2-1 Probabilitas adalah:

2

Teori Probabilitas

Pengertian

probabilitas Kejadian, ruang sample dan probabilitas Aturan dasar probabilitas Probabilitas bersyarat Independensi Konsepsi kombinatorial Probabilitas total dan teorema Bayes 10/7/2004

TI-2131 Teori Probabilitas - DI

1

2-1 Probabilitas adalah:

Sebuah ukuran ketidak-pastian. Sebuah ukuran tingkat keyakinan terjadinya sebuah kejadian yang tidak pasti (uncertain event). Sebuah ukuran tingkat peluang (likelihood of occurrence) dari sebuah kejadian yang tidak pasti (uncertain event). Diukur dengan nilai antara 0 dan 1 (atau antara 0% dan 100%).

10/7/2004


2

Type Probabilitas (1) z

Objektif atau Probabilitas Klasik

10/7/2004

Berlandaskan pada kejadian yang sama (equally-likely) dan logis. Berdasarkan frekuensi relatif kejadian dalam waktu yang lama. Tidak memperhatikan keyakinan perorangan. Dianggap sama untuk setiap peneliti (objektif). Contoh: pelemparan koin atau dadu. TI-2131 Teori Probabilitas - DI

3

Type Probabilitas (2) z

Probabilitas Subjektif

10/7/2004

Berlandaskan pada keyakinan individu, pengalaman, intuisi, dan justifikasi personal. Ada perbedaan untuk setiap peneliti (subjektif). Contoh: pemasaran produk baru, ramalan cuaca, hasil pertandingan olah raga.


4

2-2 Kejadian, Ruang sample dan Probabilitas (1) z

Set – sebuah kumpulan dari elemen atau objek yang menjadi perhatian

Set Kosong (∅) z

Set Universal (S) z

Sebuah set yang tidak memiliki anggota elemen Sebuah set yang mencakup seluruh elemen yang mungkin ada

Komplemen (Not). Komplemen A ( A ) adalah sebuah set yang mencakup semua elemen S kecuali elemen A

10/7/2004


5

Kejadian, Ruang sample dan Probabilitas (2)

Subset (⊂) - Adalah sebuah set bagian dari set S

Irisan (And) A∩B - adalah set yang mencakup semua elemen A dan B

Gabungan (Or) A∪B - adalah sebuah set yang mencakup semua elemen A atau B atau keduanya

10/7/2004


6

Beberapa Teorema (1) Teorema: P(φ ) = 0 Bukti:

Tuliskan hubungan berikut S = S ∪ φ dan juga diperoleh hubungan S ∩ φ = φ . Dengan aksioma di atas, diperoleh P( S ) = P( S ) + P(φ ) . Karena P(S) = 1, maka P(φ ) = 0 .

Teorema: P ( A) = 1 − P ( A), dimana A adalah komplemen dari A Bukti: Dari definisi komplemen, untuk setiap A ⊂ S maka diperoleh S = A ∪ A . Karena A ∩ A = φ , maka dengan aksioma di atas diperoleh P( S ) = P( A) + P( A ) . Karena P(S) = 1, dengan demikian P ( A) = 1 − P ( A) . 10/7/2004


7

Beberapa Teorema (1) Teorema: Untuk dua kejadian A dan B, sedemikian sehingga A ⊂ B , maka P ( A) ≤ P ( B ) . Bukti: Kejadian B dapat ditulis sebagai B = A ∪ ( A ∩ B ) , dimana A ∩ ( A ∩ B) = φ , maka dengan aksioma di atas diperoleh P ( B ) = P ( A) + P ( A ∩ B ) . Karena ( A ∩ B ) ⊂ S adalah suatu kejadian maka P( A ∩ B) ≥ 0 , dengan demikian P ( A) ≤ P( B ) .

10/7/2004


8

Kejadian, Ruang sample dan Probabilitas (3) •Mutually exclusive atau disjoint

–dua set tidak memiliki elemen bersama,

tidak memiliki irisan, atau irisannya adalah set kosong.

