual individual zz Memiliki Sebuah variabel variabel random random kontinyu: kontinyu: Sebuah zz z z z z

Memiliki jumlah jumlah nilai nilai yang yang tidak tidak terhitung terhitung dan dan tidak tidak terbatas terbatas Memiliki Bergerak secara kontinyu di antara nilai-nilai Bergerak secara kontinyu di antara nilai-nilai Tidak memiliki memiliki ukuran ukuran probabilitas probabilitas untuk untuk setiap setiap nilai nilai ukuran ukuran Tidak

10/7/2004


6

3-3 Variabel Random Diskrit Distribusi probabilitas untuk variabel random diskrit X memenuhi dua kondisi berikut 1. P(x) ≥ 0 for all values of x. 2.

∑ P(x) = 1 all x

[ Corollary: 0 ≤ P( X ) ≤ 1]

10/7/2004


7

Fungsi Distribusi Kumulatif (1) Fungsi distribusi kumulatif, F(x), dari variabel random diskrit X adalah: F(x) = P( X ≤ x) =

∑ P(i)

all i ≤ x

P(x) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 1

F(x) 0.1 0.3 0.6 0.8 0.9 1.0

Cum ulative P robability D istribution of the Number o f Switches 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7

F(x)

x 0 1 2 3 4 5

0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 .0 0

1

2

3

4

5

x

10/7/2004


8

Fungsi Distribusi Kumulatif (2) Probabilitas bahwa paling banyak ada 3 switch Probabilitas bahwa paling banyak ada 3 switch 0 .4

P(x) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 1

F(x) 0.1 0.3 0.6 0.8 0.9 1.0

P ( X ≤ 3) = F ( 3) 0 .3

P ( x)

x 0 1 2 3 4 5

0 .2

0 .1

0 .0 0

1

2

3

4

5

x

10/7/2004


9

Fungsi Distribusi Kumulatif (3) Probabilitas bahwa ada lebih dari satu switch: P(x) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 1

F(x) 0.1 0.3 0.6 0.8 0.9 1.0

Probabilitas bahwa ada lebih dari satu switch: 0 .4

P( X > 1) = 1 − F (1)

F(1)

0 .3

P( x)

x 0 1 2 3 4 5

0 .2

0 .1

0 .0 0

1

2

3

4

5

x

10/7/2004


10

Fungsi Distribusi Kumulatif (4) Probabilitas bahwa ada dari satu sampai tiga switch: P(x) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 1

Probabilitas ada satu sampai tiga switch

F(x) 0.1 0.3 0.6 0.8 0.9 1.0

0 .4

F (1 ≤ X ≤ 3) = F (3) − F (0) F(3)

0 .3

P(x)

x 0 1 2 3 4 5

0 .2

F(0) 0 .1

0 .0 0

1

2

3

4

5

x

10/7/2004


11

3-4 Nilai Ekspektasi dan Variansi Variabel Random Diskrit Mean dari distribusi probabilitas adalah ukuran pemusatan sebagai rata-rata dari distribusi frekuensi, yang juga adalah rata-rata terbobot dari setiap nilai variabel random, dimana nilai probabilitas merupakan bobotnya.

0

1

2

3

4

5

2.3

Mean juga merupakan nilai harapan (atau ekspektasi) dari sebuah variabel random. Nilai ekspektasi dari sebuah variabel random diskrit X adalah jumlah setiap nilai yang dikalikan dengan nilai probabilitasnya:

µ = E ( X ) = ∑ xP( x ) all x

10/7/2004


x 0 1 2 3 4 5

P(x) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 1.0

xP(x) 0.0 0.2 0.6 0.6 0.4 0.5 2.3 = E(X)=µ 12

Sebuah “Fair Game” Dilakukan percobaan percobaan melemparkan melemparkan sebuah sebuah koin koin yang yang Dilakukan seimbang. Jika Jika muncul muncul sisi sisi muka muka akan akan mendapat mendapat manfaat manfaat seimbang. sebesar Rp. Rp. 11 juta, juta, sedangkan sedangkan jika jika muncul muncul sisi sisi belakang belakang sebesar akan rugi sebesar Rp. 1 juta. Nilai ekspektasi dari persoalan akan rugi sebesar Rp. 1 juta. Nilai ekspektasi dari persoalan E(X) == 0. 0. Sebuah Sebuah percobaan percobaan dengan dengan tersebut adalah adalah E(X) tersebut ekspektasi 0 dikenal sebagai sebuah “fair game” ekspektasi 0 dikenal sebagai sebuah “fair game”..