•Partisi

–adalah sekumpulan set yang mutually exclusive yang secara bersama-sama

mencakup semua elemen, atau gabungannya membentuk set universal S. 10/7/2004


9

Diagram set A

A

B

AI B

B

A

A

Komplemen

A∪ B

A∩ B A3

A 1 A2 A4

A5

Partisi 10/7/2004


10

Percobaan - Experiments •

Sebuah proses yang menghasilkan satu dari beberapa hasil yang mungkin terjadi*, contoh: Coin toss: Heads,Tails Throw die: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Pengenalan produk baru: sukses, gagal

• •

Setiap percobaan memiliki hasil observasi tunggal. Hasil pasti dari percobaan random tidak dapat diketahui sebelum dilakukan.

* Juga dikenal sebagai hasil dasar ( basic outcome), kejadian dasar atau kejadian sederhana

10/7/2004


11

Kejadian z

Ruang sample atau set kejadian

adalah set dari semua hasil yang mungkin ada dari sebuah percobaan z

z

contoh: pelemparan dadu S = (1,2,3,4,5,6)

Kejadian

Kumpulan dari hasil dengan karakteristik yang sama

Kejadian A terjadi jika sebuah hasil dalam set A terjadi

z

Contoh: muncul sisi genap A = (2,4,6)

Probabilitas sebuah kejadian

Jumlah probabilitas dari setiap hasil yang muncul z

10/7/2004

P(A) = P(2) + P(4) + P(6)


12

Percobaan Ideal •

Perhatikan contoh berikut:

Percobaan pelemparan sebuah dadu seimbang • Ada 6 hasil yang mungkin (1,2,3,4,5,6) • Jika setiap hasil seimbang (equally-likely), probabilitas setiap hasil adalah 1/6 = .1667 = 16.67% 1 P ( e) = n( S )

Kejadian A (muncul sisi genap) • P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 • P( A) = ∑ P( e) untuk setiap e dalam A =

n( A ) 3 1 = = n( S ) 6 2

10/7/2004


13

Pengambilan Kartu Gabungan kejadian ‘Heart’ dan ‘Ace’ P ( Heart U Ace ) = n ( Heart U Ace )

=

n(S ) 16

4 =

52

Hearts

Diamonds

Clubs

A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2

A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2

A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Spades A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Kejadian ‘Ace’ n ( Ace ) P ( Ace ) =

4

1

= n(S )

= 52

13

13

Kejadian ‘Heart’ n ( Heart ) P ( Heart ) =

13 =

n(S )

Irisan kejadian ‘Heart’ dan ‘Ace’ Adalah titik yang dilingkari dua kali: the ace of hearts

1 =

52

4 P ( Heart I Ace ) =

n ( Heart I Ace ) n (S )

10/7/2004


1 = 52

14

2-3 Aturan Dasar Probabilitas (1) zz

Rentang nilai nilai Rentang

zz

Komplement -- Probabilitas Probabilitas bukan bukan AA Komplement

0 ≤ P ( A) ≤ 1

P ( A ) = 1 − P ( A) zz

Irisan -- Probabilitasy Probabilitasy AA dan dan BB Irisan P ( A ∩ B ) = n( A ∩ B ) n(S )

Kejadian mutually mutually exclusive exclusive (A (A dan dan C) C) :: Kejadian P( A ∩ C) = 0

10/7/2004


15

Aturan Dasar Probabilitas (2) Gabungan -- Probabilitas Probabilitas AA atau atau BB atau atau keduanya keduanya •• Gabungan P ( A ∪ B ) = n( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) n(S ) Kejadianmutually mutuallyexclusive exclusive:: Kejadian P ( A ∩ C ) = 0 so P ( A ∪ C ) = P ( A) + P (C ) Probabilitas Bersyarat Bersyarat -- Probabilitas Probabilitas AA pada(given) pada(given) BB Probabilitas P( A B) = P( A ∩ B) P(B)

Kejadianindependen: independen: Kejadian

10/7/2004

P ( A B ) = P ( A) P( B A) = P( B )


16

2-4 Probabilitas Bersyarat Aturanprobabilitas probabilitasbersyarat: bersyarat: Aturan P ( A B ) = P ( A ∩ B ) maka P( B)

P( A ∩ B) = P( A B) P( B) = P ( B A) P ( A)

Jika kejadian A dan D saling independen secara statistik: P ( A D ) = P ( A)

maka

P ( A ∩ D ) = P ( A) P ( D )

P ( D A) = P ( D )

10/7/2004


17

Tabel Contingency Frekuensi Acer

IBM

Total

Telekomunikasi

40

10

50

Komputer

20

30

50

Total

60

40

100

Probabilitas Acer

P ( IBM I T ) P (T ) .10 = = .2 .50

P ( IBM T ) =

IBM

Total

Telekomunikasi

.40

.10

.50

Komputer

.20

.30

.50

Total

.60

.40

1.00

10/7/2004

Probabilitas bahwa sebuah proyek yang dikerjakan IBM adalah (given) proyek telekomunikasi adalah:


18

2-5 Independensi Kejadian (1) Syarat independensi secara statistik dari kejadian A dan B adalah: P ( A B ) = P ( A)

P ( B A) = P ( B) and P ( A I B ) = P ( A) P( B) P ( A c e I H ea r t ) P ( H e a rt ) 1 1 = 52 = = P ( A ce ) 13 13 52

P ( A c e H e a rt ) =

P ( Ace I Heart ) = 10/7/2004

P ( H e a rt I A ce ) P ( A ce ) 1 1 = 52 = = P ( H ea rt ) 4 4 52

P ( H ea r t A c e ) =

4 13 1 = = P ( Ace ) P ( Heart ) 52 52 52


19

Independensi Kejadian (1) Kejadian T (prob. 0,04) dan B (prob. 0,06) diasumsikan independen

a) P ( T I B ) = = b ) P ( T UUB ) = =

10/7/2004

P (T ) P ( B ) 0.04 * 0.06 = 0.0024 P (T ) + P ( B ) − P (T I B ) 0.04 + 0.06 − 0.0024 = 0.0976


20

Perkalian Kejadian Independen Probabilitas irisan dari beberapa kejadian independen adalah perkalian dari probabilitas masing-masing: P ( A ∩ A ∩ A ∩L∩ An ) = P ( A ) P ( A ) P ( A )L P ( An ) 1 2 3 1 2 3

Probabilitas gabungan dari beberapa kejadian independen adalah 1 dikurangi perkalian probabilitas komplemen masing-masing: P ( A ∪ A ∪ A ∪L∪ An ) = 1 − P ( A ) P ( A ) P ( A )L P ( An ) 1 2 3 1 2 3 10/7/2004


21

Hukum Probabilitas Identity laws Idempotent law Complement law Commutative law De morgan’s law Associative law Distributive law 10/7/2004

(A∪∅=A, A∩∅=∅), (A∪A=A, A∩A=A) (A∪A=S, A∩A=∅) (A∪B=B∪A, A∩B=B∩A) (A∪B=B∩A, A∩B=B∪A) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C, A∪(B∪C)=(A∪B)∪C A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)


22

2-6 Konsep Kombinatorial (1) Percobaan sebuah dadu 6 sisi, ada 6 hasil yang mungkin dari pelemparan pertama, yaitu (1,2,3,4,5,6) dan 6 hasil yang mungkin dari pelemparan kedua (1,2,3,4,5,6). Secara bersama-sama ada 6*6=36 hasil yang mungkin dari dua kali pelemparan. Umumnya, jika ada n kejadian dan kejadian i dapat terjadi dalam Ni cara yang mungkin, maka jumlah caradimana urutan dari n kejadian akan muncul adalah N1N2...Nn. z

Ambil 5 kartu dari tumpukan lengkap – dengan pengembalian

z

Ambil 5 kartu dari tumpukan lengkap – tanpa pengembalian

52*52*52*52*52=525 380,204,032 hasil yang mungkin

10/7/2004

52*51*50*49*48 = 311,875,200 hasil yang mungkin


23

Konsep Kombinatorial (2) (Diagram pohon / Tree Diagram)

. . .. . . . . . .

Urutan tiga huruf: A, B, dan C

C

B

C

B

A C

C

A B C

A B

10/7/2004

A B A


. .. .. .