x -1 1

P(x) 0.5 0.5 1.0

xP(x) -0.50 0.50 0.00 = E(X)=µ -1

10/7/2004

0

1


13

Nilai Ekspektasi (1) Nilai ekspektasi dari sebuah fungsi variabel random diskrit X adalah: E [ h ( X )] = ∑ h ( x ) P ( x ) all x

Contoh: Penjualan bulanan diketahui mengikuti distribusi probabilitas seperti di samping. Misalkan perusahaan mengeluarkan ongkos tetap bulanan sebesar $8000 dan setiap item menghasilkan keuntungan $2. Tentukan ekspektasi keuntungan h(x) bulanan. 10/7/2004

Number of items, x 5000 6000 7000 8000 9000

P(x) 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 1.0


xP(x) h(x) h(x)P(x) 1000 2000 400 1800 4000 1200 1400 6000 1200 1600 8000 1600 900 10000 1000 6700 5400

14

Nilai Ekspektasi (2) E[h( X )] = ∑h(x) P(x) = 5400 all x

Number of items, x 5000 6000 7000 8000 9000

P(x) 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 1.0

xP(x) h(x) h(x)P(x) 1000 2000 400 1800 4000 1200 1400 6000 1200 1600 8000 1600 900 10000 1000 6700 5400

Nilai ekspektasi dari sebuah fungsi linier sebuah variabel random:

E(aX+b)=aE(X)+b

Dalam contoh ini: E(2X-8000)=2E(X)-8000=(2)(6700)-8000=5400 10/7/2004


15

Variansi dan Deviasi Standar (1) Variansi dari sebuah variabel random adalah ekspektasi kuadrat penyimpangan dari rata-rata (mean): σ

2

= V ( X ) = E [( X − µ ) 2 ] =

∑ (x − µ )

2

P(x)

all x

⎤ ⎤ ⎡ ⎡ = E ( X 2 ) − [ E ( X )] 2 = ⎢ ∑ x 2 P ( x ) ⎥ − ⎢ ∑ xP ( x ) ⎥ all x all x ⎦ ⎦ ⎣ ⎣

2

Deviasi standar dari sebuah variabel random adalah

akar kuadrat dari variansi: σ = SD( X ) = V ( X ) 10/7/2004


16

Variansi dan Deviasi Standar (2) σ 2 = V ( X ) = E[( X − µ)2 ] Numberofof Number Switches,xx P(x) P(x) xP(x) xP(x) (x-µ) (x-µ) Switches, 0.1 0.0 -2.3 -2.3 00 0.1 0.0 0.2 0.2 -1.3 -1.3 11 0.2 0.2 0.3 0.6 -0.3 -0.3 22 0.3 0.6 0.2 0.6 0.7 33 0.2 0.6 0.7 0.1 0.4 1.7 44 0.1 0.4 1.7 0.1 0.5 2.7 55 0.1 0.5 2.7 2.3 2.3

P(x-µ)2 2 (x-µ)2 2 P(x-µ) (x-µ) 5.29 0.529 0.529 5.29 1.69 0.338 0.338 1.69 0.09 0.027 0.027 0.09 0.49 0.098 0.098 0.49 2.89 0.289 0.289 2.89 7.29 0.729 0.729 7.29 2.010 2.010

2P(x) xx2P(x) 0.0 0.0 0.2 0.2 1.2 1.2 1.8 1.8 1.6 1.6 2.5 2.5 7.3 7.3

= ∑ ( x − µ )2 P( x) = 2.01 all x = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ∑ x 2 P( x)⎥ − ⎢ ∑ xP( x)⎥ ⎣all x ⎦ ⎣all x ⎦ = 7.3 − 2.32 = 2.01