ABC ACB BAC BCA CAB CBA 24

Faktorial Ada berapa cara untuk mengurutkan 3 huruf A, B, dan C? Ada 3 pilihan untuk huruf pertama, 2 untuk huruf kedua dan 1 Untuk huruf terakhir, sehingga ada 3*2*1 = 6 cara yang mungkin. Ada berapa cara untuk mengurutkan 6 huruf A, B, C, D, E, dan F? (6*5*4*3*2*1 = 720) Faktorial: Untuk setiap integer positif n, n faktorial didefinisikan: n(n-1)(n-2)...(1). n faktorial ditulis dengan n!. Jumlah n! adalah jumlah cara dimana n objek dapat diurutkan. Didefinisikan bahwa 1! = 1. 10/7/2004


25

Permutasi Bagaimana jika hanya 3 dari 6 huruf A, B, C, D, E, dan F yang dipilih? Ada 6 cara untuk huruf pertama, 5 cara untuk huruf kedua dan 4 cara untuk huruf terakhir, sehingga ada 6*5*4=120 urutan yang mungkin atau permutasi. Permutasi adalah pilihan urutan yang mungkin dari r objek dari total n objek. Jumlah permutasi dari n objek setiap kali diambil r objek dituliskan dengan nPr. n!

n Pr = (n − r )!

Sebagai contoh : 6! 6! 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1 = = = 6 * 5 * 4 = 120 6 P3 = (6 − 3)! 3! 3 * 2 *1 10/7/2004


26

Kombinasi Jika diambil 3 dari 6 huruf A, B, C, D, E, dan F, mungkin diperoleh BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, atau DCB (merupakan pemutasi dari B, C, dan D) yang pada dasarnya kombinasi dari 3 huruf. Berapa banyak kombinasi dari 6 huruf setiap kali diambil 3 huruf? Kombinasi adalah pemilihan yang mungkin dari r item dari sejumlahnn item ⎛ ⎞ Tanpa memperhatikan urutan. Jumlah kombinasi dinyatakan dengan ⎜⎝ r⎟⎠ atau nCr dan dibaca kombinasi r dari n, secara matematis diformulasikan sebagai: ⎛ n⎞ n! ⎜⎜ ⎟⎟=n Cr = r r! (n − r)! ⎝ ⎠ Contoh: ⎛ n⎞ 6! 6! 6 *5* 4 *3* 2 *1 6 *5* 4 120 ⎜⎜ r ⎟⎟=6 C3 = 3!(6 − 3)! = 3!3! = (3* 2 *1)(3* 2 *1) = 3* 2 *1 = 6 = 20 ⎝ ⎠ 10/7/2004


27

Permutasi dan Kombinasi dengan Excel n=10 (Total Number of Objects Available) Total Number of # of Probability of # of Probability of Objects Selected r Permutations Particular Permutation Combinations Particular Combination 1 10 0.1 10 0.1 2 90 0.011111111 45 0.022222222 3 720 0.001388889 120 0.008333333 4 5040 0.000198413 210 0.004761905 5 30240 3.31E-05 252 0.003958254 6 151200 6.61E-06 210 0.004761905 7 604800 1.65E-06 120 0.008333333 8 1814400 5.51E-07 45 0.022222222 9 3628800 2.76E-07 10 0.1 10 3628800 2.76E-07 1 1

10/7/2004


28

2-7 Probabilitas Total dan Teorema Bayes P ( A) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B )

Dalam bentuk probabilitas bersyarat: P ( A) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = P( A B) P( B) + P( A B ) P( B )

Secara umum (dimana Bi membentuk partisi): P ( A) = ∑ P ( A ∩ B ) i = ∑ P( A B ) P( B ) i i 10/7/2004


29

Probabilitas Total Kejadian U: pasar saham tumbuh tahun depan Kejadian W: kondisi ekonomi membaik tahun depan P (U W ) = .7 5 P (U W ) = 3 0 P ( W ) = .8 0 ⇒ P ( W ) = 1 − .8 = .2 P (U ) = P (U ∩ W ) + P (U ∩ W ) = P (U W ) P (W ) + P (U W ) P (W ) = ( .7 5 ) ( .8 0 ) + ( .3 0 ) ( .2 0 ) = .6 0 + .0 6 = .6 6 10/7/2004


30

Teorema Bayes • •

Teorema Bayes memungkinkan untuk mengetahui probabilitas B bersyarat A jika diketahui probabilitas A bersyarat B. Menggunakan definisi probabilitas bersyarat dan hukum probabilitas total. P(AI B) P ( A) P(AI B) = P(AI B) + P(AI B ) P( A B) P(B) = P ( A B) P (B) + P ( A B ) P(B )

P ( B A) =

10/7/2004

Menggunakan probabilitas total pada penyebut Menggunakan probabilitas bersyarat


31

Contoh Teorema Bayes (1) •

Sebuah pengaruh treatment logam (berdampak 0.1% terhadap populasi [ P ( I ) = 0.001 ]) tidak sempurna:

Jika dilakukan pada logam non-standar, perlakukan dinilai

sukses dengan probabilitas 0.92 [ P(Z I ) =.92 ⇒ P(Z I ) =.08 ] Kejadian ( Z I ) disebut false negative Jika dilakukan pada logam standar, perlakukan akan menyimpang (false positive) dengan probabilitas 0.04 [ P(ZI ) = 004 ] . ⇒ P(Z I ) = 096 . Kejadian ( Z I ) disebut false positive. .

10/7/2004


32

Contoh Teorema Bayes (2) P ( I ) = 0.001

P(I I Z ) P(Z ) P(I I Z ) = P(I I Z ) + P(I I Z ) P(Z I ) P(I ) = P(Z I ) P(I ) + P(Z I ) P(I )

P(I Z ) =

P ( I ) = 0.999 P ( Z I ) = 0.92

(.92 )( 0.001) (.92 )( 0.001) + ( 0.04 )(.999 ) 0.00092 0.00092 = = 0.00092 + 0.03996 .04088 = .0225 =

P ( Z I ) = 0.04

10/7/2004


33

Contoh Teorema Bayes (3) Probabilitas prior

Probabilitas bersyarat P ( Z I ) = 0.92

P ( I ) = 0.001

P ( I ) = 0.999

P ( Z I ) = 0.08

P ( Z I ) = 0.04

Probabilitas gabungan P ( Z I I ) = ( 0.001)( 0.92 ) = .00092

P ( Z I I ) = ( 0.001)( 0.08) = .00008

P ( Z I I ) = ( 0.999 )( 0.04 ) = .03996

P ( Z I ) = 0.96 P ( Z I I ) = ( 0.999 )( 0.96) = .95904 10/7/2004


34

Perluasan Teorema Bayes (1) •

Diberikan partisi B1,B2 ,...,Bn:

P( A ∩ B ) P( A) P( A ∩ B ) = ∑ P( A ∩ B )

P( B A) = 1

1

Gunakan probabilitas total pada penyebut

1

i

=

P( A B ) P( B ) ∑ P( AB ) P( B ) 1

1

i

10/7/2004

Terapkan probabilitas bersyarat

i


35

Perluasan Teorema Bayes (2) z

z

z

Pada saat kondisi mesin sangat baik, diperkirakan sebuah industri akan menhasilkan produk yang baik dengan probabilitas 0,70; dalam kondisi biasa probabilitasnya 0,40; dan pada kondisi buruk probabilitas menghasilkan produk yang baik hanya 0,20. Dalam suatu perioda, probabilitas bahwa kondisi mesin sangat baik adalah 0,30, moderat 0,50, dan buruk 0,50. Jika selama perioda tersebut dihasilkan produk yang baik, bepara kemungkinan bahwa kondisi mesin sangat baik?