10/7/2004


17

Variansi dan Deviasi Standar (3) Variansi dari fungsi linier dari sebuah variabel random:

V(a X +b) = a2V( X) = a2σ2 σ2 =V(X) Number of items, x P(x) 5000 0.2 6000 0.3 7000 0.2 8000 0.2 9000 0.1 1.0

xP(x) 1000 1800 1400 1600 900 6700

x2 P(x) 5000000 10800000 9800000 12800000 8100000 46500000

= E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ∑ x 2 P ( x ) ⎥ − ⎢ ∑ xP ( x ) ⎥ ⎣ all x ⎦ ⎣ all x ⎦ = 46500000 − ( 67002 ) = 1610000

σ = SD( X ) = 1610000 = 1268.86 V ( 2 X − 8000) = ( 2 2 )V ( X ) = ( 4)(1610000) = 6440000 σ ( 2 x − 8000 ) = SD( 2 x − 8000) = 2σ x = ( 2 )(1268.86) = 2537.72

10/7/2004


18

2

Sifat-sifat Mean dan Variansi Mean atau nilai ekspektasi dari penjumlahan variabel random adalah penjumlahan nilai ekepektasinya:

µ( X+Y) = E( X +Y) = E( X) + E(Y) = µX + µY

Contoh: E(X) = $350 dan E(Y) = $200 E(X+Y) = $550 Variansi dari penjumlahan variabel random yang independen adalah jumlah variansinya: σ 2 ( X +Y ) = V ( X + Y ) = V ( X ) + V (Y ) = σ 2 X + σ 2Y jika dan hanya jika X dan Y independen. Contoh: V(X) = 84 dan V(Y) = 60 10/7/2004

V(X+Y) = 144


19

Teorema Chebyshev Teorema Chebyshev untuk distribusi probabilitas adalah sama halnya untuk distribusi frekuensi.

Untuk sebuah variabel random X dengan mean m, deviasi standar s, dan untuk setiap k > 1 berlaku: 1 P( X − µ < kσ) ≥ 1− 2 k

Sekurangnya

10/7/2004

1−

1 1 3 = = 75% 2 = 1− 4 4 2

1−

1 1 8 = = 89% 2 = 1− 9 9 3

1−

1 1 15 = = 94% 2 = 1− 16 16 4

2 berada


3

deviasi standar dari mean

4 20

3-5 Variabel Random Kontinyu Sebuah variabel variabel random random kontinyu kontinyu adalah adalah variabel variabel random random Sebuah yang dapat bernilai apapun dalam suatu interval. yang dapat bernilai apapun dalam suatu interval. Probabilitasvariabel variabelrandom randomkontinyu kontinyuXXditentukan ditentukanoleh olehfungsi fungsidensitas densitas Probabilitas (probabilitydensity densityfunction), function),dinyatakan dinyatakanoleh olehf(x) f(x),,dengan dengansifat sifatsbb: sbb: (probability f(x)>>00 untuk untuksetiap setiapxx. . 1.f(x) 1. beradadiantara diantaraaadan danbbadalah adalahluas luasarea areadidibawah bawahkurva kurva 2.Probabilitas Probabilitasbahwa bahwaXXberada 2. f(x) didiantara antaratitik titikaadan danbb.. f(x) 3.Luas Luastotal totalarea areadidibawah bawahkurva kurvaf(x) f(x)adalah adalah1.00. 1.00. 3. Fungsidistribusi distribusikumulatif kumulatifodari odarivariabel variabelrandom randomkontinyu kontinyuadalah: adalah: Fungsi

F(x)==P(X P(X<<x) x)==area areadidibawah bawahf(x) f(x)diantara diantaranilai nilaiterkecil terkecilyang yangmungkin mungkindari dariXX F(x) (seringkali ∝) dan titik x . (seringkali ∝) dan titik x. 10/7/2004


21

Fungsi Densitas dan Distribusi Kumulatif F(x) 1 F(b)

}

F(a)

P(a ≤ X ≤ b)=F(b) - F(a)

0 a

b

x

f(x)

P(a ≤ X ≤ b) = luas area dibawah f(x) di antara titik a dan b = F(b) - F(a)