Partisi H – Mesin sangat baik P(H) = 0,30 M – Mesin moderat P(M) = 0,50 L – Mesin buruk P(L) = 0,20 10/7/2004

Kejadian A (produk baik) P(A|H)=0,70 P(A|M)=0,40 P(A|L)=0,20


36

Perluasan Teorema Bayes (3) P ( H A) = = = = = =

P ( H I A) P ( A)

P ( H I A) P ( H I A) + P ( M I A ) + P ( L I A ) P( A H ) P( H ) P ( A H ) P ( H ) + P ( A M ) P ( M ) + P ( A L) P ( L) ( 0.70)( 0.30) ( 0.70)( 0.30) + ( 0.40)( 0.50) + ( 0.20)( 0.20) 0.21 0.21 = 0.21 +0.20 + 0.04 0.45 0.467

10/7/2004


37

Perluasan Teorema Bayes (4) Probabilitas prior

P ( H ) = 0 .3 0

Probabilitas bersyarat

P ( A H ) = 0 . 70

P ( A H ) = 0 .30 P ( A M ) = 0 . 40

Probabilitas gabungan P ( A I H ) = ( 0 .3 0 )( 0 . 7 0 ) = 0 . 21

P ( A I H ) = ( 0 .3 0 )( 0 .3 0 ) = 0 . 09 P ( A I M ) = ( 0 .50 )( 0 . 40 ) = 0 . 20

P ( M ) = 0 .50

P ( A M ) = 0 .60 P ( A I M ) = ( 0 .50 )( 0 .60 ) = 0 .30 P ( L ) = 0 . 20

P ( A L ) = 0 . 20

P ( A L ) = 0 .80

10/7/2004

P ( A I L ) = ( 0 . 20 )( 0 . 20 ) = 0 . 04

P ( A I L ) = ( 0 . 20 )( 0 .80 ) = 0 .16


38

Teorema Bayes – Distribusi (1) Teorema Bayes dalam aplikasinya dapat digunakan dalam proses perbaikan distribusi kemungkinan berdasarkan informasi yang terbaru

Prior probability distribution additional information (sampling distribution) Posterior or revised distribution 10/7/2004


39

Teorema Bayes – Distribusi (2) Contoh : Proporsi “pencemar/polutant” (didefinisikan sebagai terdapatnya bahan-bahan lain yang tidak diinginkan) pada sebuah kemasan bahan baku yang diterima oleh sebuah perusahaan diketahui sebagai berikut: Proporsi pencemar P 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Probabilitas* 0.21 0.23 0.45 0.09 0.01 0.01

* diperoleh dari pengamatan untuk jangka waktu yang panjang.

10/7/2004


40

Teorema Bayes – Distribusi (3) Sebuah informasi penelitian terakhir dari 50 kemasan yang diperiksa diperoleh data bahwa 8 delapan kemasan dinilai “tercemar/tidak murni”. Distribusi informasi tersebut adalah: Proporsi keberhasilan P 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

| , p) Probabilitas * P( x|θ ) = P( X = 850 0.002 0.064 0.091 0.117 0.064 0.011 0.349 *mengikuti distribusi binomial.

10/7/2004


41

Teorema Bayes – Distribusi (4) Berdasarkan data terbaru, dilakukan revisi distribusi probabilitas: P 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 0 .3 0

10/7/2004

Aw al 0 .2 1 0 .2 3 0 .4 5 0 .0 9 0 .0 1 0 .0 1

Sam pel 0 .0 0 2 0 .0 6 4 0 .0 9 1 0 .1 1 7 0 .0 6 4 0 .0 1 1 0 .3 4 9

J o in t* 0 .0 0 0 4 2 0 .0 1 4 7 2 0 .0 4 0 9 5 0 .0 1 0 5 3 0 .0 0 0 6 4 0 .0 0 0 1 1 0 .0 6 7 3 7


B a ru * * 0 .0 0 7 0 .2 1 8 0 .6 0 8 0 .1 5 6 0 .0 0 9 0 .0 0 2 1 .0 0 0

42

Teorema Bayes – Distribusi (4) Kesimpulan: Ekspektasi awal (0.1245) lebih kecil dari ekspektasi baru (0.1474). Artinya, ada indikasi bahwa rata-rata proporsi pencemar dalam setiap kemasan bahan baku telah mengalami peningkatan sekitar 2,3 %.

10/7/2004


43

2-1 Probabilitas adalah:

Recommend Documents