0

10/7/2004

a

b

x


22

Sifat-sifat Fungsi Densitas • P[ a < X < b ] = ∫a f x (t ) dt = Fx (b ) − Fx ( a ) • FX (x ) adalah fungsi tidak menurun (non decreasing function) ∞ • Dengan teori limit diperoleh Fx (∞) = ∫− ∞ f x (t )dt = 1 dan Fx (−∞) = 0 , sehingga 0 ≤ FX ( x) ≤ 1 • Jika fx(x) adalah kontinyu maka x + ∆x P[ x ≤ X ≤ x + ∆x] = ∫x f x (t )dt = ∆xf x ( E ) dimana ∆x >0 dan b

x ≤ E ≤ x + ∆x

• P[ X > x] = 1 − P[ X ≤ x] = 1 − Fx ( x) • Jika variabel random X adalah diskrit, maka P(Xi)>0 dan ∞

∑ P( X i ) = 1 i =1

10/7/2004


23

Ekspektasi dan Variansi (1) • Variabel random X dalam rentang R. Ekspektasi variabel random X adalah integral perkalian semua nilai variabel random dengan fungsi densitasnya dan dinotasikan oleh E ( X ) = ∫ x ⋅ f ( x ) dx . x∈ R

• Variabel random X dalam rentang R. Variansi variabel random X adalah integral perkalian kuadrat nilai fungsi dengan fungsi densitasnya dan dinotasikan oleh V (X ) =

2 ∫ ( xi − E ( X ) ) ⋅ f ( x) dx

x∈R

=

2 2 ∫ xi ⋅ f ( x) dx − [E ( X )]

x∈R

10/7/2004


24

Ekspektasi dan Variansi (2) Nilai ekspektasi dikenal sebagai metoda estimasi tidak bias (unbiased) terhadap harga rata-rata variabel random (the first moment), sedangkan nilai variansi dikenal sebagai metoda estimasi tidak bias (unbiased) terhadap penyimpangan (variansi) variabel random. Fraksi pertama pada persamaan variansi dikenal sebagai momen kedua (the second moment), dengan demikian variansi dapat disusun dari pengurangan momen kedua dengan kuadrat momen pertama atau variansi = (second moment) - (first moment)2 . 10/7/2004


25

3-6 Kovariansi dan Korelasi (1) Kovariansi (biasa dinyatakan dengan σ 12 ) menjelaskan penyebaran relatif nilai variabel random terhadap lokasi ekspektasinya secara simultan untuk dua variabel random. Kovariansi diformulasikan oleh persamaan berikut Cov ( X 1 , X 2 ) = E [( X 1 − E ( X 1 )) ( X 2 − E ( X 2 )) ]

= E ( X 1 ⋅ X 2 ) − [E ( X 1 ) ⋅ E ( X 2 )] .

Koefisien korelasi menjelaskan kekuatan hubungan antara dua variabel rom dan diformulasikan sebagai berikut σ Cov( X 1 , X 2 ) ρ= = 12 V ( X1 ) ⋅ V ( X 2 ) σ 1 ⋅ σ 2

10/7/2004


26

Kovariansi dan Korelasi (2) Jika variabel random ∞

E( X1 ⋅ X 2 ) =

X1

dan

X2

saling independen, maka

∞

∫ ∫ x1 x2 ⋅ f ( x1 , x2 ) dx1 dx2

−∞ −∞

=

∞

∞

∫ ∫ x1 f ( x1 ) ⋅ x2 f ( x2 ) ⋅ dx1 dx2

−∞ −∞

=

∞

∞

−∞

−∞

∫ x1 f ( x1 ) dx1 ⋅ ∫ x2 f ( x2 ) dx2 = E ( X 1 ) ⋅ E ( X 2 )

• Dua variabel random yang saling independen secara teoritis memiliki koefisien korelasi nol ρ = 0 , tidak perlu dihitung secara empiris. • Perlu dibedakan antara dua variabel yang independen dan yang tidak berkorelasi (koefisien korelasi kecil atau nol). 10/7/2004


27

3-7 Distribusi Bivariat (1) Untuk setiap hasil [ x1 , x2 ] dari dua variabel random [X1, X 2 ] , fungsi distribusinya disebut sebagai fungsi distribusi kumulatif bivariat, dan didefinisikan oleh Fx1x 2 ( x1, x2 ) = P[ X 1 ≤ x1 dan X 2 ≤ x2 ] . i

Fungsi

padat

j

kemungkinan

∂ Fx1x 2 ( x1 x2 ) f x1x 2 ( x1, x2 ) = , ∂x1∂x2

bivariat

f x1x 2 ( x1, x2 )

adalah

2

jika

∂ 2 F / ∂x1∂x2

ada. Dari fungsi

padat kemungkinan bivariat f x1x 2 ( x1, x2 ) , dapat ditentukan besarnya nilai kemungkinan untuk rentang tertentu α1 α 2 Fx1x 2 ( x1, x2 ) = ∫− ∞ ∫− ∞ f x1x 2 ( x1 , x2 )dx1dx2 10/7/2004


28

Distribusi Bivariat (2) Contoh :

Ada dua variabel random dari hasil pengelasan, yaitu diameter ( X 1 ) dan kekuatan (strength) ( X 2 ). Diketahui bahwa rentang variable random adalah 0 ≤ x1 < 0.25 cm dan 0 ≤ x2 ≤ 2000 kg dan diasumsikan berdistribusi uniform 1 f ( x1 , x2 ) = 500

= 0

Besar

0 ≤ x1 < 0.25,0 ≤ x2 ≤ 2000 otherwise

probabilitas

bahwa

P(0.1 ≤ X 1 ≤ 0.2, 100 ≤ X 2 ≤ 200)

200 0.2

adalah

10/7/2004

1 1 ∫ ∫ 500 dx1 dx2 = 50 .

100 0.1


29

Distribusi Bersyarat dan Marginal (1) • Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat Fx1(x1) dan fx1(x1) dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada sebagian rentang variabel random disebut distribusi kemungkinan pasangannya (x2), bersyarat (conditional). • Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat Fx1(x1) dan fx1(x1) dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada seluruh rentang variabel random pasangannya (x2) dikenal sebagai distribusi marginal.

10/7/2004


30

Distribusi Bersyarat dan Marginal (2) Jika p( x1i , x2 j ) atau f ( x1 , x 2 ) diketahui: • Untuk variabel random X 1 distribusi marginalnya adalah : p1 ( x1 ) = ∑ p ( x1 , x2 ) i = 1,2,3,L (diskrit), atau all j i

i

f1 ( x1 ) =

j

∞

∫ f ( x1 , x2 ) dx2 (kontinyu).

−∞

• Untuk variabel random

X2

p2 ( x2 j ) = ∑ p ( x1i , x2 j ) all i

∞

distribusi marginalnya adalah : j = 1,2,3, L (diskrit), atau

f 2 ( x2 ) = ∫ f ( x1 , x2 ) dx1 −∞

10/7/2004

(kontinyu).


31

Distribusi Bersyarat dan Marginal (3) Contoh :

Pertimbangkan dua variabel random dari hasil pengelasan, yaitu diameter ( X 1 ) dan kekuatan (strength) ( X 2 ) dari contoh sebelumnya. Distribusi marginal X 1 dan X 2 dari bivariatnya adalah: 2000

1 f1 ( x1 ) = ∫ 500 dx2 = 4

0 ≤ x1 < 0.25

0

= 0

dan

otherwise. 0.25

1 1 0 ≤ x2 < 2000 f 2 ( x2 ) = ∫ 500 dx1 = 2000 0

= 0 10/7/2004

otherwise.


32

Distribusi Bersyarat dan Marginal (4) Jika A dan B merupakan dua kejadian sedemikian sehingga diperoleh rentang A = [ X 1 ≤ α ] dan B = [ β1 ≤ X 2 ≤ β 2 ] , maka dari persamaan kemungkinan bersyarat dapat diperoleh α β2 P( A ∩ B) ∫− ∞ ∫β 1 fx1 x2 ( x1 , x2 )dx1 x2 P( A | B) =

=

β2

∫β 1 fx2 ( x2 )dx2 dimana P(B) diasumsikan ≠ 0 . P( B)

Selanjutnya dengan cara yang sama dan variabel random X 2 tidak dalam seluruh rentang (tapi pada batas tertentu, β ), maka dapat diformulasikan fungsi densitas probabilitas bersyarat fx1 (α | X 2 = β ) . 10/7/2004


33

Distribusi Bersyarat dan Marginal (5) Formulasi fungsi densitas probabilitas bersyarat diberikan oleh persamaan fx1 (α | X 2 = β ) =

f x1x 2 (α , β ) f x2 (β )

∂Fx1 (α | X 2 = β ) , ∂α fx x (α , β ) fx2 ( β | α ) = 1 2 . fx1 (α )

⇔

dan dengan cara yang sama

fx1 (α | X 2 = β ) =

Persamaan terakhir ini disebut teorema Bayes untuk fungsi densitas probabilitas seperti halnya teorema Bayes untuk nilai kemungkinan.

10/7/2004


34

3-8 Moment Generating Function (1) Definisi: Untuk variabel random X, moment generating function M X (t ) dari fungsi distribusinya adalah nilai ekspektasi dari etX , dan secara matematis diformulasikan sebagai berikut tx ∑ e ⋅ P( xi ) X diskrit i

M X (t ) = E (e ) = tX

∞

all i

tx ∫ e ⋅ f ( x) dx

X kontinyu

−∞

Jika moment generating function untuk sebuah fungsi distribusi probabilitas ada, maka moment generating function tersebut adalah unique (menentukan pola proses stokastik yang diikuti oleh sebuah variabel random). 10/7/2004


35

Moment Generating Function (2) Dengan menggunakan power momen-momen sebagai berikut e tX = 1 + tX +

t2X 2 2!

+L+

tr X r r!

series,

dapat

diperoleh

+L

E (etX ) = 1 + E ( X ) ⋅ t + E ( X 2 ) ⋅ t2! + L + E ( X r ) ⋅ tr! + L 2

r

M X (t ) = 1 + µ1' ⋅ t + µ 2' ⋅ t2! + L + µ r' ⋅ tr! + L 2

r

Selanjutnya, untuk beberapa momen awal (momen ke-r), dapat dievaluasi dengan turunannya (ke-r) pada kondisi dimana t=0 : dtd M X (t ) |t = 0 = E [X r etX ]t = 0 = µ r' . Dua momen awal yang penting, yaitu M 'X (0) = E[ X ] , ' ' (0) = E[ X 2 ] MX , menjelaskan rata-rata dan variansi melalui V [ X ] = E[ X 2 ] − ( E[ X ]) 2 . r

r

10/7/2004


36

Moment Generating Function (3) Contoh: Sebuah variabel random X mengikuti distribusi binomial

⎛n⎞ p ( x) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p ) n − x , ⎝ x⎠ =0

x = 0,1,2,K, n otherwise

Fungsi pembangkit momennya adalah M X (t ) = ( pe t + (1 − p )) n . Turunan pertama dan kedua fungsi pembangkit momen tersebut adalah M ' X (t ) = npe t (1 + p (et − 1)) n −1 dan M ' ' X (t ) = npet (1 − p + npet )(1 + p(et − 1)) n − 2 . Dengan

demikian

dapat

ditentukan

rata-rata

adalah

µ1' = µ = M ' X (t ) |t = 0 = np dan momen kedua µ 2' = M ' ' X (t ) |t = 0 = np (1 − p + np ) ,

sehingga variansi adalah µ 2' − µ 2 10/7/2004

= np (1 − p + np ) − ( np ) 2 = np (1 − p ) .


37

3-9 Fungsi Transformasi (1) Seringkali dua variabel random mengalami transformasi atau merupakan fungsi dari variabel random yang lain. Misalkan variabel random t merupakan transformasi dari sebuah variabel random normal dan sebuah variabel random chikuadrat. Pembentukan fungsi distribusi melalui transformasi dilakukan dengan langkah-langkah berikut : 1.Diperoleh fungsi dari dua variabel random x1 dan x2 sebagai berikut Y = H 1 ( X 1 , X 2 )

10/7/2004


38

Fungsi Transformasi (2) 2. Jika diamati variabel random lain yang juga merupakan fungsi dari dua variabel random x1 dan x2 sebagai berikut Z = H 2 (X1, X 2 ) . 3. Dari kedua fungsi transformasi, dapat dibentuk fungsi-fungsi berikut x1 = G1 ( y , z ) dan x 2 = G 2 ( y , z ) . ∂x1

∂x1

∂x 2

∂x 2

4. Hitung turunan dari ∂y , ∂z , ∂y dan ∂z . 5. Tentukan fungsi gabungan untuk y dan z dengan fungsi berikut ∂x1 ∂x1 ∂y ∂z J ( y, z ) = l ( y , z ) = h[G1 ( y , z ), G 2 ( y , z )] ⋅ J ( y , z ) , dimana ∂x 2 ∂x 2 . ∂y ∂z 6. Tentukan fungsi marginal y dengan f ( y) = ∫ l ( y, z ) dz . 10/7/2004


39

3-10 The Law of Large Number (1) Sebuah eksperimen dilakukan berulang kali sebanyak n kali. Misalkan hanya ada 2 outcomes, yaitu sukses dan gagal, maka P( S ) = p dan P( G ) = 1 − p = q yang berharga konstan untuk j = 1,2,3,L , n . ⎧0, Outcome adalah Gagal

Definisikan X j = ⎨1, Outcome adalah Sukses , dan ⎩ Y = X 1 + X 2 +L+ X n , adalah jumlah sukses dari eksperimen tersebut, maka Y / n adalah estimator untuk p , atau p$ = Y / n .

10/7/2004


40

The Law of Large Number (2) Ekspektasi dan variansi Y adalah

E ( Y ) = n ⋅ E ( X j ) = n ⋅ [( 0 ⋅ q ) + ( 1 ⋅ p )] = np ,

[

]

dan

V ( Y ) = n ⋅ V ( X j ) = n ⋅ ( 0 2 ⋅ q ) + ( 12 ⋅ p ) − p 2 = np( 1 − p ) .

Karena

p$ = ( 1 / n ) ⋅ Y ,

maka V ( p$ ) = ( 1 / n ) ⋅ V ( Y ) = . p( 1− p ) n

2

E ( p$ ) = ( 1 / n ) ⋅ E ( Y ) = p

dan

The law of large number menyatakan bahwa P[ p$ − p < ε ] ≥ 1 −

dari

p( 1 − p ) nε 2

, atau P[ p$ − p ≥ ε ] ≤

⎡ 1 p( 1 − p ) ⎤ P ⎢ p$ − p < k ⎥ ≥ 1− 2 n k ⎣ ⎦

p( 1 − p ) nε 2

yang diturunkan

(chebyshev’s inequality). Jika

digunakan ε = k p(1 − p ) / n , maka dihasilkan P[ p$ − p < ε ] ≥ 1 −

p( 1 − p ) nε 2

10/7/2004

. TI-2131 Teori Probabilitas - DI

41

The Law of Large Number (3) Untuk ε > 0 dan n → ∞ , maka P[ p$ − p < ε ] → 1 (kepastian, memiliki konvergensi secara probabilistik). Jika dituliskan P[ p$ − p < ε ] ≥ 1 − α , maka dengan menentukan ε dan α , dapat dicari n ≥

p( 1 − p )

ε 2α

.

Contoh : Sebuah proses memiliki kemungkinan memberikan produk cacat sebesar p (unknown). Diinginkan dengan kemungkinan 0.95 bahwa error

p$ − p

tidak lebih dari 0.01, maka n ≥

p( 1 − p )

( 0.01 ) 2 0.05

.

Asumsikan bahwa proporsi cacat maksimum adalah 0.5. Maka n ≥ 50000 , artinya keinginan untuk mencapai perbedaan estimasi

kecil (akurat) dengan probability tinggi (presisi) mensyaratkan ukuran sampel yang sangat besar. 10/7/2004


42

2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 1

Recommend Documents